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Apuntes de Fundamentos
Físicos de la Informática
y las Comunicaciones
Antonio Flores Sintas
versión beta
Apuntes Fundamentos Físicos Informática y Comunicaciones
Apuntes Fundamentos Físicos Informática y Comunicaciones
TABLA DE CONTENIDOS
Tabla de contenidos
I
Prólogo
IV
1. Oscilador Armónico
1.1. Movimiento armónico simple (MAS)
1.2. Ecuación del movimiento
1.2.1. Intensidad del MAS
1.2.2. Péndulo matemático
1.3. Composición de MAS
1.3.1. Composición de la misma dirección y frecuencia.
1.3.2. Misma dirección, misma amplitud y frecuencias próximas.
1.3.3. Direcciones perpendiculares, misma frecuencia.
1.3.4. Direcciones perpendiculares, frecuencias diferentes.
1.4. Movimiento armónico amortiguado.
1.5. Movimiento armónico forzado.
Algunas relaciones trigonométricas de interés
2. Movimiento ondulatorio.
2.1. Movimiento ondulatorio
2.2. Ecuación de ondas.
2.3. Ondas armónicas.
2.4. Velocidad de propagación en un medio material.
2.5. Energía e intensidad de las ondas.
2.6. Efecto Doppler.
2.7. Interferencias.
2.7.1. De ondas con vibraciones paralelas,
igual frecuencia y amplitud
2.7.2. Ondas Estacionarias.
2.7.3. De ondas con vibraciones paralelas,
igual frecuencia y diferente amplitud.
2.8. Reflexión y refracción simultáneas.
3. Campo Eléctrico.
3.1. Carga eléctrica.
3.2. Electricidad por frotamiento.
3.2.1. El electróforo.
3.3. Ley de Coulomb.
3.4. Campo eléctrico.
3.5. Líneas de campo eléctrico.
3.6. Flujo eléctrico.
3.7. Ley de Gauss.
3.8. Divergencia de una función vectorial.
I
1
2
4
6
8
9
9
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24
24
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33
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36
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48
49
49
51
52
54
55
56
60
Apuntes Fundamentos Físicos Informática y Comunicaciones
3.9. Teorema de Gauss y forma diferencial de la ley de Gauss.
3.10. Potencial eléctrico.
3.11. Gradiente de una función escalar.
3.12. Energía electrostática.
3.13. Rotacional de una función vectorial.
3.14. Teorema de Stokes.
3.15. Significado físico del rotacional.
4. Corriente Eléctrica
4.1. Conductores en equilibrio electrostático.
4.2. Condensador de placas plano paralelas.
4.3. Dipolo eléctrico.
4.4. Condensador con dieléctrico.
4.5. Energía almacenada en un condensador.
4.6. Combinación de condensadores.
4.7. Corriente y movimiento de cargas.
4.8. Ecuación de continuidad.
4.9. Fuerza electromotriz.
4.10. Generadores ideales y reales.
4.11. Combinación de resistencias.
4.12. Divisores de tensión y de corriente.
4.13. Reglas de Kirchhoff.
4.14. Circuitos equivalentes.
5. Campo Magnético.
5.1. Fuerza ejercida por un campo magnético.
5.2. Movimiento de una carga puntual en el interior de un campo magnético.
5.3. Momento magnético de una espira.
5.4. Campo magnético creado por corrientes eléctricas: ley de Biot y Savart.
5.5. Campo magnético creado por una espira circular.
5.6. Propiedades del campo magnético. Ley de Ampere.
5.7. Aplicaciones de la ley de ampere.
5.8. Inducción magnética. Ley de Faraday. Ley de Lenz.
5.9. Inductancia.
5.10. Circuitos LR.
5.11. Energía magnética.
5.12. Combinación de inductores.
6. Corriente Alterna.
61
63
66
67
68
70
70
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85
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130
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136
138
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140
143
145
6.1. Circuito LC.
6.2. Corriente alterna en resistencias.
6.3. Corriente alterna en bobinas.
6.4. Corriente alterna en condensadores.
6.5. Fasores.
6.6. Circuito LCR con generador.
6.7. Resonancia.
6.8. Redes de corriente alterna.
6.9. Relaciones tensión corriente.
II
Apuntes Fundamentos Físicos Informática y Comunicaciones
6.10. Análisis de redes de corriente alterna.
6.11. Equivalentes de Thévenin y Norton.
7. Ecuaciones de Maxwell. Ondas Electromagnéticas.
7.1. Divergencia. Rotacional. Ecuación de continuidad.
7.2. Algo se ha omitido.
7.3. Corriente de desplazamiento.
7.4. Ecuaciones de Maxwell.
7.5. Ecuación de ondas para las ondas electromagnéticas.
7.6. Representación de ondas armónicas.
7.7. Propiedades de las ondas electromagnéticas planas.
7.8. Energía de las ondas electromagnéticas.
7.9. Presión de radiación.
7.10. Espectro electromagnético.
7.11. Polarización.
8. Semiconductores.
8.1. Conductores.
8.2. Densidad de corriente.
8.3. El semiconductor intrínseco.
8.3.1. El hueco.
8.3.2. Conducción en semiconductores intrínsecos.
8.4. Semiconductores extrínsecos.
8.4.1. Semiconductores tipo n.
8.4.2. Semiconductores tipo p.
8.5. Ley de acción de masas.
8.6. Concentración de portadores.
8.7. Difusión.
8.7.1. Corriente total.
8.8. La unión PN en un circuito abierto.
8.9. La unión PN con polarización directa.
8.10. La unión PN con polarización inversa.
8.11. El símbolo eléctrico y la curva del diodo.
8.12. Aproximaciones del diodo.
8.13. El transistor sin polarización.
8.14. El transistor polarizado.
8.15. Corrientes en un transistor.
8.16. La conexión en EC (emisor común)
8.17. Curvas características.
8.18. Valores nominales máximos de un transistor.
8.19. El transistor como interruptor.
Bibliografía
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211
III
Apuntes Fundamentos Físicos Informática y Comunicaciones
Apuntes Fundamentos Físicos Informática y Comunicaciones
Prólogo
Parte de estos apuntes se corresponden con las clases impartidas durante seis
cursos en la asignatura “Fundamentos Físicos de la Informática”. Los cinco
primeros cursos la asignatura pertenecía a la carrera de Ingeniero Técnico en
Informática, mientras que en el último, la asignatura se ha ampliado, denominándose
“Fundamentos Físicos de la Ingeniería (I y II)”, y se ha integrado en el Grado en
Ingeniería Informática. Tanto la ingeniería técnica como el grado se imparten en la
Universidad Católica San Antonio, tendiendo la ingeniería técnica a desaparecer.
Los objetivos del texto son:
Conocer los fenómenos físicos más directamente relacionados con el
funcionamiento de los componentes de los computadores y sus periféricos, como
monitores, impresoras, memorias magnéticas y ópticas, circuitos electrónicos y
fibras ópticas. Comprender los modelos matemáticos correspondientes a esos
fenómenos. Conocer las bases de los diferentes tipos de dispositivos
semiconductores, su función y características.
El conocimiento de las estructuras combinacionales básicas y las capacidades
para analizar y diseñar circuitos secuenciales se ven en Fundamentos de
Computadores. El conocimiento de Señales y Sistemas se adquiere en la asignatura
del mismo nombre, y en Instrumentación Electrónica se identifican y utilizan los
elementos básicos de un laboratorio de hardware.
La estructura de los temas se ha realizado atendiendo a los dos párrafos
anteriores. En los dos primeros temas se estudia el Oscilador Armónico y el
Movimiento Ondulatorio. El primero de ellos es un tema básico en la Física, de
aplicación a diferentes fenómenos como vibraciones en tubos y cuerdas, ondas
sonoras, oscilaciones de las corrientes en los aparatos de radio y televisión,
vibraciones de estructuras (puentes, edificios,…), etc. El Movimiento Ondulatorio
proporciona la base para el estudio posterior de las ondas electromagnéticas. Desde
el tema tercero al sexto se estudian los conceptos básicos del electromagnetismo y
de circuitos, tanto de corriente continua como alterna. En el tema siete se estudian
las ondas electromagnéticas que son básicas para la comprensión de las
comunicaciones. Finalmente el tema octavo introduce al alumno en los materiales
semiconductores que son el soporte físico de los ordenadores. Dentro de cada tema
se exponen ejemplos que ayudan a fijar los conceptos explicados.
IV
Apuntes Fundamentos Físicos Informática y Comunicaciones
TEMA I
OSCILADOR ARMÓNICO
1.1
1.2
Movimiento armónico simple (MAS)
Ecuación del movimiento
1.2.1 Intensidad del MAS
1.2.2 Péndulo matemático
1.3 Composición de MAS
1.3.1. Composición de la misma dirección y frecuencia.
1.3.2. Misma dirección, misma amplitud y frecuencias próximas.
1.3.3. Direcciones perpendiculares, misma frecuencia.
1.3.4. Direcciones perpendiculares, frecuencias diferentes.
1.4 Movimiento armónico amortiguado.
1.5 Movimiento armónico forzado.
Algunas relaciones trigonométricas de interés
2
4
6
8
9
9
11
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22
Oscilador Armónico
El estudio del movimiento armónico simple constituye en física e ingeniería un
capítulo muy importante. Muchos fenómenos como péndulo, vibraciones en tubos y
cuerdas, ondas sonoras, oscilaciones de las corrientes en los aparatos de radio y
televisión, vibraciones de estructuras (puentes, edificios,…), etc., son objeto de
aplicación del estudio del movimiento armónico simple.
Cuando se perturba la posición estable de un cuerpo perdiendo su posición de
equilibrio se producen oscilaciones. La característica más fácilmente reconocible del
movimiento oscilatorio es que resulta periódico. En este tema comenzaremos
estudiando el movimiento armónico sin pérdida de energía, y la composición de
movimientos armónicos. Después introduciremos términos apropiados para incluir
pérdida de energía (amortiguamiento), cómo proporcionamos energía para mantener el
movimiento (oscilaciones forzadas), y el fenómeno de resonancia de gran importancia
en la física aplicada.
1.1. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE.
Cuando se desplaza un objeto de su posición de equilibrio, si existe una fuerza
restauradora proporcional al desplazamiento se produce un movimiento armónico
simple (MAS). La proporcionalidad entre la fuerza y el desplazamiento ocurre con
mucha frecuencia en los sistemas mecánicos cuando la separación de la posición de
equilibrio es pequeña.
Un sistema típico que presenta un movimiento armónico simple es el de un cuerpo
unido a un muelle. En el equilibrio, el muelle no ejerce ninguna fuerza sobre el cuerpo.
Cuando éste se desplaza una cantidad x de su posición de equilibrio, el muelle ejerce
una fuerza sobre el cuerpo dada por:
F = − kx
(1.1)
Si queremos desplazar el cuerpo hacia la derecha, a una posición x , debemos de
ejercer una fuerza F = kx que compense a la fuerza de recuperación, y un elemento
diferencial de fuerza dF que permita mover el cuerpo, de tal forma que la fuerza total
que estamos ejerciendo es F + dF . El trabajo que realizamos al desplazar el cuerpo
Antonio Flores Sintas
2
Oscilador Armónico
vendrá dado por: W =
(F + dF ) dx =
F dx + dF dx . El segundo término de esta
expresión es despreciable frente al primero, por lo que W = F dx = kx dx . Esta
integral es inmediata. Se obtiene:
W=
1 2
kx + cte .
2
(1.2)
El trabajo realizado se convierte en energía potencial del cuerpo. Si en una posición
determinada dejamos de aplicar fuerza y soltamos el cuerpo, éste comenzará a oscilar
alrededor de la posición de equilibrio. El movimiento se produce como consecuencia de
la energía que hemos suministrado. Si no hubiésemos ejercido ninguna fuerza el cuerpo
permanecería en la posición de equilibrio, y no le habríamos aportado energía, por lo
que podemos elegir la constante de integración en (1.2) igual a cero (para
x = 0, W = 0 ). En consecuencia la energía potencial en una posición x , la podemos
expresar como:
1
W = kx 2 .
(1.3)
2
Sea A el máximo desplazamiento del cuerpo desde su posición de equilibrio. La
1
energía potencial que tendrá el cuerpo en esa posición será: W = kA 2 , que es la
2
energía total del cuerpo. Si ahora dejamos de aplicar fuerza sobre el cuerpo, éste se
pondrá en movimiento, convirtiendo la energía potencial en cinética, de tal forma que
cuando pase por la posición de equilibrio toda la energía se ha convertido en cinética. El
cuerpo sigue en movimiento, por inercia, convirtiendo toda la energía cinética en
potencial, pasando a una posición − A de la posición de equilibrio. En una posición
determinada x , tendrá una energía potencial:
Ep =
y una energía cinética:
EC =
1 2
kx
2
(1.4)
(
1 2 1 2 1
kA − kx = k A 2 − x 2
2
2
2
)
(1.5)
En la siguiente figura se ha representado la energía potencial en azul, y la energía
cinética en rojo, utilizando A = 1, k = 2 . Se puede apreciar que para x = A toda la
energía es potencial. Cuando x disminuye, la energía potencial va disminuyendo y la
cinética aumentando, hasta que para x = 0 toda la energía se ha convertido en cinética.
A partir de aquí el proceso se invierte: la energía cinética empieza a disminuir
convirtiéndose en potencial, hasta x = − A , en donde toda la energía vuelve a ser
potencial.
3
Antonio Flores Sintas
Oscilador Armónico
Representación de las energías potencial (azul) y cinética (rojo).
Ejercicio 1.1. En un MAS, hallar el valor de x para el que las energías cinética y
potencial son iguales.
Se debe cumplir que E c = E p
(
1 2 1
kx = k A 2 − x 2
2
2
)
2x 2 = A2
x=±
A
2
1.2. ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO.
La fuerza y la aceleración están relacionadas por la segunda ley de Newton
d 2x
F = ma = m 2 , siendo m la masa del cuerpo y a la aceleración. En consecuencia, de
dt
(1.1) se debe satisfacer:
d 2x
d 2x
k
m 2 = − kx
=− x
(1.6)
2
m
dt
dt
que es la ecuación diferencial que determina el movimiento.
La ecuación diferencial (1.6) es muy conocida y fácil de resolver. Partamos de una
función tipo seno o coseno y calculemos la primera y la segunda derivadas. A
continuación de este párrafo, en la columna de la izquierda se utiliza la función seno, y
en la columna de la derecha la función coseno, usando un parámetro w a determinar.
Antonio Flores Sintas
4
Oscilador Armónico
x = sen(wt )
dx
= w cos(wt )
dt
d 2x
= − w 2 sen(wt ) = − w 2 x
dt 2
x = cos(wt )
dx
= − wsen(wt )
dt
d 2x
= − w 2 cos(wt ) = − w 2 x
dt 2
En la tercera línea de cada columna llegamos a la conclusión de que la segunda
derivada es igual a − w 2 x . Bastaría hacer w 2 = k m para que cualquiera de las
funciones anteriores satisficiese la ecuación diferencial (1.6). Tan sólo tenemos que
adaptar la función a las condiciones específicas de nuestro problema.
Tomemos como solución de la ecuación diferencial a una función de la forma:
x = A sen(wt + ϕ )
(1.7)
Hay
que
señalar
que
(1.7)
se
puede
escribir
como
x = A cos(wt + ϕ + π 2 ) = A cos(wt + ϕ ') , que tiene la misma forma que (1.7), pero
utilizando la función coseno en vez de la función seno, de acuerdo con lo explicado
anteriormente. Lo único que cambia es que el valor de ϕ y ϕ ' serán diferentes. Para
facilitar el estudio, hay un resumen de relaciones trigonométricas, al final del tema, que
pueden utilizarse en el desarrollo del tema o en la resolución de problemas.
Derivando (1.7) obtenemos:
dx
d 2x
= Aw cos(wt + ϕ ) ,
= − Aw 2 cos(wt + ϕ ) = − w 2 x .
2
dt
dt
En consecuencia, (1.7) es solución de la ecuación diferencial (1.6) si hacemos
k
w=
. Esta magnitud se denomina frecuencia angular y se mide en radianes por
m
segundo. Además el máximo valor que puede tomar x en (1.7) es A que se denomina
x(0 )
amplitud. Al ángulo (wt + ϕ ) se le denomina fase. Para t = 0 , sen(ϕ ) =
, siendo
A
x(0 ) la posición del cuerpo en el instante t = 0 . Al ángulo ϕ se le denomina fase
inicial. La posición del cuerpo en un instante x(t ) se le denomina elongación.
En el instante t1 , el cuerpo estará en la posición x(t1 ) = Asen(wt1 + ϕ ) . Como el
movimiento es periódico, al cabo de un tiempo T , el cuerpo estará en la misma
posición. x(t1 + T ) = Asen(w(t1 + T ) + ϕ ) = A sen(wt1 + wT + ϕ ) = x(t1 ) . Para que esta
2π
2π
igualdad se verifique debe ser wT = 2π
w=
T=
.
T
w
5
Antonio Flores Sintas
Oscilador Armónico
1
= f se le denomina frecuencia. El
T
periodo se mide en segundos, y la frecuencia en s −1 , o Hertzios (Hz ) . Notemos que
2π
w=
= 2π f . Es decir, la frecuencia angular y la frecuencia es la misma magnitud
T
medida en unidades diferentes.
A T se le denomina periodo. Su inversa
Ejercicio 1.2. Una partícula tiene un desplazamiento dado por x = 0.3 sen 2t +
π
,
6
donde x se mide en metros y t en segundos. ¿Cuáles son la frecuencia, el periodo, la
amplitud y la fase inicial?
Comparando con (1.7), la amplitud es 0.3 m . La frecuencia angular w = 2 rad seg ,
que expresada en Hz es f = w 2π = 0.318 Hz . El periodo T = 2π w = 3.14 seg . La
fase inicial es ϕ = π 6 rad .
1.2.1. INTENSIDAD DEL M.A.S.
Se denomina intensidad del movimiento armónico simple al valor medio de la
energía cinética en un periodo:
T
1
I=
EC dt
T 0
(1.8)
Para calcularla necesitamos realizar algunas consideraciones:
Hemos visto que la energía del cuerpo se descompone en energía cinética y energía
1
potencial, que se pueden expresar como E C = mv 2 , siendo v la velocidad del cuerpo,
2
1
1
y E P = kx 2 . La energía total es: ET = kA 2 = E C + E P .
2
2
dx
De (1.7) podemos obtener la velocidad: v =
= Aw cos(wt + ϕ ) . La energía
dt
1
1
cinética será: E C = mA 2 w 2 cos 2 (wt + ϕ ) = kA 2 cos 2 (wt + ϕ ) . Por otra parte,
2
2
1
sustituyendo (1.7) en la energía potencial, E P = kA 2 sen 2 (wt + ϕ )
2
Como vemos, la energía cinética depende del cuadrado del coseno de la fase, y la
energía potencial depende del cuadrado del seno de la fase. Como
1
1
ET = kA 2 = E C + E P , si tomamos valores medios, será: kA 2 = (E C )m + (E P )m . De la
2
2
Antonio Flores Sintas
6
Oscilador Armónico
expresión E C =
EP =
1 2
kA cos 2 (wt + ϕ )
2
1 2
kA sen 2 (wt + ϕ )
2
(E P )m
=
( E C )m
=
(
(
)
1 2
kA cos 2 (wt + ϕ ) m . Y de la expresión
2
)
1 2
kA sen 2 (wt + ϕ ) m .
2
Sea y una variable cualquiera que representa a un ángulo. Se debe satisfacer
sen 2 ( y ) + cos 2 ( y ) = 1 .
(sen ( y )) + (cos ( y ))
2
2
m
m
Si
tomamos
valores
medios
en
esta
expresión:
= 1 . En la siguiente figura se han representado sen 2 y cos 2 de
un ángulo en el intervalo (0 2π ) . Se puede apreciar que la variación de las dos
funciones es la misma, y en consecuencia, el valor medio de las dos funciones es el
mismo.
Representación de sen 2 (azul) y cos 2 (rojo) de una función
(
) (
)
(
) (
)
En consecuencia, sen 2 ( y ) m = cos 2 ( y ) m , y de sen 2 ( y ) m + cos 2 ( y ) m = 1 ,
1
deducimos que sen 2 ( y ) m = cos 2 ( y ) m = .
2
(
) (
)
(
debe ser (EC )m
)
(
)
1 2
1
kA cos 2 (wt + ϕ ) m . Como cos 2 (wt + ϕ ) m = ,
2
2
1
1
= kA 2 . Notemos que (EC )m = (E P )m = kA 2 .
4
4
Antes hemos visto que (EC )m =
Por tanto, la expresión (1.8) se puede poner como:
I=
1 2
kA
4
7
(1.9)
Antonio Flores Sintas
Oscilador Armónico
Las consideraciones que hemos realizado nos han servido para no tener que calcular
la integral en la expresión (1.8).
Ejercicio 1.3. Un cuerpo de 3 kg de masa sujeto a un muelle oscila con una
amplitud de 4 cm y un periodo de 2 seg . ¿Cuál es su energía total?¿Cuál es su
velocidad máxima?¿Cuál es la intensidad del movimiento?
Necesitamos conocer k para determinar la energía total que es ET =
1 2
kA . Como
2
m
4π 2 m 4π 2 × 3
k=
=
= 29.6 N m . Sustituyendo:
k
4
T2
1
1
2
ET = kA 2 = × 29.6 × (0.04 ) = 2.37 × 10 − 2 J .
2
2
La velocidad máxima se obtiene cuando toda la energía se convierte en cinética, es
T = 2π
2 × 2.37 × 10 −2
= 0.126 m seg
3
1
1
2
La intensidad del movimiento es I = kA 2 = × 29.6 × (0.04 ) = 1.19 × 10 − 2 J .
4
4
decir, ET = E C =
1 2
mv
2
v=
2 ET
=
m
1.2.2. PÉNDULO MATEMÁTICO.
θ
l
x
mg
Un péndulo matemático es un punto material que
oscila suspendido en un hilo inextensible y sin peso.
Si el punto tiene de masa m , la fuerza que actúa sobre
el cuerpo es el peso mg (figura izquierda).
Desplacemos el péndulo de su posición de equilibrio
un pequeño ángulo θ . La fuerza que actúa sobre el
cuerpo se puede descomponer en la dirección de la
cuerda y en la dirección perpendicular. En la dirección
de la cuerda, la fuerza queda anulada por la tensión de
la cuerda. La otra componente no se anula y produce
el movimiento oscilatorio. Esta componente es:
x
mg
F = − mg sen(θ ) = − mg = −
x
l
l
El signo negativo se ha introducido para indicar que la
fuerza se opone a la separación del péndulo de su
posición de equilibrio.
mg
, F = − kx , que coincide con la fuerza de recuperación del
l
movimiento armónico simple. El periodo de oscilación lo podemos calcular a partir de
k g
g
l
w2 = =
w=
T = 2π
,
m l
l
g
Llamando k =
Antonio Flores Sintas
8
Oscilador Armónico
1.3. COMPOSICIÓN DE M.A.S.
1.3.1. COMPOSICIÓN DE M.A.S. DE MISMA DIRECCIÓN Y
FRECUENCIA.
Sean dos movimientos armónicos simples de la misma dirección y frecuencia
actuando sobre el mismo cuerpo. Queremos conocer el movimiento resultante. Vamos a
ver que es otro movimiento armónico simple.
Sean x1 = A1 sen(wt + ϕ1 ) y x 2 = A2 sen(wt + ϕ 2 ) los dos movimientos que actúan
sobre
el
cuerpo.
Apliquemos
la
relación
trigonométrica
sen( A + B ) = senA cos B + cos A senB y operemos:
x1 = A1 sen(wt + ϕ1 ) = A1 sen(wt ) cos(ϕ1 ) + A1 cos(wt )sen(ϕ1 )
x 2 = A2 sen(wt + ϕ 2 ) = A2 sen(wt ) cos(ϕ 2 ) + A2 cos(wt )sen(ϕ 2 )
El movimiento resultante será:
x = x1 + x 2 = sen(wt )[ A1 cos(ϕ1 ) + A2 cos(ϕ 2 )] + cos(wt )[A1 sen(ϕ1 ) + A2 sen(ϕ 2 )] (1)
Llamemos
A cos(ϕ ) = A1 cos(ϕ1 ) + A2 cos(ϕ 2 ) (2)
Asen(ϕ ) = A1 sen(ϕ1 ) + A2 sen(ϕ 2 ) (3)
Dividiendo (3) entre (2):
tan (ϕ ) =
.
A1 sen(ϕ1 ) + A2 sen(ϕ 2 )
A1 cos(ϕ1 ) + A2 cos(ϕ 2 )
(1.10)
Elevando al cuadrado (2) y (3) y sumándolas:
A 2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 [cos(ϕ 2 ) cos(ϕ1 ) + sen(ϕ 2 )sen(ϕ1 )]
A 2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(ϕ1 − ϕ 2 )
(1.11)
Introduciendo (2) y (3) en (1):
x = x1 + x 2 = A sen(wt ) cos(ϕ ) + A cos(wt )sen(ϕ ) = A sen(wt + ϕ )
(1.12)
En consecuencia, el movimiento resultante es otro movimiento armónico dado por
(1.12), cuya amplitud viene dada por (1.11), y cuya fase inicial está dada por (1.10).
Casos particulares. Si cos(ϕ1 − ϕ 2 ) = −1 , entonces A = A1 − A2 . Esto ocurre
cuando ϕ1 − ϕ 2 = nπ . Los movimientos están en oposición y se restan. El resultado
está representado en la siguiente figura, donde un movimiento se representa en azul, el
otro en rojo, y el movimiento resultante en línea discontinua.
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Antonio Flores Sintas
Oscilador Armónico
Si cos(ϕ1 − ϕ 2 ) = 1 , entonces A = A1 + A2 . Esto ocurre cuando ϕ1 − ϕ 2 = 2nπ . Los
movimientos están en fase y se suman. El resultado está representado en la siguiente
figura, donde un movimiento se representa en azul, el otro en rojo, y el movimiento
resultante en línea discontinua. x
Ejercicio 1.4. Calcular la diferencia de fase que deben tener dos movimientos
vibratorios armónicos del mismo periodo, dirección y amplitud, para que el movimiento
resultante tenga la misma amplitud que cualquiera de ellos, y expresar la ecuación del
movimiento resultante.
La amplitud resultante de los dos movimientos es A 2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos ϕ ,
donde los subíndices se refieren a cada uno de los movimientos, y ϕ es la
Antonio Flores Sintas
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Oscilador Armónico
diferencia de fase. Como
A = A1 = A2
A 2 = 2 A 2 + 2 A 2 cos ϕ
cos ϕ = −1 2
ϕ = 2π 3 rad . Cada uno de los movimientos se puede expresar
como x1 = Asenwt , x 2 = Asen(wt + 2π 3) , y el movimiento resultante es
Asenϕ
x = Asen(wt + α ) , siendo
tan (α ) =
= 3
α = π 3 . En
A + A cos ϕ
consecuencia, el movimiento resultante es x = Asen(wt + π 3)
1.3.2. COMPOSICIÓN DE M.A.S. DE MISMA DIRECCIÓN,
MISMA AMPLITUD Y FRECUENCIAS PRÓXIMAS.
Sean los movimientos x1 = Asen(w1t ) y x 2 = Asen(w2 t ) , donde vamos a suponer
que están en fase para mayor sencillez. Aplicando la relación trigonométrica
B+C
B −C
senB + senC = 2 sen
cos
, tendremos:
2
2
w − w2
w + w2
x = x1 + x 2 = 2 A cos 1
t sen 1
t
(1.13)
2
2
El resultado es como dos movimientos perceptibles representados en la siguiente
figura, uno de frecuencia alta que corresponde al seno (muchas ondas), y otro de
frecuencia baja que corresponde al coseno (pocas ondas), como si los de frecuencia alta
estuviesen dentro de (modulados por) los de frecuencia baja.
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Antonio Flores Sintas
Oscilador Armónico
Suponiendo un muelle sometido a los dos movimientos, el resultado sería una
oscilación rápida de frecuencia (w1 + w2 ) 2 , con amplitud variable oscilando con
frecuencia (w1 − w2 ) 2 . A la frecuencia menor (periodo mayor) se le denomina
frecuencia de pulsación.
Ejercicio 1.5. Determinar la ecuación de la vibración que resulta de estar sometida
una partícula a los movimientos vibratorios armónicos de ecuaciones:
x1 = 0.5 cos 10π t y x 2 = 0.5 cos12π t , escritas en el sistema CGS y teniendo ambas
la misma dirección de vibración. Calcúlese el periodo de pulsación.
El movimiento resultante es x = x1 + x 2 = 0.5(cos 10π t + cos 12π t ) . Aplicando la
A+ B
A− B
conocida relación trigonométrica
cos A + cos B = 2 cos
cos
,
2
2
tendremos, x = 0.5 ⋅ 2 ⋅ cos(11π t ) cos(− π t ) = cos(π t ) cos(11π t ) .
La frecuencia de pulsación es w = π = 2π T , siendo T el periodo de pulsación,
que será T = 2 seg .
1.3.3. COMPOSICIÓN
DE
M.A.S.
DE
DIRECCIONES
PERPENDICULARES, MISMA FRECUENCIA.
Sean x = A1 sen(wt ) e y = A2 sen(wt + ϕ ) dos movimientos perpendiculares de
diferentes amplitudes desfasados ϕ radianes. Operando:
x
= sen(wt )
A1
cos(wt ) = 1 −
x2
A12
y
= sen(wt + ϕ ) = sen(wt ) cos ϕ + cos(wt )senϕ
A2
y
x
x2
cos ϕ + 1 − 2 senϕ
=
A2 A1
A1
y
x
x2
− cos ϕ = 1 − 2 senϕ
A2 A1
A1
y2 x2
2 xy
x2
x2
2
2
2
cos
ϕ
cos
ϕ
1
sen
ϕ
sen
ϕ
sen 2ϕ
+
−
=
−
=
−
2
2
2
2
A1 A2
A2 A1
A1
A1
(
)
x2
y2
2 xy
2
2
sen
ϕ
cos
ϕ
cos ϕ = sen 2ϕ
+
+
−
2
2
A1
A2 A1 A2
x2
2
1
A
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+
y2
A
2
2
−
2 xy
A1 A2
cos ϕ = sen 2 ϕ
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(1.14)
Oscilador Armónico
La ecuación (1.14) es una elipse. En la figura de la página siguiente se ha
representado el movimiento, para A2 = 2A1 y diferentes valores de ϕ . En el caso de
ϕ = 0,
(1.14)
se
puede
poner
como:
x2 y2
2 xy
+ 2 −
=0
2
A1 A2 A1 A2
recta.
x
y
−
A1 A2
2
=0
x
y
−
= 0 , que es la ecuación de una
A1 A2
ϕ =0
ϕ =π 4
ϕ =π 2
ϕ = 3π 4
Resultante de dos MAS perpendiculares igual frecuencia desfasados ϕ
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Antonio Flores Sintas
Oscilador Armónico
1.3.4. COMPOSICIÓN
DE
M.A.S.
DE
DIRECCIONES
PERPENDICULARES, FRECUENCIAS DIFERENTES.
Supongamos un cuerpo sometido a dos MAS perpendiculares cuyos periodos están
T
K
en la relación 1 = 1 , siendo K 1 y K 2 tales que su máximo común divisor es la
T2 K 2
unidad. Al ser T1 K 2 = T2 K 1 = T , cuando por el primer movimiento el cuerpo haya
realizado K 2 vibraciones enteras, por el segundo habrá realizado K 1 , volviendo por
tanto al punto de partida para describir de nuevo su trayectoria en el tiempo T . A las
trayectorias obtenidas se les denomina curvas de Lissajous.
K1 K 2 = 1 2
K1 K 2 = 3 4
Curvas de Lissajous
En la figura anterior se han representado dos de esas figuras. Son muy fáciles de
obtener. En Matlab se pueden obtener tecleando:
k1 = [valor de k1 ];
k 2 = [valor de k 2 ];
t = 0 : 0.01 : 2 * pi;
x = sin (k1t );
y = sin (k 2 t );
plot ( x, y )
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