Download Polígonos básicos

LECCIÓN 17
Lección 17:
Polígonos básicos
Un polígono es una figura cerrada formada por segmentos
de recta que no se cruzan entre sí. Los segmentos se llaman
lados del polígono. Los polígonos pueden ser convexos, como
los primeros cinco de la siguiente figura, o no convexos,
como los últimos dos, (observe que en estos últimos se
pueden encontrar puntos que si se unen con un segmento,
éste no queda totalmente en el interior del polígono, cosa
que no sucede en los convexos). En este libro, cuando
hablemos de polígonos nos referiremos exclusivamente a
los polígonos convexos.
Los polígonos se pueden clasificar de muchas maneras: por
el número de lados que tienen, por el tamaño de los lados,
por la relación que guardan entre sí, por los ángulos que forman,
etc. A continuación veremos algunas de las clasificaciones más
usuales, y cómo se trazan algunos polígonos.
175
GUÍA
DE
MATEMÁTICAS I
Triángulos
Los triángulos tienen tres lados y, como su nombre lo indica,
tres ángulos. En un triángulo, todos los lados pueden ser
congruentes (es decir, tener la misma medida), en cuyo caso
decimos que el triángulo es equilátero. Si dos de los lados
son congruentes y el tercero es diferente, decimos que el
triángulo es isósceles. Si los tres lados son diferentes entre
sí, decimos que el triángulo es escaleno.
triángulo equilatero
triángulo isósceles
triángulo escaleno
Consideremos ahora los ángulos que forman los tres lados
de un triángulo. Si el triángulo es equilátero, también los
tres ángulos miden lo mismo: todos miden 60º. Si el triángulo
es isósceles, dos de los ángulos miden lo mismo y el tercero
es diferente: los que miden lo mismo son los que se forman
con cada uno de los lados congruentes y el tercer lado. Si el
triángulo es escaleno, los tres ángulos tienen distinta medida.
Sea como fuere el triángulo, siempre es cierto lo siguiente:
la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180º.
Un tipo particular de triángulo es el triángulo rectángulo,
que se caracteriza porque uno de sus ángulos es recto.
Los lados de un triángulo así reciben nombres específicos:
los dos que forman el ángulo recto se denominan catetos y
el tercero, que es siempre el más grande, se denomina
hipotenusa. Un triángulo rectángulo puede
ser isósceles o escaleno.
catetos
hipotenusa
176
LECCIÓN 17
Cuando se conoce cuánto miden los lados de un triángulo, el
triángulo se puede trazar con regla y compás de la siguiente
manera:
1. Se traza un segmento de la longitud de uno de los lados.
2. Con la apertura del compás del tamaño de otro lado,
se coloca la punta de metal en un extremo del segmento
trazado y se traza un arco.
3. Con la apertura del compás del tamaño del tercer lado,
se coloca la punta de metal en el otro extremo del
segmento y se traza un arco, que se cruce con el otro.
4. Se traza con la regla un segmento desde cada uno de
los extremos del segmento inicial hasta el cruce de
los dos arcos.
a) Trace triángulos con las siguientes medidas:
• 10 cm., 8 cm. y 6 cm.
• 7 cm., 12 cm. y 7 cm.
• 9 cm., 5 cm. y 10 cm.
• 12 cm., 7 cm. y 7 cm.
b) ¿Cómo es el primer triángulo trazado?
c) ¿Cómo son los últimos dos triángulos trazados?
¿Se puede trazar un triángulo cuyos lados midan 15 cm., 5 cm.
y 7 cm.? ¿Por qué?
177
GUÍA
DE
MATEMÁTICAS I
a) Realice la siguiente construcción:
1. Trace un círculo y marque un punto cualquiera sobre
la circunferencia; llámelo A.
2. Con la misma apertura de compás, coloque la punta
de metal sobre el punto A y marque otro punto sobre
la circunferencia; llámelo B.
3. Repita el paso 2 cuatro veces más, poniendo cada vez
la punta de metal sobre el punto anterior; llame a los
nuevos puntos C, D, E y F.
4. Trace el triángulo ACE y el triángulo BDF.
b) ¿Cómo son los triángulos trazados?
a) ¿Puede haber un triángulo con dos ángulos rectos? ¿Por qué?
b) ¿Puede haber un triángulo rectángulo equilátero? ¿Por qué?
c) ¿Cuánto miden los ángulos de un triángulo rectángulo
isósceles?
Cuadriláteros
Un cuadrilátero es un polígono formado por cuatro segmentos
de recta.
178
LECCIÓN 17
Como para cualquier polígono con un número par de lados,
podemos hablar de las diagonales de un cuadrilátero: son
los segmentos que unen vértices opuestos. Algunos de los
cuadriláteros más notables y sus propiedades son los siguientes:
Un rectángulo es un cuadrilátero
cuyos ángulos miden 90º. Los lados
opuestos de un rectángulo son
congruentes. Sus diagonales
son congruentes y se cruzan en
su punto medio.
Un rombo es un cuadrilátero cuyos
cuatro lados son congruentes.
Los ángulos opuestos de un rombo
miden lo mismo. Sus diagonales
se cruzan en su punto medio y
además son perpendiculares.
Un cuadrado es un cuadrilátero cuyos
cuatro lados son congruentes y
cuyos ángulos miden 90º. Observe que
esto quiere decir que el cuadrado es
un rectángulo que además es rombo
(o un rombo que además es rectángulo).
Por esta razón, sus diagonales son
congruentes, se cruzan en su punto
medio y son perpendiculares.
Los tres cuadriláteros recién vistos poseen otra característica
en común: los lados opuestos son paralelos. Por esta razón
se llaman paralelogramos. Hay paralelogramos que no
son rectángulos ni rombos ni
cuadrados, como el que se muestra
a la derecha. Los lados opuestos
de un paralelogramo son iguales.
Sus diagonales se cruzan en su
punto medio.
179
GUÍA
DE
MATEMÁTICAS I
a) ¿Qué clase de polígono es el
“cuadrilátero” del box?
b) ¿Qué clase de polígono es el
“diamante” de una cancha de beisbol?
c) ¿Qué clase de polígono es una cancha
de volibol?
Para cada uno de los incisos de este ejercicio, recorte cuatro
tiras de cartón delgado y perfórelas en ambas orillas. Únalas
de dos en dos por las perforaciones utilizando una chinche de
dos patas o un hilito amarrado, de tal modo que puedan girar
libremente una sobre la otra. Al final una la primera con la
cuarta del mismo modo. Mueva dos de las tiras y observe
cómo se mueven las otras dos.
a) Utilice cuatro tiras del mismo tamaño. ¿Qué cuadriláteros
se pueden formar?
b) Utilice dos tiras del mismo tamaño y otras dos, también
iguales, pero distintas de las primeras. Únalas de este
modo: una grande, una pequeña, una grande y una
pequeña. ¿Qué cuadriláteros se pueden formar?
c) Utilice las mismas tiras del inciso anterior, pero ahora
únalas así: una grande, una grande, una pequeña y una
pequeña. ¿Se pueden formar los mismos cuadriláteros
del inciso anterior?
d) Utilice cuatro tiras de distintos tamaños. ¿Se puede
formar un rectángulo? ¿Se puede formar un cuadrilátero
con un ángulo recto? ¿Y con dos? ¿Y con tres?
180
LECCIÓN 17
Trace un rombo cuyas diagonales midan 8 cm. y 6 cm.
Polígonos de más lados
Algunos de los polígonos que tienen más de cuatro lados
tienen nombres específicos, dependiendo del número de
lados que tienen. Estos nombres se presentan en la
siguiente tabla:
número de lados
nombre del polígono
5
pentágono
6
hexágono
7
heptágono
8
octágono
9
nonágono
Polígonos regulares
Un polígono regular es un polígono cuyos lados son todos
congruentes y cuyos ángulos tienen la misma medida.
A continuación se muestran los primeros seis polígonos
regulares.
triángulo
equilatero
cuadrado
pentágono
regular
181
GUÍA
DE
MATEMÁTICAS I
hexágono
regular
heptágono
regular
Todos los polígonos regulares pueden ser inscritos en un
círculo; es decir, se puede trazar una circunferencia que
pase por todos sus vértices. Los lados del polígono forman
cuerdas del círculo. Los radios de ese círculo a cada uno
de los vértices forman, con los lados respectivos, triángulos
isósceles, y se forman tantos triángulos de éstos como
lados tiene el polígono regular. Esto se puede ver en la
siguiente figura.
Esta propiedad de los polígonos regulares permite dar una
regla general para su construcción. Si queremos trazar un
polígono regular de n lados, entonces:
1. Trazamos un círculo.
182
octágono
regular
LECCIÓN 17
2. Dividimos 360º entre n: esto nos da la medida del
ángulo al centro de cada triángulo.
3. Con ayuda del transportador, trazamos n ángulos con
vértice en el centro del círculo y esa medida, de tal
modo que los lados sean consecutivos. Llevamos cada
lado (radio) hasta la circunferencia.
4. Unimos los puntos consecutivos en los que los lados de
los ángulos trazados se cruzan con la circunferencia.
¿En qué caso el triángulo que se forma con dos radios y un
lado de un polígono regular es equilátero? ¿En qué caso es
rectángulo?
Siga las instrucciones para la construcción de un polígono
regular y construya:
a) Un cuadrado.
b) Un pentágono regular.
c) Un hexágono regular.
Siga las instrucciones del ejercicio 3 de esta lección, pero al
final, en vez de trazar los triángulos, una A con B, B con C,
C con D, D con E, E con F y F con A. ¿Qué polígono obtiene?
Esta es otra manera de trazar ese polígono regular.
183