Download Gravitatorio (6 problemas SOL y coleccion)

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BOLETÍN DE PROBLEMAS
Campo Gravitatorio
· Segundo de Bachillerato ·
PROBLEMAS RESUELTOS.
1º
Si se considera que la Tierra tiene forma esférica con un radio aproximado de 6400 Km. Determine:
a) La relación existente entre las intensidades del campo gravitatorio sobre la superficie terrestre y
a una altura de 144 Km por encima de la misma.
b) b) La variación de la Ec de un cuerpo de masa 100 Kg al caer libremente desde la altura de 144
Km hasta 72 Km por encima de la superficie terrestre. (MT= 5,98 1024 Kg)
GM T m
2
3
R 2T
.10 3 ) 2
= (R T +2 h) = (6400.10 + 144
a) g h =
= 1,045
RT
(6400.10 3 ) 2
GM T m
gT
( R T + h )2
g
g
b) ∆EC = -∆Ep = Ep1 - Ep2
−
h = 1,045
T
GMm GMm
1 1
1
1
)
+
= GMm( − ) = 6,67.10 −11.5,98.10 24.100 (
−
3
r1
r2
r2 r1
72.10 144.10 3
∆EC = 2,769.10 11J
2º
El período de revolución del planeta Júpiter en su órbita alrededor del Sol es aproximadamente 12
veces mayor que el de la Tierra en su correspondiente órbita. Considerando circulares las órbitas de los dos
planetas, determine:
A) La razón entre los radios de las respectivas órbitas.
B) La razón entre las aceleraciones de los dos planetas en sus respectivas órbitas.
a)
TJ2 = CR 3OJ
TT2 = CR 3OT
_________
R
TJ2 R 3OJ
12 2 TT2 R 3OJ
= 3 ⇒
=
⇒ 3 144 = OJ
2
2
3
R OT
TT R OT
TT
R OT
R OJ
= 5,24
R OT
b)
GM S
R2
R2
aJ
1
= OJ = OT
=
= 0,036
2
a T GM S
R OJ (5,24) 2
2
R OT
3º
La nave espacial Discovery, lanzada en octubre de 1998, describía en torno a la Tierra una órbita
circular con una velocidad de 7,62 Km/s.
a) ¿A qué altitud se encontraba?
b) ¿Cuál es su período? ¿Cuántos amaneceres contemplaban cada 24 horas los astronautas que
viajaban en el interior de la nave?.
Datos: MT = 5,98 x 10 24 Kg
RT = 6370 Km
a)
GM S 6,67.10 −11.5,98.10 24
mv 2 GM T m
r
=
⇒
=
=
= 6869,37.10 3 m = 6869,37Km
2
2
2
r
v
7620
r
h = r –RT = 499,37 Km
b)
T=
2ππr 2ππ.6869,3 .10 3
=
= 5664,24 s = 1,57 h
v
7620
24 h . 1amanecer = 15 amaneceres
1,57h
4º
Se pone en órbita un satélite artificial de 600 Kg a una altura de 1200 km sobre la superficie de la
Tierra. Si el lanzamiento se ha realizado desde el nivel del mar, calcule :
a) ¿Cuánto ha aumentado la energía potencial gravitatoria del satélite?.
b) Qué energía adicional hay que suministrar al satélite para que escape a la acción del campo
gravitatorio terrestre desde esa órbita.
Datos :
Masa de la Tierra
MT = 5,98 x 1024 Kg
Radio medio de la Tierra
R T = 6,37 x 106 m
⎛ 1 1⎞
− GM T m GM T m
+
= GM T m⎜⎜
− ⎟⎟ =
r
RT
⎝ RT r ⎠
⎞
1
1
= 6,67.10 −11.5,98.10 24.600⎛⎜⎜
−
⎟ = 5,955.109J
6
6 ⎟
7,57..10 ⎠
⎝ 6,37.10
a)
b)
∆Ep = Epf - Epi
=
− GM T m GM T m
− GM T m
− GM T m 1
+
+W =0⇒
+W=0
+ mv 2 + W = 0 ⇒
2r
r
2r
r
2
W =
6,67.10 −11.5,98.10 24.600
= 1,58.1010 J
2.7,57.10 6
5º
Un satélite artificial de 200 kg gira en una órbita circular a una altura “ h ”sobre la superficie de la
Tierra. Sabiendo que a esa altura el valor de la aceleración de la gravedad es la mitad del valor que tiene en la
superficie terrestre, averiguar (usando los datos de los otros problemas)
a) La velocidad del satélite.
b) Su energía mecánica.
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a) g 0 =
GM T m
R T2
gh=
GM T m
R T2
g0
=
GM T m
go
2
(R T + h ) 2
GM T m
g0 =
2
(R T + h) 2
⇒2=
(R T + h ) 2
R +h
⇒ 2= T
⇒ R T + h = 2R T
2
RT
RT
GM T m
mv 2
=
⇒v=
R T + h (R T + h ) 2
=
g 0 R T2
2R T
=
9,8.6,37.10 6
2
GM T
⇒v=
RT + h
GM T
2R T
=
= 6643,93m/s
b)
Em = Ec+ Ep
Em =
=
GM T m
GM T m − GM T m − g 0 R T2 m
=
=
−
=
2( R T + h ) R T + h 2( R T + h )
2 2R T
− 9,8.6,37.10 6.200
2 2
= -4,41.10 9 J
6º
Determina de una forma teórica la relación que existe entre la energía mecánica de un satélite que
describe una órbita circular en torno a un planeta y su energía potencial.
Em =
− GMm GMm − GMm E p
+
=
=
r
2r
2r
2
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PROBLEMAS PROPUESTOS (con y sin solución)
1. Una partícula de masa m está describiendo una trayectoria circular de radio R con velocidad lineal
constante v.
a) ¿Cuál es la expresión de la fuerza qué actúa sobre la partícula en éste movimiento?. ¿Cuál es la
expresión del momento angular de la partícula respecto al centro de la trayectoria?.
b) ¿Qué consecuencias sacas de aplicar el teorema del momento angular en este movimiento? ¿Por qué?.
a) F =
SOLUCIÓN
mv 2
R
L = Rmv
b) L = cte ⇒
∑ M =0 ⇒ ω = cte ⇒ M.Circular
2. Decidir si existe alguna relación entre la dirección del momento de una fuerza y:
a) La dirección de la fuerza
b) La dirección del momento angular
c) La dirección del cambio con el tiempo del momento angular
b) M // L c) coinciden las dos direcciones
a) M ⊥ F
3. ¿Qué es una Fuerza central?. ¿ Cuando se dice que un campo de fuerzas es conservativo ?. Los campos de
fuerzas centrales ¿son conservativos?. Razona la respuesta y utiliza algún ejemplo demostrando que se
cumplen las condiciones necesarias
r
r
r
r
SOLUCIÓN
4. Una partícula se mueve por la acción de una fuerza gravitatoria central y describe una circunferencia con
velocidad angular constante. ¿ Realiza trabajo la fuerza centrípeta ?. Teniendo en cuenta que su velocidad
lineal cambia continuamente de dirección representa gráficamente la Energía cinética de la partícula en
función del tiempo.
5. El planeta Júpiter posee un radio 11 veces mayor que el de la Tierra y una masa 318 veces mayor que la de
ésta. Calcula:
a) El peso en Júpiter de un astronauta qué en la Tierra pesa 800N.
b) La masa del astronauta en Júpiter.
c) La relación entre las energías potenciales del astronauta en Júpiter y en la Tierra
SOLUCIÓN
a)
PJ = 2104 N; b)
mJ = 81,6 Kg
c)
E PJ
E PT
= 28,9
6. La masa de la Luna es aproximadamente 7,36 1022 Kg y su radio 1,74 106 m. En la superficie terrestre, al
colocar un cuerpo en un platillo de una balanza y en el otro pesas por un valor de 23,25 g se consigue el
equilibrio. ¿ Qué pesas tendríamos que utilizar para equilibrar la balanza con el mismo cuerpo en la
superficie de la Luna.?
SOLUCIÓN
23,25 g
7. Calcular a que altura sobre la superficie terrestre la intensidad de campo gravitatorio se reduce a la cuarta
parte de su valor sobre dicha superficie. Datos : RT = 6370 Km
SOLUCIÓN 6370 Km
8. Dos masas puntuales m1 = 5 kg y m2 = 10 kg se encuentran situadas en al plano XY en dos puntos de
coordenadas ( x1 , x2 ) = (0.1) y (x2 , y2 ) = ( 0,7 ) respectivamente. Se pide:
a) Campo gravitatorio debido a las dos masas en el punto de coordenadas ( x , y ) = ( 4, 4 ).
b) Trabajo necesario para trasladar una masa de 1 kg situada en el punto ( 0 , 4 ) hasta el punto ( 4, 4 )
en presencia de las otras dos masas.
c) ¿Qué interpretación física tiene el signo del trabajo calculado?
SOLUCIÓN
a)
–3,21.10-11
r
i
r
+ 8,0.10-12 j ( N. Kg-1) b) -13,4.10-11 J; negativo, en contra del campo
9. Sean A y B dos puntos de la órbita elíptica de un cometa alrededor del Sol, estando A más alejado del Sol
que B. Hacer un análisis energético del movimiento del cometa y compare los valores de las energías cinética
y potencial en A y en B. ¿En cuál de los puntos A o B es mayor el módulo de la velocidad?. ¿Y el de la
aceleración?
SOLUCIÓN a) EpA>EpB y EcB>EcA
b) vB>vA y aB >aA
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10. Un satélite de 2000 Kg de masa describe una órbita ecuatorial circular alrededor de la Tierra de 8000 Km
de radio. Determinar:
a) Su momento angular respecto al centro de la órbita.
c) Su energía cinética, potencial y total.
Datos : MT = 5,98 1024
14
2 -1
SOLUCIÓN a) 1,129.10 Kg m s
b) Ec= 4,98.1010J Ep= -9,972.1010 J
c) ET =-4.99.1010 J
11. Nuestro Sol rota con un período de 25 días y 9 horas . Determinar el radio de la órbita circular que
debería tener un planeta para que estuviera siempre en la misma vertical de un punto determinado del
ecuador solar. Determinar también el módulo del momento angular de tal planeta en su revolución. Realizar
los cálculos en función de la masa del planeta.
Datos: MS = 3,33. 105 MT
RT = 6370 Km
g0 = 9,8 m\s2
10
SOLUCIÓN 2,53.10 m
1,83.1015 mp Kg m2 s-1
12. Un satélite artificial de la Tierra de masa 10 Tm tiene una velocidad de 4,2 Km\s en una determinada
órbita circular. Hallar:
a) El radio de la órbita.
b) El trabajo necesario para colocarlo en la órbita.
c) Su período.
d) El trabajo realizado por el peso en una vuelta. (MT = 5,98 1024 Kg.)
6
SOLUCIÓN a) 22,6 10 m
b) 5,342 1011 J
c) 33,79 103 s
13. Las distancias de la Tierra y de Marte al Sol son respectivamente 140,6.106 Km y 228,0.106 Km.
Suponiendo que las órbitas son circulares y que el período de revolución de la Tierra en torno al Sol es de 365
días:
a) ¿ Cuál será el período de revolución de Marte ?
b) Si la masa de la Tierra es 9,6 veces la de Marte y sus radios respectivos son 6370 Km y 3390 Km
¿Cuál será el peso en Marte de una persona de 70 Kg ?
SOLUCIÓN a) 753,7 s b) 252,31 N
14. Se pretende situar un satélite artificial, de 50 Kg de masa, en una órbita circular a 500 Km de altura sobre
la superficie terrestre. Calcula:
a) La velocidad que debe poseer el satélite para girar en esa órbita.
b) La energía que fue preciso comunicarle desde la superficie terrestre para ponerlo en órbita.
c) El valor de la intensidad del campo gravitatorio terrestre en esa órbita.
9
2
SOLUCIÓN a) 7603,06 m/s b) 1,67.10 J c) 8,37 m/s
15. La Luna es aproximadamente esférica con radio RL = 1,74.10 6 m y masa ML = 7,35.1022 Kg.Desde la
superficie de la Luna se lanza verticalmente un objeto que llega a elevarse una altura máxima sobre la
superficie h = RL. Determina:
a) La velocidad inicial con que se ha lanzado el objeto
b) La aceleración de la gravedad en la superficie de la Luna y en el punto más alto alcanzado por el
objeto.
c) La velocidad de escape desde la superficie de la Luna
-1
SOLUCIÓN a) 1678,5 ms
b) 1,62 ms-2 0,405 ms-2 c) 2373,8 ms-2
16. La nave espacial lunar Prospector permanece en órbita circular alrededor de la Luna a una altura de 100
Km sobre su superficie. Determina:
a) La velocidad lineal de la nave y el período del movimiento.
b) La velocidad de escape a la atracción lunar desde esa órbita.
ML = 7,36 1022 Kg
RL = 1740 Km
SOLUCIÓN a) 1633,4 m/s 7077,9 s; b) 1633,4 m/s
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