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Elementos de Teoría de Grupos
para estudiantes de Física
Martín Rivas
e-mail:martin.rivas@ehu.es
Departamento de Física Teórica
UPV/EHU
Leioa, Octubre 2005
i
c
°
Martín Rivas, Bilbao.
ii
Índice general
1. GRUPOS FINITOS
3
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
Deniciones y propiedades generales . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grupo Simétrico Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grupo diédrico Dn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aplicaciones entre grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Representación de un grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1. Otras representaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Producto Kronecker de representaciones . . . . . . . . . . . . . . .
1.7. Objetivos de la teoría de representaciones . . . . . . . . . . . . . .
1.8. Resumen de notación y principales teoremas . . . . . . . . . . . . .
1.8.1. Notación general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.2. Teoremas generales sobre grupos nitos . . . . . . . . . . .
1.8.3. Teoremas generales sobre representaciones de grupos nitos
1.8.4. Relaciones de ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9. Algunos grupos nitos de orden más bajo . . . . . . . . . . . . . .
1.10. Representaciones irreducibles eles de S3 , D4 , Q, G12 y D6 . . . .
1.11. Representaciones irreducibles eles de los grupos T y S4 . . . . . .
1.12. Representación irreducible el del grupo Octaédrico O . . . . . . .
1.13. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2. GRUPOS CONTINUOS
3
5
7
8
9
11
12
13
15
15
15
16
17
17
25
27
29
31
63
2.1. Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Grupos de Lie de transformaciones . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Algebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. Algebra de Lie de un grupo de Lie . . . . . . . . . . .
2.3.2. Representación adjunta de un álgebra de Lie . . . . .
2.3.3. Teorema (Cartan-Levi-Maltsev) . . . . . . . . . . . . .
2.3.4. Algunas álgebras de Lie de dimensión baja . . . . . . .
2.3.5. Álgebra de Lie de un grupo de Lie de transformaciones
2.3.6. Cambios de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.7. Realización adjunta de un álgebra de Lie . . . . . . . .
2.4. Grupos de Lie de transformaciones lineales . . . . . . . . . . .
2.5. Espacio homogéneo de un grupo . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias . . . . . . . . .
2.6.1. Integrales primeras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7. Aplicación exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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81
82
84
84
87
88
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ÍNDICE GENERAL
iv
3. TENSORES
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
Derivación en variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Espacio vectorial tangente y cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Transformación de un tensor. Covariancia y contravariancia . . . . . .
Sobre la notación vectorial y tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Operaciones con tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Derivada de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1. Derivada de Lie de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.2. Derivada de Lie de un campo vectorial contravariante . . . . .
3.7.3. Propiedades de la derivada de Lie de un campo vectorial . . . .
3.7.4. Derivada de Lie de un campo vectorial covariante . . . . . . . .
3.7.5. Derivada de Lie de un campo de tensores . . . . . . . . . . . .
3.7.6. Vectores de Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8. Derivada covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.1. Derivada covariante a lo largo de una curva . . . . . . . . . . .
3.8.2. Conexiones en variedades métricas . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9. Integración en variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9.1. Elemento de arco, de supercie, de volumen . . . . . . . . . . .
3.9.2. Transformación del elemento de línea, supercie y volumen . .
3.10. Derivada material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10.1. Campo de aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10.2. Variación temporal del elemento de línea, supercie y volumen
3.10.3. Derivada material de integrales curvilíneas . . . . . . . . . . . .
3.10.4. Derivada material de integrales de supercie . . . . . . . . . . .
3.10.5. Derivada material de integrales de volumen . . . . . . . . . . .
3.11. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. GRUPO DE ROTACIONES
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
Grupo O(3) . . . . . . . . . . . . . . .
Rotaciones. Grupo SO(3) . . . . . . .
Parametrización normal o canónica del
Álgebra de Lie del grupo de rotaciones
Ley de composición de las rotaciones .
Grupo SU(2) . . . . . . . . . . . . . .
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . .
5. GRUPOS CINEMÁTICOS
. . . . . . . .
. . . . . . . .
grupo SO(3)
. . . . . . . .
. . . . . . . .
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5.1. Principio de Relatividad Especial . . . . . . . . .
5.2. Grupos Cinemáticos . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1. Análisis dimensional . . . . . . . . . . . .
5.3. Algunos grupos cinemáticos . . . . . . . . . . . .
5.3.1. Grupo de Carroll . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2. Grupos de Newton . . . . . . . . . . . . .
5.3.3. Grupo de Galileo . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4. Grupo de Poincaré . . . . . . . . . . . . .
5.3.5. Grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . .
5.3.6. Grupo SL(2,C) . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.7. Grupo de De Sitter SO(4,1) . . . . . . . .
5.4. Representación matricial 5 × 5 de los generadores
5.5. Interpretación física de las transformaciones . . .
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180
180
183
186
189
191
194
ÍNDICE GENERAL
5.6.
5.7.
5.8.
5.9.
Contracciones de grupos . . . . . . . .
Contracción de los grupos cinemáticos
Relación entre los grupos cinemáticos .
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . .
v
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6.1. Acción adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Invariantes de un grupo de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1. Invariantes polinómicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2. Invariantes racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3. Operadores de Casimir de grupos de Lie semisimples . . . . . . . . . .
6.4. Operadores de Casimir de algunos grupos cinemáticos . . . . . . . . .
6.4.1. Operadores de Casimir de los grupos Euclídeo y de Aristóteles
6.4.2. Operadores de Casimir del Grupo de Lorentz . . . . . . . . . .
6.4.3. Operadores de Casimir del Grupo de Galileo . . . . . . . . . . .
6.4.4. Operadores de Casimir del Grupo de Galileo extendido . . . . .
6.4.5. Operadores de Casimir del Grupo de Poincaré . . . . . . . . . .
6.4.6. Operadores de Casimir del grupo de De Sitter SO(4,1) . . . . .
6.4.7. Operadores de Casimir del grupo de anti-De Sitter SO(3,2) . .
6.4.8. Consideraciones cinemáticas sobre la densidad del universo . .
6.5. Sistemas Elementales Cuánticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6. Sistemas Elementales Clásicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.1. Sistemas Elementales Lagrangianos . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6. INVARIANTES DE UN GRUPO DE LIE
7. ESPINORES
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.7.
7.8.
7.9.
Espinores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Representación espinorial producto Kronecker . . . . .
Representaciones irreducibles del grupo de Rotaciones
Representaciones irreducibles del grupo SO(4) . . . . .
Representaciones irreducibles del grupo de Lorentz . .
Armónicos esféricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Representación espinorial sobre SO(3) . . . . . . . . .
Teorema de Peter-Weyl sobre grupos compactos . . . .
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8. SIMETRIAS
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8.1. Simetrías de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1. Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales . . . . . .
8.2. Simetrías de un sistema clásico . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3. Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4. Introducción al formalismo cuántico . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1. Espacio de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.2. Operadores y formas lineales sobre un espacio de Hilbert
8.4.3. Tipos de operadores lineales . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.4. Valores propios y vectores propios . . . . . . . . . . . .
8.4.5. Principio de Incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5. Simetrías de un sistema cuántico . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6. Representaciones irreducibles de un grupo . . . . . . . . . . . .
8.7. Representaciones proyectivas de grupos continuos . . . . . . . .
8.7.1. Extensión central del grupo SO(3) . . . . . . . . . . . .
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ÍNDICE GENERAL
vi
8.7.2. Extensión central del grupo Euclídeo . . . . . . .
8.7.3. Extensión central del grupo de Galileo . . . . . .
8.7.4. Extensión central del grupo de Poincaré . . . . .
8.8. El Principio de Relatividad como simetría de un sistema
8.8.1. Observables y valores esperados . . . . . . . . . .
8.8.2. Inversiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.9. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A. FUNCIONES DE MATRICES
A.1. Funciones de una matriz . . . . . . .
A.1.1. Norma de una matriz . . . .
A.1.2. Exponencial de una matriz .
A.1.3. Logaritmo de una matriz . .
A.1.4. Algunos teoremas útiles . . .
A.1.5. Teorema de Cayley-Hamilton
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B. EXPONENTES Y FUNCIONES GAUGE
B.1.
B.2.
B.3.
B.4.
B.5.
Exponentes de un grupo . . . . . . . .
Denición y propiedades . . . . . . . .
Principales teoremas sobre exponentes
Funciones gauge . . . . . . . . . . . . .
Propiedades de las funciones gauge . .
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C. ALGEBRAS DE LIE SEMISIMPLES
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D. GRUPO CONFORME
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C.1. Algebras de Lie semisimples. Forma canónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.2. Grupo SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.1. Transformaciones Conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.2. Grupo Conforme del espacio de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.3. Operadores de Casimir del grupo Conforme SO(4,2) . . . . . . . . . . . . . . .
E. ÁLGEBRA GEOMÉTRICA
E.1. Los números complejos . . . . . . . . .
E.2. Los quaterniones . . . . . . . . . . . .
E.3. Álgebra de Pauli . . . . . . . . . . . .
E.3.1. Base ortonormal . . . . . . . .
E.3.2. Rotaciones . . . . . . . . . . .
E.3.3. Producto geométrico en A(R3 )
E.4. Álgebra de Dirac . . . . . . . . . . . .
E.4.1. Representación de Majorana . .
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F. ENSEÑANDO ÁLGEBRA AL ORDENADOR
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G. EL HELIOSCIÁMETRO DE LEIOA
365
H. SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS
369
Índice de referencias biográcas
371
F.1. Álgebras no conmutativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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