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UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID
PRUEBA DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOGSE)
FÍSICA
Modelo 2014-2015
INSTRUCCIONES Y CRITERIOS GENERALES DE CALIFICACIÓN
Después de leer atentamente todas las preguntas, el alumno deberá escoger una de las dos opciones
propuestas y responder a las cuestiones de la opción elegida.
CALIFICACIÓN: Cada pregunta se valorará sobre 2 puntos (1 punto cada apartado).
TIEMPO: 90 minutos.
OPCIÓN A
Pregunta 1.- Un planeta de igual masa que la Tierra, describe una órbita circular de radio R, de un año terrestre
de duración, alrededor de una estrella de masa M tres veces superior a la del Sol.
a) Obtenga la relación entre: el radio R de la órbita del planeta, su periodo de revolución T, la constante de la
gravitación universal G, y la masa M de la estrella alrededor de la cuál orbita.
b) Calcule el cociente entre los radios de las órbitas de este planeta y de la Tierra.
Solución.
a.
Para una órbita circular se cumple: FG = Fc
Mm
v2
m
=
R
R2
Simplificando y teniendo en cuenta que v = ω ⋅ R y que ω = 2 π T
G
G
b.
•
•
M
= v2 ;
R
G
M
= ω2 ⋅ R 2 ;
R
G
M 4π 2
= 2 ;
R3
T
R3 =
GM 2
T
4π 2
Aplicando la relación obtenida al planeta y a la tierra y dividiendo ambas, se obtiene la relación que se pide.
GM
Para el planeta: R 3 = 2 T 2
4π
GM Sol 2
3
Para la tierra: R T =
T
4π 2
GM 2
T
2
3M Sol
R3
R3
M
Comparando: 3 = 4π
: {T = TT } : 3 =
=
=3
M Sol
R T GM Sol T 2
R T M Sol
T
4π 2
R 3
= 3
RT
Pregunta 2.- Un bloque de masa m = 0,2 kg está unido al extremo libre de un muelle horizontal de constante
elástica k = 2 N·m‒1 que se encuentra fijo a una pared. Si en el instante inicial el muelle está sin deformar y el
bloque comienza a oscilar sobre una superficie horizontal sin rozamiento (comprimiendo el muelle) con una
velocidad de 15,8 cm·s‒1. Calcule:
a) El periodo y la amplitud del movimiento armónico simple que realiza el bloque
b) La fuerza máxima que actúa sobre el bloque y la energía potencial máxima que adquiere.
Solución.
2π 

a.
El periodo se calcula a partir de la velocidad angular  ω =
 , y la velocidad angular de puede obtener
T 

del la constate elástica k = mω 2 .
(
)
k = mω 2 
4π 2
2π  : k = m 2 ;
ω=
T
T 
T = 2π
m
0,2
= 2π
≈ 2s
k
2
En el instante inicial, el muelle se encuentra en la posición de equilibrio (sin deformar) y por tanto su
velocidad es máxima.
1
d x (t )
= Aω cos(ω t + φ o )
dt
⇔ cos(ωt + φ o ) = 1 ⇒ v max = A ⋅ ω
x (t ) = A sen (ω t + φ o )
v max
A=
b.
v(t ) =
v
15,8 × 10 −2
v max
= max =
= 0,05 m
ω
k
2
m
0,2
Según la ley de Hook, F = − k ⋅ x , por lo tanto, Fmax = −k ⋅ x max = −k ⋅ A
Fmáx = −2 ⋅ 0,05 = −0,1 N
E p (máx ) = E c (máx ) =
(
1
1
mv 2max = ⋅ 0,2 ⋅ 15,8 × 10 − 2
2
2
)
2
= 0,0025 J
Pregunta 3.- Tres cargas puntuales, q1 = 3 µC, q2 = 1 µC y una tercera carga desconocida q3, se encuentran en el
vacío colocadas en los puntos A (0,0), B(3,0) y C(0,4), respectivamente. El potencial que crean las tres cargas en el
punto P(3,4) es V=10650 V. Calcule, teniendo en cuenta que las coordenadas vienen dadas en metros:
a) El valor de la carga q3.
b) La fuerza que experimentaría una carga de ‒7 µC colocada en el punto P, debido a la presencia de las otras
tres.
Datos: Constante de la Ley de Coulomb, K = 9×109 N m2 C‒2
Solución.
a.
Dado el carácter escalar del potencial:
q
q
q 
q
q
q
VP = V1 + V2 + V3 = K 1 + K 2 + K 3 = K  1 + 2 + 3 
r1
r2
r3
r
r
r3 
2
 1
r1 = 32 + 4 2 = 5
 3 × 10 −6 1 × 10 −6 q 3 
10650 = 9 × 109 
+
+  ; q 3 = 1 × 10 −6 C = 1µC
5
4
3 

b.
Lo mas sencillo en estos casos es calcular el campo eléctrico que crean las tres cargas (q1, q2 y q3) en el
r
r
punto P, y a continuación calcular la fuerza que experimentaría una carga situada en ese punto F = q ⋅ E .
El modulo del campo eléctrico viene expresado por:
q
E = K⋅ 2
d
(
)
Mediante triángulos se pueden determinar las razones trigonométricas del ángulo α:
r
3
r
4
4
sen α = 2 =
=
cos α = 3 =
2
2
r
5
r1
5
1
3 +4
•
•
•
r
r
r
r
E T = E1 + E 2 + E 3
−6
r
r
r
r
r
3 × 10 −6 3 r
4r
9 3 × 10
E1 = E1 ⋅ cos α i + E1 ⋅ sen α j = 9 × 109
⋅
i
+
9
×
10
⋅ j = 648 i + 864 j N
2
2
C
5
5
5
5
r
r
r
1 × 10 −6 r
E 2 = E 2 j = 9 × 109
j
=
562
,
5
jN
C
42
r
r
r
1 × 10 −6 r
E 3 = E 3 i = 9 × 109
i = 1000 i N
2
C
3
r
r
r
r
r
r
r
E T = 648 i + 864 j + 562,5 j + 1000 i = 1648 i + 1426,6 j
La fuerza que experimenta la carga es:
r
r
r
r
r
r
F = q ⋅ E = −7 × 10 −6 ⋅ 1648 i + 1426,6 j = −1,15 × 10 −2 i − 9,99 × 10 −3 j
(
)
2
Pregunta 4.- Una superficie plana separa dos medios transparentes de índices de refracción n1 =2 y n2 =1,4
respectivamente.
Un rayo luminoso incide desde el medio de índice de refracción n1 = 2 sobre la superficie de separación de los dos
medios observándose que el rayo reflejado y el refractado son perpendiculares entre sí. Calcule:
a) Los valores de los ángulos de incidencia y de refracción.
b) Entre qué valores tiene que estar comprendido el ángulo de incidencia para que se produzca rayo
refractado.
Solución.
a.
Si el rayo reflejado y el refractado son perpendiculares, el ángulo de
incidencia y el de refracción son complementarios (suman 90º), como muestra
la
figura adjunta.
)
) )
)
90º − i + 90º − r = 90º ⇒ i + r = 90º
)
)
Aplicando la ley de Snell: n1 sen i = n 2 sen r
)
)
)
)
 sen i n 2
r = 90º − i
sen i n 2 
) =
:
)
) :
)=
)
sen r n1 sen r = sen 90º − i = cos i  cos i n1
) n
)
n
1,4
tg i = 2 ⇒ i = arctg 2 = arctg
= 35º
n1
n1
2
Conocido el ángulo de incidencia se calcula el de refracción.
)
)
r = 90º − i = 90º −35º = 55º
(
)
b.
Para que se produzca refracción, el ángulo de incidencia ha de estar comprendido entre 0º y el ángulo
límite.
Para calcular el ángulo límite, se aplica la ley de Snell considerando como ángulo de refracción 90º
) n
)
)
n
1,4
n1 sen l = n 2 sen 90º
sen l = 2
l = arcsen 2 = arcsen
= 44,4º
n1
n1
2
)
Para que se produzca refracción se ha de cumplir que 0º < i < 44,4º.
Pregunta 5.- La longitud de onda umbral de la plata para el efecto fotoeléctrico es 262 nm.
a) Halle la función de trabajo de la plata (trabajo de extracción).
b) Sobre una lámina de plata incide radiación electromagnética monocromática de 175 nm. ¿Cuál es la
velocidad máxima de los electrones emitidos por efecto fotoeléctrico?
Datos: Velocidad de la luz en el vacío, c = 3×108 m s‒1; Masa del electrón, me = 9,1×10‒31 kg. Constante de Planck,
h = 6,62×10‒34 J s.
Solución.
a.
El trabajo de extracción es la energía correspondiente a la frecuencia umbral.
WExtracción = h ⋅ f Umbral = h ⋅
b.
c
λ Umbral
= 6,62 × 10 − 34 ⋅
3 × 108
= 7,58 × 10 −19 J
−9
262 × 10
La velocidad máxima con la que son emitidos los electrones se calcula mediante un balance de energía.
E (Radación ) = WExtracción + E c (electrones)
1
c
1
h ⋅ f = We + mv e2
h ⋅ = We + mv e2
2
λ
2
ve =
 c

2 ⋅  h − We 
 λ
 =
me


3 × 108
2 ⋅  6,62 × 10 − 34
− 7,58 × 10 −19 
−9
175 × 10

 = 9,1 × 105 m
s
9,1 × 10 − 31
3
OPCIÓN B
Pregunta 1.- Dos planetas, A y B, tienen el mismo radio. La aceleración gravitatoria en la superficie del planeta
A es tres veces superior a la aceleración gravitatoria en la superficie del planeta B.
Calcule:
a) La relación entre las densidades de los dos planetas.
b) La velocidad de escape desde la superficie del planeta B si se sabe que la velocidad de escape desde la
superficie del planeta A es de 2 km/s
Solución.
a.
La expresión de la intensidad de campo gravitatorio de un planeta en su superficie se obtiene igualando el
peso de un cuerpo en su superficie con la fuerza gravitacional que ejerce el planeta sobre el cuerpo.
Mm
M
mg = G 2
g=G 2
R
R
4
Se puede relacionar con la densidad del planeta si en el segundo miembro se multiplica y divide por πR
3
4
π⋅R ⋅M
4
M
4
M 4
g=G 3
= π⋅G⋅R
= π⋅G⋅R
= π⋅G ⋅R ⋅d
4
4
3
3
V 3
2
3
π⋅R ⋅R
πR
3
3
Aplicando la expresión a los dos planetas y comparando.
4
π ⋅ G ⋅ R A ⋅ d A R = R 
gA 3
3g B d A
d
B
=
; A
=
⇒ A =3
;
4
g = 3g B  g B
gB
dB
dB
π ⋅ G ⋅ R B ⋅ dB  A
3
dA = 3 dB
b.
La velocidad de escape de la superficie de un planeta se obtiene igualando la energía mecánica que debería
tener el objeto en la superficie a cero.
1
Mm
mv e2 − G
=0
2
R
ve = 2
GM
R
El producto GM se puede sustituir por gR2, obteniendo de esa forma la velocidad de escape en funcion del
radio del planeta y de la intensidad de campo gravitatorio.
ve = 2
gR 2
= 2gR
R
Si aplicamos esta expresión a los dos planetas y se comparan:
v e (A )
=
v e (B)
R = R B 
3g B
= A
= 3 ⇒ v e (A ) = 3v e (B)
=
g
=
3
g
gB
2g B R B  A
B
v (A )
2
v e (B) = e
=
= 1,15 Km
s
3
3
2g A R A
Pregunta 2.- Una onda transversal que se propaga en una cuerda, coincidente con el eje X, tiene por expresión
matemática: y (x, t)= 2 sen (7t ‒ 4x), donde x e y están expresadas en metros y t en segundos. Determine:
a) La velocidad de propagación de la onda y la velocidad máxima de vibración de cualquier punto de la
cuerda.
b) El tiempo que tarda la onda en recorrer una distancia igual a la longitud de onda.
Solución.
a.
La velocidad de propagación de una onda se puede obtener por
ω
v=
k
La velocidad angular (ω) y el número de onda (k), se obtienen comparando la ecuación que nos dan co la
ecuación genérica de onda
4
y(x , t ) = A sen (ω t − k x + φ o )  ω = 7 rad s
7
⇒ v = m = 1,75 m
:
s
rad
y(x, t ) = 2 sen (7 t − 4x )  k = 4
4 s
m

La velocidad máxima se obtiene derivando la expresión de la onda respecto del tiempo:
v(x, t ) = 2 ⋅ 7 cos(7 t − 4x ) = 14 cos(7 t − 4x )
v max ⇔ cos(7 t − 4x ) = 1
v max = 14 m
b.
s
El tiempo que tarda la onda en recorrer una longitud de onda es el período.
2π 2π
T=
=
= 0,898 s
ω
7
Pregunta 3.- Dos hilos conductores A y B, rectilíneos, indefinidos y paralelos se encuentran situados en el vacío
separados entre sí 25 cm y por ellos circulan, en sentidos opuestos, corrientes de intensidades 1 A y 2 A,
respectivamente. Calcule:
a) La fuerza magnética que experimentan 2 m del hilo A debida a la presencia del otro conductor, indicando
su sentido.
b) Los puntos del plano que contiene los hilos A y B donde el campo magnético creado por ambos hilos es
nulo.
Dato: Permeabilidad magnética del vacío; µo = 4π×10‒7 N A‒2
Solución.
a.
La fuerza por unidad de longitud a la que se
vera sometido un conductor rectilineo por la
presencia de otro paralelo a él es:
−7
F = µ o I1I 2 = 4 π × 10
⋅ 1 ⋅ 2 = 1,6 × 10 − 6 N m −1
l 2π d
2π ⋅ 25 × 10 − 2
Para 2 metro de hilo conductor, la fuerza es:
F = 1,6 × 10 −6 N m −1 ⋅ 2 m = 3,2 × 10 −6 N
El sentido de la fuerza se puede obtener con la regla de la mano derecha aplicada al producto vectorial de
r r
l × B , resultando las fuerzas de repulsión como indica la figura adjunta.
b.
Como las corrientes son de sentido contrario, el campo
magnético se anulará en la región más alejada del hilo recorrido por la
mayor intensidad, hilo B, y será una recta paralela a ambos y a una
distancia x del hilo A, tal y como muestra la figura adjunta. Tomando
origen el punto P, donde se anula el campo, se debe cumplir:
r
r
r
r
B A + BB = 0 En módulo: BA = B B
El módulo del campo magnético producido por un conductor
µ I
rectilíneo e indefinido viene expresado por B = o , aplicando la
2π d
definición al campo magnético creado por los hilos A y B en el punto P:
µ oIA
µ oIB
=
2π x 2π x + 25 × 10- 2
IA
IB
1
2
=
=
x
x x + 25 × 10- 2
x + 25 × 10- 2
(
A 25 cm a la izquierda del hilo A
5
)
x = 25 × 10−2 m
Pregunta 4.- Utilizando una lente delgada de 10 dioptrías de potencia se obtiene una imagen virtual y derecha de
doble tamaño que un objeto.
a) Determine las posiciones del objeto y de la imagen respecto de la lente.
b) Realice la construcción gráfica de la imagen.
Solución.
a.
Los datos del enunciado permiten calcular la distancia focal y una relación entre las posiciones del objeto y
de su imagen.
1
• Lente delgada de 10 dioptrías de potencia: P = 10 =
f ' = 0,1
f'
s ' y' 2 y
• Imagen virtual y derecha de doble tamaño que un objeto: y' = 2 y ⇒ = =
=2
s y
y
Los datos permiten plantear un sistema de ecuaciones con la ecuación fundamental de la lentes delgadas y
la ecuación de aumento lateral:
 1 1 1
1 1 1
− =
 s' − s = 10
s = −5 cm
 s' s f '
;
; 
 s'

y' s'
s' = 10 cm
M L = =

=2

y s
 s
b.
Construcción gráfica
Pregunta 5.- En un meteorito esférico de radio 3 m se ha encontrado U-238. En el momento de formación del
meteorito se sabe que había una concentración de 5×1012 átomos de U-238 por cm3 mientras que en la actualidad se
ha medido una concentración de 2,5×1012 átomos de U-238 por cm3. Si la vida media de dicho isótopo es 4,51×109
años, determine:
a) La constante de desintegración del U-238.
b) La edad del meteorito.
Solución.
a.
Vida media (τ) ≡ tiempo que por término medio tardará un núcleo en desintegrase.
1
τ=
λ ≡ Constante de desintegración.
λ
1
1
1a
1d
1h
λ= =
= 2,04 × 10 −10 a −1 ⋅
⋅
⋅
= 6,47 × 10 −17 s −1
9
τ 4,51 × 10 a
365 d 24 h 3600 s
b.
Aplicando a ecuación fundamental de la desintegración:
N = N o e − λt
Teniendo en cuenta que el número de núcleos se puede calcular multiplicando la concentración por el
volumen, y suponiendo que el volumen del meteorito no ha variado:
[U ]⋅ V = [U ]o ⋅ V e − λt
[U] = [U]o e −λt
e − λt =
[U]
[U]o
t=
 2,5 × 1012 
[U] =
−1
−1

 ≈ 3398 a
⋅ Ln
⋅
Ln
[U]o 2,04 × 10−10 a −1  5 × 1012 
λ
6