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Teoremas y problemas de Geometría
Cri teri os de congruencia de tri ángulos
Criterio LAL
Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos iguales, son congruentes.
Criterio ALA
Dos triángulos con un lado igual y dos ángulos adyacentes iguales, son congruentes.
Criterio LLL
Dos triángulos con tres lados iguales son congruentes.
Probl em as del Tem a
Problema 8: (Xu Jiagu-Lecture Notes on Math Olympiad Courses-pg66)
En la figura adjunta el triángulo ABC es isósceles (AB=AC). Se ubica D sobre
AB y E en la semirrecta opuesta a la CA (C es interior a AE) de modo que
BD=CE.
El segmento DE intersecta al lado BC en G.
Probar que DG=GE
Problema 9: (Xu Jiagu-Lecture Notes on Math Olympiad Courses-pg66)
En la figura adjunta ABC es un triángulo acutángulo, BE y CF son alturas.
Sobre el segmento BE se ubica P de modo que BP=AC y sobre la
semirrecta CF se ubica Q de modo que CQ=AB.
Probar que AP es perpendicular a AQ.
Problema 10: (Xu Jiagu-Lecture Notes on Math Olympiad Courses-pg66) China 1992
ABC es un triángulo equilátero. Se ubica, el punto D sobre AC y el punto E sobre AB. BD
intersecta a CE en el punto P y el área del cuadrilátero AEPD es igual al área del triángulo
PBC.
Determinar el valor del ángulo EPB.
Problema 11: (Xu Jiagu-Lecture Notes on Math Olympiad Courses-pg68) China 1999.
ˆB = 90º . EL punto D es el punto medio de
ABC es un triángulo rectángulo isósceles con AC
BC, por C se traza la recta perpendicular a AD que intersecta a AD en F y a AB en E.
ˆC = BD
ˆE
Probar que FD
Problema 12: (Xu Jiagu-Lecture Notes on Math Olympiad Courses-pg68) China 1992
En un cuadrado ABCD, E es el punto medio de AD, BD y CE se intersectan en F.
Probar que AF es perpendicular a BE.
Problema 13: (Xu Jiagu-Lecture Notes on Math Olympiad Courses-pg69)
Elaborado por el Prof. Gustavo Bentancor
Teoremas y problemas de Geometría
ˆB = 60º y BA
ˆC = 75º . El pie de la perpendicular trazada desde A
El triángulo ABC tiene AC
al lado CB es D y el pie de la perpendicular trazada desde B a AC es E. Las rectas AD y BE se
intersectan en H.
ˆD
Calcular el ángulo CH
Problema 14: (Xu Jiagu-Lecture Notes on Math Olympiad Courses-pg69)
ABC es un triángulo equilátero. D un punto en el interior del triángulo ABC y P en el exterior de
ˆP
ABC de modo que AD=BD, AB=BP y BD es la bisectriz del ángulo CB
ˆD
Calcular el ángulo BP
Problema 15: (Xu Jiagu-Lecture Notes on Math Olympiad Courses-pg69)
Se considera un cuadrado ABCD de lado 1. Los puntos P y Q sobre los lados AB y AD
respectivamente. El perímetro del triángulo APQ es de 2cm.
ˆQ
Calcular la medida del ángulo PC
Problema 16 (XXVI Olimpíada Portuguesa de Matemática)
ABC un triángulo cualquiera y
C su circuncírculo. Se ubica E en el circuncírculo y D en la
ˆB = BA
ˆE
semirrecta AE (E interior a AD) de modo que CA
Probar que AB=BD si y sólo si DE=AC.
Problema 17: (XXVI Olimpíada Portuguesa de Matemática)
En la figura ADEC y ABFG son cuadrados y el punto H es el
punto medio del segmento CB.
Demostrar que DG=2.AH
Problema 18: (Olimpíada Peruana – pg116)
El triángulo ABC es rectángulo en B. Se ubica el punto D sobre el lado AC de modo que
ˆD = 2.DB
ˆA . Además AB=DC.
BA
Determinar la medida de los ángulos del triángulo
Problema 19: (Problema 4, Nivel 1, XXVII Olimpíada Brasileira de Matemática)
Consideramos el rectángulo ABCD, con diagonales AC y BD.
Los lados AB y BC miden respectivamente 13cm y 14cm.
Sea M el punto de intersección de las diagonales, consideramos el triángulo BME, tal que:
ME=MB y BE=BA, siendo E≠A.
a) Calcular el área del triángulo BME.
b) Demostrar que el segmento BD es paralelo al segmento EC.
Elaborado por el Prof. Gustavo Bentancor
Teoremas y problemas de Geometría
Problema 20: (Problemas para la 19º OMM, Año 2005, Carlos Rubio Barrios)
Sobre cada lado de un paralelogramo se dibuja un cuadrado (hacia el exterior del
paralelogramo y de manera que el lado del cuadrado sea el lado respectivo del paralelogramo).
Prueba que los centros de los cuatro cuadrados son los vértices de otro cuadrado.
Problema 21 (Cuadernos de Olimpíadas, Radmila Bulajich)
Sea ABC un triángulo. Sean M, N puntos sobre los lados CA, y AB respectivamente, y O el
punto de intersección de BM con CN.
ˆB , entonces ABC es isósceles.
ˆM = NC
Muestre que si OM=ON y CB
Problema 22: (OMA, “Problemas 20”, Problema 124)
ˆC = 90º
El ABC es un triángulo rectángulo con AB
Se considera el punto D del lado AC tal que CD=AB y el punto E del lado BC tal que DB=DE.
ˆB = 2.AB
ˆD , calcular la medida del ángulo ED
ˆC .
Si se sabe que CA
Problema 23: (OMA, “Problemas 20”, Problema 212)
Sea O el punto de intersección de las mediatrices de un triángulo ABC. Denotamos D al punto
de intersección de la recta AO con el segmento BC.
Si OD = BD =
1
BC , calcular la medida de los ángulos del triángulo ABC.
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Problema 24: (Problemas de la OMM, Distrito Federal 2011- Pr5/4ta.Etapa)
ˆC corta a AC en D
Sea ABC un triángulo con AB = AC y  = 36º . La bisectriz del ángulo AB
ˆC corta BC en P.
y la bisectriz del ángulo BD
Sea R un punto sobre la prolongación de BC tal que B es el punto medio de PR.
Demuestra que RD = AP.
Problema 25: (Entrenamiento Cono Sur, pg26)
Las alturas AD y BE del triángulo ABC se cortan en el ortocentro H. Los puntos medios de AB y
CH son X e Y respectivamente.
Probar que XY es perpendicular a DE.
Problema 26: (Segunda Instancia, Nivel III, Año 2004)
Sea ABCD un cuadrado. Se toma M perteneciente a DA con D interior a MA.
La perpendicular a CM por A corta a CM en L y a CD en K
Demostrar que MK//DB
Elaborado por el Prof. Gustavo Bentancor