Download 1.- Encontrar dos números reales x e y para que se cumpla: (4 + 3i

E.T.S.I.T.
NÚMEROS COMPLEJOS
PROBLEMAS - 2
1.- Encontrar dos números reales x e y para que se cumpla: (4 + 3i) x + (2 - i) y = 6 + 7i.
(Solución: x = 2, y = -1)
a + bi
1
−
∈R
2
a + b + 1 a + bi
(Solución: b = 0, a cualquiera)
2.- Determinar a y b, números reales, para que:
3.- Calcular: 4 16 ;
5
1+ i
;
1− i
64 ;
3
27 ;
5
2
−1+ i 3
1
= 0 ; c) ( z − 1 − i ) 3 − 27 = 0 ;
z (1 + 2i )
⋅ (1 + i ) = 1 ; f) cos( z ) = 3
4.- Resolver las ecuaciones: a) z 8 − 1 = 0 ; b) z 2 −
d) (1 − i ) z 2 + 4 z + 2i = 0 ;
5.- Demostrar que se cumple:
e) e ( 3+ 2i ) z
z 1 − z 2 ≥ z1 − z 2 ,
z 1 + z 2 ≤ z1 + z 2
6.- Demostrar que si z1, z2 y z3 son los vértices de un triángulo equilátero centrado en el
origen, entonces:
z12 + z 22 + z 32 = z1 ⋅ z 2 + z1 ⋅ z 3 + z 2 ⋅ z 3
7.- a) Hallar los vértices del heptágono regular centrado en el origen, uno de cuyos vértices
es z1 = 8.
b) Obtener el heptágono regular con centro en z0 = 7 + i, y vértice en z1 = 8.
8.- A partir de la fórmula de Moivre determinar expresiones para: sen(2x), cos(2x),
sen(3x), cos(3x). Deducir fórmulas generales para sen(nx) y cos(nx).
9.- Calcular: a) ln[3(cos 2 + i sen 2)] ;
b) ln(4 − i ) ; c) ln( −10)
e) (2 − i ) 4 −i ; f) log 1+i (1 − i ) ; g) sen 2 ( i ) + i
sen ( 2i )
.
2
10.- Resolver: a) z i = 1 + i ; b) (4 − i ) z = 3 + i ; c) e 4 z + 2 = 4(cos
d) sen z = 1 + i ;
e) tg z = 4 + i
d) log 2 −i ( 3 + i )
π
π
+ i sen )
3
3
11.- Verificar que sen 2 (4 − i ) + cos 2 (4 − i ) = 1
12.- Demostrar que la suma de las n raíces de un número complejo es cero.
n
13.- Probar:
∑ cos
k =0
2 kπ
= 1;
n
n
∑ sen
k =0
2 kπ
=0
n
14.- Un triángulo equilátero tiene su centro en el origen y un vértice en el afijo de 1 + i 3 .
Hallar los demás vértices.
π
i (i +1)
15.- Encontrar el valor principal de
.
(i − 1) i
16.- Hallar m y n para que: e
m − ni
1+ i
(Solución: e 4 (sen ln 2 + i cos ln 2 ) )
= (2 + i ) 1+i
(Solución: m=-0.927; n=-1.6)
17.- Determinar los vértices de un cuadrado sabiendo que su centro es el punto (2,3); y que
si se traslada al origen, se gira un ángulo de 60º en el sentido contrario a las agujas del
reloj y se reducen sus lados a la mitad, sus vértices son los afijos de las raíces de un
polinomio de cuarto grado con coeficientes reales, de las cuales una es x = 1.
18.- Una de las raíces cúbicas de z2 es 1 + i 3 . Hallar las demás raíces de z2 y el propio z.
(Solución: 1 − i 3; − 2; z = ±2i 2 )
19.- Una de las raíces cúbicas de logi z es 3 + i . Hallar las demás raíces de logi z y el
propio z.
(Solución: − 3 + i; − 2i; z = e −4π )
20.- Expresar en forma binómica dos números complejos z y w tales que verifiquen las
dos condiciones siguientes:
3π
a) El valor principal de L( z ⋅ w) es igual a
i.
2
b) El número − 2 − i 2 es una de las raíces de
z w.
21.- Expresar en forma binómica los números complejos α1 , α 2
verifiquen las condiciones:
y α 3 tales que
⎛1 + i⎞
⎟.
⎝1 − i⎠
a) α1 es el valor principal de L⎜
b) α 2 y α 3 son las raíces de la ecuación: x 2 − ( 3 − 4i ) x − (1 + 7i ) = 0 .
( )
22.- Resolver la ecuación: Sh( z ) = e πi
(
1+i
.
)
(
)
(Solución: z = ln − e −π + e − 2π + 1 + 2 kπi; z = ln e −π + e − 2π + 1 + (2 k + 1)πi )
23.- En cada caso determinar los números reales x e y que verifiquen la relación dada :
100
a)
∑ ik = x + iy .
k=0
b) xe
iy
= x +iy
24.- a) Probar que e z ≠ 0 para todo complejo z.
b) Determinar todos los números complejos para los que e z = 1 .
25.- Sabiendo que u es real, calcular el valor de z sabiendo que se verifican las dos
condiciones siguientes:
( x + yi )
⎫
u = ( a + bi )
⎪
(Sol : z = kπ )
y
b⎬
2
2
z = L( a + b ) + x arctg ⎪
a⎭
2
26.- Hallar z tal que tg z = i .
(Sol : ninguno)
27.- Hallar un complejo que equidiste de tres complejos dados.
28.- Hallar un complejo z tal que z(3 − i ),
(Sol : el baricentro)
(Sol : z = ( 0,0) )
z
∈R .
2 + 2i
29.- Hallar un complejo z tal que z + z = 2 y que el triángulo formado por el origen, z y su
3
conjugado sea equilátero.
(Sol : z = 1 +
i)
3
30.- Un segmento AB (A extremo izquierdo) es tal que z
A
= −1 + 2i , z
4
arg( z B − z A ) = arctg . Hallar el otro extremo.
3
m
m
31.- Resolver la ecuación: ( x + 1) − ( x − 1) = 0 .
B
−z
A
=5 y
(Sol : z B = 2 + 6i )
⎛ 2 − zi ⎞
⎟ sea real.
32.- Hallar z tal que A = exp⎜ L
⎝ 1+ i ⎠
(Sol : z = 2 )
33.- Hallar x tal que el área del triángulo de vértices z = x + i , z = −1 + 4i y z = 2 − 6i
1
2
sea igual a 10.
34.- Hallar z tal que
d
L 1+ i 2
i + barcsen zg
2
2
= 0.
3
' )
(Sol : x = 19
(Sol : z = ±i )
35.- Dado el número complejo w = 1 − i tg α , donde 0 < α < π 2 , hallar el logaritmo
neperiano de w cuya parte imaginaria es positiva y lo más pequeña posible.
36.- Calcular el valor de la siguiente expresión: sen 2 ( i ) + i
sen ( 2i )
2
lq
37.- Hallar, si es posible, una sucesión de números complejos zn tal que cada
converja a cero y todos ellos sean solución de la ecuación e z = 4 .
1
38.- Hallar, usando la determinación principal, el número complejo
e
−π 2 π
+ i
4
2
i ln i
F π IJ . Mediante la determinación principal del
39.- Sea el número complejo z = G
Hi K
i
2π
logaritmo, hállese su módulo.