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1.3
Representación gráfica de los números complejos
Igual que los números reales pueden representarse gráficamente
en una recta, los números complejos pueden representarse gráficamente en un plano.
La representación gráfica de un número complejo en un plano
coordenado es el punto cuyas coordenadas son las partes real e imaginaria de número complejo. Concretamente, la abscisa del punto es
la parte real y la ordenada del punto es la parte imaginaria del número
complejo dado. En otras palabras, la representación geométrica de un
número complejo z = x + yi es el punto del plano con coordenadas ( x, y).
x+ä y
y
x
Se llama plano complejo a un plano coordenado en el que sus puntos han sido puestos en
correspondencia con los números complejos en la forma que se acaba de explicar.
Igual que la representación gráfica de los números reales en la recta nos permite relacionar
e identificar las propiedades aritméticas de los números reales con las propiedades geométricas
de la recta, también la representación gráfica de los números complejos en el plano, nos permite
tanto interpretar geométricamente las propiedades aritméticas de los números complejos como
deducir conceptos y propiedades algebraicas de los números complejos a partir de los conceptos
geométricos del plano.
Ejemplo La representación gráfica de los números complejos
1, i, −1, −i es la que aparece en la figura de la derecha:
1 Ejercicio de tarea. Representa gráficamente en un mismo sistema
de ejes coordenados los números complejos siguientes:
(a) z = 2 + i ,
(b) z = −2 − i ,
(c) z =
π
i,
3
(d) z = ln 2 +
i
-1
1
-i
π
i.
4
2 Ejercicio de tarea. Representa gráficamente, cada uno en un sistema de ejes coordenados distinto los conjuntos de números complejos que satisfacen las siguientes condiciones:
(a) Re(z + 3) = Im(z) ,
(c) Re(z) + Im(z) ≤ 0 ,
(d) Re(z)2 + Im(z)2 ≤ 1 .
Círculo unitario y circunferencia unidad
La identidad sen2 θ + cos2 θ = 1 (torema de Pitágoras) implica que la representación gráfica de los números complejos
de la forma z = cos θ + i sen θ para cualquier número real θ
es la circunferencia con centro en el origen y radio 1, la cual
se conoce como la circunferencia unidad del plano complejo.
i
x+ yi
1
y ‡ senHΘL
Θ
x ‡ cosHΘL 1
-1
1
-i
Versión de 20 de marzo de 2017, 1:33 h.
1.1.
(b) Re(z) ≤ 1 ,
1.2
Sobre el significado geométrico del producto de números complejos
El círculo cuya circunferencia es la circunferencia unidad
se conoce como el círculo unitario.
1.2.
Sobre el significado geométrico del producto de números complejos
Ya que los números complejos tienen como representación geométrica los puntos del plano
coordenado, y dado que la suma tiene una clara interpretación geométrica (complección del
paralelogramo) podemos preguntarnos si la multiplicación de números complejos tiene también
alguna interpretación geométrica sencilla. Los casos más sencillos son objeto de los ejercicios 3 y
4 que piden respectivamente demostrar que multiplicar un número complejo x + yi por un número
real positivo λ transforma el punto ( x, y) mediante una homotecia de razón λ y que multiplicar un
número complejo x + yi por la unidad imaginaria i transforma el punto ( x, y) mediante un giro de 90◦ .
Usando la propiedad distributiva de la multiplicación se pueden usar estos resultados para
deducir la interpretación geométrica general de la multiplicación de números complejos. Otra
forma en que también puede obtenerse dicha interpretación geométrica se indica en la siguiente
sección en el Ejercicio ?? y también en la segunda consecuencia de la fórmula de Euler.
3 Ejercicio de tarea. Demuestra que la operación de multiplicar un número complejo z = x + yi
por un número real positivo λ transforma el punto que representa a z mediante una homotecia
de razón λ.
4 Ejercicio de tarea. Demuestra que la operación de multiplicar un número complejo z = x + yi
por la unidad imaginaria i transforma el punto que representa a z mediante un giro de 90◦ .
Enlaces a todos los ejercicios de tarea de esta sección
Usa los siguientes enlaces para visualizar cada uno de los ejercicios de tarea que aparecen
en esta sección:
Enlaces: Ejercicio 1, Ejercicio 2, Ejercicio 3, Ejercicio 4.
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