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ESPECIALIDAD EN MATEMÁTICAS SEG-CIMAT
Diciembre 2 de 2011
1.
DIVISIBILIDAD
Resuelva los siguientes ejercicios.
1. Descomponer en factores primos los siguientes números:
125, 270, 643, 997, 715, 1221.
2. Sustituya cada recuadro por una cifra, de forma que los números resultantes sean divisibles por
2, 5
y
9
al mismo tiempo.
1 4
3. El número de soldados de un cuartel está comprendido entre
de
16, 20
y
25
780
y
820
y pueden formar grupos
sin que sobre o falte algún soldado. ¾Cuántos son?
4. ¾Cuál es la suma de los dígitos del número
1099 − 99?
5. A Julio le dieron el número de secreto de su nueva tarjeta de crédito y observó que la suma de
los cuatro dígitos del número es
5
y mayor que
1995.
9
y que ninguno de ellos es
0.
Además el número es múltiplo de
¾Cuál es la tercera cifra de su número secreto?
6. Un sistema de engranes consta de tres ruedas dentadas, el engrane
B
tiene
6
dientes y el engrane
C
tiene
8
dientes. En el engrane
A tiene 4 dientes, el engrane
A se encuentra un motos que
mueve todo el sistema.
a) ¾Cuántas vueltas debe dar el engrane
A
para que los engranes vuelvan a su posición original?
b) Cada engrane está conectado a una máquina que lleva el registro de cuantas vueltas completas
ha dado su engrane. Al momento en que la suma de los registros de las tres maquinas es
¾cuánto marca el registro de
2.
2011,
A?
Soluciones
1. Las descomposiciones son:
a)
b)
c)
125 = 53 .
270 = 2 · 33 · 5.
643 es primo.
d)
e)
f)
997 es primo.
715 = 5 · 11 · 13.
1221 = 3 · 11 · 37.
2. Dado que el número que buscamos tiene que ser divisible entre
o en
5.
Luego, como también tiene que ser divisible entre
de las unidades es
0.
cifras es múltiplo de
2,
5,
éste tiene que terminar en
el único valor posible para la cifra
Por último, recordemos que un número es divisible por
9.
c)
d)
14130
14220
14310
9
si la suma de sus
De ésta manera, la suma de las cifras que faltan por poner tiene que ser
ó 13. De ésta manera, los números que se pueden formar son:
a) 14040
e) 14400
4
b)
0
f)
g)
h)
i)
14490
14580
14670
j)
k)
1
14760
14850
14940
3. Dada la información que nos da el enunciado del problema, debe ser que el número de soldados
que hay en el cuartel sea múltiplo común de
16, 20
y
25.
Ahora bien, el mínimo común múltiplo
de estos tres números es:
mcm(16, 20, 25) = 24 · 52 = 400.
Por último, hay que notar que el múltiplo común de los tres números dados que está entre
820
debe ser también múltiplo de
400.
Por lo tanto, el número de soldados en el cuartel
780 y
es 800.
4. Notemos que
100 cif ras
z
}|
{
1099 − 99 = 10000 . . . 0000000 − 99
99 cif ras
}|
{
z
= 9999 . . . 9999901
Luego,
97 de las 99 cifras del número resultante son nueves. Así, la suma de los dígitos del número
dado es
97 × 9 + 1 = 874.
5. Dado que el número es múltiplo de
unidades debe ser
5
y ninguno de sus dígitos es
0,
se sigue que el dígito de las
5
5
Luego, como el número es mayor que
ser
2
1995
y la suma de sus dígitos es
9,
el primer dígito debe
pues de ser un número mayor, implicaría que al menos algún dígito de en medio fuera
cual no es posible. Además, esto también indica que los números de en medio son ambos
1.
0,
lo
Así,
el número que buscamos es
2
1
1
5
6. Resolvemos.
a) El sistema de engranes volverá a su posición original en un número de movimientos de los
engranes que sea múltiplo común del número de dientes de los tres engranes. Calculamos el
mcm
mcm(4, 5, 8) = 24.
24 ÷ 4 = 6,
engrane A ha dado
Luego
por lo tanto, el sistema vuelve a su posición original después de que el
seis vueltas.
b) Notemos que, del inciso anterior se tiene que cuando
dado cuatro y
6.
En general
C
A
tres. Es decir, de cada
A ha dado seis vueltas completas, B ha
13 vueltas (la suma de vueltas del sistema) A ha dado
6
da 13 de la suma de las vueltas de los tres engranes (esto hay que checarlo
bien y convencerse de ello). De esta manera, de las 1997 vueltas que suma el sistema
V ueltas(A) =
6
(1997) = 921.
13
V ueltas(B) =
4
(1997) = 614
13
Análogamente, se tiene que
y
V ueltas(C) =
3
(1997) = 460,5.
13
Por último, la suma de las vueltas que obtenemos de esta manera es
que cuando
A
da otra vuelta
cual completa las
1997.
C
da media vuelta más (y
Por lo tanto el registro de
2
A
B
marca
1995, pero hay que notar
ya no da la vuelta completa), lo
922.