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TEMA 2: NÚMEROS RACIONALES: FRACCIONES.
2.1 Conjunto de los Números Racionales, Q.
El conjunto de los números racionales es una ampliación de los números enteros, a los que se
le añaden nuevos números que se construyen con 2 números enteros y se llaman
FRACCIONES. Son del tipo
a
, siendo a y b números enteros de modo que b tiene que ser
b
distinto de 0. A “a” se le llama numerador de la fracción y a “b” denominador de la fracción.
Al nuevo conjunto se le nota con la letra Q.
a

Con el lenguaje matemático lo anterior se expresa: Q =  tal que : a, b ∈ Ζ, b ≠ 0
b

→ Si b = 1 la fracción es un número entero,
a
= a . Por eso decimos que los Números
1
Enteros, Z, son una parte de los Números Racionales, Q, es decir Z ⊂ Q
• Hay racionales que no son enteros.
• Todos los enteros son racionales.
N
Z
Q
2.2 Fracciones Equivalentes.
Las fracciones se utilizan para dividir cantidades en partes iguales, para establecer
proporciones o porcentajes.
Hay fracciones que representan al mismo número, éstas se llaman FRACCIONES
EQUIVALENTES, por ejemplo
1
2
y . Si dividimos una cantidad en dos partes iguales y nos
2
4
quedamos con una, esto es lo mismo que si esa cantidad la dividimos en cuatro partes iguales
y nos quedamos con 2.
Veamos, ahora, qué tienen que cumplir dos fracciones para ser equivalentes.
○ Dos FRACCIONES son EQUIVALENTES si sus productos cruzados son
iguales: Es decir:
a c
= si a · d = b · c .
b d
1
1 2
= , 1· 4 = 4 = 2 · 2
2 4
Para generar fracciones equivalentes podemos multiplicar o dividir el numerador y el
Por ejemplo
denominador de la fracción por un mismo número distinto de cero. Si dividimos, debe de ser
por un divisor común y lo que estaremos haciendo es SIMPLIFICAR LA FRACCIÓN. Cuando
ya no podamos simplificar más, es decir, el numerador y el denominador son primos relativos
(único divisor común el 1) hemos obtenido la FRACCIÓN IRREDUCIBLE.
Por ejemplo:
1 1·5
5
=
=
2 2·5 10
12 12 : 2
6
6:3 2
Dividiendo:
=
=
=
= , hemos obtenido, simplificando, la fracción irreducible.
30 30 : 2 15 15 : 3 5
Multiplicando por 5:
ACTIVIDADES 1, 2, 3, 4, 5, 6 DE LA PÁGINA 60
2.3 Reducción de Fracciones a Común Denominador.
En algunos casos es muy útil transformar una serie de fracciones dadas en otras equivalentes
con el mismo denominador, por ejemplo para ordenarlas o sumarlas.
Esto se hace fijando como común denominador un común múltiplo de los denominadores, el
más pequeño será el mínimo común múltiplo. Veamos con un ejemplo cómo se hace:
7 13 11
,
,
.
12 30 20
Elegimos para el común denominador, el mcm(12, 30, 20). Se puede elegir cualquier múltiplo común.
Partimos de las fracciones:
12 = 2 2 · 3 


30 = 2 · 3 · 5 ⇒ mcm(12, 30, 20 ) = 2 2 · 3 · 5 = 60

2
20 = 2 · 5 
Ahora ajustamos los numeradores, sabiendo porqué números hay que multiplicar los
denominadores para obtener 60.
?
7 · 5 35
7
 12 = 60 = 12 · 5 = 60


 13
? 13 · 2 26
=
=
=

30
60
30
·
2
60


 11 ?
11· 3 33
=
=
=

 20 60 20 · 3 60
ACTIVIDADES 1, 2, DE LA PÁGINA 61
2
2.4 Suma de Fracciones.
Para sumar fracciones tienen que tener el mimo denominador, entonces se sumarán los
numeradores y se deja el mismo denominador:
a c a+c
+ =
b b
b
Si nos proponen sumar fracciones con distinto denominador, hay que reducir a común
denominador como se explica en el epígrafe anterior. Veamos algunos ejemplos:
1)
2 3 5
+ = =1
5 5 5
2)
2
7
−
= ??
12 15
12 = 2 2 · 3

⇒ mcm(12, 15 ) = 2 2 · 3 · 5 = 60


 15 = 3 · 5
2
7 2 · 5 7 · 4 10 28 − 18
3
−
=
−
=
−
=
=−
12 15
60
60
60 60
60
10
3)
2−
5 2 5 14 5 9
= − =
− =
7 1 7 7 7 7
ACTIVIDADES 3, 4, 5, 6, 7 DE LA PÁGINA 63
ACTIVIDADES 8, 9, 12, 13 DE LA PÁGINA 63
2.5 Producto y División de Fracciones.
Para multiplicar o dividir fracciones no es necesario que tengan el mismo denominador.
PRODUCTO:
a c a·c
· =
b d b·d
DIVISIÓN:
a c a·d
: =
b d b·c
Veamos dos ejemplos:
1)
2 5 10
· =
3 7 21
3 ) 3·
5 3 5 15
= · =
7 1 7 7
2)
2 5 14
: =
3 7 15
4 ) 3:
5 3 5 21
= : =
7 1 7 5
3
2.6 Potencias de Fracciones.
Veamos cómo se comportan las fracciones con las potencias:
A ) POTENCIA DE UNA FRACCIÓN: La potencia de una fracción es igual a la fracción de las potencias.
n
n
an
a
a
a a ·... · a an
a
=


=
. Por tanto:
  = · ... · =
b
b
b b ·... · b bn
bn
b
4
2 4 16
2
=
Ejemplo:   =
3
3 4 81
B ) POTENCIA DE UN PRODUCTO: La potencia de un producto es igual al producto de las potencias.
n
n
a c
a c
 ·  =  ·  
b d
b  d
n
3
3
3
23 5 3
8 125 1000
2 5
2 5
Ejemplo:  ·  =   ·   =
=
=
·
·
3
3
27 343 9261
3 7
3 7
3 7
C ) POTENCIA DE UN COCIENTE: La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias.
n
n
a c
a c
 :  =  :  
b d
b d
2 5
3
n
2
3
5
3
23 5 3
8
125
2744
Ejemplo:  :  =   :   =
:
=
:
=
3 7
3 7
3 3 7 3 27 343 3375
D ) PRODUCTO DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE: Se deja la misma base y se suman los
exponentes.
n
a a
  ·  
b b
m
a
= 
b
3
2 2
n+m
3
2
6
26
64
Ejemplo:   ·   =   =
=
5 5
5
5 6 15625
E ) COCIENTE DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE: Se deja la misma base y se restan los
exponentes:
n
a a
  :  
b b
m
2
a
= 
b
5
2
n −m
3
2
2
22
4
=
Ejemplo:   :   =   =
5 5
5
5 2 25
4
F ) POTENCIA DE OTRA POTENCIA: Se multiplican los exponentes.
  a n 
  
 b  


m
a
= 
b
n·m
3
9
  1 3 
19
1
 1


Ejemplo:     =   =
=
9
2
512
2
2
  
G ) POTENCIA DE EXPONENTE 0: Siempre valen 1.
0
a
  =1
b
ACTIVIDADES PARA TRABAJAR EN CLASE Y EN CASA: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 DE LA PÁGINA 72.
2.7 Potencias de Exponente Negativo.
Para definir las potencias de exponente negativo se utilizan las fracciones.
a −n =
a
 
b
−n
1
an
, n>0
b
= 
a
n
Ejemplos: 2 − 3 =
1
2
3
=
2
 
3
1
,
8
−2
2
9
3
=  = ,
4
2
 1
 
2
−3
= 23 = 8 .
ACTIVIDADES PARA TRABAJAR EN CLASE Y EN CASA: 10, 11, 12, 13, 14 DE LA PÁGINA 72.
2.8 Potencias de Base 10.
Recordar las potencias de base 10 es muy sencillo, tanto las de exponentes positivos, como negativos:
10 −3 = 0.001
10 −2 = 0.01
10 −1 = 0.1
10 0 = 1
101 = 10
10 2 = 100
10 3 = 1 000
.
Con ellas podemos expresar números muy grandes y muy pequeños, a esta forma de escribir los números
se le llama NOTACIÓN
CIENTÍFICA.
Ejemplos:
Distancia media aproximada de la Tierra al Sol en km:
150 000 000 = 150 · 1 000 000 = 150 · 10 6 = 1.5 · 10 8 .
Diámetro aproximado de un glóbulo rojo en m:
0.000008 = 8 · 0.000001 = 8 · 10 -6 .
ACTIVIDADES PARA TRABAJAR EN CLASE Y EN CASA: 16, 17, 18 DE LA PÁGINA 73.
5
2.9 Expresión Decimal de los Números Racionales.
Sabemos que los números racionales son fracciones, veamos ahora cómo se clasifican desde el punto de
vista decimal:
A ) NÚMEROS ENTEROS: No tienen parte decimal. Sus fracciones irreducibles tienen denominador 1.
Ejemplo: 3 =
3
.
1
B ) DECIMALES EXACTOS: La parte decimal es finita (limitada). Sus fracciones irreducibles tienen un
denominador cuyos factores primos 2 ó 5.
Ejemplo: 0.3 =
3
.
10
C ) PERIÓDICOS PUROS: La parte decimal es infinita, de modo que cierto número, llamado PERIODO, se
repite indefinidamente. Sus fracciones irreducibles tienen un denominador cuyos factores primos no pueden ser ni
2 ni 5.
Ejemplo: 0.33333333 ... = 0.3 =
⌢
1
3
Periodo : 3 .
D ) PERIÓDICOS MIXTOS: La parte decimal es infinita, de modo que cierto número, llamado PERIODO, se
repite indefinidamente, después de otro número, llamado ANTEPERIODO. Sus fracciones irreducibles tienen un
denominador cuyos factores primos son 2 ó 5 y otros.
Ejemplo: 0.233333333 ... = 0.23 =
⌢
7
30
Periodo : 3
Anteperiodo : 2 .
El resto de los números con expresiones decimales distintas a las anteriores no son Racionales
y no se pueden expresar en forma de fracción, se llaman IRRACIONALES.
Veamos con varios ejemplos cómo pasar de la expresión decimal a la fraccionaria. Es
decir, como se obtiene la FRACCIÓN GENERATRIZ de un número decimal:
ENTERO: − 2 = −
2
1
DECIMAL EXACTO: 3.45 =
345 69
=
100 20
PERIÓDICO PURO: 2.3 ?
⌢
 x = 2.333 ...

10 x = 23 .3333 ...
⌢ 7
21 7
9 x = 21 ⇒ x =
= . Por tanto : 2.3 =
9
3
3
PERIÓDICO MIXTO:
⌢
2 .4 3 ?
 10 x = 24 .333 ...

100 x = 243 .333 ...
⌢ 73
219 73
90 x = 219 ⇒ x =
. Por tanto : 2.43 =
=
90
30
30
ACTIVIDADES PARA TRABAJAR EN CLASE Y EN CASA: 1, 2, 3, 4 DE LA PÁGINA 75.
6