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CONVECCION Y MICROFISICA DE NUBES: Primer Cuatrimestre 2007
PRACTICA 6
1) Dado un núcleo de NaCl de masa 3x10-14 g, calcular:
a) el radio de la gota que contenga dicho núcleo en solución para la cual ea es
exactamente igual a aquella del agua pura con una superficie plana.
b) el radio crítico, por encima del cual el núcleo se activa.
P= 1.2x10-9 m
Q=0.147ms cm3 ms= masa del soluto en gramos.
c) Suponiendo que la humedad relativa de la masa de aire en la cual está inmersa una gota
de solución de radio a y masa de soluto m, supera el 100%; analizar cómo evolucionará una
gota de radio a según sea su posición respecto al máximo en la curva de Köhler y según
sea la HR respecto al máximo.
2) a) Calcular el tiempo necesario para los siguientes crecimientos en el radio de una
gota que crece por condensación en una atmósfera que se mantiene con una
sobresaturación con respecto al agua de 0.2 % despreciando los efectos de curvatura y
ventilación.
i) 2 y 5 μ ii) entre 5 y 10 μ iii) entre 10 y 20 μ.
b) Repetir el cálculo para un cristal que aumenta su masa en la misma forma que las
gotas de los puntos i), ii) y iii) del item a) y que se encuentra en el mismo entorno. La
forma del cristal es una placa cilíndrica con altura 10μ. Suponer que el crecimiento se
da en el radio del cristal (la altura de la placa permanece constante).
Datos:
ρhielo= 700 kg /m^3 ρagua= 1000 kg /m^3, esw  484.4 Pa , esi  470,1Pa
 sm 
2r
f (T , P)ice  1.14e10 , f (T , p)agua  1.4e10 ,   . C ielo 
parámetro de forma.

 kg 
3) Si una gota de lluvia tiene un radio de 1mm en la base de nube ubicada a 5km por
encima de superficie. ¿Cuál será su radio en superficie y cuanto tiempo le llevará
alcanzar la superficie si la humedad relativa entre la base de la nube y el suelo es
constante e igual al 60%?. Utilice la relación v(m/s)= 6 x 103 r(m).
4) Una gota crece por acreción al caer a través de una nube de gotitas de tamaño
uniforme de radio 10μ en aproximadamente 900hPa y 0°C. Un conjunto de eficiencias
de colección estimadas y de velocidades terminales de gotas colectoras para un rango
de radios de gotas colectoras entre 30 y 100μ es:
R(μ)
30
40
60
80
100
E
0.17
0.45
0.56
0.62
0.69
v(cm/seg)
9.0
18.7
36.1
56
74.7
La velocidad Terminal de las gotitas de nube es 1.3 cm/seg, M de la nube es 2 g/m3.
1
a) Computar la velocidad de crecimiento dR/dt entre 30 y 100μ, como función de R.
b) Hacer una estimación del tiempo necesario para que la gota crezca desde 30 a
100 μ de radio.
5) Suponga que una nube tiene una cantidad de agua líquida uniforme de 2 g.m3 en
forma de gotitas de radio 10 μ. Una gota de 150 μ de radio inicialmente, cercana a la
base es transportada hacia arriba en una ascendente de 10 m.s-1, mientras crece por
acreción. Cuando su tamaño es lo suficientemente grande, cae y atraviesa la base de la
nube.
a) ¿Cuál es su tamaño final al atravesar la base de la nube?
b) ¿Cuál sería el espesor mínimo de la nube para que este proceso sea posible?
c) Calcular el tiempo que tarda la gota en llegar hasta el tope de la nube y el tiempo
que tarda en volver a la base de la nube.
d) Como se modifican los cálculos si la partícula colectora es una lámina plana de hielo
con un diámetro circular efectivo de 1mm y una masa inicial de 0.01 mg que crece por
escarchamiento. ¿Cuál es su masa cuando w=Vt? ¿A que altura se produjo?
Suponga válida la aproximación Vt››v y (1+r/R)=1.
Datos:
Vt(R)=8.8 *103 R (para el agua) y Vt(M)=2.4 M (masa en mg para el cristal) (Ambas en
m/s) R dado en metros.
Egota=0.8 , Eplaca=0.6 (Eficiencias de colección).
ρhielo = 100 kg.m-3
6) Una piedra de granizo cuyo tamaño inicial es de 1 mm de radio, empieza a caer desde
una altura de 5km por encima de la base de nube, donde la Tambiente es de 250K,
crece por acreción de agua nubosa en condiciones tales que la temperatura de su
superficie siempre se mantiene a 0°C. En el interior de la nube el gradiente térmico
vertical del aire es de 0.6°C/100m. Supóngase que la velocidad de la corriente
ascensional es nula y que durante el crecimiento del granizo se mantiene el equilibrio
entre el calor ganado por congelación del agua depositada por acreción y el perdido por
la conductividad del aire. Desprecie los efectos de la sublimación, así como la
capacidad calorífica del agua captada. Demostrar que el granizo alcanzará un tamaño
aproximado de 3.5mm después de caer 3km. Los valores adecuados de las constantes
en unidades CGS son los siguientes:
K=2.3.103 Lf=3.3.109
u(R)= k.R½ con k=2000 y el factor de ventilación b= 0.3 Re½
7) Mientras cae a través de una capa nubosa delgada, o de aire libre de nubes, un
pedrisco estará probablemente más frío que su medio ambiente, debido a la
sublimación que tiene lugar sobre su superficie y también a causa de su capacidad
calorífica que da lugar a que sus cambios de temperatura se produzcan con cierto
retraso respecto a los que ocurren en el ambiente. Determinar la constante de tiempo
correspondiente a dicha capacidad calorífica, suponiendo una distribución isotérmica
dentro de la estructura del pedrisco, en cualquier instante, y que la transferencia de
calor tiene lugar tan solo por conducción; es decir, en la ecuación de transferencia de
calor correspondiente al pedrisco, se despreciarán todos los términos excepto el de
conducción, Calcular la constante de tiempo para un pedrisco de 1cm de diámetro,
2
tomando el calor específico de la piedra igual a 0.5cal/(°g) y suponiendo que el factor
de ventilación es igual a 15.
Ejercicios Teóricos:
1) Si el diámetro de una molécula de agua dm es del orden de 10-4 μ y se supone:
i) que en la formación de un embrión de agua la interfase (fase de transición entre el
vapor y el embrión) está compuesta por 10 moléculas de agua (10dm).
ii) que el embrión es esférico
iii) que el volumen de la interfase está dado por δA (δ=espesor de la interfase y
A=superficie de la esfera) con δ=10dm.
iv) que la concentración de moléculas en la interfase y en el germen es la misma.
a) Determinar el diámetro (d) del germen tal que no es posible despreciar la interfase
en la ecuación termodinámica (se adopta el siguiente criterio:
[n°moléculas interfase/n°total moléculas en el germen]≥ 1/10) y es necesario incluirla
además de las componentes líquida y vapor.
Considerar que los aerosoles grandes puedan tener un tamaño de 0.1 μ para determinar
si en el proceso de nucleación heterogénea ¿es posible encontrar diámetros en ese
umbral?
2) A partir de la ecuación para le velocidad terminal derivada en clase
u
r 2 g L
2
9 C D Re/ 24
i) Obtenga la Ley de Stokes para gotitas que no excedan 30μ de radio.
ii) Verificar que para los radios considerados el valor corresponde a flujos
viscosos
3) Determinar el diámetro de un granizo en el momento en que su velocidad vertical
con respcto al suelo es 0 para las siguientes corrientes ascendentes:
W = 40 m.s-1, 30 m.s-1, 20 m.s-1 y 10 m.s-1
sabiendo que:
Re 
2  a ur

Ayuda: igualar la fuerza de arrastre a la fuerza peso para obtener la expresión que
relaciona a la Vt con el diámetro del granizo. CD = 0.6 coeficiente de arrastre
ρgranizo = 0.9 g.cm-3
4) Probar que el espectro de tamaño de gotas se achica a medida que el crecimiento
por condensación progresa (ayuda: despreciar el efecto de curvatura y solución).
Discutir sobre la implicancia que esto tiene en los procesos que conducen a la
formación de precipitación en nubes.
5) i) ¿Qué valor de sobresaturación respecto al hielo (Si) corresponde a un embrión de
hielo que se forma a partir de vapor de agua, tal que la barrera de energía libre (ΔG*)
sea la misma que la correspondiente a un embrión de agua que se forma en el mismo
vapor
3
ii) ¿Qué valor de sobresaturación (Si) le corresponde a un germen de hielo para
formarse por congelación para que su radio crítico fuera igual al de un germen de agua?
¿ A que sobreenfriamiento corresponde?
iii) ¿Qué conclusiones extrae?
Datos: S=3 , σ(w/v)= 78 erg/cm2 , σ(i/v)= 106 erg/cm2 ,
σ(i/w)= 24 erg/cm2, T=0°C, ρw=1 g/cm3 , Rv=461.5 J/(kgK)
ρi=1 g/cm3.
6) Demostrar que las siguientes expresiones de ΔFg para un germen esférico de hielo
en equilibrio con agua sobreenfriada son equivalentes:
Fg 
16M w2 i3/ w

3 R*Ti ln Siw

Fg 
2
16M 2w 3i / w

T T
3L f i 0

T0 

2
donde T0-T es el sobreenfriamiento, T0=273.15°K.
Ayuda: Utilizar Clausius-Clapeyron para los equilibrios vapor-líquido sobreenfriado y
vapor-hielo respectivamente e integrarlas entre el punto triple T0 y una T<T0 y derivar
ln ew/ei (=ln Siw) en función del sobreenfriamiento
7) Razonar la evolución de embriones de agua líquida en desequilibrio sobre los 3
estados de la curva ΔFi =f(ai) para T y S constantes. En cada caso imaginar que se
encuentra disponible en el vapor la energía ΔFi para su formación y determinar si la
nucleación se sostiene o nó en ese entorno (S,T) o bien el embrión se evapora.
Recordar utilizando la analogía con la energía potencial que para que el sistema tienda a
un equilibrio estable la ΔFi tiene que disminuir al crecer la gotita por colisión con
nuevas moléculas de vapor.
8) Es válida la ecuación de Kelvin para radios tendiendo a 0?. Justifique.
9) En la expresión de ea el equilibrio vapor- con una gota de solución determina el
umbral de a tal que sea factible aproximar (1+P/a)(1-Q/a3) a 1+P/a-Q/a3..
¿Cómo debe ser la masa de soluto para que se pueda considerar que la solución
correspondiente a este umbral es suficientemente diluida como para que sea válida la
teoría?
10) Porqué la nucleación sobre núcleos de condensación no solubles pero totalmente
mojables es mucho más probable que la nucleación homogénea?. Comparar la barrera de
energía para formar un germen de radio ag dada por la teoría de nucleación homogénea
con la energía de formación que deberán aportar en este caso las moléculas de vapor
para posibilitar la formación de esa gota sobre un núcleo no soluble de radio ac.
11)
a) ¿Qué significa el estado de vapor sobresaturado y el de agua sobreenfriada
para e < e pto triple?
b) ¿Qué tipos de estados son?
4
12) A partir de suponer una ley de Marshall y Palmer para el espectro de tamaños de
gotas de lluvia:
n(d )  n0 e  d con n0= 8 x 10-2 cm-4
Encontrar la relación
  f (qr ) con q r una variable de pronóstico en el tratamiento
“integral” (bulk) de la microfísica con un solo momento. Obtener el valor de λ, del
diámetro medio D y el n total de gotas de lluvia para un valor de qr=3.5 g/kg.
Suponiendo una dependencia Vt  ad (
b
 0 0.5
) con a=2115 y b= 0.8 (cgs) y ρ0= 1 ρ= 0.7

(mks) obtener el término parametrizado de colección de gotas de nube por parte de las
gotas de lluvia: K c  K c (qc , q r ) partiendo de suponer un crecimiento “continuo” para
ese proceso.
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