Download linsis: sistemas lindenma yer y gramáticas formales, una opción

Comunicaciones en Socioeconomía Estadística e Informática
2002. Vol. 6 Núm. 2. pp 51-135.
LINSIS: SISTEMAS LINDENMA YER Y GRAMÁTICAS
FORMALES, UNA OPCIÓN PARA MODELAR FORMAS
VEGETALES.
Armando Cervantes Sandoval', Yo landa Rodríguez Pagaza l , Luis L. Landois
Palencia 2
RESUMEN
Con la finalidad de mostrar qué son y cómo aplicar los Sistemas
Lindenmayer a la modelación de formas vegetales, se revisan aspectos como: 1)
Lenguajes formales; 2) Tipos de sistemas Lindenmayer; 3) Diferencias y
semejanzas entre lenguajes forn1ales y sistemas Lindenmayer; y 4) Patrones de
desarrollo en vegetales a nivel de disposición foliar, ramificación y tipo de
inflorescencia. Esto con el fin de proponer un sistema que consta de 16 archivos
en Visual Basic, al cual se le denominó LINSIS, que requiere como entrada un
axioma y un conjunto de reglas de producción para generar e interpretar
gramáticas Lindenmayer cuya salida es una representación gráfica, en dos
dimensiones, de la gramática obtenida; ya que como se muestra mediante
algunos ejemplos, se pueden hacer gráficos no sólo de formas
1
Facultad de Estudios Superiores Zaragoza, UNAM.
2
Instituto de Socioeconomía Estadística e Informática. Colegio de Postgraduados.
51
Armando Cervantes Sandoval, Yolanda Rodríguez Pagaza
Luis L. Landois Palencia
vegetales y fractales, sino de cualquier estructura en la que se pueda
identificar un patrón básico de desarrollo o crecimiento.
Las ventajas de un sistema como LINSIS es que al usar una
notación formal, del tipo de los sistemas Lindenmayer, se adquieren las
bases matemáticas que dan soporte a un análisis sintáctico y de
ambigüedades o inconsistencias, con la facilidad de que las gramáticas
generadas se pueden plasmar directamente en un lenguaje de
programación, por lo que constituyen modelos lógico- matemáticos que
describen el crecimiento de las plantas y permiten hacer correcciones de
diseño, sintácticas o de congruencia al momento de hacer la modelación,
bondades que se aprecian al utilizar este sistema y aplicarlo a casos
específicos.
LINSIS representa un primer acercamiento y constituye la base para
elaborar otros sistemas que consideren tanto factores genéticos, como
ambientales, en el desarrollo de una planta y realicen representaciones
gráficas en tres dimensiones.
Palabras clave: Sistemas Lindenmayer, Gramáticas Formales, Desarrollo
Vegetal, Patrones, Modelación.
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2002. Vol. 6 Núm. 2. pp 51-135.
INTRODUCCION
LINSIS es un sistema, elaborado en Visual Basic, para modelar
formas en las que se identifican patrones de crecimiento, con énfasis
especial en el desarrollo y crecimiento de formas vegetales.
Los fundamentos en los que se sustenta este sistema se presentan
en los dos primeros capítulos. El Capítulo 1 describe qué son los
Sistemas Lindenmayer y su relación con las gramáticas formales,
analizando los diferentes tipo de gramáticas y los tipos de sistemas
Lindemayer; aspectos fundamentales para entender cómo se plantea un
axioma y cómo se aplican las reglas de reescritura, con el fin de generar
las gramáticas, que al interpretarse se convierten en despliegues gráficos
en la pantalla de una computadora.
El Capítulo 2 analiza los patrones de crecimiento en vegetales,
revisando aspectos como disposición foliar o filotaxia; patrones en
ramificaciones y patrones en inflorescencias. Lo que muestra la
existencia, bien documentada, de patrones de crecimiento vegetal que se
pueden modelar con herramientas como las gramáticas formales y los
sistemas Lindenmayer.
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Luis L. Landois Palencia
En el Capítulo 3 se revisa el enlace entre los sistemas
Lindenmayer y la computación, sustentando en esta relación el diseño de
LINSIS, un sistema que interpreta gramáticas. Se describe cómo se
elaboró el sistema, así como una guía de usuario para facilitar su manejo.
Esta información se utiliza en el Capítulo 4, para mostrar diez ejemplos
de formas modeladas con LINSIS. Esto permite concretar una propuesta
de cómo utilizar los sistemas Lindenmayer para la modelación de formas
vegetales.
Finalmente, el Capítulo 5 muestra las conclusiones y perspectivas
de este tipo de sistemas, haciéndose notorio que el siguiente paso consiste
en mejorar LINSIS para que funcione como un compilador de gramáticas
y los despliegues gráficos se realicen en tres dimensiones y no en dos,
aspectos sobre los que ya se está trabajando.
SISTEMAS Lindenmayer, aspectos basicos
Los sistemas Lindenmayer son una variación de la teoría de los
lenguajes formales desarrollada a finales de los años cincuenta por Noam
Chomskyl, por lo que, para comprender qué son y cómo permiten
1
Noam Chomsky, lingüista norteamericano, desarrolló en los cincuenta la teoría de los lenguajes
formales para explicar cómo se comportan los idiomas utilizados por el hombre. (Fu,
1974:25; Prusinkíewicz, 1989:39).
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modelar el patrón de crecimiento de las plantas es necesario revisar
algunos tópicos referentes a los lenguajes formales.
LENGUAJES FORMALES
Un lenguaje formal o un sistema formal, se define como "... un
sistema lógico sin interpretación definida". Según Donovan (1986, pág
214), un lenguaje formal consta de un alfabeto, que es un conjunto de
palabras llamadas axiomas y un conjunto finito de relaciones llamadas
reglas de inferencia. Se hace uso de este tipo de lenguajes para obtener
modelos formalizados de .nociones intuitivas o informales. Los modelos
formales pueden ser abstraídos y estudiados matemáticamente y si el
modelo es adecuado para el problema que representa, los resultados
pueden explicar mucho del fenómeno que se estudia.
Como todo lenguaje, los sistemas formales tienen una sintaxis,
donde se establecen cuáles son las condiciones para construir palabras
válidas dentro de éste y una semántica, donde se asigna una
interpretación a los signos lingüísticos. Para definir formalmente a un
lenguaje es preciso cons iderar las siguientes definiciones:
Definición l. Un alfabeto es cualquier conjunto finito de símbolos. Una
sentencia sobre un alfabeto es cualquier cadena de longitud finita
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compuesta de símbolos del alfabeto (cadena o palabra son sinónimos de
sentenc ia). La cadena vacía λ es una cadena que carece de símbolos. Si
al alfabeto se le denota como V, entonces V* denota todas las posibles
sentencias sobre V incluyendo a la cadena vacía. De manera que V+
denota a V*- { λ }, es decir al conjunto de todas las cadenas no vacías.
Por último, un lenguaje L es un conjunto de sentencias sobre un alfabeto,
aunque debe aclararse que .los lenguajes no incluyen a todas las posibles
concatenaciones finitas de símbolos del alfabeto, ya que no todas tienen
un significado; por ello, L es un subconjunto de V* (toda concatenación
infinita ordenada) y se expresa como L ⊂ V*.
Por ejemplo, si se toma la sentencia u oración en castellano: "La planta
fotosintetiza eficie ntemente", donde: "La planta" es una frase nominal y
"fotosintetiza eficientemente" es una frase verbal; a su vez, la frase
nominal está compuesta por un artículo: "La" y un sustantivo: "planta"; y
la
frase
verbal
por
el
verbo
"fotosintetiza"
y
el
adverbio:
"eficientemente". Esta sentencia se forma mediante los siguientes pasos:
Paso 1: <oración>
Paso 2: <frase nominal><frase verbal>
Paso 3: <artículo><sustantivo><frase verbal>
Paso 4: <sustantivo><frase verbal>
Paso 5: La planta <frase verbal>
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Paso 6: La planta <verbo><adverbio>
Paso 7: La planta fotosintetiza <adverbio>
Paso 8: La planta fotosintetiza eficientemente
Donde el conjunto de palabras entre paréntesis angulares «» forma
parte de un lenguaje que se utiliza para hablar de otro lenguaje, es decir,
un metalenguaje y representa estados de transición para describir al
lenguaje objeto. Los símbolos utilizados en el metalenguaje pertenecen al
conjunto V
N
Y se conocen como símbolos no terminales, debido a que
aparecen sólo en pasos intermedios de la generación formal. En
contraparte, los símbolos terminales pertenecen a VT y son: "La",
"planta", "fotosintetiza" y "eficientemente". Otro elemento importante es
el símbolo inicial denotado como S, a partir del cual se derivan todas las
series del lenguaje. Retornando el mismo ejemplo, pero con reglas de
reescritura2,
la
misma
oración
partiendo
del
símbolo
inicial
"<sentencia>" se forma de acuerdo a la secuencia:
Paso 1: <sentencia>
→
<frase nominal><frase verbal>
Paso 2: <frase nominal>
→
<artículo><sustantivo>
Paso 3: <frase verbal>
→
<verbo> <adverbio>
Paso 4: <artículo>
→
La
Una regla de reescritura se expresa de la forma a → b, y se entiende como "a puede ser reescrita
como b" o "a puede ser sustituida por b". Forma conocida como BNF (Backus-Normal-Form).
2
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Paso 5: <sustantivo>
→
planta
Paso 6: <verbo>
→
fotosintetiza
Paso 7: <adverbio>
→
eficientemente
Estas reglas de reescritura o sustitución constituyen un algoritmo
para generar oraciones o cadenas de símbolos y el proceso de generación
consiste en aplicar estas reglas hasta que no puedan aplicarse nuevas
producciones3 , o la serie quede constituida por símbolos terminales. De
acuerdo con el ejemplo anterior, una gramática formal G se define de la
siguie nte manera.
Definición II. Una gramática G es una cuádrupla G = (VN, VT , P,
S) en donde:
1. VN es un conjunto finito de símbolos llamados variables o símbolos no
terminales.
VT es un conjunto finito de símbolos llamados terminal.
En el ejemplo anterior,
VN = {<oración>, <frase verbal>, <frase nominal>, <artículo>, <verbo>,
<sustantivo>, <adverbio>}
VT = {La, fotosintetiza, planta, eficientemente}
3
Una producción y una regla de reescritura son sinónimos de manera que a → b se lee como "a
produce a b".
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La unión de VN y VT constituyen el vocabulario total V de G y la
intersección de VN y VT da por resultado el conjunto vacío, representado
por el símbolo λ .
2. P es un conjunto finito de reglas de reescritura o producciones
denotadas como α → β (se lee: α genera a β ), donde. α y β son
cadenas de V, α pertenece a V+ y β pertenece a V*.
..
3. S pertenece a VN y es el símbolo inicial.
Definiendo algunos conceptos más, como el proceso para generar
una serie: Una serie η genera inmediatamente a una serie γ (se escribe
η ⇒ γ ) en una gramática G si y sólo siη = σατ , γ = σβτ , y α → β ∈ P
de G en la que σ y τ
4
representan series arbitrarias que pueden estar
vacías. Por ejemplo, sea G = (VN, VT , P, S), donde:
VN = {A, ∑ } ,
4
VT = {a,p} ,
S= { ∑ }
P= { ∑ → A
………(1)
A → aAb
……...(2)
A → ab
……...(3)
A estas letras (σ y τ ) también se les conoce como contexto. La expresión σατ , se entiende
como α en el contexto στ .
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Si se supone que η =aAb y γ =aabb. Entonces aAb ⇒ aabb es una
generación inmediata con σ =a, τ =b, a=A, β =ab y la producción
A → ab. Ahora, una serie η genera a una serie γ (se escribe η ⇒ γ ) en
una gramática G si y sólo si hay una secuencia de series ω 0 , ω 1, …, ω n
para n ≥ 0, de modo que η = ω 0 , γ = ω 1 y para todo 0 ≤ i ≤ (es decir,
(η = ω 0 ) ⇒ ω 1 ⇒ … ⇒ ω n-1 ⇒ ( ω n = γ )) con ω i ∈ (VN ∪ VT )*- λ para
todo i. La lista {ω i } es una prueba de λ en G.
Tomando en cuenta el ejemplo anterior, ∑ genera a aabb ya que
∑ ⇒ A ⇒ aAb ⇒ aabb.
Se debe aclarar que una forma sentencial es una serie que puede
ser derivada a partir del símbolo inicial S, mientras que una sentencia
sólo contiene símbolos terminales. En el ejemplo ∑ ⇒ A ⇒ aAb ⇒ aabb;
a, aAb y aabb son formas sentenciales, mientras que aabb es una
sentencia, lo que conduce a la siguiente definición.
Definición III. Si G = <VN,VT , P, S> es una gramática, al lenguaje
generado por G se le define como L(G) = {w | w está en V*T y S=>w}
Las producciones pueden tener distintas restricciones para llevarse
al cabo. Chomsky divide a las gramáticas en cuatro tipos, de acuerdo a
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las restricciones que se imponen a sus producciones, las cuales son:
Gramáticas de tipo 0; Gramáticas de tipo 1; Gramáticas de tipo 2 y
Gramáticas de tipo 3.
Gramáticas de tipo 0
En las gramáticas de tipo 0 o gramáticas no restringidas, no se
limitan sus producciones. Estas gramáticas también reciben el nombre de
lenguajes de tipo 0, y las series intermedias se pueden expandir o
contraer. Un ejemplo es la producción abA → aA, donde desaparece la b
en el contexto aA.
Gramáticas de tipo 1
A este tipo de gramáticas también se les da el nombre de
gramáticas sensitivas al contexto y las producciones se restringen de la
siguiente manera:
σατ → σβτ
donde α pertenece a VN, σ , τ , β , T, pertenecen a V*, y β ≠ . λ . Esto se
puede leer como "α puede ser remplazada por β en el contexto σ , τ ".
Esto implica que:
|σ α τ | ≤ | β σ τ |
ó
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|α | ≤ | β |
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es decir, las series no son contractivas, ya que la segunda serie formada
es de igualo mayor longitud que la primera serie. Estas gramáticas
también reciben el nombre de lenguajes de contexto sensitivo. Un
ejemplo de un lenguaje de contexto sensitivo es aAb → abb, donde σ =a,
τ =b, α =A y β =b.
Gramáticas de tipo 2
A estas gramáticas también se les llama de contexto libre y son de
la forma:
α →β
Donde a pertenece a VN Y β pertenece a V. Nótese que en una
producción de esta forma, α
puede ser remplazada por
β
independientemente del contexto en que se encuentre a, pero a diferencia
de las gramáticas de tipo 0, las series no se pueden expandir o contraer,
sino que conservan el mismo número de caracteres. Las gramáticas de
tipo 2 también son conocidas como lenguajes de contexto libre.
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La longitud, o tamaño de una serie es el número de símbolos que contiene esta. Por ejemplo, la
serie abb tiene longitud 3, es decir |aab| = 3 y | λ |=0.
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Gramáticas de tipo 3
También se les conoce como gramáticas regulares o de estado
finito, y son de la forma:
A → aB
o
A →b
donde A, B pertenecen a VN y a,b pertenecen a VT .En estas gramáticas
se admite como máximo un símbolo no terminal tanto en el primer como
en el segundo miembro de la producción, en el ejemplo A→ aB, A y B
son símbolos no terminales. Cuando sucede esto, se dice que la
producción es lineal. Si el símbolo no terminal ocurre siempre a la
derecha de todos los otros símbolos en el segundo miembro de una
producción, se llama producción lineal derecha. Si por el contrario, se
encuentra a la izquierda de los demás símbolos, se llama producción
lineal izquierda. Una gramática será lineal derecha o lineal izquierda si
todas
sus
producciones
son
lineales
derechas
o
izquierdas
respectivamente. Por último, un lenguaje se llama regular si puede ser
creado por una gramática lineal izquierda o derecha.
La forma de clasificar a las gramáticas se condensa en la Definición IV y
en la Figura l.
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Definición IV. Dada G = (VN, VT , P, S), una gramática. Si para cada
producción α → β en P, | α | ≤ β , entonces se dice que G es sensitiva al
contexto. Si para cada producción α → β en P, a es una variable simple
y |b| > 0, se dice que G es de contexto libre. Si cada producción en P es de
la forma A → aB o A → a, donde A y B son variables y a es un símbolo
terminal, entonces se dice que G es regular
Cada gramática presentada es un subconjunto de la anterior, ya que cada
nueva restricción incluye las que le preceden. Así, una gramática de
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tipo 3 es un subconjunto de las gramáticas de tipo 2; a su vez, las de tipo
2 son un subconjunto de las gramáticas de tipo 1 y estas son un conjunto
de las gramáticas tipo 0.
Las nociones de los sistemas Lindenmayer son casos especiales de las
nociones de lenguajes y familias de lenguajes en la teoría de lenguajes
formales, por lo que hay algunas diferencias entre ellos.
DIFERENCIAS ENTRE LENGUAJES FORMALES Y SISTEMAS
LINDENMA YER
En 1968, el biólogo húngaro, Aristid Lindenmayer, introdujo un tipo de
reglas de reescritura llamadas sistemas Lindenmayer (conocido también
como sistemas-L o L-systems, este último por su abreviación en inglés).
Este tipo de sistemas surgen como un modelo formal del crecimiento de
las plantas y sus esfuerzos iniciales se concentraron en la generación
automática de imágenes de plantas. A pesar de que estos sistemas se
basan en la teoría de .lenguajes formales, existen diferencias, por lo que
es importante entender que los sistemas Lindenmayer y los lenguajes
formales no son lo mismo. Las diferencias son:
1. En los lenguajes formales se hace una clara distinción entre los
símbolos terminales y no terminales. En los sistemas Lindenmayer no
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existen símbolos terminales, ya que las estructuras representadas: hojas,
tallos o flores, están en constante transformación y no existe un órgano
terminal. Por ejemplo, una hoja se transforma durante el crecimiento de
la planta: cambia de forma, aumenta de tamaño, toma otro color o se
marchita, pero no existe una forma terminal, en todo caso, la forma
terminal es el conjunto vacío; por ejemplo, cuando una hoja se marchita y
cae.
2. Debido al primer punto, los sistemas Lindenmayer no consideran
símbolos terminales en la definición de su alfabeto, V.
3. Otra diferencia fundamental es el modo en que se aplican las
producciones, ya que en los lenguajes formales las sustituciones se hacen
secuencialmente, mientras que en los sistemas Lindenmayer se aplican en
paralelo.
Por ejemplo, para la siguiente gramática:
V= {A,B, Σ ,a,b},
S= {Σ }
P= { Σ → AB
(1)
A → aBb
(2)
B → b}
(3)
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En los lenguajes formales, la producción se llevaría a cabo como:
Σ => AB=>aB bb=>aBbb=>abbb
Mientras que en los sistemas Lindenmayer, la producción se llevaría a
cabo como:
Σ =>AB=>aBbb=>abbb
Sin embargo, se ha visto que no hay ningún problema en generar
el lenguaje de manera secuencial y después hacer el análisis e
interpretación de las cadenas generadas.
TIPOS DE SISTEMAS LINDENMAYER
Un sistema o modelo de desarrollo tiene un alfabeto y un
conjunto de producciones que son aplicadas en paralelo a todos los
símbolos de la cadena para formar la siguiente cadena en la secuencia de
desarrollo. Al alfabeto y las producciones se les conoce como el esquema
de desarrollo. Además, este sistema especifica uno o más símbolos
iniciales, llamados axiomas. Una secuencia de desarrollo es una serie de
cadenas ϖ
0, ϖ 1, ϖ 2 …
y para toda i, ϖ
i+1 se
de símbolos del alfabeto tal que ϖ 0 es el axioma,
obtiene de aplicar las producciones en parale lo a
todos los símbolos de ϖ i.
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Los sistemas Lindenmayer pueden representar los diferentes estadíos por
los que pasa un organismo vegetal. Para ello se sigue una secuencia de
desarrollo utilizando reglas de producción, las que utilizan un alfabeto de
símbolos; que a su vez representan estructuras del organismo a modelar y
estas producciones, dependiendo de sus características, pertenecen a un
tipo diferente de L-system como se describe a continuación.
Sistemas 0L
Los sistemas-0L son el conjunto más simple de los sistemas
Lindenmayer, los de contexto libre (para abreviar, sistemas-0L, donde el
cero significa "cero interacciones"). Prusinkiewicz y Hanan (1989, p. 39),
explican que este tipo de sistemas-L imitan un desarrollo unidimensional,
como el de un organismo filamentoso, donde la descendencia se da por
linajes celulares y es independiente de otros factores como las
condiciones de las células vecinas o el clima.
Definición V. Un esquema 0L, se representa por G = <V,P, ω >, donde V
(el alfabeto de G) es un conjunto finito no vacío y P el conjunto de
producciones de P es un subconjunto no vacío de VxV*, tal que: ( ∀α )V
( ∃β )V*( < α , β >) ∈ P; y ω es la cadena inicial o axioma. Donde
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de acuerdo a las convenciones usuales de la teoría de lenguajes formales,
una producción < α , β > de P se puede escribir como α → β , y α → β
p
representa la transformación del estado α de la cadena al estado β .
Por ejemplo, suponiendo que:
V={a, b, c, λ }, ω ={a}
P={a → b
…….(1)
a → bc
…….(2)
a →λ}
…….(3)
a y b representan dos tipos de células:
respectivamente. Donde la célula a se puede trasformar en una célula tipo
b, puede duplicarse en células tipo b y c, o simplemente puede
desaparecer. La aplicació n de las diferentes reglas de producción se
esquematiza en la Figura 2.
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Sistemas 0L determinísticos (sistemas-D0L)
Los sistemas-0L se pueden dividir en diferentes clases sin perder la
característica de que imitan el desarrollo por linajes celulares.
Lindenmayer y Jürgensen (1992, pp 6-7), determinan que, si dada una
cadena α , esta tiene reglas de transición sencillas donde un símbolo de la
cadena produce un paso de derivación único, entonces ésta pertenece a
los sistemas llamados sistemas-0L determinísticos o sistemas-D0L.
El siguiente ejemplo modela el desarrollo de la bacteria verdeazul Anabaena catenula, donde: V={a, b}, ω ={b} y
→
←→
P={ a → a b ………….(1)
→
→
b→a
…………(2)
← ←
→a → b a
…………(3)
← ←
b → a { 4)
…………(4)
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las flechas arriba de a y b representan polaridad de la célula. De manera
que la secuencia de desarrollo es la siguiente:
Al comparar este modelo con el de la Figura 2 (sistemas 0L), la
célula a tiene tres reglas diferentes de producción, mientras que en este
ejemplo, la célula a con cierta polaridad tiene solo una regla de
producción. Esta es la característica que hace la diferencia entre los
sistemas-0L y los sistemas-D0L.
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Sistemas T0L
Para modelar el desarrollo de plantas cuyo crecimiento depende
de factores climáticos se utilizan diferentes conjuntos de reglas de
producción correspondientes a diferentes condiciones ambientales. Las
reglas de producción con estas características formal1 los sistemas- T0L
(Donde la T hace referencia a las tablas de decisión que se utilizan), otra
clase de sistemas-0L.
Definición VI. Un esquema T0L está definido por G = <V, P, ω >, donde
V (el alfabeto de G) es un conjunto finito no vacío y P es un
conjunto no vacío de tablas de G. Donde cada elemento P de P (llamado
una tabla) es un subconjunto no vacío de VxV*, tal que
( ∀α )V ( ∃β )V*( < α , β >) ∈ P
y ω es la cadena inicial o axioma. Donde una producción < α , β > de P se
puede escribir como α → β , y α → β representa la transformación del
p
estado α de la cadena al estado β .
Herman (1975, p. 112) explica que los sistemas T0L constan de
un alfabeto V, un conjunto finito de tablas de decisión P, compuestas a su
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vez, por un conjunto finito de reglas de producción P y un símbolo inicial
o axioma ω . Dentro de la secuencia de derivación se puede cambiar de
una tabla a otra. En el caso de las plantas que cambian de un crecimiento
vegetativo a la floración dependiendo de las horas luz, como en la
Nochebuena, (Euphorbia pulchérrima), se pueden utilizar tablas como se
muestra en la Figura 4.
Donde a, y A son ápices, H es una hoja, 1 es un internodo y F es
la flor. En este caso se utilizaría la primera tabla, mientras las horas luz
no fueran las requeridas para que la planta dé flores, ya que el ápice a se
transforma en una parte vegetativa I[H]a; en caso contrario, la planta
daría flores y se utilizaría la segunda tabla donde el ápice A de la parte
vegetativa I[H]A se transforma en una flor, F. Prusinkiewicz y Hanan
(1990, p. 66), previenen que el uso de este tipo de sistemas- L es sólo una
solución parcial al modelar plantas cuyo crecimiento está inf1uenciado
por las condiciones ambientales; además es necesario elegir una tabla
adecuada.
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Sistemas-0L estocásticos.
Se dice que un sistema 0L es estocástico si las reglas de
producción tienen una cierta probabilidad de que sucedan. Prusinkiewicz
(1989, p. 60), los define como una cuádrupla {V, ω , P, π }, donde V es
el vocabulario o alfabeto, ω el axioma, P el conjunto de producciones, y
π es la distribución de probabilidad, es decir, la probabilidad de que una
producción se lleve a cabo. Supongamos que las flores de cierta planta
puedan ser rojas, moradas y blancas, y la probabilidad de que sea de un
color dado es de 1/3.
Entonces
V={B, Fb, Fr, Fm } ,
ω ={B}
Donde B es un botón, Fb son flores blancas, Fr son flores rojas y
Fm son flores moradas. Cada producción puede ser seleccionada con la
misma probabilidad de 0.33.
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Sistemas-IL
Este tipo de sistemas-L modela las plantas que responden a
interacciones celulares, y sistemas-IL significa "sistemas-L de contexto
sensitivo". Prusinkiewicz explica que las producciones son de la forma
δ < α > γ → β , donde la letra α puede producir β si y sólo si α es
precedido por δ y seguido por γ . Las letras δ y γ forman el contexto
izquierdo y derecho de α en esta producción.
Los sistemas-IL se dividen en los sistemas-2L y en los sistemaslL. Los sistemas-2L tienen dos contextos, uno izquierdo y uno derecho.
Los sistemas- lL, como su nombre lo indica, tienen un solo contexto, que
puede ser de la forma δ < α → β ó α > γ → β .
Un ejemplo de cómo se aplican estos sistemas es la difusión de
una hormona a lo largo de células filamentosas.
Supongamos que ,
V={a,b}, ω ={baaaaaaa}
P={b<a → b}
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Donde ω es el estado inicial del filamento, a es una célula con
una concentración baja de hormona y b es una célula con una
concentración excedente. El proceso de difusión se dará de la siguiente
manera:
baaaaaaa
bbaaaaaa
bbbaaaaa
bbbbaaaa
…
Sistemas 0L y IL paramétricos
Estos sistemas operan sobre palabras parametrizadas6, las cuales
son cadenas de letras con parámetros asociados. Las letras A pertenecen a
un alfabeto V y los parámetros al, a2, ..., an, al conjunto de los números
reales R. De manera que a todas las cadenas de letras A y a los
parámetros al, a2, ..., an, se les definen, en conjunto, como una cuádrupla
{V, Σ , ω , P} donde V es el vocabulario, Σ es el conjunto de parámetros
formales (números reales R), ω es el axioma y P es el conjunto de
producciones (Prusinkiewicz y Hanan,' 1990, p. 185; Prusinkiewicz y
Lindenrnayer, 1990, pp. 41-42). En estos sistemas, los
6
El término letras parametrizadas se refiere a que cada letra del vocabulario utilizado (V) se
acompaña de un elemento que la caracteriza, en este caso un número
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símbolos ":" y " → " sirven para separar los tres componentes de una
producción: el predecesor, la condición y el sucesor
Esta producción se entiende así: "A se rescribirá como B si n es
mayor de 5". Una producción se puede aplicar cuando:
1. La letra en la cadena que se está derivando y en el predecesor de la
producción es la misma.
2. El número de parámetros formales en la cadena es igual al número de
parámetros formales en la producción predecesora y
3. La condición evaluada es "verdadera" en el valor de los parámetros
actuales.
Este tipo de sistemas se puede dar también en los sistemas-IL. Un
ejemplo es el desarrollo de Anabaena catenula. Esta bacteria verde-azul
forma un filamento sin ramificaciones con dos tipos de células:
vegetativas y heterocistos. Comúnmente, las células vegetativas se
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dividen y producen dos células vegetativas hijas, pero en algunos casos
las células se diferencian en heterocistos. La forma en que se distribuyen
es un número relativamente constante de células separadas por
heterocistos y la distribución de estos últimos está regulada por
compuestos de nitrógeno generados por los heterocistos, transportados de
célula a célula por el filamento hasta que decrece en las células
vegetativas. Cuando la concentración de estos compuestos nitrogenados
llega a un nivel específico en las células vegetativas, éstas se diferencian
en heterocistos.
Para hacer el modelo, las células son representadas mediante
módulos F(s,t,c) donde s es la longitud o tamaño de la célula, la cual
puede llegar al umbral en que se diferencia en heterocisto (3.9); t es el
tipo de célula (O-heterocisto, 1 y 2 células vegetativas); y c representa la
concentración de compuestos de nitrógeno, la cual puede ser alta (900), o
estar en el umbral (0.4) para que la célula se diferencie en un heterocisto.
Las reglas de producción quedan como sigue:
ω : F(0,0,900) F(4,1,900) F(0,0,900)
Axioma
P1 : F(s,t,c): t=1 y s ≥ 6 → F(2/3 s, 2, c) F(1/3 s, 1,c)
P2: F(s,t,c): t=2 y s ≥ 6 → F(1/3 s, 2, c) F(1/3 s, 1,c)
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P3: F(h,i,k)<F(s,t,c)>F(o,p,r): s>3.9 ó c>0.4 → F(s+0.l, t, c+(0.25*(k+r(3*c))))
P4: F(h,i,k)<F(s,t,c)F(o,p,r): s ≤ 3.9 ó c ≤ 0.4 → F(0,0.900)
IL paramétrico
P5:F(h,i,k)<F(0,0,900)>F(o,p,r,) → H(l )
P6: H(s): s<3 → H(s*l.l)
D0L
0L paramétrico
Las dos primeras producciones describen la división de células
vegetativas tipo 1 y 2.
La producción 1, define que si una célula es tipo 1 y su longitud es
mayor o igual a 6, entonces' se convertirá en dos células:
a) Una de tipo 2, con longitud 2/3 de la que tenía originalmente y
la misma concentración, y
b) Otra de tipo 1, a un tercio del tamaño original y con la misma
concentración.
La producción 2, indica que si una célula de tipo 2 tiene tamaño mayor o
igual a 6, entonces se convertirá en dos células:
a) Una de tipo 2, con un tercio del tamaño original y la misma
concentración.
b) otra de tipo 1, con 2/3 del tama ño original y la misma concentración.
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Luis L. Landois Palencia
La producción 3, muestra el proceso de transportación y decremento de
los compuestos de nitrógeno, donde si existe una célula con tamaño
mayor de 3.9 o concentración mayor de 0.4, que además se encuentre
entre dos células, ésta se convertirá en una célula del mismo tipo, con
tamaño igual al que tenía más 0.1, y su concentración será igual a la suma
de las concentraciones de las dos células vecinas inmediatas, menos 3
veces la concentración de la célula en cuestió n. Esto se multiplica por
0.25 y al resultado se le suma la concentración que tenía originalmente la
célula.
La producción 4, describe la diferenciación de una célula vegetativa a un
heterocisto, que se convierte como tal en P5 . La producción 4 dice que si
existe una célula con tamaño menor o igual a 3.9 o concentración menor
o igual a 0.4 y que además se encuentre en medio de dos células,
entonces se diferenciará en una célula de tipo O, con tamaño O y
concentración de 900.
En la producción 5, las células tipo O, tamaño O y concentración 900 se
convierte en un heterocisto (H( 1 )), siempre y cuando se encuentre entre
dos células.
La producción 6, describe el desarrollo del heterocisto, ya que cada vez
que se encuentra uno de ellos crecerá a una tasa del 0.1 %.
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La aplicación de esta gramática se muestra, de manera grafica y
abreviada en la Figura 5. Donde las células vegetativas son los cuadros de
diferente tamaño y su color varia según la concentración de compuestos
nitrogenados y los heterocistos son las células que aparecen como
círculos.
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Luis L. Landois Palencia
Analizando la Figura 5 con mayor detenimiento, para entender como se
llega a la representación grafica, mediante las seis reglas de producción,
se tiene:
La célula inicial, señalada por el inciso a), es el axioma o punto del
cual se parte:
F(0,0,900) F(4,1,900) F(0,0,900)
donde la única célula visible es la de en medio, ya que las otras dos tienen
longitud cero. De las seis reglas de producción que rigen su crecimiento,
la única que se puede aplicar es la tercera (P3 ), ya que la célula de en
medio (F(4,1,900)) cumple con las condiciones de ser una célula con
tamaño mayor de 3.9 y concentración mayor de 0.4. La primera
aplicación de la regla P3 genera:
F(0.0.900) F(4.1.900) F(0.0.900)
F(0,0,900) F(4.1,1,675.00) F(0,0,900)
Si se sigue aplicando la regla 3 consecutivamente, la secuencia
generada seria:
F(0,0,900) F(4.1, 1, 675.00) F(0,0,900)
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F(0.0.900) F(4.2.1.61 R_751 F(0.0.900)
F(0.0.900) F(4.3.1.604.68) F(0.0,900)
F(0,0,900) F(4.4,1,601.17) F(0,0,900)
F(0,0,900) F(4.5,1,600.29) F(0,0,900)
(Producción 3 aplicada 16 veces mas)
F(0,0,900) F(6,1,600.00) F(0,0,900)
Al llegar a este paso, ya se puede aplicar la producción 2 porque
la célula de en medio es de tipo 1 y de longitud igual a 6, por lo que:
F(0,0,900) F(6,1,600.00) F(0,0,900)
F(0,0,900) F(4,2,600.00) F(2,1,600.00) F(0,0,900)
que resulta ser el inciso b). 'Partiendo ahora del inciso b), las
subsecuentes figuras que aparecen y las reglas de producción aplicadas
son las siguientes:
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Inciso
F(0,0,900) F(4,2,600.00) F(2,1,600.00) F(0,0,900)
b)
21 veces P3 y una vez P2
F(0,0,900) F(2,2,450) F(4,1,450) F(4,1,450) F(0,0,900)
c)
21 veces P3 y una vez P1
F(0,0,900) F(4,2,385) F(4,2,257) F(2,1,257) F(4,2,385)
F(2,1,385) F(0,0,900 )
d)
21 veces P3 y una vez P2
F(0,0,900) F(2,2,385) F(4,1,385) F(2,2,257) F(4,1,257)
F(4,1,257) F(2,2,385) F(4,1,385) F(4,1,385) F(0,0,900)
e)
21 veces P3 y una vez P2
F(0,0,900) F(4,2,344) F(4,2,132) F(2,1,132) F(4,2,53)
F(4,2,26) F(2,1,26) F(4,2,26) F(2,1,26) F(4,2,53) F(4,2,132)
F(2,1,132) F(4,2,344) F(2 ,1 ,3 44 ) F ( 0 , 0 , 9 0 0 )
f)
21 veces P3 y una vez P2
F(0,0,900) F(2,2,343) F(4,1,343) F(2,2,131) F(4,1,131)
F(4,1,50) F(2,2,19) F(4,1,19) F(2,2,7) F(4,1,7) F(4,1,3) F(2,2,2)
F(4,1,2) F(4,1,3) F(2.2.7) F(4,1,7) F(2,2,19) F(4,1,19)
F(4,1,50) F(2,2,31) F(4,1,31 )
F(4,1,343) F(0,0,900 )
21 veces P3 , una vez P2 , 10 veces
P3 ,una vez P4 y una vez PS
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F(0,0,900) F(3,2,345) F(5,1,133) F(3,2,53) F(5,1,22) F(5,1,10) F(3,2,5)
F(5,1,2) F(3,2,1.5) F(5,1,0.8) F(5,I,0.5) H(I) F(5,I,0.4) F(5,1,0.4)
F(3,2,0.7) F(5,1,1.3) F(3,2,2.9) F(5,1,7.3) F(5,1,18,9) F(3,2,49)
F(5,1,130) F(5,1,343) F(0,0,900)
h)
En esta última producción, el H(l) denota el heterocisto que se
forma y se nota en la Figura 5. Los incisos i), j) Y k), son muy extensos
para anotarlos en este espacio.
LENGUAJES LINDENMA YER Y LENGUAJES CHOMSKY
La Figura 6 muestra la relación entre los tipos de lenguaje de
Chomsky y los lenguajes generados por los Sistemas-L. Donde los
símbolos OL e IL denotan sistemas-L de contexto libre y sensitivo al
contexto, respectivamente. Se puede apreciar en esta Figura que hay
lenguajes que se pueden generar por un sistema OL (de contexto libre),
pero no por una gramática de contexto libre de Chomsky.
Antes de concluir esta sección, es conveniente aclarar que .los
modelos que se generan a través de los Sistemas Lindenmayer se
obtienen a partir de nociones intuitivas o informales, las. cuales se
abstraen para su tratamiento matemático. De aquí que algunos autores
85
Armando Cervantes Sandoval, Yolanda Rodríguez Pagaza
Luis L. Landois Palencia
los consideren una forma de juego y le resten seriedad a este tipo de enfoque.
Sin embargo, hasta el momento han mostrado su utilidad como una
herramienta mas, en el estudio de fenómenos naturales, de ahí que se sigan
estudiando y aplicando a la solución de problemas reales.
Figura 6. Relación entre los lenguajes Chomsky y los lenguajes de SistemasL (Prusinkiewicz and Lindenmayer, 1990; p. 3).
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PATRONES DE DESARROLLO EN VEGETALES I
Las plantas poseen diferentes caracteres morfológicos, tales como
su forma de ramificación, la disposición de las hojas en el tallo y
determinadas estructuras de reproducción. Estos caracteres le dan forma
definida a un organismo y varían, dependiendo de la etapa de desarrollo
en que se encuentre. De manera que a la forma en general que adquiere
una planta en cierta etapa de su desarrollo se le llama forma arquitectural
y a su vez, a las formas arquitecturales por las que pasa a lo largo de su
vida se les llama patrón de desarrollo.
Si se conocen los factores que afectan el crecimiento de la planta,
se puede crear un modelo que incluya como variables los factores
genéticos, anatómicos y ambientales de los cuales depende la forma que
tome en su desarrollo. Este modelo sería una herramienta de gran utilidad
en el estudio de las plantas, ya que, además de comprobar si realmente
una planta sigue un determinado patrón de crecimiento en diferentes
circunstancias (en diversos climas, por ejemplo), lo cual ayudaría al
taxónomo, también le permitiría a otros profesionistas, como el
agrónomo, predecir el desarrollo de la planta dependiendo de los
fertilizantes o tipos de suelo; o al biólogo y al botánico predecir el
desarrollo de una planta en función de la competencia, la simbiosis y la
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Armando Cervantes Sandoval, Yolanda Rodríguez Pagaza
Luis L. Landois Palencia
acción de ciertas fitohornlonas; y al paleontólogo, extrapolando el
desarrollo a plantas ya extintas apoyándose en el registro fósil. Esta
herramienta ahorraría tiempo y dinero al simular en una computadora el
desarrollo de una planta.
PATRONES DE CRECIMIENTO EN LAS PLANTAS
Para modelar la forma arquitectural que tiene un organismo
vegetal, es necesario establecer si el organismo completo posee un patrón
de desarrollo, o en alguno de sus órganos, como puede ser en las hojas,
flores o ramas.
Existen muchos caracteres morfológicos. Dentro de los más
comunes, conspicuos y predecibles se encuentran la disposición foliar o
filotaxia, la ramificación, la floración y la fructificación, por lo que se
revisan, en esta sección, sus formas y diferentes clasificaciones.
Disposición foliar o filotaxia
La filotaxia o el patrón de disposición foliar de la planta es la
secuencia en que se originan las hojas en el tallo, así como su disposición
a lo largo de los ejes de crecimiento. La filotaxia de una
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planta es usualmente constante. De hecho, la filotaxia se utiliza como un
carácter importante cuando se determina a una planta y una filotaxia
particular caracteriza a un género de plantas, o a un grupo de éstas. Por
ejemplo, en las monocotiledóneas, generalmente se presenta una hoja por
nodo, mientras que en las dicotiledóneas se presenta más de una. La
posición de las hojas en una planta afecta la intercepción de luz y además,
fija la posición de los subsecuentes botones axilares, por lo que la
filotaxia puede determinar los patrones de ramificación, sobre todo en
plantas perennes. La filotaxia es uno de los patrones de crecimiento que
se pueden predecir en una, planta, de allí que pueda diseñarse un modelo
que la represente a lo largo del crecimiento de una planta.
Las filotaxias se clasifican generalmente en tres grupos 7 :
l. Una hoja por nodo (alternas). Existen varios tipos de arreglo de estas
hojas en el tallo:
Monósticas. La hoja se desarrolla siempre del mismo lado del
tallo, por lo que visto desde arriba forma una fila (Fig. 7).
7
La mayor part e de los autores (Greulanch y Adams, 1990:425 y .Joncs. 1988:222) clasifican a las filotaxias
en a) Alternas, con una hoja por nodo; b) Opuestas. con dos hojas por nodo; y c) Verticiladas, con tres o más
hojas por nodo. En este trabajo se reporta la clasificación utilizada por Bell, quien las clasifica en función de
las hojas por nodo. Aunque es básicamente la misma clasificación, este autor es más explícito en los tipos de
hojas alternas que existen. (Bell. 1991 :218-220).
89
Armando Cervantes Sandoval, Yolanda Rodríguez Pagaza
Luis L. Landois Palencia
Dí sticas. Las hojas forman dos filas en el tallo vistas desde arriba y el
ángulo entre hojas consecutivas es de 180°(Fig. 7).
Trísticas. Las hojas forman tres filas en el tallo vistas desde arriba y el
ángulo entre hojas consecutivas es de 120° (Fig. 7).
Espirales. Se dice que son espirales si vistas desde arriba forman mas
de tres filas. A las filas que forman también se les conoce como
ort ósticos.
II.
Dos hojas por nodo (opuestas). En este patrón, las hojas forman cuatro
ortósticos, y un par de hojas guarda un ángulo de 90° con el subsecuente par
de hojas (Fig. 7).
III.
Tres o mas hojas por nodo. También reciben el nombre de verticiladas
(Fig. 7).
Figura 7. Ejemplos de disposición foliar en ramas.
a) monósticas. b) Dísticas c) Tr ísticas. d) Opuestas. e) Verticiladas.
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Cuando la filotaxia es de tipo espiral (una hoja por nodo) se puede
designar como un quebrado. Para determinar el tipo de filotaxia que sigue
una planta se cuentan las hojas que hay que recorrer alrededor de este
para dar un numero de vueltas exacto, es decir, hasta encontrar otra hoja
paralela y en la misma posición que la hoja de la que se esta partiendo. Si
por ejemplo, se necesitan dos hojas para dar una vuelta completa, la
filotaxia se representa como 1/2, que es el caso de las hojas alternas
dísticas (Figura 7); si se necesitan 13 hojas para dar cinco vueltas
completas, se designa como 5/13, donde:
Vueltas alrededor d e l
5/13
Hojas
(o
nodos)
necesarios.
De manera semejante, el ángulo entre dos hojas adyacentes se
determina de la siguiente manera:
Filotaxia re presentada en un quebrado
Angulo entre hojas adyacentes
Respecto a la filotaxia, Bell (1990:220-223), Greulach y Adams
(1990:425) y Prusinkiewicz y Hanan (1989:26), explican que existe un
número determinado de filotaxias de acuerdo a la serie:
1/ 1/ 2/ 3/ 5/
8
2, 3 , 5 , 8 , 13 , /21
91
, 13 /34 ...
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Luis L. Landois Palencia
8
donde, tanto numerador como denominador siguen la serie de Fibonacci , en
la cual el numero siguiente es la suma de los dos anteriores (Por ejemplo
donde, tanto numerador como denominador siguen la serie de
Fibonacci8 , en la cual el numero siguiente es la suma de los dos
anteriores (Por ejemplo 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, etc.). Estas series
pueden seguir indefinidamente, pero los ángulos formados hasta ahora se
acercan sin sobrepasar los 137° 30' 28". Una hipótesis sostiene que si el
ángulo entre hojas fuera exactamente de 137° 30' 28", ninguna hoja se
superpondría, captando mejor la luz del sol.
La filotaxia no siempre es tan clara y predecible, ya que puede
cambiar en algunas plantas debido a factores ambientales. Además, se
pueden presentar dos o mas filotaxias en la misma planta, siendo
confuso el arreglo de hojas en la porción de tallo que queda entre las dos
series filotácticas.
Hasta aquí se ha visto que la filotaxia es un patrón de crecimiento
que siguen las hojas alrededor del tallo en las plantas.
8
La serie de Fibonacci (llamada así por el apodo de Filius Bonacci de Leonardo de Pisa, quien la descubri6 en
1202) es una sucesi6n de números donde, cada numero nuevo se origina de los dos anteriores. Además de la
botánica, a esta serie de n6meros también se le halla en otras áreas como matemáticas, biología y m6sica.
(Para mas informaci6n de esta serie, su historia, y su relaci6n con otras áreas, consulte a Newman y Boles,
1992:168-195 )
92
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Al igual que las hojas, las ramas alrededor del tronco en las plantas
siguen un patrón que puede ser predecible y constante, como se vera en el
apartado siguiente
Ramificación
La
ramificación
también
tiene
patrones
característicos.
Generalmente se le clasifica en tres grupos:
I. Dicotómica. Cuando el tallo se bifurca en dos ramas mas o menos
iguales (Fig. 8, a y b), las cuales siguen creciendo y se pueden dividir a su
vez en dos. Cuando una de las ramas es abortada o forma una estructura
temporal como una inflorescencia se llama pseudodicotomia (Fig. 8, c y
d).
II. Monopodial. Existe un eje principal y ejes laterales reducidos o
ausentes (Fig. 8.a). Si las ramas laterales quedan subordinadas al
crecimiento del eje principal, hablamos de monopodios, como en el abeto
(Abies). Si los brotes laterales siguen ramificándose, se les puede
denominar brotes laterales de primer, segundo y tercer grado.
III. Simpodial. No existe un eje principal, en cambio, existen varias ramas
laterales semejantes (Fig. 8.b). A veces el eje principal se atrasa en su
crecimiento o incluso cesa.
93
Armando Cervantes Sandoval, Yolanda Rodríguez Pagaza
Luis L. Landois Palencia
a) Dicotomía sin reflejo en el espejo. b) Dicotomía con reflejo en el espejo En estas dos dicotomías,
ambas ramas provienen de ápices principales. c) Pseudodicotomía. Se trata de un crecimiento simpOdico.
Nbtese que el spice principal se encuentra en medio de las dos ramas bifurcadas. las cuales provienen de un
Spice axilar. d) Pseudodicotomia debida a un desarrollo precoz do la rama. Notese que Ia rama izquierda
proviene de un spice axilar mientras la rama derecha proviene de un spice principal.
Hallé y Oldeman1 , además de usar la clasificación de falsa y verdadera
dicotomía, menciona 23 modelos diferentes para árboles, los cuales se
reportan en el Cuadro 1. Esta clasificación se puede utilizar también
en plantar herbáceas, según lo afirma Bell (1991, p. 288).
Estos modelos de ramificación consideran cinco características
diferentes:
1
Citados por Bell, 1991: 288
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1. Tronco. Este puede ser monopodial o simpodial. Bell usa las palabras
"monopodial" y "simpodial" con un concepto distinto al visto
anteriormente. Para el, un tronco monopodial es aquel que se desarrolla
de yemas apicales; mientras que un tronco simpodial se desarrolla de
yemas axilares (Figura 9 a y b). El tipo de tronco puede ser determinado
(con flor terminal) o indeterminado (sin flor).
2. Crecimiento del tronco. Este puede ser rítmico (con periodos de
crecimiento y periodos de dormancia) o continuo (siempre en
crecimiento).
3. Ramas con crecimiento plagiotrópico (en dirección vertical) u
ortotrópico (en dirección horizontal).
4. Ramas simpodiales y unidades simpodiales.
5. Floración. Puede ser lateral o terminal.
95
Armando Cervantes Sandoval, Yolanda Rodríguez Pagaza
Luis L. Landois Palencia
Figura 9. Ejemplo de crecimiento monopodial y simpodial
a) Crecimiento monopodial. b) Crecimiento simpodial.
Aunque estos tipos de ramificación fueron propuestos para los
árboles, Bell explica que también se pueden encontrar en arbustos y
plantas herbáceas.
El Cuadro 1 es una muestra de que existen patrones de crecimiento
en árboles, que pueden ser clasificados y predichos en cuanto a la forma
que puede adquirir un árbol en su crecimiento. Otras partes que están
clasificadas y que se reconocen como un patrón de crecimiento son los
tipos de flores.
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Cuadro 1. Clasificación de los tipos de ramificación.
MODELO
Hulttun
Corner
Cook
Attims
Rauh
Roux
Massart
Petit
Fagerlind
DESCRIPCION
EJEMPLO
Tronco monopodial,
determinado y con inflorescencia
terminal. Ramas que acompañan
a la inflorescencia.
Tronco monopodial,
indeterminado y con
inflorescencias laterales. Sin
ramas, excepto las que
acompaflan a la inflorescencia.
Tronco monopodial e
indeterminado, crecimiento
continuo. Algunas ramas
temporales.
Tronco monopodial con
crecimiento continuo. Ramas
monopodiales y ortotropicas.
Coryphautan
Tronco monopodial con
crecimiento rítmico. Ramas
monopodiales y ortotropicas.
Cecropia
Tronco monopodial con
crecimiento continuo. Ramas
monopodiales y plagiotropicas
Laetia
Tronco monopodial con
crecimiento rítmico. Ramas
Alisma
Tronco monopodial con
crecimiento continuo. Ramas
compuestas de unidades
simpodiales determinadas.
Tronco monopodial con
Crecimiento rítmico. Ramas
compuestas por unidades
simpodiales determinadas
Bulbosty/is
vestita
Phyllanthus
grandifolius
Ficus pumila
obtusa
procera
plantagoaquatica
Piper sp.
Paulownia
tomentosa
97
Armando Cervantes Sandoval, Yolanda Rodríguez Pagaza
Luis L. Landois Palencia
Aubreville
Stone
Scarrone
Troll
Troll
Tronco monopodial con
crecimiento rítmico. Ramas
plagiotrópicas compuestas de
unidades simpodiales
indeterminadas
Tronco monopodial con
crecimiento continuo. Ramas
ortotr6picas simpodiales
Tronco monopodial con
crecimiento continuo. Ramas
ortotr6picas simpodiales
Terminalia
Tronco monopodial,
plagiotrbpico, reorientado en
posici6n vertical por un
cambio
de actividad. Ramas
plagiotr6picas
Tronco simpodial,
plagiotrbpico,
reorientado en posici6n
vertical.
Ramas plagiotropicas
Prunus sp.
catappa
Rhipsalis
bambusoides
Phellodendron
chinense
Platanus
hispanica
Continuacion Cuadro 1. Clasificación de los tipos de ramificación.
MODELO
DESCRIPCION
EJEMPLO
Mangenot
Tronco simpodial y ortotr6fico. La
porci6n distal de cada unidad
simpodial del tronco se desarrolla
lateralmente como una rama
plagiotr6pica.
Tronco simpodial ortotr6fico. La
parte distal de cada unidad simpodial
se desarrolla de lado cuando crece
cayendo por su propio peso.
Secuencia de ramas simpodiales en
las que la parte proximal de cada
unidad simpodial determinada es
plagiotr6pica y la parte distal forma
un tronco ortotrófico. El tronco
soporta ramas determinadas,
Strychnos
sp.
Champagnat
McClure
98
Salix
babylonica
Bambusa
arundinacea
ESQUEMA
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Tomlinson
Secuencia de ramas simpodiales
donde cada unidad simpodial nace
en la parte proximal de la unidad
previa. Las unidades simpodiales son
determinadas o indeterminadas.
Chamberlain Tronco simpodial. Cada unidad
simpodial soporta una unidad similar
justo en su parte terminal. Sin ramas.
Leeuwenberg Secuencia de ramas simpodiales.
Cada unidad simpodial soporta solo
una unidad similar en su parte final.
Schoute
Verdadera dicotomia en el spice a
intervalos. Floración lateral
Koriba
Prevost
Nozeran
Tronco simpodial. Cada unidad
simpodial de tronco soporta más de
una rama lateralmente extendida en
su parte final. Una de estas ramas es
secundariamente reorientada en
posición vertical para recibir la
siguiente unidad del tronco.
Tronco simpodial. Cada unidad
simpodial soporta más de una rama
en su extremo distal. Una de estas
ramas es retardada en su extensión y
crece verticalmente para soportar la
siguiente unidad del tronco. las otras
ramas son ortotrepicas inicialmente
pero se convierten en plagiotropicas
por aposición o substitución.
Tronco simpodial, cada unidad
simpodial soporta una o más ramas
en su parte distal. Una de estas ramas
es retrasada en su extensión y crece
verticalmente para recibir la
siguiente unidad del tronco. Las
otras ramas son plagiotrepicas
conservando este carácter incluso si
son cortadas.
99
A/pin/a speciosa
Epiphyllwn sp
Euphorb ia
punicea
Hyphaene
thebaica
Alstonia
ntacrophyl/a
Cyphomandra
betacea
Geissosperniuni
serviceuni
Armando Cervantes Sandoval, Yolanda Rodríguez Pagaza
Luis L. Landois Palencia
Flores y frutos
Los órganos reproductivos de las plantas también muestran
patrones, sobre todo la inflorescencia. El termino inflorescencia, se
refiere al arreglo de las flores en la planta (Jones, 1988, p. 251). Una
Inflorescencia determinada es aquella en la que la secuencia de floración
comienza con la flor terminal en la punta del tallo o en el centro del
grupo de flores. Una inflorescencia indeterminada presenta una
secuencia de floración que comienza en o cerca de la base hacia arriba o
hacia el centro. Algunas inflorescencias son simples y fáciles de
distinguir. Otras son agregados complicados difíciles de caracterizar. Los
tipos más comunes de inflorescencias se describen en el Cuadro 2.
Otro concepto utilizado en las inflorescencias es la paracladia, que
se refiere a que ocurre una secuencia regular de un patrón a lo largo de la
estructura completa de la flor. Por ejemplo, en una ramificación
dicotómica se repite de forma general la división de un eje en dos. En
una inflorescencia como la de la Figura 10, lo que se encuentra
encerrado en líneas discontinuas es el patrón que se repite a lo largo de la
inflorescencia. La unidad que se repite recibe el nombre de paracladium.
100
Comunicaciones en Socioeconomía Estadística e Informática
2002. Vol. 6 Núm. 2. pp 51-135.
Figura. 10. Ejemplo de paracladia, P y P' son los Paracladium.
Cuadro 2. Tipos de inflorescencias.
TIPO
Amento
DESCRIPCION
Inflorescencia en forma de espiga, decidua, con
brácteas escamosas y flores unisexuales y
apétalas. La inflorescencia puede ser erecta o
laxa.
Capítulo o
Agrupación densa de flores sin pedicelo.
cabezuela
Cuando las flores se originan en un receptáculo
y es posible que Sean guardadas dentro de esta
en un hipantodio. Puede ser determinada o
indeterminada
101
EJEMPLO
Armando Cervantes Sandoval, Yolanda Rodríguez Pagaza
Luis L. Landois Palencia
Construcción simpodial. Consiste de una serie
Cima
de flores que nacen en la axila de la bráctea de
una flor precedente Si el cimo soporta una flor
es monocasio. Si soporta dos flores es dicasio, y
más de dos es pleiocástico. Determinada.
Corimbo
Inflorescencia amplia, donde los pedicelos se
van alargando sucesivamente dando la
apariencia de que las flores se distribuyen mas o
menos al mismo nivel horizontal. Las flores no
. se originan en el mismo punto dentro del eje
principal como en la umbela. Indeterminada.
Espádice
Inflorescencia parecida a la espiga pero gruesa
y carnosa, con flores muy pequeñas que se
encuentran reunidas y por lo común incluidas
en una espata. Indeterminada
Espiga
Inflorescencia con un solo eje, donde las flores
se arreglan a lo largo de este, sin pedicelos.
Indeterminada
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Comunicaciones en Socioeconomía Estadística e Informática
2002. Vol. 6 Núm. 2. pp 51-135.
Panicula
Inflorescencia compuesta, donde el eje principal
se ramifica una o mas veces y puede sostener
espigas, racimos o corimbos.
Racimo
Inflorescencia con un solo eje, donde las flores
se arreglan a lo largo de este, sobre sus
pedicelos. Indeterminada.
Tirso
Un conjunto de secuencias simpodiales que se
arreglan a lo largo de un tallo en series
consecutivas. El eje principal es indeterminado
y los ejes laterales son determinados.
Umbela
Si las flores se distribuyen más o menos al
mismo nivel horizontal y las flores se originan
en un mismo punto. Indeterminada.
Verticilo
Inflorescencia que presenta flores arregladas en
Vértices o espirales en nodos.
103
Armando Cervantes Sandoval, Yolanda Rodríguez Pagaza
Luis L. Landois Palencia
En algunas plantas, el patrón de crecimiento es visualmente
preciso, geométrico y predecible. En otras plantas, el patrón no es
detectable ni aunque se utilice el análisis estadístico. De ahí la dificultad
de generalizar en la modelación.
Son estos patrones, en las especies que se presentan, los que
permiten visualizar 1a aplicación directa de los Sistemas Lindenmayer a
la modelación de formas vegetales.
MODELACION DE PATRONES VEGETALES EN LA
COMPUTADORA
Con una computadora se pueden aplicar rápidamente las diferentes
producciones de un sistema-L y posteriormente elaborar una grafica que
muestre como se desarrolla una planta, lo cual hace mucho mas útiles a
los sistemas Lindenmayer, ya que si se cuenta con imágenes en dos o tres
dimensiones se les puede dar diferentes texturas, colores y matices para
que se parezcan mas a las plantas reales.
ENLACE ENTRE LOS SISTEMAS LINDENMAYER Y LA
COMPUTACION
Prusinkiewicz y Hanan (1989, p. 6) mencionan que en colaboración
con cient íficos computacionales intentaron mostrar el
104
Comunicaciones en Socioeconomía Estadística e Informática
2002. Vol. 6 Núm. 2. pp 51-135.
desarrollo de las plantas vía computadora. En primer lugar, trataron de
que las letras del alfabeto, utilizado en los sistemas- L, fueran
representadas gráficamente como rectas largas o cortas. Posteriormente,
se tomaron en cuenta aspectos geométricos como la longitud de los
segmentos utilizados y los ángulos.
Prusinkiewicz se dedico a desarrollar un programa que
representara el crecimiento de las plantas basado en Logo. En este
lenguaje, se pueden dibujar líneas por medio de los movimientos de una
tortuga imaginaria, la cual se representa como un triangulo en la
pantalla. La tortuga puede avanzar y retroceder, o bien girar a la derecha
o a la izquierda.
La idea general del programa creado por Prusinkiewicz es la
siguiente:
Se define como un estado de la tortuga, al lugar en que se
encuentra sobre un plano. Este estado se representa como una tripleta
(x,y, α ), donde las coordenadas (x,y) representan la posición de la
tortuga sobre el plano y el ángulo a se interpreta como la dirección en la
cual la tortuga se desplaza. Dado el tamaño de paso d y el ángulo de
incremento 6, la tortuga puede responder a comandos representados por
los siguientes símbolos:
105
Armando Cervantes Sandoval, Yolanda Rodríguez Pagaza
Luis L. Landois Palencia
F
f
+
-
La tortuga se mueve un paso de longitud d. El estado de la
tortuga cambia a (x',y', α ’), donde x'= x+dcos( α ) y y'=y+ dsen
( α ). Se traza una línea entre los puntos (x,y) y (x',y').
La tortuga se mueve un paso de longitud d sin trazar línea.
La tortuga da un giro a la izquierda con ángulo δ . El siguiente
estado es (x, y, α + δ ). La orientación positiva de los ángulos se
da en contra de las agujas del reloj.
La tortuga da un giro a la derecha con ángulo S. El siguiente
estado es (x, y, α — δ ).
Para comprender mejor estos símbolos utilizados en el programa
desarrollado por Prusinkiewiez, véase el ejemplo en la Figura 11.
Figura 11. Interpretación de una cadena de símbolos.
106
Comunicaciones en Socioeconomía Estadística e Informática
2002. Vol. 6 Núm. 2. pp 51-135.
Se definen dos símbolos para representar ramificación, que la
tortuga interpreta como:
[ La tortuga adquiere un nuevo estado, mientras que el actual se guarda
en memoria. El nuevo estado de la tortuga contiene la posición y
orientación de la tortuga y posiblemente otros atributos como el color o
el ancho de Línea.
] La tortuga regresa al estado anterior (el que se guardó) al abrirse el
corchete). Aunque no se dibujan líneas, el estado general de la tortuga
cambia.
Un ejemplo de la utilización de estos símbolos, con = 45° se
presenta en la Figura. 12.
Figura 12. Arbol correspondiente a la cadena F[+F][-F[-F]F]F[+F][-F]
La importancia de los conceptos revisados hasta el momento
consiste en que sirven de referencia para desarrollar programas que
107
Armando Cervantes Sandoval, Yolanda Rodríguez Pagaza
Luis L. Landois Palencia
utilicen a los sistemas Lindenmayer para simular el crecimiento de las
plantas. En base a estas ideas se desarrollo una propuesta computacional
para desplegar imágenes utilizando sistemas Lindenmayer.
LINSIS. SISTEMA PARA INTERPRETAR GRAMATICAS
LINDENMAYER
Diseño
Se planteó un sistema, en Visual Basic versión 4.0, con las
siguientes características:
1. Acepta el axioma y las reglas de producción utilizando diferentes
caracteres disponibles.
2. Crea la gramática a partir de reglas de producción dadas, tomando en
cuenta un cierto número de iteraciones definido por el usuario.
3. Realiza una grafica en base a la gramática generada, tomando en
cuenta el ángulo de ramificación.
4. Muestra cinco tipos diferentes de caracteres, de los cuales, tres son
líneas (letras a,b,c), un circulo (letra d) y una elipse (letra e). Además, a
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Comunicaciones en Socioeconomía Estadística e Informática
2002. Vol. 6 Núm. 2. pp 51-135.
todos los caracteres se les puede cambiar color, tamaño y en
el caso de la elipse también de forma.
5. Permite definir la escala, para ajustar el tamaño de los
gráficos a la pantalla.
El sistema denominado LINSIS, consta de seis
módulos, que se muestran y describen en la Figura 13. Para
un adecuado funcionamiento se consideran las fases: Entrada,
Proceso y Salida, que a continuación se describen.
1. Entrada. La información a introducir antes de correr el
programa es: el axioma, las reglas de producción y el número
de iteraciones. También las propiedades de los caracteres a
usar en las reglas de producción o la gramática y por ultimo,
la escala.
2. Proceso. Comprende la lectura, análisis e interpretación de
la información dada en el paso 1, con la cual se genera una
gramática que da como resultado una cadena de caracteres, en
base a la cual se realiza el grafico de salida.
109
Armando Cervantes Sandoval, Yolanda Rodríguez Pagaza
Luis L. Landois Palencia
3. Salida. La salida consiste en un grafico, producto de la interpretación
de la gramática generada, con las formas y colores seleccionados desde
el paso 1.
Figura. 13. Estructura del Sistema LINSIS.
110
Comunicaciones en Socioeconomía Estadística e Informática
2002. Vol. 6 Núm. 2. pp 51-135.
Gráficos en el plano x-y
En éste programa las gráficas se realizan en base a la propuesta de
Prusinkiewicz; se debe trazar una línea de un punto x,y en el piano, a otro
punto al que llamaremos xl,yl con un cierto ángulo. Además, esta
ramificación se puede dar a la izquierda o derecha del punto x,y.
Prusinkiewicz propone utilizar las siguientes formulas para mostrar la
ramificación de una línea:
donde:
x, = x + d cos α
α es el ángulo de la línea a trazar, con respecto al
ángulo que tiene la línea previamente trazada.
y, = y + d senα
d es la longitud de la línea a trazar.
Prusinkiewicz también propone el uso de los signos:
- Para señalar que la ramificación es hacia la derecha del punto x,y. El
nuevo ángulo de la línea trazada es a-d, donde d es el ángulo de
ramificación respecto al punto x,y.
+ Para señalar que la ramificación se da a la izquierda del punto x,y. El
nuevo ángulo de la línea trazada es a+d, donde d es el ángulo de
ramificación respecto al punto x,y
111
Armando Cervantes Sandoval, Yolanda Rodríguez Pagaza
Luis L. Landois Palencia
Estos signos tienen una razón de ser. Veamos un ejemplo usando
las ecuaciones y Los signos propuestos por Prusinkiewicz:
Figura 14. Gráficos utilizando las propuestas de Prusinkiewicz.
En la Figura 14, la línea ab tiene un ángulo de 90° (a=90°), y el
punto b seria el equivalente al punto x,y. El ángulo de ramificación
supongamos que es de 45° (d=45°) y la ramificación puede ser a la
derecha (Línea bd) o a la izquierda (línea bc). Como el ángulo de la línea
se mide con respecto al eje x (línea punteada), si la ramificación es a la
derecha se restarían 45° (es decir que, a-d = a; 90°- 45° = 45°) mientras
que si es a la izquierda, el ángulo de ramificación aumenta (es decir que
a+d = a; 90° + 45° = 135°), y las ecuaciones quedan como:
x1 = x + d cos α
con α = 45o si la ramificación es a la
derecha y
112
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2002. Vol. 6 Núm. 2. pp 51-135.
y1 = y + d senα a
a = 135° si la ramificación es a la izquierda por
lo que la ramificación se Bard de la Línea b (x,y) a la línea d o c (xl,yl).
Descripción del sistema LINSIS
LINSIS consta de 16 archivos unidos en uno solo llamado Linsis.exe, que
junto con sus rutinas de ejecución (RUNTIME) ocupan un espacio de 999
KB en disco, este sistema se puede instalar y ejecutar en cualquier
computadora con Windows versión 95 o superior.
LINSIS muestra seis pantallas diferentes, llamadas:
1. Grafica: Pantalla principal donde se hace la grafica de la gramática
que describe la forma de una planta (Figura 15).
2. Gramática: Aquí se puede escribir directamente la gramática que
describe la planta, o generarla a partir de reglas de producción
previamente establecidas (Figura 16).
113
Armando Cervantes Sandoval, Yolanda Rodríguez Pagaza
Luis L. Landois Palencia
Figura 3.5. Pantalla principal
Figura 16. Pantalla de gramática
3. Reglas: En esta pantalla se dan tanto el axioma como las diferentes
reglas de producción que posteriormente generan la gramática en la
pantalla correspondiente (Figura 17).
Figura 17. Pantalla de reglas de producción.
114
Comunicaciones en Socioeconomía Estadística e Informática
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4. Caracteres a utilizar: En esta pantalla se puede modificar la forma de los
caracteres a utilizar, los cuales son:
a, b, c, que representan líneas.
d, un círculo.
e, una elipse o un círculo, dependiendo de la forma que se le asigne.
En estos caracteres se puede modificar color, longitud, tamaño y en
el caso de la elipse también la forma (Figura 18).
Figura 18. Pantalla de caracteres
5. Color: Aparece solo cuando se quiere cambiar el color de un carácter
(Fig. 19).
Figura 19. Pantalla de cambio de color.
115
Armando Cervantes Sandoval, Yolanda Rodríguez Pagaza
Luis L. Landois Palencia
6. Escala: Esta pantalla sirve para ajustar la escala de la pantalla donde
se hace la grafica de la planta, a partir de la gramática (Figura 20).
Figura 20. Pantalla de cambio de escala.
GUIA PARA EL USO DE LINSIS
Para usar el programa primero se debe crear una gramática. Para
ello, en el menú Ver de la pantalla principal (Figura 21) se debe
seleccionar Gramática, también se puede accesar a esta pantalla con la
combinación de teclas Ctrl+G (Figura 16), aquí se puede dar la
gramática directamente o generar reglas de producción.
116
Comunicaciones en Socioeconomía Estadística e Informática
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Figura 21. Pantalla principal y gramática.
Para seleccionar reglas de producción se elige esta opción del
menú Ver, o mediante Ctrl+R (Figura 17), con lo que aparece una tercera
pantalla dentro de la cual existe un cuadro de texto para poner el axioma
y otra para escribir las reglas de producción e irlas incorporando al
programa mediante el boton "Añadir". También existe un botón para
borrar cada regla de producción llamado "Remover" y un tercer botón
para quitar todas las reglas de producción escritas. Los botones de
caracteres sirven para escribir- las diferentes reglas de producción a
utilizar (Figura 22).
117
Armando Cervantes Sandoval, Yolanda Rodríguez Pagaza
Luis L. Landois Palencia
Figura 22. Pantalla reglas de producción.
Las reglas de producción solo pueden ser de la forma a—f a, donde
a es un solo carácter, a puede ser cualquier cadena de caracteres, y solo
puede haber una regla de producción para cada carácter distinto. Las
flechas », utilizadas en las reglas de producción pueden darse con el
botón correspondiente o mediante Alt+187.
Una vez escritos el axioma y las diferentes reglas de producción se
obtiene la gramática que describe la forma de la planta, regresando a la
pantalla Ramada Gramática. Dentro de esta se puede definir el ángulo de
ramificación y las iteraciones que se requieran (Figura 23).
Para hacer una grafica utilizando una gramática ya definida, se
debe ir a la pantalla Grafica y pulsar el botón Graficar (Figura 24).
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Figura 23. Gramática generada.
Figura 24. Representación grafica.
Para modificar la apariencia de los diferentes tipos de caracteres a
utilizar, se selecciona Caracteres del menú Ver en la primer pantalla o
mediante Ctrl+A (Fig. 3.8). En esta ventana, se puede cambiar el color
de los caracteres dando un "clic" en el cuadro correspondiente al carácter
119
Armando Cervantes Sandoval, Yolanda Rodríguez Pagaza
Luis L. Landois Palencia
que se quiera cambiar, con lo que aparece una quinta pantalla mostrando
cuadros de color (Figura 25).
También es posible cambiar el tamaño a los caracteres y ver una
imagen previa de cada uno, apretando el botón correspondiente.
Figura 25. Modificació n de caracteres.
Al oprimir el botón graficar de la primer pantalla, la figura tendra
las nuevas características seleccionadas en esta opción. Para cambiar la
escala se selecciona Escala en el menú Ver de la primer pantalla, o
mediante Ctrl+E y aparecerá la sexta pantalla, Ramada Escala, donde se
pueden hacer modificaciones teniendo en cuenta que las coordenadas
iniciales estan en el punto 0,0. En esta pantalla, se puede dar el valor
máximo y el mínimo de los ejes X , Y. Una vez modificados, al hacer
"clic" en el botón Graficar de la primer pantalla, se muestra la imagen
con la nueva escala.
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Comunicaciones en Socioeconomía Estadística e Informática
2002. Vol. 6 Núm. 2. pp 51-135.
Figura 26. Grafica de una forma vegetal.
Además, se cuenta con varios cuadros de mensaje que avisan
cuando existe un error. Por ejemplo, si se trata de generar una grafica, sin
haber establecido reglas, aparece un cuadro en el cual se puede leer un
mensaje que explica el problema. Para arreglar tal problema, basta con
dar las reglas de producción necesarias en la pantalla correspondiente.
Otro error frecuente consiste en generar una gramática con muchos
caracteres. En tal caso el programa muestra el mensaje de que falta
memoria.
Es claro que LINSIS nos permite empezar a modelar formas
vegetales y otros tipos de gráficos, como fractales, tal como se muestra en
la siguiente sección.
121
Armando Cervantes Sandoval, Yolanda Rodríguez Pagaza
Luis L. Landois Palencia
GRAFICAS DE GRAMATICAS LINDENMAYER CON LINSIS
A continuación se tienen algunos gráficos que muestran como
utilizar el sistema LINSIS, con énfasis en los despliegues gráficos.
EJEMPLO 1, planta con axioma y regla de producción:
ω:a
a >> a[+a]a[-a]a
cuya definición, en LINSIS, se aprecia en la Figura 27, que con un ángulo
de 25.7° y cuatro iteraciones genera 1561 caracteres a dibujar (Figura
28), cuya representación grafica se muestra en la Figura 29.
Figura 27. Reglas de producción
Figura 28. Gramática generada.
122
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Figura 29. Planta modelada.
EJEMPLO 2, otra forma vegetal, cuya grafica se muestra en la Figura
30, se obtiene con la siguiente definición:
ω :a
a >> aa+[+a-a-a]-[-a+a+a]
con cuatro iteraciones y un ángulo de 22.5°.
Figura 30. Grafica del ejemplo 2
123
Armando Cervantes Sandoval, Yolanda Rodríguez Pagaza
Luis L. Landois Palencia
LINSIS permite modelar cualquier forma que tenga patrones bien
definidos, como los fractales.
EJEMPLO 3, grafica de un fractal, la definición:
ω : a+a+a+a
a >> a-aa+aa+a+a-a-aa+a+a-a-aa-aa+a
corresponde a la curva de Koch, conocida como la isla de Koch cuadrática, cuya grafica, con un ángulo S = 90°, se presenta en la Figura 31.
Figura 31. Curva de Koch.
EJEMPLO 4, los Kolem (una explicación sencilla e interesante de que
es un Kolem se encuentra en el Capitulo 6 de Prusinkiewicz y Hanan,
1980), cumplen con los requisitos para trabajarse con los Sistemas-L. En
124
Comunicaciones en Socioeconomía Estadística e Informática
2002. Vol. 6 Núm. 2. pp 51-135.
este ejemplo se define un Kolem por las siguientes reglas de producción,
cuya grafica se muestra en la Figura 32.
ω : aaaa
a >> b+b+b+b+b+b+
b >> [a+a+a+a[---b-c]+++++a++++++++a-a-a-a-a]
c >> [a+a+a+a[---c]+++++a++++++++a-a-a-a]
Figura 32. Un Kolem con 8=15° y 5
iteraciones.
EJEMPLOS A RESOLVER
Una forma de ver como funcionan las gramáticas generadas por los
Sistemas-L consiste en trabajar con algunos ejemplos ya resueltos, como
los que se presentan en el cuadro 3.
125
Armando Cervantes Sandoval, Yolanda Rodríguez Pagaza
Luis L. Landois Palencia
Durante la investigación y el desarrollo de LINSIS, el ejercicio
de resolver estos ejemplos permitió apreciar su funcionamiento como
un intérprete de gramáticas. Con la aclaración que cuando las
gramáticas de entrada presentan errores sintácticos o lexicográficos no
se envía ningún aviso al usuario; sino que simple y sencillamente se
generan cadenas de símbolos que no tienen nada que ver con la forma
que se esta modelando y por lo tanto se realizan graficas muy simples
o sin sentido alguno, por lo que, en ese caso, se debe proponer otra
gramática
que
verdaderamente
permita
lograr
representación de la forma en estudio.
1.
ω : a+a+a+a
2.
ω : be
a >> aa+a+a+a+a+a-a
a >> bc+ac+b
n=2, 5=90°
b >> ac-bc-a
δ
=
n 6,
3.
ω:a
ω:a
a >> b-[[a]+a]+b[+ba]-a
a >> b[+a]b[-a]+a
b>> bb
b>> bb
n=5,
5.
4.
=60°
δ
=22.5°
ω : a+a+a+a
n=7,
6.
δ
=20°
ω:c
a >> a+a-a+a+a
c >> cab [+c] [-c]
c >> [-b+b[c]+b][+b-b-b]
b >> b[-aaa][+aaa]ab
n=4, 5=90°
n=6,
126
δ
=25.7°
una
Buena
Comunicaciones en Socioeconomía Estadística e Informática
2002. Vol. 6 Núm. 2. pp 51-135.
Cuadro 3. Ejemplos de producciones para generar gramáticas
Lindemayer.
Figura 33. Ejemplo 1 del cuadro 3.
Figura 34. Ejemplo 2 del cuadro 3.
127
Armando Cervantes Sandoval, Yolanda Rodríguez Pagaza
Luis L. Landois Palencia
Figura 35. Ejemplo 3 del cuadro 3. Figura 36. Ejemplo 4 del cuadro 3.
Figura 37. Ejemplo 5 del cuadro 3.
Figura 38. Ejemplo 6 del cuadro 3
Para entender el funcionamiento de los sistemas de reescritura y
como se pueden definir gramáticas de este tipo, utilizando los Sistemas
128
Comunicaciones en Socioeconomía Estadística e Informática
2002. Vol. 6 Núm. 2. pp 51-135.
Lindenmayer como herramienta de trabajo, se recomienda trabajar con
LINSIS y probar el mayor numero posible de ejemplos y de opciones
dentro de cada ejemplo, con el fin de adquirir habilidad para empezar a
plantear sus propias gramáticas.
CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS
Al usar una notación formal, como la de los sistemas Lindenmayer,
se adquieren todas las bases matematicas de los sistemas formales, que
permiten
soportar
análisis
sintácticos
y
de
ambiguedades
o
inconsistencias. Desde el punto de vista computacional, las gramáticas
generadas se pueden plasmar directamente en un lenguaje de
programación, lo que permite comprobar las especificaciones de un
modelo y hacer al instante, correcciones de diseño, sintácticas o de
congruencia; enorme ventaja cuando se modela.
Los sistemas Lindenmayer constituyen modelos logicomatemáticos
que describen el crecimiento de las plantas mediante la utilizacion de un
lenguaje formal. En esta herramienta se representan, por medio de letras,
las partes de la planta a modelar; mientras que los factores que afectan su
crecimiento se pueden agregar mediante una parametrización.
129
Armando Cervantes Sandoval, Yolanda Rodríguez Pagaza
Luis L. Landois Palencia
Los modelos generados con los sistemas Lindenmayer poseen
ventajas sobre la experimentación directa porque:
a) Ahorran tiempo, ya que el crecimiento de las plantas, en tiempo real,
puede durar de días a anos.
b) Son replicables (repetibles).
c) Son seguros, ya que no representan ningún tipo de peligro para quien
los utiliza.
Los sistemas Lindenmayer han tenido gran auge en el campo
computacional, pero hace falta que se utilicen y apliquen desde el punto
de vista biológico. Es decir, la creación de un modelo no es la parte más
fácil de los sistemas Lindenmayer sino su utilización. por ejemplo, para
simular. Con la simulación no solo se describe y predice el
comportamiento de una planta, sino que se pueden plantear hipótesis y
proponer teorías acerca del proceso de crecimiento o desarrollo que
muestre una planta.
Los sistemas Lindenmayer son capaces de generar modelos del
desarrollo de las plantas, fieles a la realidad, debido a que pueden incluir
a los dos grandes factores que lo afectan: el genético y el ambiental. Para
crear un modelo de desarrollo de una planta, utilizando esta herramienta,
el vegetal debe poseer caracteres constantes o predecibles a lo largo de
130
Comunicaciones en Socioeconomía Estadística e Informática
2002. Vol. 6 Núm. 2. pp 51-135.
su crecimiento. La descripción de una planta usando gramáticas basadas
en los sistemas ayuda a familiarizarse con ella, con sus diferentes partes y
a dilucidar patrones recurrentes, así como sus posibles reglas de
producción.
El sistema LINSIS constituye la base para desarrollar otros
programas que además de hacer gráficos en dos dimensiones, a partir de
una gramática que describe una forma arquitectural, tomen en cuenta
reglas de producción que contengan las variables externas e internas que
afectan la forma de la planta y muestren el desarrollo en tres
dimensiones.
Perspectivas
Los sistemas Lindenmayer tienen un alto potencial de aplicación en
la investigació n biológica, tanto para predecir el desarrollo de organismos
vegetales, como para entender la manera en que afectan las diversas
variables a la forma que toma la planta. Por lo que aplicados a problemas
reales, puede ayudar a probar y plantear nuevas hipótesis de investigación
en el estudio que se este realizando.
Es necesario elaborar programas que desplieguen gráficos en tres
dimensiones que permitan agregar variaciones de color y textura a las
131
Armando Cervantes Sandoval, Yolanda Rodríguez Pagaza
Luis L. Landois Palencia
imágenes de las plantas modeladas, para verdaderamente representar su
crecimiento.
Se
puede
crear
un
catalogo
de
formas
como:
ramificaciones, tipos de hojas, tipo de inflorescencias, aspectos de tallos
y de frutos; que se utilicen como una base de datos (objetos), que
permitan seleccionar la mas adecuada a la planta en estudio y así acelerar
el proceso de modelado, con resultados mas cercanos a la realidad. Para
esto se tiene continuar trabajando para que LINSIS pase de ser un simple
interprete, a un compilador que contemple análisis léxicos, sintácticos y
semánticos; además de integrarle todas las rutinas para elaborar gráficos
en tres dimensiones.
LINSIS es una propuesta que vincula áreas como: Matemáticas,
Computación y Biología, por lo que se debe promover la formación de
grupos de trabajo interdisciplinarios, donde todos los participantes se
comuniquen a través de un lenguaje común: los Sistemas Lindenmayer.
Solo así se puede pensar en verdaderamente modelar el crecimiento
vegetal con grandes posibilidades de éxito.
BIBLIOGRAFIA
Arenas, A. L. Lógica Formal para Informáticos. Ed. Díaz De Santos,
S.A. Madrid España, 1996, 331 pp.
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PPAGRADECIMIENTOS
Los autores agradecen el apoyo financiero de la Dirección General
de Asuntos del Personal Académico (UNAM), a través del proyecto
PAPIIT IN-220998.
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También se agradecen, anticipadamente, las sugerencias, críticas o
comentarios que se hagan al presente trabajo, las cuales se pueden enviar
al E- mail: arpacer@servidor.unam.mx. Dirección electrónica donde se
puede solicitar una copia de LINSIS, la cual enviaremos con gusto y a la
brevedad.
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