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ESPACIOS DEFINIDOS
DEFINITE SPACES
Héctor Carlos Guimaray Huerta1
RESUMEN
La matemática ha desarrollado, haciendo uso de axiomas, espacios matemáticos como espacios
vectoriales, normados, métricos, topológicos, etc. El objetivo principal en este artículo es
definir un espacio en el que las propiedades de un conjunto sean las mismas en los espacios
mencionados anteriormente, para lo cual se considera una función conjunto a conjunto llamada
función definida.
Palabras clave.- Espacio vectorial, Espacio topológico, Conjunto definido, Cápsula definida.
ABSTRACT
Mathematics has been developed, using axioms, mathematical spaces as vector spaces, normed,
metric, topological and so on. The primary objective in this article is to define a space in which
the properties of a set are the same in the spaces above, for which is considered a function set
to set called defined function.
Key words.- Vector space, Topological space, Defined set, Defined hull.
INTRODUCCIÓN
En el espacio vectorial surgen los conceptos de
subespacio vectorial, conjunto afín, conjunto
convexo y cono, entre otros, los que a su vez dan
lugar a cápsula lineal, afín, convexa y positiva
respectivamente. Similarmente, en espacio
topológico usando el concepto de conjunto cerrado
consideramos la cápsula cerrada que no es otra
cosa que la clausura de dicho conjunto. En el
presente artículo se introduce el concepto de
conjunto definido, cápsula definida para luego
considerar el espacio definido con el objetivo de
que las propiedades sean válidas en los espacios
mencionados.
PRELIMINARES
Subespacio vectorial
i) x + y A
ii) x A
x, y A
C, x A [5]
Proposición.- Sea X un espacio vectorial sobre un
campo C. Luego,
es un subespacio vectorial
colección de subespacios vectoriales { } [1 - 5].
Definición:.- Sean X un espacio vectorial sobre un
campo C, A X. Luego,
<A> = {x X / x =
,
A,
C}
se llama cápsula lineal de A. [4].
Proposición.- Sean X un espacio vectorial sobre un
campo C; A, B X. Luego:
i) < A> es un subespaciovectorial A X [1]
ii) A B
< A> < B>
iii) A es subespacio vectorial si y sólo si
A = <A>
Conjunto afín
Definición.- Sean X un espacio vectorial sobre un
campo C, A X.
Definición.- Sean X un espacio vectorial sobre un
Se dice que A es subespacio vectorial si:
________________________________________________________________________________________
1
Maestro y Docente de la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Ingeniería, Lima, Perú
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Héctor Carlos Guimaray Huerta
campo C, A X. Se dice que A es conjunto afín si
A = x + S donde x X y S es un subespacio
vectorial.
Proposición.- Sea X un espacio vectorial sobre un
campo C. Luego,
es un conjunto afín
colección de conjuntos afines { }.
Definición.- Sean X un espacio vectorial sobre un
campo C, A X. Luego,
(A) = {x X / x =
,
A,
C,
= 1} se llama cápsula afín de A [7 y 8].
Proposición.- Sean X un espacio vectorial sobre un
campo C; A, B X. Luego:
i) (A) es un conjunto afín
A X
ii) A B
(A)
(B)
iii) A es conjunto afín si y sólo si
A =
(A)
Conjunto convexo
Definición.- Sean X un espacio vectorial real, A
X. Se dice que A es unconjunto convexo si
A + (1 – ) A A
[0, 1]
Proposición.- Sea X un espacio vectorial real.
Luego,
es un conjunto convexo colección
de conjuntos convexos { } [6].
Definición.- Sean X un espacio vectorial real, A
X. Luego, [A] = {x X / x=
,
A,
C,
= 1,
0 } se llama
cápsula convexa de A.
Proposición.- Sean X un espacio vectorial real; A,
B X. Luego:
i) [A] es un conjunto convexo
A X
ii) A B
[A] [B]
iii) A es conjunto convexo si y sólo si
A = [A]
Cono convexo
Definición.- Sean X un espacio vectorial real, A
X. Se dice que A es uncono si A
A
0.
Se dice que A X es cono convexo si A es cono y
convexo.
TECNIA 22 (2) 2012
Proposición.- Sea X un espacio vectorial real.
Luego,
es un cono convexo colección de
conos convexos { }.
Definición.- Sean X un espacio vectorial real, A
X. Luego, (A) = {x X/ x=
,
A,
C,
0} se llama cápsula positiva
de A.
Proposición.- Sean X un espacio vectorial real; A,
B X. Luego:
i) (A) es un cono convexo
A X
ii) A B
(A)
(B)
iii) A es cono convexo si y sólo si
A =
(A) [2 y 8]
Conjunto cerrado
Definición.- Sean X un espacio topológico, A X.
Se dice que A es conjunto cerrado si X \ A es
abierto [7].
Proposición.- Sea X un espacio topológico. Luego,
es un conjunto cerrado colección de
conjuntos cerrados { } en X [7].
Definición.- Sean X un espacio topológico A X.
Luego, = {x X /
V
vecindad V de x} se llama cápsula
cerrada de A [3].
Proposición.- Sean X un espacio topológico; A, B
X. Luego:
i) es un conjunto cerrado
A X
ii) A B
iii) A es conjunto cerrado si y sólo si
A = [3].
PROPUESTA DE INVESTIGACIÓN
ESPACIO DEFINIDO
Notación.X.
(X) conjunto potencia de un conjunto
Observación.- Conjunto definido es, por ejemplo,
conjunto abierto, cerrado, subespacio vectorial,
conjunto afín, convexo, etc.
Espacios definidos
Definición.- Sea X un conjunto dotado de un
concepto de conjunto definido en X donde
es
un conjunto definido
colección de conjuntos
definidos { } en X,
D: (X)
(X) se llama función definida en X
si:
i) D (A) es conjunto definido
A X
ii) A B
D (A) D (B)
iii) A es conjunto definido si y sólo si
A = D (A)
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Observación.- Considerando
anterior se tiene:
A
(A)
A
[A]
A
(A)
A
(X, D) se llama espacio definido
Proposición.- D (A) =
conjunto definido.
Ejemplo: Sea X un espacio topológico dotado del
concepto de conjunto abierto, int A el interior de
A. Luego, (X, int) no es espacio definido.
Solución
Se tiene que.i) int A es conjunto abierto A X
ii) A B
int A int B
iii) A es conjunto abierto si y sólo si
A = int A
Sin embargo,
no es un conjunto abierto
colección de conjuntos abiertos.
{ } en X
(X, int) no es espacio definido.
x
donde A
A
D (A) D (
D (A)
Por otra parte:
j
D (A) =
, por el axioma iii)
(I)
D (A) con D (A) conjunto
, algún j
D (A)
De (I) y (II):
D (A) =
donde A
definido.
(II)
con
conjunto
Considerando la proposición anterior se tiene:
<A> =
vectorial.
(A) =
con
conjunto definido.
[A] =
convexo.
(A) =
A
=
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)=
Se tiene que A
definido.
x D (A)
D (A)
con
CONCLUSIONES
Proposición: A D (A)
Prueba:
Sea x A
Ahora, sea { } una colección de conjuntos
definidos en X donde A
.
i
donde A
Prueba:
A
Resultados
x
proposición
A <A>
D (A) se llama cápsula definida de A
Ejemplos: (X, < >), (X, ), (X, [ ]),
(X, ), (X,
) expresadas anteriormente son
espacios definidos.
la
donde A
donde A
con
con
donde A
donde A
conjunto afín.
con
donde A
con
con
subespacio
conjunto
cono convexo.
conjunto cerrado.
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Héctor Carlos Guimaray Huerta
Es decir, usando el concepto introducido, hemos
probado simultáneamente para subespacio
vectorial, conjunto afín, conjunto convexo, cono
convexo y conjunto cerrado; de igual manera para
otros conceptos matemáticos siempre que cumplan
los axiomas de la propuesta de investigación dada
en el punto 3.
REFERENCIAS
1.
2.
3.
Howard, A., “Introducción al Álgebra
Lineal”, pp. 279, Editorial Limusa S. A.,
México, 2003.
Berge, C., “Topological Spaces”, pp. 14, the
Macmillan Company, New York, 1963.
Dugundji, J., “Topology”, pp. 69, Allyn and
Bacon, Inc., Boston, 1966.
TECNIA 22 (2) 2012
4.
5.
6.
7.
8.
Herstein, I. N., “Álgebra Moderna”, pp. 163,
Editorial Trillas S. A. de C. V., México, 2002.
Hoffman, K., “Álgebra lineal”, pp. 34, 36,
Editorial Dossat, S. A., Madrid, 1973.
Magaril-Il’yaevG, G., “Convex Analysis:
Theory and Applications”, pp. 30, American
Mathematical Society, USA, 2003.
Munkres, J. R., “Topología”, pp. 105, 106,
Pearson Educación, S. A., Madrid, 2002.
Kusraev, A. G., Kitateladze, S. S.,
“Subdifferentials: Theory and Applications”,
pp. 3, 2 - 6, Kluwer Academic Publishers,
Netherlands, 1995.
hguimaray@hotmail.com
Recepción de originales: enero 2013
Aceptación de originales: marzo 2013