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Estadística Administrativa
Distribuciones de muestreo
Marzo de 2007
Problema 1
Una empresa constructora está llevando a cabo la construcción de cinco casas con las mismas
características. Para cada casa, se ha estimado que el costo fijo es de 300 mil pesos, mientras que
el costo variable se puede aproximar con una distribución normal con media de 150 mil pesos y
desviación estándar de 10 mil pesos. Asumiendo independencia entre los costos de las casas,
calcule el valor esperado y la varianza del costo total de estos cinco proyectos en conjunto.
Respuestas:
Sea Y el costo variable de la construcción de una casa
Y~N(150; 10)
El costo total de cada casa (X) tiene los siguientes valores esperados y varianza:
E[Y+300] = E[Y]+300 = 150 + 300 = 450
Var[Y+300]= Var[Y] = 102 = 100
Para el costo total de las cinco casas:
 5

E   X i  = μ+ μ+ μ+ μ+ μ= 5*450 =2250
 i 1 
 5

Var   X i  = σ²+ σ²+ σ²+ σ²+ σ²=5*100 = 500
 i 1 
Problema 2
En una ciudad la media del precio de venta de una casa-habitación nueva de dos plantas y tres
recámaras es de 1.3 millones de pesos, con una desviación estándar de 0.4 millones de pesos. Si
toma una muestra de 75 casas a la venta en esa zona, calcule:
a) Calcule el valor esperado y varianza de la suma de los precios de las casas de la muestra.
b) Calcule el valor esperado y error estándar de la media muestral
c) La probabilidad de que la media muestral del precio de venta sea menor a 1.2 millones de
pesos.
d) ¿Cuál es la probabilidad de que para una muestra de 75 casas, el error de estimación (la
diferencia entre la media de la muestra y la media verdadera) sea menor de 0.1 millones de
pesos?
e) Calcule de qué tamaño debería ser la muestra de manera que el error de estimación no supere
un 0.1 millones de pesos con una probabilidad de 90%
f) ¿Son adecuados los cálculos de los incisos anteriores si la distribución de los precios de venta
de las casas no siguen una distribución normal?
Respuestas:
X: Precio de venta en millones de pesos de una casa habitación nueva de dos plantas y
tres recámaras
X ~ Normal(   1.3,   0.4)
a)
Si T es la suma de n valores tomados aleatoriamente de una población con media μ y
varianza σ²:
 n

E(T) = E   X i  = μ+ μ+ μ+…+ μ = n μ = 75(1.3) = 97.5
 i 1 
 n

Var(T) = Var   X i  = σ²+ σ²+…+ σ²=n σ² = 75(0.4)2=12
 i 1 
b)
n
Siendo X 
X
i 1
i
n
Si se toma una muestra aleatoria de tamaño n de una población, el valor esperado y el
error estándar de X son:
 n

  Xi 
1  n
 n
i 1


E( X )  E
 E X i  
   1.3
 n  n 
i 1
 n




X
 n
  Xi
 Var  i 1
 n








1

0.4
 n
 1
Var
n 2 

 Xi  
2
n
n
75
 i 1  n
c)
Puesto que la muestra es grande, por el teorema del límite central, se puede aproximar
que X ~ Normal( X   ,  X   / n )
Entonces:


 X   X 1.2  1.3 
P( X  1.2)  P

  Pz  2.165  0.5  0.4848  0.0152
0
.
4

X


75 

d)
P(1.2  X  1.4)  P(2.165  X  2.165)  0.4848  0.4848  0.9696
e)
Z 0.05 
(Error máximo de estimación )

 1.645 
n
n
2
2
0.1 n
1.645 0.4
n
 43.29
0.4
0.12
Se requiere un tamaño de muestra igual a 44
 1.645 
0.1
0.4
Problema 3
Una empresa dedicada a rentar autos ha determinado que en un año la distancia recorrida por los
autos tiene una media de 60 mil kilómetros con una desviación estándar de 11 mil kilómetros
siguiendo una distribución aproximadamente normal. Si selecciona aleatoriamente una muestra
de 20 autos:
a) Calcule la probabilidad de que en un año la distancia recorrida en promedio por los autos de
la muestra sea mayor que 58 mil kilómetros.
b) Si se deseara obtener un error de estimación de 5 mil kilómetros calcular el tamaño de la
muestra para que esto suceda con una probabilidad del 95%.
c) Cuál será el valor promedio de los recorridos de manera que el 90% de los valores promedio
de todos los recorridos sean menores que él.
Respuestas:
a) 0.791
b) n=18.59 ≈ 19
c) 63,152 kilómetros