Download semana 3 trigonometria

SEMANA 3
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS AGUDOS I
1.
RESOLUCIÓN
En un triángulo rectángulo ABC
(A = 90º) , se cumple:
cotC+ cotB=4. Calcule:
M = 16senB.senC.cosB.CosC.
1
4
D) 2
A)
1
2
E) 4
B)
C) 1
Si: a − c = 21
7k = 21
k =3
RESOLUCIÓN
Se pide: 2p = 13k + 5k + 12k
= 90
RPTA.: D
cotC + cotB = 4
⇒
3.
b c
+ =4
c b
En un triángulo rectángulo si la
hipotenusa es el doble de la media
geométrica de los catetos. Calcule
la
suma
de
las
tangentes
trigonométricas de los ángulos
agudos del triángulo.
→ b2 + c2 = 4bc
Pero: b2 + c2 = a2 ⇒ a2 = 4bc
A)2
D)5
 b  c  c  b 
 a  a  a  a 
Luego: M = 16    
 b2.c2 
 b2c 2 

⇒ M = 16 4  = 16
2 2 
 a 
 16b c 
B) 3
E) 6
RESOLUCIÓN
Si: c = 2 ab
β
∴M = 1
Si pide:
RPTA.: C
2.
E=
B) 120
E) 136
a b a2 + b2
+ =
b a
ab
Pero:
a² + b² = c²
tgC =
A) 90
D) 75
E = tgα + tgβ
α
En un triángulo rectángulo
ABC (B = 90º ) si:
5
; a − c = 21
12
Calcular el perímetro del triángulo
C) 4
→
E= =
4ab
=4
ab
C) 150
RPTA.: C
4.
En la figura adjunta se cumple
que:
AB BC
=
4
3
Calcular: ctgθ − csc φ
φ
θ
3
4
9
D)
4
5
4
11
E)
4
A)
B)
C)
6.
7
4
En un triángulo rectángulo
ABC (C = 90º )
∧
∧
∧
∧
2
Si: senB+ sec A = + sen A .ctgB
3
Halle: E = ctg²B + sec²A
RESOLUCIÓN
Si
A) 13
D) 19
AB BC
=
⇒ AB = 4k
4
3
BC = 3K
DCB:
DBA:
B) 15
E) 21
C) 17
RESOLUCIÓN
(BD)2 = (12)2 + (3k )2...(1)
(13)2 = (BD)2 + (4K )2...(2)
(2) + (1) ⇒ (13)
2
3
= (K ) + (12 ) + ( 4K ) + (3K )
2
2
2
2
2 2
25 = 25K ⇒ K = 1
2
12 12
=
=4
BC
3
13 13 13
csc φ =
=
=
AB
4
4
ctgθ =
−ctg ( θ ) − csc ( φ ) = 4 −
senB + secA =
b c 2 a a
+ = + .
c b 3 c b
13 3
=
4
4
RPTA.: D
5.
b2 + c2 − a2 2
2b2 2
= →
=
bc
3
bc
3
Si: sen(x + 10º) = cos(x + 40º)
Halle:
E = tg3x + 4 3 i sen(x + 10º )
A)
3
D) 4 3
B) 2 3
2
+ senActgB
3
c2 = b2 + a2
→
C) 3 3
E) 5 3
b 1
=
c 3
2
2
2 2 
 +  3 
Ε=
 1 
1


RESOLUCIÓN
Ε = 8 + 9 = 17
RPTA.: C
Dato: 2x + 50º = 90º ⇒ x = 20º
7.
Se pide:
En un triángulo rectángulo ABC
(B = 90º ) se cumple que:
Ε = tg60º+4 3sen30º
1
Ε = 3 + 4 3.
2
Ε=3 3
∧
sen A +
∧
1
senC− 1 = 0
2
∧
∧
Halle: Ε = tg A + csc C− 2
RPTA.: C
A) 0
D) 2
B) -1
E) 1
C) -2
Luego:
RESOLUCIÓN
1
∴b2 = c2 + a2
M = sen30º− cos 60º+ tan 36º. tan 54º
1
senc = 1
2
2a 1 c
+
=1
2b 2 b
2a + c = 2b → c = 2(b − a)
Dato: senA +
(
c ( a + b ) = 2 b2 − a2
c(a + b ) = 2(c )(c )
∴ a + b = 2c
)
∴M=1
RPTA.: C
9.
En la figura calcule “tgα”;
Si: AM = MB
A
α
Ε = tgA + csc C − 2
a b
Ε = + −2
c c
a+b
2c
Ε=
−2 ∴Ε =
−2
c
c
Ε=0
M
α
B
C
1
A)
D)
θ
=0
2
Si: senθ − cos
∧
θ + α
θ + α
tan
 − cot
=0
 3 
 2 
B)
3
1
RPTA.: A
8.
cot36º
1
C)
2
3
E)
2
7
1
5
RESOLUCIÓN
A
m
α
M
Calcule:
θ
θ + α
M = sen  − cos θ + tan 36º. tan

2
 2 
m
α
m’
B
C
ABC ⇒
A) 0
D) 2
1
B)
2
2 3
E)
3
C) 1
RESOLUCIÓN
θ+α θ+α
θ + α
θ + α
tan
+
= 90º
 = cot
⇒
3
2
 3 
 2 
5
(θ + α ) = 90º ⇒ θ + α = 108º
6
θ
θ
senθ = cos ⇒ θ + = 90º ⇒ θ = 60º
2
2
⇒
m'
tgα =
...(1)
2m
MBC ⇒
tgα =
m
...(2)
m'
(1) = (2)
m'
m
1
=
⇒ m⇒
2m m'
2
1
tgα =
2
1
m
=
= tgα
2 m'
RPTA.: D
10.
Halle:
A) 2 3
B) 3 3
Ε = tg10º tg20º tg30º...tg80º
D) 3 / 6
E)
A) 1
D) -1
RESOLUCIÓN
B) 0
E)-2
C)2
3
C)
3 /9
B
RESOLUCIÓN
2n
60º 60º
n 30º
4n
Ε = tg10º tg20º tg30º tg40º...tg80º
Ε = tg10º tg20º tg30º tg40º ctg40º ctg30º...ctg10º
n 3
4n
M
60º
30º
α
A
α
n 3
2n 3
E=1
2n
n
P
30º
C
n 3
3n 3
RPTA.: D
11.
APM : ctgα =
Del gráfico halle:
∴ ctgα = 3 3
W = senφ − cos φ
RPTA.: B
Si CD = 3AD, halle: tgθ
(tomar: sen37º=0,6)
13.
φ
7
17
− 23
E)
17
A)1
D)
B)
−7
17
C)
θ
23
17
53º
RESOLUCIÓN
C
D
A
1
16
3
D)
16
1
8
1
E)
4
A)
→
⇒
∴
3n 3
n
W = senφ − cos φ = ?
8
15
W=
−
17 17
−7
6
W=
17
15
9
C)
3
8
RESOLUCIÓN
53º
127º
B)
8
θ
10
9K
12K
37º
φ
5K
17
RPTA.: D
15K
A 53º
D
53º
C
4K
3K
12.
Halle “ctgα” del gráfico, si:
AB = BC
Se pide: tgθ =
3k
3
=
16k 16
RPTA.: D
α
14.
Si el triángulo ABC es equilátero.
Determine tgα.
2
2
senθ =
∴
2
C
M
4
B
3
6
α
3
A)
5
3
D)
8
3
B)
6
3
E)
9
N
3
3
C)
7
D
A
6
RPTA.: A
16.
RESOLUCIÓN
Halle tgx, si ABCD es un cuadrado.
B
60º
3a = 6k
8k
D
60º
A
k 3 30ºa = 2k
α
60º
k C
7k
tgα =
1
16
5
D)
16
k 3
3
=
7k
7
RPTA.: C
15.
1
8
7
E)
16
A)
B)
C)
3
16
RESOLUCIÓN
Si ABCD es un cuadrado y
BM=2CM, BN=NA. Calcule sen θ.
16
A
B
x
13
37º
∴Tgx =3/16
16
3
53º
θ
D
2
2
7
D)
7
A)
3
3
10
E)
10
B)
C)
5
5
RESOLUCIÓN
2 10.3 5
2.6 3.6 4.3
senθ = 62 −
−
−
2
2
2
2
15 2senθ = 15
53º
37º
17.
12
4
C
RPTA.: C
De la figura, calcule: ctg φ
A)1
B)2
C)3
D)4
E)5
φ
A)1
D)4
RESOLUCIÓN
B)2
E)5
C) 3
RESOLUCIÓN
2
2
Como: sen (50º + x ) = cos(40º −x)
2
2
Entonces:
φ
tan(x + 10º ). tan(x + 40º ) = 1
⇒
tan(x + 10º ) = cot(x + 40º )
⇒
x + 10º + x + 40º = 90º
∴ x = 20º
ctgφ = 3
RPTA.:C
18.
Luego: M = sec 60º+ cot 2 30º = 2 +
∴M = 5
Del gráfico. Halle:
( 3)
2
RPTA.: E
W = sec2 θ + tg2 θ
20.
θ
Siendo “α” y " β" las medidas de 2
ángulos agudos tales que:
cos 11α. sec β = 1
cos α. csc β = 1
∧
Halle:
W = tg(α + 37º30').sen(β − 52º30')
1
5
7
E)
3
A)5
D)
B)
7
2
C) 1
∴
R 3 


 + R 2 
W=
 R 
 R 




W=5
2
R
θ
R 2
E)
C)
3
2
3
3
sen(90º−α ). csc β → 90º−α = β → α + β = 90º..(II)
(I)en(II) : α + 11α = 90º → α = 15º = 7º30'
2
165º
 15º 
" α" en(I) : β = 11
= 82º30'
→β=
2
 2 
Piden:
R 3
45º
D) 3
1
2
Datos:
i) cos11α.sec β =1→11α= β … (I)
ii) cos α. csc β = 1
W = sec2 θ + tg2 θ = ?
2
→
B)
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
*
A)1
R
W = tg(α + 37º30').sen(β − 52º30') = ?
1
∴ W = tg(45º).sen(30º) =
2
R
RPTA.: B
RPTA.: A
19.
Si se verifica que:
sen(50º +x) − cos(40º −x) +
tan ( x + 10º) .tan(x + 40º ) = 1
 3x 
Determine: M = sec 3x + cot2 

 2 