Download funciones circulares inversas

Cuauhtémoc Hernández Ortiz
Cálculo I facultad de Ingeniería
Universidad Autónoma de México
Hernández Ortiz Cuauhtémoc
Funciones circulares y sus inversas
9 de marzo del 2005
Cuauhtémoc Hernández Ortiz
Cálculo I facultad de Ingeniería
Las funciones trigonométricas circulares.
Las funciones trigonométricas básicas son el seno y el coseno. El resto de las funciones
trigonométricas se obtiene a partir de ellas. Comenzamos con una definición informal.
Para ello necesitamos el concepto de ángulo dirigido.
Un ángulo dirigido puede ser considerado como un par de semirrectas (l1,l2) con el
mismo punto inicial.
Si para l1 elegimos siempre la mitad positiva del eje horizontal, un ángulo dirigido
vendrá descrito mediante la segunda semirrecta. Puesto que cada semirrecta corta al
círculo unidad exactamente una vez, un ángulo dirigido queda descrito, aún más
sencillamente, mediante un punto sobre el círculo unidad, es decir un punto (x,y) tal
que x2+y2=1.
Cuauhtémoc Hernández Ortiz
Cálculo I facultad de Ingeniería
Entonces el seno del ángulo se define como la ordenada y del punto que lo representa y
el coseno como la abcisa x, según se representa en la figura siguiente:
Sin embargo queremos definir el seno y el coseno de cualquier número real x .
El procedimiento usual es asociar un ángulo a cada número.
Esta asociación se lleva a cabo del modo siguiente: dado un número real cualquiera x,
elíjase un punto P sobre el círculo unidad tal que x sea la longitud del arco de círculo
que empieza en (1,0) y que se dirige hacia P en sentido contrario al de las agujas de un
reloj.
El ángulo así construido determinado por P se denomina ángulo de x radianes. Al ser
2π la longitud total del círculo, el ángulo de x radianes y el ángulo de 2π +x radianes
son idénticos.
Se puede definir ahora el seno de xcomo el seno del ángulo de x radianes.
Cuauhtémoc Hernández Ortiz
Cálculo I facultad de Ingeniería
La definición anterior depende del concepto de longitud de una curva. Para evitar esto,
formularemos de nuevo la definición en términos de áreas
(que puede ser tratadas mediante la integral).
Supongamos ahora que x es la longitud del arco del círculo unidad desde (1,0) hasta P;
este arco contiene así x/2π de la longitud total (2π ) de la circunferencia del círculo
unidad.
Designemos por S el sector del círculo determinado por el ángulo definido por P (ver la
figura).
El área de este sector ha de ser x/2π veces el área del círculo unidad, la cual damos por
supuesto que es π .
Entonces el área de S es (x/2π )π =x/2.
Podemos definir ahora el coseno de x y el seno de x, que denotaremos por cos x y sen x,
respectivamente, como las coordenadas del punto P que determina un sector de área x/2
en el círculo unidad.
Para la definición rigurosa comenzamos con la definición de π como dos veces el área
del semicírculo unidad:
Definición.Definamos ahora A(x) para -1 ≤ x ≤ 1 como el área del sector limitado por el círculo
unidad, el eje horizontal y la semirrecta que pasa por el origen y el punto (x,(1-x2)1/2)
sobre el círculo unidad .
Definición.- Si -1 ≤ x ≤ 1, entonces
Cuauhtémoc Hernández Ortiz
Cálculo I facultad de Ingeniería
Obsérvese que A(x) es derivable en -1 ≤ x ≤ 1 y su derivada es
Para 0 ≤ x ≤π queremos definir cos x y sen x como las coordenadas de un punto P, (cos
x, sen x), sobre el círculo unidad que determina un sector cuya área es x/2. En otros
términos:
Definición.- Si0 ≤ x ≤π, entonces cos x es el único número en [-1, 1] tal que
y
Para saber que existe un número y que satisface A(y)=x/2, utilizamos el hecho de que A
es continua y toma los valores 0 y π /2 (teorema de los valores intermedios).
Cuauhtémoc Hernández Ortiz
Cálculo I facultad de Ingeniería
Esta definición se extiende primero al intervalo [-π , 0 ) de la forma siguiente:
Por último, la definición de las funciones seno y coseno se extiende a toda la recta
real de forma periódica.
Las figuras siguientes muestran esta extensión.
Teorema.- Las funciones seno y coseno son continuas en IR y admiten derivada en
todo punto verificándose que
Además, son funciones acotadas puesto que verifican las siguientes igualdades:
Definición.- El resto de las funciones trigonométricas se definen como sigue:
Véanse las gráficas de estas funciones en las figuras siguientes
Cuauhtémoc Hernández Ortiz
Cálculo I facultad de Ingeniería
Propiedades de las funciones trigonométricas.
• cos2 x + sen2 x =1,
• cos(x+y)=cos x cos y − sen x sen y,
cos 2x= cos2 x − sen2x
• cos(x− y)= cos x cos y + sen x sen y,
• sen (x+y)=sen x cos y + cos x sen y,
sen 2x= 2cos x sen y
• sen (x− y)=sen x cos y− cos x sen y
Cuauhtémoc Hernández Ortiz
Cálculo I facultad de Ingeniería
Las funciones trigonométricas inversas.
La función f(x)=sen x, definida en el intervalo cerrado [-π /2,π /2], es continua,
estrictamente creciente y transforma dicho intervalo en el [-1, 1]. Esta función es pues
un homeomorfismo del primer intervalo sobre el segundo y su función inversa que
denotaremos por
f -1(x)=arc sen x
estará definida de [-1, 1] siendo también continua y estrictamente creciente.
Cuauhtémoc Hernández Ortiz
Cálculo I facultad de Ingeniería
Es inmediato comprobar que arc sen (− x)=− arc sen x para todo x en [-1, 1].
La función f(x)=cos x, definida en el intervalo cerrado [0, π ], es continua, estrictamente
decreciente y transforma dicho intervalo en el [-1, 1]. Esta función es pues un
homeomorfismo del primer intervalo sobre el segundo y su función inversa que
denotaremos por
f -1(x)=arc cos x
estará definida de [-1, 1] siendo también continua y estrictamente decreciente.
Nòtese que en ambos casos las funciones seno y coseno no se han considerado en toda
la recta real puesto que no en ella no son inyectivas y por lo tanto su función inversa no
estaría definida.
Cuauhtémoc Hernández Ortiz
Cálculo I facultad de Ingeniería
Teorema.- Las funciones trigonométricas inversas arc cos x y arc sen x definidas en el
intervalo [-1,1] son derivables en todos los puntos de (-1, 1) y se tiene
La función f(x)=tag x, definida en el intervalo (-π /2,π /2), es continua, estrictamente
creciente y transforma dicho intervalo en IR puesto que
Esta función es pues un homeomorfismo del primer intervalo sobre toda la recta real y
su función inversa
f -1(x)=arc tag x
que estará definida en IR, es también continua y estrictamente creciente.
Cuauhtémoc Hernández Ortiz
Cálculo I facultad de Ingeniería
Además arc tag x es derivable en todo punto y su derivada viene dada por
Las funciones trigonométricas inversas verifican las siguientes igualdades
• arc cos x + arc cos (-x) = π ,
• arc cos x + arc sen x = π /2,
• arc tag x = -arc tag (-x).
El resto de las funciones trigonométricas inversas se consiguen de forma similar
aunque es usual considerar la función cotangente definida en (0,π ), la función secante
definida en [0, π ]-{π /2} y la función cosecante en el intervalo [-π /2,π /2]-{0} (donde
son inyectivas) para definir sus inversas que entonces verificarán las siguientes
igualdades:
•
•
•
arc cotag x = π /2 − arc tag x,
arc sec x = arc cos (1/x),
arc cosec x = arc sen (1/x).