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ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
ANEXO 2. ALGUNOS MODELOS DE GEOMETRÍAS NO
EUCLIDIANAS
Considero importante que un tema históricamente definitivo, como lo es la relatividad del
Postulado de las paralelas, por los procesos constructivos que generó en la Matemática
misma y en particular de la Geometría, y por los esfuerzos y trabajos que motivó durante más
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de veinte siglos, en generaciones de mentes maravillosas en la creación y producción de
resultados, no puede pasarse por alto. Por el contrario debe orientarse al estudiante para
indagar sobre los motivos y pasiones que indujo a muchos de los participantes en esta gesta,
en la persistencia en sus estudios y los caminos planteados para llegar a sus resultados y las
experiencias aparentemente fallidas en la obtención de los mismos para muchos de ellos, pero
que siempre enriquecieron y fueron material valioso para la búsqueda de esta conclusión
final.
1. Geometría no euclidiana hiperbólica.
Como tuve la oportunidad de referenciarlo en el Capítulo 5, al introducir el célebre Postulado
de las paralelas de Euclides y la reseña histórica sobre éste, quiero ubicar al lector en un
contexto moderno más sencillo para comprender la génesis de esta geometría. Ubiquémonos
en el Postulado de la paralela única de Playfair, que como se demostró es equivalente al V
Postulado de Euclides. Si revisamos uno de los últimos teoremas previos, al Postulado de las
paralelas, específicamente el que nos presenta la existencia de al menos una recta paralela a
una recta dada por un punto exterior a esta, podemos observar que lo que realmente
fundamenta Playfair, es la unicidad de la misma.
Ahora
a partir del teorema de existencia mencionado supongamos que tratamos de
demostrar la unicidad de esta paralela por el método de reducción al absurdo, y así establecer
en consecuencia que el Postulado de las paralelas de Euclides es un teorema más. Esta fue la
tarea que emprendieron en sus contextos propios Jerónimo Saccheri (1667-1733) y Lambert
(1728-1777) sin poder llegar desde luego a la tan anhelada contradicción y por el contrario
generando cada vez más resultados que posteriormente se reconocerían como teoremas
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
propios de esta nueva geometría, pero que por las dificultades propias de su formación en su
época les impidió ver la dimensión de lo que su trabajo representaba.
Fueron finalmente el matemático ruso Nicolás Lobachevsky (1793-1896), y el matemático
húngaro Johan Bolyai (1802-1860) quienes finalmente establecieron la estructura formal a
esta geometría tomando como Postulado del paralelismo que por un punto exterior a una
recta pasan más de una paralela a ella. Con ello surgen en consecuencia las geometrías no
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Euclidianas, estableciéndose además la relatividad del Postulado de las paralelas y
confirmándose finalmente que efectivamente el V Postulado de Euclides es efectivamente un
axioma y no un teorema. Es necesario reconocer la obra que independientemente de los
trabajos de los dos matemáticos anteriores, adelantó Karl Friedrich Gauss (1777-1855)
llegando a los mismos resultados, que se abstuvo de publicar posiblemente por el temor de no
ser comprendido por la comunidad académica de su época dado el reto que esta teoría
planteaba y lo que significaría para las matemáticas.
Se plantean a continuación dos de los modelos más conocidos de geometrías hiperbólicas. En
ellos se han validado todos los teoremas de la Geometría Euclidiana que preceden al V
Postulado de Euclides en el sentido de que no dependen de este resultado y que se designan,
por esta misma cualidad, como los teoremas de la Geometría absoluta y todos los demás
teoremas que se obtienen asumiendo como Postulado del paralelismo, la existencia de más de
una recta paralela a una recta dada por un punto exterior a ésta, garantizándose la
consistencia del modelo respectivo.
1.1 Modelo de Klein.
El matemático alemán Felix Klein (1849-1925) estimulado por los trabajos que en el campo
de la geometría desarrollara el geómetra inglés Arthur Cayley (1821-1895), utilizo una vía
distinta a la empleada por Bolyai y Lobachevsky. Estos últimos se dedicaron
fundamentalmente a la demostración de un buen número de teoremas asumiendo como V
Postulado la existencia de más de una recta paralela a una recta dada por un punto exterior a
ésta.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Klein por el contrario optó por el concepto de “modelo”. En este sentido se formula una teoría
geométrica que satisface todos los axiomas de la geometría Euclidiana con excepción del V
Postulado. En esta teoría se pueden determinar infinidad de “rectas paralelas” a una recta
dada por un punto exterior a ella.
Este modelo se construye considerando inicialmente términos de la geometría euclidiana y
luego “redesignando” algunos de estos términos y las relaciones establecidas entre estos. Es
necesario recalcar nuevamente que esto es posible de hacer puesto que se trata de una teoría
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deductiva en la cual los términos y las relaciones primitivas, son independientes de la o las
interpretaciones que podamos hacer de ellos y ellas.
En el modelo de Klein de la geometría hiperbólica se tienen las siguientes interpretaciones:

El plano corresponde al conjunto de todos los puntos interiores de una circunferencia.
Los puntos exteriores no se consideran en este conjunto.

Cada punto interior a la circunferencia se designa como un “punto no euclidiano”.

Cada cuerda de la circunferencia se designa como una “recta no euclidiana”.
Es fácil probar que este sistema así construido satisface todos los axiomas de la geometría
euclidiana y que no se cumple el V Postulado de Euclides, puesto que por un punto exterior a
una recta dada, pasan infinitas rectas que no la intersectan.
Este modelo tan simple es suficiente para ilustrar el gran interrogante mediante el cual surgió
la geometría no euclidiana: establece que el postulado de las paralelas no puede deducirse de
los otros axiomas de la geometría euclidiana puesto que si pudiera deducirse de los grupos de
axiomas previos, podría demostrarse también como teorema en la geometría de Klein, cosa
que evidentemente no sucede.
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Figura 1
Modelo no euclidiano de Klein.
En la figura 1 las rectas 𝐶𝐷, 𝐸𝐹 y 𝐺𝐻 se intersectan en el punto 𝑃 y son paralelas a la recta 𝐴𝐵.
1.2 Modelo de Poincaré
El matemático francés Henri Poincaré (1854-1912) creó a su vez otro modelo de geometría
no euclidiana en el cual se satisfacen los cuatro primeros grupos de axiomas de la geometría
euclidiana y como V Postulado se establece que por un punto exterior a una recta pasan más
de una recta paralela, probándose fácilmente que pasan como consecuencia, infinitas rectas
paralelas.
En su modelo Poincaré presenta las rectas de la forma siguiente y que corresponde a lo que se
define como circunferencias ortogonales, así:
Definición: circunferencias ortogonales.
Dos circunferencias son ortogonales si sus rectas tangentes son perpendiculares en los puntos
de intersección.
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Figura 2
𝑪(𝑶, 𝑹) 𝒚 𝑪(𝑶′, 𝑹′) 𝒔𝒐𝒏 𝒐𝒓𝒕𝒐𝒈𝒐𝒏𝒂𝒍𝒆𝒔.
En la figura 2 las tangentes respectivas son perpendiculares en los puntos de intersección 𝑃 y
𝑄 respectivamente.
En el modelo de Poincaré de una geometría hiperbólica se tienen las siguientes
interpretaciones:

El plano corresponde al conjunto de todos los puntos interiores a la circunferencia.

Cada punto interior de la circunferencia se designa como un “punto no euclidiano”.

Las rectas en este modelo son de dos tipos:
-
El interior de cualquier diámetro de la circunferencia.
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La intersección del interior de la circunferencia con cualquier circunferencia
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ortogonal a ella.
Figura 3
Así en la figura 3 en 𝐶(𝑂, 𝑅), si ̅̅̅̅̅
𝑀𝑁 es una cuerda diametral y


APB y CPD son arcos de
circunferencias ortogonales a 𝐶(𝑂, 𝑅); entonces, se tienen en el modelo de Poincaré:

𝐼𝑛𝑡 𝐶(𝑂, 𝑅): corresponde a un plano.

APB − {𝐴, 𝐵}, CPD − {𝐶, 𝐶}: representan rectas.

̅̅̅̅̅): representa una recta.
𝐼𝑛𝑡(𝑀𝑁


Figura 4

En la figura 4 se ilustran AOB , ∆ 𝐶𝐷𝐹 y ∆ 𝑃𝑄𝑆 en el modelo de Poincaré. Es fácil probar que
este sistema asi construido satisface todos los axiomas de la geometría euclidiana y que no
cumple el V Postulado de Euclides, puesto que por un punto exterior a una recta dada, pasan
infinitas rectas paralelas a ella, como se ilustra en la figura 3.
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2. Geometría no euclidiana elíptica.
Si analizamos la proposición correspondiente al V Postulado de Euclides en la versión del
matemático escoces John Playfair (1748-1819): “Por un punto exterior a una recta dada, pasa
una única recta paralela a ella” y en la cual se destaca la propiedad básica de la existencia
única, podamos observar que la negación de esta proposición corresponde a:
“Por un punto exterior a una recta pasa más de una recta paralela o no pasa recta alguna
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paralela a ella”.
La primera proposición que conforma esta disyunción se constituye precisamente en el V
Postulado de las geometrías elípticas.
Ahora cabe preguntarse si la segunda proposición de la disyunción puede admitirse como V
Postulado y con la vigencia total de los cuatro grupos de la geometría euclidiana, construir una
nueva teoría perfectamente consistente.
Las respuestas la podemos dar en forma inmediata y es no. La justificación está en que en el
teorema 28 del Capítulo 5 en el cual se establece la existencia de al menos una recta paralela a
una recta dada, por un punto exterior a ella. Este resultado es previo al V Postulado de
Euclides y por lo tanto no depende de él. Por tanto este teorema contradice absolutamente la
posibilidad de asumir la proposición enunciada como V Postulado.
No obstante la argumentación anterior no fue un obstáculo para la genialidad del matemático
alemán Georg Bernhard Riemann, quien modificando algunos axiomas de los cuatro grupos
iniciales de la geometría euclidiana y en particular la interpretación de la relación primitiva
“estar entre” y en consecuencia replanteando los axiomas de orden obvió el problema
anteriormente señalado, y asumiendo como V Postulado la “no existencia de paralela alguna
por un punto exterior a una recta dada”, logro construir una nueva teoría geométrica,
consistente y que se ha denominada como geometría elíptica o rimanniana.
En el modelo de Riemann se tienen las siguientes interpretaciones:

El plano corresponde a todos los puntos de una superficie esférica.
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
Las rectas corresponden a las intersecciones de planos euclidianas que pasan por el
centro de la superficie esférica, con esta misma. Estas intersecciones se denominan
“círculos máximos” o “geodésicas”.
Puede observarse que en toda superficie esférica dos círculos máximos cualesquiera,
siempre se intersectan en dos puntos distintos. Como consecuencia de esto “no existen, en
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este modelo, rectas paralelas”.
Para una comprensión mejor del lector, si aceptamos la forma aproximadamente esférica
de la superficie terrestre, las líneas geográficas designadas como “los meridianos” y el
“ecuador” son ejemplos de círculos máximos.
Figura 5
En la figura 5, en la superficie esférica de centro en 𝑂 y radio 𝑅; se ilustran dos círculos
máximos que se intersectan en los puntos 𝑃 y 𝑄.