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8.3. CUÑA DE INTRUSIÓN. INTERFAZ BRUSCA. ZONA DE MEZCLA.
8.3.1. Fórmula de Glover
Glover (1959) proporcionó una fórmula más exacta para la posición de la interfaz bajo
una serie de supuestos básicos:
a) No hay zona de mezcla.
b) El acuífero es cautivo y el techo coincide con el nivel del mar.
c) El agua dulce sale al mar por una superficie horizontal de longitud xo.
d) El mar no sufre fluctuaciones de nivel y el agua salada en el acuífero es estática.
e) El acuífero es de gran espesor, de modo que en la zona en estudio la cuña de agua
salada no toca a la base del mismo.
La red de flujo que conduce a la fórmula de Glover es la indicada en la figura 8.13, y la
ecuación que la representa es (Glover, 1959):
x + iz =
kα
(Φ + iΨ )2
2qo
x = distancia a la costa
z = profundidad de la interfaz bajo el nivel del mar
qo = caudal de agua dulce por unidad de longitud de costa
k = permeabilidad
i = unidad imaginaria ( − 1 )
Figura 8.13. Red de flujo de agua dulce en un acuífero costero. (Custodio, E., Llamas, M.R. 1983, pág
1358).
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En la fórmula anterior la función potencial es
Φ2 =
qo
(x + x 2 + z2 )
kα
y la función de corriente
Ψ2 =
(
qo
− x + x 2 + z2
kα
)
La ecuación de la interfaz es (fórmula de Glover):
2
z2 =
2qo xα qo α 2
+
k
k2
(8.15)
Como consecuencia, el agua escapa al mar por una superficie horizontal de ancho
xo =
qoα
2k
y la profundidad de la interfaz zo y el nivel piezométrico ho, en la costa valen:
zo =
qoα
;
k
ho =
qo
k
b
qo
γd
zo
γs
Figura 8.14. Cálculo de la interfaz según las hipótesis de Glover.
De modo que una disminución en qo produce a su vez una reducción en los valores de
xo y zo.
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La fórmula puede aplicarse sin gran error en acuíferos libres con gradiente
piezométrico pequeño y cuando la pendiente del terreno bajo el mar es pequeña.
La fórmula de Glover difiere de la deducida en la clase 8.1, que se reproduce ahora
suponiendo que el acuífero está confinado justo al nivel del mar, en cuyo caso
obteníamos:
z2 =
2qo xα
k
(8.16)
La diferencia entre ambas fórmulas tiene un valor máximo en la costa, donde vale
zi =
qoα
k
pero va disminuyendo conforme x aumenta (la diferencia en el valor de Z2, no obstante,
se mantiene en un valor igual a Zi2).
En acuíferos libres no recargados, Verruijt (1968) llega a la siguiente fórmula para la
relación entre h y z en una misma vertical:
h2 =
z2
α2
2
−
qo α − 1
k2 α + 1
La ley de Ghyben-Herzberg establece que h = z/α; luego será una buena aproximación
cuando:
qo
z
<<
α
k
Ejemplo 8.3.1.
En un acuífero costero de gran espesor se descargan al mar 10 m3/día/m. Sabiendo que la
permeabilidad media es de 50 m/día, calcular la profundidad de la interfase a 10, 100 y 1000 m de la
línea de costa y comparar con los resultados obtenidos mediante la sencilla aplicación de las hipótesis
de Dupuit-Forchheimer y la fórmula de Ghyben-Herzberg.
Calcular el ancho de la franja de salida de agua dulce al mar. Puede tomarse α = 40.
Según la fórmula de Glover (8.15):
z2 =
2 ⋅ 10 ⋅ 40
102 ⋅ 402
= 16 x + 64
x+
50
502
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Para x = 0
z = 8,0 m
Para x = 10
Para x = 100
Para x = 1000
z = 15,0 m
z = 40,8 m
z = 126,7 m
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El vertido al mar se hace por una franja de
X0 =
10 * 40
= 4m de ancho
50 * 2
La fórmula (8.16) hubiese conducido a:
z2 = 16x
(se comprueba que la diferencia en términos de Z2 es constante)
x (m)
z (m)
D z (m)
error (%)
0
0,0
8,0
-100
10
12,65
2,35
- 16
100
40,0
0,8
-2
1000
126,5
0,2
- 0,2
Si el acuífero es cautivo, pero de espesor finito, el problema debe resolverse
numéricamente. Los resultados principales que se obtienen en este caso (Bear y
Dagan, 1965) son:
a) Cuando la longitud de la cuña salina es mayor que el espesor del acuífero, la interfaz
en un acuífero de espesor finito es aproximadamente igual a la correspondiente a un
acuífero de gran espesor, excepto en las proximidades del pie, aunque la diferencia es
despreciable a efectos prácticos.
b) La posición de la interfaz viene determinada principalmente en función del flujo
adimensional q definido como:
q=
qoα
kb
Si el acuífero es de longitud L finita, estando alimentado a potencial constante por el
extremo continental, la relación L/b apenas afecta a la posición de la interfaz.
c) En general la aproximación de Dupuit-Forchheimer y la ley de Ghyben-Herzberg,
suponiendo que el espesor de la interfaz es nulo son aplicables, excepto en las
proximidades de la costa.
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8.3.2. Problema de Henry
El problema de Henry trata la solución en estado estacionario de una cuña de intrusión
marina en un acuífero confinado que descarga agua dulce al mar, incorporando el
proceso de difusión de la sal en el medio. El dominio de estudio es rectangular, con
una relación entre los lados del rectángulo de 2 (figura 8.15). Los contornos superior e
inferior son impermeables a flujo de agua y de sales. El flujo de entrada de agua dulce
por el contorno que representa tierra adentro es constante. El agua salada penetra por
el contorno que simula el mar, produce una zona de mezcla gobernada por la difusión,
y esa zona descarga al mar cerca de la superficie costera. En la figura 8.7 se presenta
la solución de equilibrio correspondiente al 50% de mezcla de aguas.
Figura 8.15. Geometría y condiciones de contorno de flujo en el problema de Henry. (Voss C.I., Souza
W.R. 1987.)
Henry publicó una solución analítica a este problema en una publicación del Servicio
Geológico de los Estados Unidos, y desde entonces se ha convertido en un paradigma
del problema de intrusión y en una prueba clásica para los modelos numéricos de
densidad variable que se van programando con una cierta asiduidad.
En realidad la solución de Henry tenía algunos problemas que fueron corregidos por
Ségol (1994), y esta última es la solución que se usa para probar la bondad de los
códigos. En el problema original de Henry la densidad del agua es lineal con el
contenido de cloruros, y el soluto se considera conservativo. Además, originalmente se
consideró que el contorno correspondiente al mar es de concentración constante,
aunque correcciones posteriores al problema modificaron la condición para poder
simular la salida del agua de mezcla.
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Con los parámetros de densidad, porosidad y difusión molecular utilizados por Henry
(el problema original de Henry no contempla dispersión hidrodinámica), el perfil para
las curvas de isoconcentración de sales es el representado en la figura 8.16.
Figura 8.16. Perfil de porcentaje de agua de mar en el dominio del problema de Henry. (Voss C.I., Souza
W.R. 1987.)
En la actualidad se sigue trabajando para conseguir una versión del problema de Henry
más realista, incorporando el proceso de dispersión hidrodinámica además de la
difusión molecular e incluyendo aspectos como la anisotropía en la conductividad
hidráulica o la heterogeneidad espacial.
Se puede ampliar esta información con el artículo “A perturbation solution to the
transient Henry problem for seawater intrusion” . D.M.Tartawovsky, A.Guadagini,
X.Sánchez-Vila, M.Dentz, J.Carrera.
(http://math.lanl.gov/Research/Publications/tartakovsky-2004-perturbation.shtml)
8.3.3. Flujo inestable. Problema de Elder
El problema original descrito por Elder considera la convección térmica en un medio
poroso. Elder consideró un dominio bidimensional rectangular (figura 8.18). En la base
se calienta un segmento, y el resto de las paredes permanecían a temperatura
constante. Todas las paredes se consideraron impermeables al flujo, pero conductivas
térmicamente. Las condiciones iniciales son hidrostáticas e isotermas.
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Posteriormente Voss y Souza (1987) plantearon un problema análogo al de Elder para
representar el flujo inestable gobernado exclusivamente por diferencias de densidad.
Para detalles sobre geometría y contornos puede verse la figura 8.17. El dominio es
rectangular (600 m ancho por 150 m de alto). Los contornos son impermeables al flujo,
pero permeables a la difusión de sales.
Inicialmente el dominio está lleno de agua dulce, pero existe una porción del techo del
acuífero en la que se impone una concentración de sales que permanece constante a
lo largo del tiempo. La base del acuífero se mantiene a concentración nula. Esta
situación es inestable, por lo que se empieza a producir una circulación de sales hacia
el fondo del acuífero, sin alcanzarlo. El problema se completa imponiendo la presión en
las dos esquinas superiores.
Figura 8.17. Definición geométrica y contornos en el problema de Elder. (Simpson M.J., Clement T.P.
2003.)
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Figura 8.18. Perfiles de salinidad en el problema de Elder para tiempos crecientes. La curva superior
corresponde a salinidad relativa de 0.6 y la inferior a 0.2 para tiempos de 2, 4 y 10 años (de arriba a
abajo) respectivamente. (Simpson M.J., Clement T.P. 2003.)
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8.3.4. Flujo del agua subterránea con salinidad variable.
Potencial de densidad variable
Como el nivel de agua en un piezómetro (si no se señala lo contrario, se supone que se
trata de piezómetros abiertos sólo en un punto o con una rejilla corta, de modo que la
presión corresponde a una zona muy localizada del acuífero) lleno de la misma agua
existente en su zona ranurada. Se define potencial puntual, hp
hd
hs
Agua salada
Agua dulce
Figura 8.19. Definición del potencial puntual.
Este potencial puntual es el que normalmente se mide en pozos y piezómetros, salvo
que por diversas causas tengan el tubo lleno de otro tipo de agua diferente. Si se
quiere establecer la dirección y sentido del flujo del agua con niveles piezométricos
medidos en piezómetros y pozos con agua de diferente salinidad, se comete un error,
el cual puede ser importante si las diferencias de densidades son notables. Por ello
conviene transformar todas las mediciones en las que se hubiesen obtenido si los
tubos hubiesen estado llenos de un agua de la misma salinidad y temperatura (por
ejemplo, agua dulce local).
Si se tiene un piezómetro ranurado a una profundidad z bajo el nivel del mar en agua
salada y lleno de un agua de densidad puntual, γp, el correspondiente potencial de
agua dulce se deducirá del equilibrio de presiones en la zona ranurada. Es importante
tener en cuenta que en la convención de signos adoptada h y z se miden a partir del
nivel medio del mar, pero h es positivo hacia arriba y z lo es hacia abajo.
(z + hd )γ d = (z + hp )γ p
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hd =
γp −γd
γ
z + p hp
γd
γd
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(8.17)
siendo hd la cota del agua dulce correspondiente al potencial de agua dulce y hp la cota
medida del agua salada o mezclada en el tubo (potencial puntual de agua salada)
(figura 8.19). Es importante constatar que en la zona de agua dulce el potencial de
agua dulce es igual al potencial puntual.
Se define potencial ambiental o local, ha, (Lusczynski, 1961) como el nivel del agua en
un piezómetro lleno de agua de densidad tal que su distribución sea similar a la
existente en el terreno.
Supóngase que la zona de difusión se extiende entre las profundidades z1 y z2, siendo
agua salada sin mezcla la que se extiende entre z2 y z3 (z3 = profundidad del
piezómetro), y agua dulce por encima de z1 (Figura 8.20). El balance de presiones con
el agua salada de potencial ha respecto al nivel del mar en z3 establece que si ha es el
potencial ambiental.
Figura 8.20. Definición del potencial ambiental ha. En este caso hs correspondería exactamente al
potencial puntual. Modificado de figura 13.15 de Custodio, E., Llamas, M.R. 1983 pág. 1328.
z2
(hs + z3 )γ s = (ha + z1 )γ d + ∫ γ (z)dz + (z3 − z2 )γ s
z1
donde γ (Z) es el peso específico del agua mezcla a profundidad z.
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El nivel del agua ambiental no tiene porque coincidir con el nivel freático, pudiendo ser
algo superior o algo menor. Sólo lo igualará en un sistema de flujo totalmente
horizontal.
El nivel del agua ambiental no puede ser medido directamente y debe ser calculado.
Conviene tener en cuenta la influencia de la temperatura sobre la densidad, a fin de
efectuar el cálculo correctamente. Los valores de γ (z) se pueden determinar por
muestreo cuidadoso, o indirectamente a partir de mediciones de conductividad eléctrica
del agua o del terreno y de la temperatura.
Si se define un valor medio del peso específico ponderado correspondiente a la zona
de mezcla, γa´:
γ a ´=
z2
1
γ ( z)dz
∫
z
z2 − z1 1
sustituyendo y reordenando, quedará:
γ dha = γ shs + (γ s − γ 'a )z2 + (γ 'a − γ d )z1
(8.18)