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RESUMEN DE TRIGONOMETRÍA II
Resolución de triángulos.
Resolver un triángulo es hallar todos sus ángulos y todos sus lados a partir del
conocimiento de algunos de estos elementos. Para ello
nos valemos de la
trigonometría, bien sea utilizando la directamente las razones trigonométricas, bien
utilizando los diferentes teoremas que relacionan los elementos de un triángulo entre
sí.
En el caso de los triángulos rectángulos, como vimos en el resumen anterior,
podemos resolver el problema sin más que aplicar directamente las definiciones de
senα , cosα , y tgα . Vamos a dar a continuación los teoremas que relacionan los
elementos de un triángulo y nos permitirá resolver triángulos de cualquier tipo.
TEOREMA DEL SENO:
Cada lado de un triángulo es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto.
Sea un triángulo de lados, a, b, c y
ángulos A, B, C. Se verifica que:
•
=
=
= 2R
donde R es el radio de la circunferencia circunscrita en el triángulo
Con este teorema, podemos resolver cualquier triángulo siempre que conozcamos dos
ángulos y un lado o bien, conocemos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
Ejemplo 1:
Resolver el triángulo con los siguientes datos: a=4 cm; b=5cm; B =300
Averiguamos el ángulo A
=
;
=
; senA = ∙
= A = arcsen ;
A = 23,58%
El ángulo C será: C = 180o – (23,58o + 30o) = 126,42o y calculamos el lado c aplicando
la otra igualdad
=
;
=
& ',
→ c =
& ',
= 8,1cm
Ejemplo 2:
Resolver el triángulo con los siguientes datos: a=10 cm; B =40o; C=40o
Calculamos el ángulo A: A, = 180o – (40o + 40o) = 100o
=
→
&
&
=
→ b =
& ∙
&
=6,53 cm.
=
→ c =
& ∙
&
=
6,53 cm.
TEOREMA DEL COSENO:
En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los
otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que
forman. Es decir:
•
•
•
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
b2 = a2 + c2 – 2ac cos B
c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
Con este teorema, podemos resolver cualquier triángulo siempre que conozcamos: los
tres lados; dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos; dos lados y el ángulo que
forman.
Ejemplo 3:
Resuelve el siguiente triángulo: a= 1200m, c=700m y B = 108o.
b = a + c − 2ac ∙ cosB → b = √1200 + 700 − 2 ∙ 1200 ∙ 700 ∙ cos 108 = 1564.97m
el ángulo C será:
cos C =
= 25,18
o
c −a −b
700 − 1200 − 1584,97
=
→ cos C = 0,90 → C = arcsen0,90
−2ab
−2 ∙ 1200 ∙ 1584,97
A =180o –(108o + 25,18o)
Ejercicios:
1º) Resuelve cuando sea posible los siguientes triángulos:
soluciones:
2º) Sara y Manolo quieren saber a qué distancia se encuentra un castillo que está en
la orilla opuesta de un río. Se colocan a 100 metros de distancia el uno del otro y
consideran el triángulo en cuyos vértices están cada uno de los dos, y el castillo. El
ángulo correspondiente al vértice en el que está Sara es de 25o y el ángulo del vértice
en el que está Manolo es de 140o. ¿A qué distancia se encuentra Sara del castillo? ¿Y
Manolo?
3º) El entrenador de un equipo de fútbol indica a tres jugadores A, B y C, que se
sitúen en el campo formando un triángulo. A debe situarse a 20m de B, B a 15m de C y
C a 23m de A. ¿Bajo que ángulo observa cada jugador a los otros dos?
(aplicar teorema del coseno)
sol: A=40,07o; B=80,79o; C=59,14o
4º) Desde la puerta de mi casa A, veo el cine, C, que está a 120m, y el kiosco K, que
está a 85m bajo un ángulo CAK =40º. ¿Qué distancia hay entre el cine y el kiosco?
Sol: 77,44 metros
5º) Dos amigos están en una playa a 150m de distancia y en el mismo plano vertical
que una cometa que se encuentra volando entre ambos. En un momento dado, uno la
ve con un ángulo de elevación de 50º y el otro con un ángulo de 38º. ¿Qué distancia
hay desde cada uno de ellos a la cometa?
Sol: 90,61 m y 59,39 m.
6º) Un avión vuela entre dos ciudades A y B, que distan 80 Km. Las visuales desde el
avión a A y B forman ángulos de 29º y 43º con la horizontal, respectivamente. ¿A qué
altura está el avión?
Sol: 27,81 km
7º) Desde la puerta de mi casa A, veo el cine, C, que está a 120m, y el kiosco K, que
está a 85m bajo un ángulo CAK =40º. ¿Qué distancia hay entre el cine y el kiosco?
Sol: 77,44 m.
8º) Las diagonales de un paralelogramo miden 5 y 6 cm., respectivamente y se cortan
bajo un ángulo de 50º. Hallar el perímetro del paralelogramo.
sol: 14,71 cm
9º) Dos barcos A y B salen a las 12:00 hrs desde un mismo punto alejándose uno del
otro con un ángulo de
4
. Si los barcos se desplazan en línea recta a 6 km/hr y
4 km/hr respectivamente, ¿a qué distancia está uno del otro a las 16:00 hrs.?
sol: 34,87 km