Download Matemática - UNRC - Universidad Nacional de Río Cuarto

Ingreso de la Facultad de Ciencias Exactas,
Físico-Químicas y Naturales
Módulo de Cálculo
Universidad Nacional de Río Cuarto
Facultad de Ciencias Exactas, Físico-Químicas y Naturales
w w w. e x a . u n r c . e d u . a r
Ingreso de la Facultad de Ciencias Exactas,
Físico-Químicas
Naturales
Integración
a la yvida
universitaria
Módulo
de
Cálculo
a través de las TIC
Equipo docente:
Marcelo Ruiz
Albina Priori
Universidad Nacional de Río Cuarto
Facultad de Ciencias Exactas, Físico-Químicas y Naturales
Ingreso de la Facultad de Ciencias Exactas,
Físico-Químicas
Naturales
Integración
a la yvida
universitaria
Módulo
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Cálculo
a través de las TIC
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Tareas, consignas,
situaciones
problemáticas.
Interrogantes
Preguntas,
planteos, para
reflexionar.
Observación
Datos que
explican o
aclaran un tema.
Importante
Tener en cuenta,
destacar,
recordatorio,
atención.
Ejemplo
Ilustración,
aclaración.
Enlace
Sitios Web.
Proc. Temporales
Sucesos
históricos.
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Desde el índice podrán acceder a través de los enlaces
a cada uno de los temas que se detallan en el mismo.
Permite
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Este material ha sido elaborado en forma conjunta con los docentes y el Centro de Planificación, Evaluación e Investigación de Procesos
Educativos en Red (CEPEIPER), dependiente de la Secretaría Académica de la UNRC en el marco del Proyecto de Ingreso,
Orientaciones para el Diseño, Implementación y Evaluación de Proyectos para la Integración a la Cultura Universitaria 2016-2019.
UNRC- Secretaría Académica - CEPEIPER
jjjhaha
Ingreso de Profesorado
y Licenciatura en Matemática/ Cálculo
Contenido
Palabras iniciales ................................................................................. 2
Lenguajes matemáticos y conjuntos numéricos ................................ 3
Algunas Operaciones entre Conjuntos ......................................... 12
Expresiones Algebraicas y Ecuaciones ............................................. 13
¿Qué es una ecuación?.................................................................. 18
¿Qué es una inecuación?............................................................... 19
Funciones Reales ............................................................................... 20
Función Lineal ............................................................................... 21
Función Cuadrática ....................................................................... 22
Elementos de una parábola: ..................................................... 22
Bibliografía ......................................................................................... 24
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Ingreso de Profesorado
y Licenciatura en Matemática/ Cálculo
Palabras iniciales
El departamento de matemática de la Facultad de Ciencias
Exactas Físico-Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Río
Cuarto tiene una larga historia de enseñanza de las matemáticas y de
interrelación tanto con la escuela media, con sus estudiantes y docentes,
como así también con diferentes departamentos de la propia facultad
incluido el Departamento de Física.
Una primera y desafiante pregunta es ¿por qué estudiar
matemática?... y una segunda es ¿qué es la matemática? Las
respuestas a las mismas, si existiesen, no son simples. A la primera
pregunta nosotros responderíamos que estudiamos matemática por la
pasión que despierta su belleza, por la gran dinámica de cambio que
poseen sus múltiples ramas de investigación, por la potencia en torno a
la modelización de problemas de otras ciencias y por la importancia que
posee en relación a la resolución de importantes problemas sociales
(Varsavsky y Calcagno, 1973).
En el libro cuyo editor es Gowers (2008) se listan en la sección
de Conceptos Matemáticos los siguientes: el axioma de elección, al
análisis bayesiano, los grupos Braid, la forma normal de Jordan,
medidas, matroides, teoría lógica y modelos el axioma de la
determinación, anillos, ideales y módulos, el espectro, espacios
topológicos…y la lista continúa con un total de 99 conceptos! Cada uno
da cuenta de una historia y de un conjunto de líneas actuales de
investigación, que muestran la complejidad y riqueza conceptual de la
matemática.
En el libro Matemática… ¿Estás ahí? Escrito por Adrián Paenza
se encuentra una apasionante introducción a las matemáticas.
Una gran parte del desarrollo del Módulo de Cálculo está
tomado del material “Encuentros de Integración Universitaria Exactas
2014” De Patricia Barberis, Claudia Denner, María Inés Herrera, Elsa
Moschetti, Ana Rosso y Nora Zon.
Puedes acceder a los libros de
Adrián Paenza en el sitio web
del departamento de
matemática de la UBA.
http://cms.dm.uba.ar/material
/paenza
Te invitamos a recorrer este simple material con el entusiasmo
de quien emprende un nuevo rumbo en el aprendizaje respecto de un
mundo complejo y nuevo. Nos encontramos en las aulas!
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Lenguajes matemáticos y conjuntos numéricos
En matemática se emplean distintos lenguajes tales como el



“natural”: utilizado en la vida cotidiana en forma oral o
escrita, como el quechua, el español, el portugués, el
chino, el inglés, etc.
“simbólico”: es un tipo de lenguaje formal (una
sintaxis) y tiene como objetivo expresar de manera
clara enunciados y razonamientos de la matemática.
Tiene estrecha relación con la denominada lógica
simbólica (Palau, 2014).
“gráfico”: utiliza diferentes tipos de representaciones
gráficas que va desde diagramas simples hasta
diferentes herramientas multimedia
Nos encontramos aquí con uno de
los problemas más interesantes,
el del lenguaje y las paradojas.
Una paradoja muy conocida es la
“del barbero” que nosotros le
llamaremos la “paradoja del
peluquero”, que la
podemos
enunciar como sigue.
pequeño
pueblo
Deliberante
el
En un
Concejo
resuelve
por
ordenanza que “hay un único
peluquero, llamado Juan, y que
sólo le puede cortar el pelo a las
Comenzaremos con algunos elementos de la denominada
teoría de conjuntos, la que se inicia con Georg Cantor a finales del siglo
XVIII. Recordemos que, cualquier colección de objetos o individuos se
denomina conjunto y que un conjunto está formado por objetos, que se
llaman elementos.
personas que no se cortan el pelo
En el contexto de la Matemática, el término conjunto no
tiene una definición, sino que es un concepto primitivo ya que está en
el origen de todos los demás conceptos que se generan a partir de él.
En esta parte, nuestro objetivo es estudiar aquellos conjuntos que
están relacionados con el campo de la Matemática, en particular los
conjuntos numéricos.
ordenanza con lo cual algún
Cuando usamos el lenguaje simbólico, utilizamos letras
mayúsculas para designar los conjuntos y letras minúsculas para
designar los elementos.
sobre lógica que cubre problemas
Para simbolizar cuando un objeto es elemento de un conjunto:
a sí mismas”. Entonces, Juan, muy
preocupado, se pregunta ¿quién
me corta el pelo? Y se dice a sí
mismo: “si me corto el pelo a mí
mismo no sería el peluquero de la
peluquero debería cortarme, pero
como soy el único que hay,
entonces sí tengo que cortarme a
mí mismo, pero entonces…”.
Una de las obras más importantes
del tipo planteado es la de Russel
y Whitehead, llamada “Principia
Mathematica”, publicada a inicios
del siglo XX.
Se escribe
𝑎 ∈𝐴
Y se lee
“a pertenece a A” o “a es un elemento de A”.
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Para simbolizar cuando un objeto no es elemento de un
conjunto:
Se escribe
𝑎 ∉𝐴
Y se lee
“a no pertenece a A” o “a no es un elemento de A”.
Expresa en lenguaje simbólico los siguientes enunciados:
a) Un número par.
b) Un número par siguiente a 2n.
c) El triple de un número impar.
d) El cuadrado de la suma de dos números.
e) La suma de los cubos de dos números.
f) La diferencia de un número y su cuadrado.
Expresa en lenguaje natural:
a) 2x
d)
b)
a b
2
2
x2
2
x
e) x 
2
3
c)
y
2
f) (2n  1)k
Definir un conjunto es describir de manera precisa, sin
ambigüedades, cuáles son sus elementos. Existen distintas maneras de
definir un conjunto. La forma más simple es por extensión o
enumeración, es decir, listando todos los elementos del conjunto
separándolos por comas y encerrando todo entre llaves. Otra forma de
describir un conjunto es por comprensión, es decir enunciando una
propiedad que cumplen sólo los elementos que lo forman.
Algo que tienes que recordar es
que al expresar el producto
(multiplicación) entre números
y/o letras puede no escribirse el
signo de multiplicación ( . )
Un conjunto sin elementos se denomina conjunto vacío, se lo
denota con el símbolo   o  .
Los conjuntos numéricos son construcciones matemáticas que
definen diversos tipos de números y que guardan una serie de
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propiedades estructurales. Históricamente el primer conjunto numérico
desarrollado sobre una base intuitiva es el conjunto de los Números
Naturales (), dichos números adquieren distintos significados en
función de los contextos en que son presentados; por ejemplo, se utilizan
para contar (cuando contamos los estudiantes que hoy asistieron a
clase) o para establecer un orden (cuando decimos que la India es el
primer productor mundial de leche, según la FAO).
A continuación, damos algunas propiedades del conjunto de
números naturales.

Tiene primer elemento, el cual es el 1. No tiene último
elemento.

Todo número natural tiene un sucesor. Un número
natural y su sucesor se llaman consecutivos.
Desde sus orígenes la especie
humana
diferentes
necesitó
generar
tipos
representaciones
de
abstractas,
algunas vinculadas al conteo
de objetos tales como las

Es un conjunto infinito.
marcas en las paredes de las

Todo número excepto el primero (uno) tiene antecesor.
maderas y huesos….

Entre dos números naturales consecutivos no hay
ningún número natural. A cada conjunto que tiene esta
propiedad se lo llama conjunto discreto.
cuevas, en pedazos de piedras,
Su representación en la recta es:
1
2
3
4
5 …
Los números naturales no alcanzan para resolver todas las
situaciones que hacen referencia a cantidades.
Supongamos que queremos indicar con un número que
Aristóteles nació “384 años antes de Cristo”, se escribe -384 o
si queremos hallar el número que sumado a 6 sea igual a 4, la
respuesta es -2. Ambas situaciones dan resultados que no pertenecen
al conjunto de los números naturales.
Definimos así un nuevo conjunto formado por los números
naturales, 1, 2, 3, , sus opuestos, ,3,  2,  1 , y el cero. Este
conjunto es el de los Números Enteros (Z).
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Y su representación en la recta es:
… -2 -1
0
1
2
3
4
5 …
Detallamos a continuación algunas propiedades del conjunto de
los números Enteros.

Todos los números enteros tienen un único antecesor y
un único sucesor.

Es un conjunto infinito que no tiene ni primer ni último
elemento.

Es un conjunto discreto.
Se puede observar que si se suman, restan y multiplican dos
números enteros se obtiene un número entero, lo cual se expresa
diciendo que el conjunto de los números enteros es cerrado para la
suma, la resta y el producto. Los números naturales ¿serán cerrados con
respecto a estas operaciones?
Existen dos relaciones de orden sobre Z muy importantes. La
primera es un orden estricto y la segunda un orden parcial:

La relación “menor que” simbolizada con “  ” se define del
siguiente modo:
a < b si y solo si a - b es un número entero negativo

Una relación de divisibilidad con la cual construimos un
nuevo objeto. La relación de divisibilidad (muy importante en
Aritmética) es definida como:
Si a y b son dos números enteros, diremos que “a divide a b”
si y sólo si existe un número entero c tal que b  a  c
En tal caso, utilizaremos la notación ab y emplearemos las
expresiones “a es divisor o factor de b” o “b es un múltiplo de a”.
Observemos además que en la relación anterior los roles de a y c son
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idénticos, por lo que también se dice que c es un divisor de b . Con
a
b
indicamos el número c tal que b  a  c y al mismo tiempo la “operación
de división”.
Si bien ampliamos el conjunto original de los números
naturales, N, al conjunto de los números enteros, Z, éstos no son
suficientes para dar respuesta a situaciones como la siguiente:
“Hallar el número que multiplicado por 5 dé como resultado 2”
¿Estás de acuerdo que la respuesta no es un número entero?
Para obtener el resultado debemos hallar un número “ n ” tal que
5 n  2 , entonces la solución es n = 2/5, así el valor de n es una fracción
la cual no pertenece al conjunto de los números enteros (Z).
Este tipo de números también surgen cuando medimos
longitudes, capacidades, volúmenes, áreas, etc., utilizando una unidad
de medida. Cuando medimos establecemos cuántas veces cabe la
unidad en la cantidad que queremos medir. Pero sea cual fuera esa
unidad, no siempre ésta cabe una cantidad entera de veces, y debemos
fraccionarla.
Las fracciones se representan como cocientes entre dos
números enteros, llamados numerador y denominador respectivamente,
siendo el denominador distinto de 0.
Resumiendo, el conjunto de los Números Racionales (Q) está
formado por expresiones de la forma
a
, con a, b  Z , b  0 .
b
Recuerda: todas las fracciones
equivalentes representan el
mismo número.
Observemos que todo número entero es un número racional. En
efecto, si m  Z entonces m 
m
1
y
m
Q .
1
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Representemos algunos de estos números en la recta:
… -2/4 -1/4 0 1/4 2/4 3/4 1 …
Recordemos algunas características del conjunto de los
números racionales:

No tiene ni primer ni último elemento.

El conjunto de los racionales es infinito.

No se puede hablar del sucesor de un número racional
porque entre dos números racionales siempre hay otro
número racional. De esta propiedad se deduce que:
“entre dos números racionales siempre hay infinitos
números racionales”.

El conjunto de los números racionales conserva la
propiedad de ser cerrado para las operaciones de suma,
resta, multiplicación y división (cuando el denominador
es diferente de cero).

Todo número racional se puede expresar como un
número decimal exacto o como un número decimal
periódico.
Analicemos la siguiente situación: queremos determinar la
longitud de la diagonal de un cuadrado de lado igual a uno.
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Aplicando el Teorema de Pitágoras, dicha diagonal es un
número x tal que
x 2  12  12  2 , de donde x   2 .
Como buscamos una longitud, el valor de x es positivo, luego
x 2.
Por otro lado, sabemos que 2  1,41421356 237310  . No es
difícil demostrar que este número no puede ser representado como el
cociente de dos números enteros, por lo tanto, no es un número racional.
Abordaremos la demostración utilizando el concepto de
divisibilidad. Si suponemos que
p, q  Z tal que
2
2 es racional, entonces deben existir
p
. Podemos asumir que el máximo común divisor
q
entre ellos es 1 , es decir, no tienen factores comunes. Si elevamos al
En la matemática del siglo V a. C.
se plantea el problema de
conseguir, con solo regla y
compás, un cuadrado que tenga
igual área que un círculo dado, el
cual es abordado por Hipócrates
de Quíos. Este es el problema de
la Cuadratura del Círculo. Todos
los
intentos
resultaron
infructuosos, hasta que bastante
tiempo después! en 1884
Lindeman probó que el problema
es irresoluble (ver, Rey Pastor, J.;
Babini, J., 1985).
¿Te imaginas
irresoluble?
por
qué
es
p2
 2q 2  p 2 . La última igualdad nos dice
q2
Si r 2 es el área del círculo de
que p tiene que ser múltiplo de 2 , así p  2k para algún k  Z . Con
lado r y b 2 es el área del
cuadrado de lado b, y dichas
áreas
coinciden,
entonces
cuadrado obtenemos: 2 
2
2
esto concluimos que 2q 2  (2k )2  q 2  2k 2 , es decir q 2 es múltiplo de
b   r . De la última igualdad
2 y por lo tanto q también lo es. Esto nos dice que q y p tienen a 2
tenemos
como factor común, una contradicción.
proporcionales, siendo
que
b
y
r
son
 el
factor de proporción e irracional.
Así, introducimos un nuevo conjunto numérico a partir de
expresiones decimales infinitas no periódicas, llamado Números
Irracionales (I).
El conjunto formado por los números racionales y los números
irracionales es el conjunto de los Números Reales (IR).
A continuación, relacionamos los distintos tipos de lenguajes
con la noción de conjuntos numéricos. En cada uno de los
siguientes incisos escribimos en lenguaje simbólico los conjuntos dados
en lenguaje natural.
1) El conjunto formado por todos los números naturales
impares, mayores o iguales que 3.
En lenguaje simbólico es:
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B  x / x  N, x  2n  1  x  3 .
Como el conjunto B tiene infinitos elementos, no se
puede definir por extensión.
2) El conjunto formado por los números naturales,
comprendidos entre 2 y 26 incluyendo el 2 y 26 y que son
potencias de 2.
En lenguaje simbólico es:


C  x / x  N, x  2 n , n  1,2,...,6
El conjunto C es finito, entonces también lo podemos
definir por extensión, esto es C  2, 4, 8, 16 , 32, 64
3) El conjunto de los números reales menores que cero y
mayores que cero.
En símbolos es:
B  x  IR / x  0 y x  0   
En los ejemplos dados anteriormente se ha usado el lenguaje
natural y el lenguaje simbólico. Ahora haremos referencia al uso del
lenguaje gráfico de conjuntos.
Los conjuntos se representan gráficamente usando diagramas
de Venn. En este tipo de diagramas un conjunto se representa con una
curva cerrada, y sus elementos con puntos en el interior. Por ejemplo, al
conjunto A  1, 2, 3  lo podemos representar con diagramas de Venn
así:
El lenguaje gráfico es de suma
importancia en la Matemática
ya que la gráfica de una
situación
ayuda
a
comprensión del problema.
A
.1
.2
.3
A continuación, se muestran las relaciones entre los distintos
conjuntos de números, utilizando Diagrama de Venn:
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IR
Q
I
Z
N
a) Representa gráficamente en la recta numérica los
siguientes conjuntos:
i.
los números enteros entre −5,3 y 10,5,
ii.
los números naturales entre −5,3 y 10,5,
iii.
los números reales entre −5,3 y 10,5.
b) ¿Cómo puedes representar los números racionales entre
−5,3 y 10,5?
c) ¿Qué puedes advertir en la representación de los conjuntos
anteriores?
Indica si las siguientes afirmaciones son correctas o no,
realizando los cálculos correspondientes:
a)

2 3 
 
b)

2  3 . 2  3 es un número entero.
2

2
2  3 es un número irracional.


2
2
c) ( 3 9 )2 − ( 3 8 )2 =
d)

3
 9   8   9   8  .
3
3
3
3

2
7  5  3 49  25 .
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Decide si las igualdades siguientes son correctas. En caso que
no lo sean, escribe correctamente a qué es igual el miembro
izquierdo de la igualdad.
a)
ab  a  b
b) (a  b) 2  a 2  b 2
c)
 42
d)
e)
81  4  81  4
f) 5  85  8
g)
   2 
h) (a) 0  a
i)
 4
4 2 2
 
3 3 0
3 6 3 6
 
4 9 49
3
2
j) 2  3
Algunas Operaciones entre Conjuntos
Siguiendo a Gentile (1984) supondremos fijado un conjunto
universal U que satisfaga el siguiente papel: todo conjunto que se
considere estará formado por elementos de U exclusivamente. Más
precisamente si A es un conjunto entonces todo objeto (elemento) de A
es un elemento de U. En los conjuntos de números considerados hasta
ahora, el conjunto universal es el conjunto de los números reales, o sea
U  IR.
Dados A y B dos conjuntos de U, se dice que el conjunto A es un
subconjunto B si y sólo sí todo elemento de A es también elemento de B
y a esta relación se la denomina Inclusión. Lo denotamos con A  B .
Expresado en símbolos resulta:
A  B   x A  x B
En el esquema anterior podemos establecer las siguientes
relaciones entre conjuntos, N  Z , Z  Q , Q  IR y I  IR .
Dados A y B dos conjuntos de U, la unión de A con B, es el
conjunto cuyos elementos pertenecen a A o pertenecen a B, y la
denotamos como A  B , en símbolos escribimos:
A  B  x  U / x  A  x  B
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Con esta operación entre conjuntos podemos definir a los
números reales como IR  Q  I .
Dados A un conjunto de U, el complemento del conjunto A , es
el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a U y que
no pertenecen a A . Lo denotamos por Ac . La definición en símbolos es:
Ac  x  U / x  A 
En el caso de los conjuntos numéricos, hemos considerado U 
IR, luego se verifica que IC = Q y QC = I.
Dados A y B dos conjuntos de U, la intersección de A y B , es
el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto
A y al conjunto B simultáneamente. A esta operación la denotamos
como A  B . En símbolos resulta:
A  B  x  U / x  A  x  B
Observamos que Z  N = Z, Z  N = N y Q  I = .
 Volver
Expresiones Algebraicas y Ecuaciones
El matemático árabe Mohammed ibn Musa Al-Khwarizmi,
escribió varios libros de Geografía, Astronomía y Matemáticas. En su
tratado sobre Álgebra, Al-Khwarizmi explica la manera de resolver
ecuaciones cuadráticas de varios tipos.
En el planteo, se utilizaban términos del lenguaje coloquial ya
que no se utilizaban aún símbolos algebraicos como hoy en día. Fue
mucho después, en el siglo XVI, cuando comenzaron a introducirse los
símbolos que hoy se utilizan en el planteo de ecuaciones. Uno de los
matemáticos que mayor influencia tuvo en este cambio favorable para
el desarrollo del Álgebra, fue François Viète (1540-1603). Con el uso de
símbolos para expresar la incógnita y los coeficientes de una ecuación,
se facilitó el estudio de ecuaciones de grado 2, 3 y 4.
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El matemático árabe Mohammed ibn Musa Al-Khwarizmi,
escribió varios libros de Geografía, Astronomía y Matemáticas. En su
tratado sobre Álgebra, Al-Khwarizmi explica la manera de resolver
ecuaciones cuadráticas de varios tipos.
En el planteo, se utilizaban términos del lenguaje coloquial ya
que no se utilizaban aún símbolos algebraicos como hoy en día. Fue
mucho después, en el siglo XVI, cuando comenzaron a introducirse los
símbolos que hoy se utilizan en el planteo de ecuaciones. Uno de los
matemáticos que mayor influencia tuvo en este cambio favorable para
el desarrollo del Álgebra, fue François Viète (1540-1603). Con el uso de
símbolos para expresar la incógnita y los coeficientes de una ecuación,
se facilitó el estudio de ecuaciones de grado 2, 3 y 4.
Ejemplo de Al-Khowarizmi: Considera la ecuación cuadrática
x 2  10 x  39 , dicha ecuación oculta la solución desconocida x
que es llamada por los Árabes “dshidr” (raíz), una palabra que
originalmente representaba el lado de una superficie dada (una raíz es
cualquier cantidad que ha de ser multiplicada por si misma).
Solución de la ecuación: Al-Khowarizmi dibuja un cuadrado de
lado x para representar x 2 y dos rectángulos de lados 5 y x para el
término 10 x (ver la figura que se muestra abajo). De acuerdo a la
ecuación, la región sombreada tiene área total igual a 39 , luego, el área
total del cuadrado más grande es 39  25  64  8.8 , así 5  x  8 y
consecuentemente x  3 .
Orígenes
del
Facultad de Ciencias Exactas, Físico-Químicas y Naturales
los
matemáticos árabes hicieron
importantes contribuciones a la
matemática
en
la
época
llamada “La Edad de Oro” del
mundo musulmán, entre el año
700 y el 1.200 d.C. Lograron
preservar el legado matemático
de los griegos, tradujeron y
divulgaron los conocimientos de
la India y asimilando ambas
corrientes, aportaron mucho al
Álgebra y la Trigonometría. El
más recordado de esa época es
Mohammed
Khwarizmi.
A continuación, recordamos algunas nociones básicas sobre
expresiones y ecuaciones algebraicas.
Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división con
números son conocidas como operaciones aritméticas. A las
álgebra:
14
ibn Musa Al-
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expresiones en las que se indican operaciones entre números y letras se
las llama expresiones algebraicas.
Los siguientes son ejemplos de expresiones algebraicas:
Q(x) = 3 + 2 x5 – 5x2
P(x)= x2 +2
R(x) = 2 x7 – 3x4 + x
T(x)=1.
Estas expresiones son polinomios de grados 5, 2, 7 y 0
respectivamente.
Algunos ejemplos de expresiones algebraicas, que no son
polinomios, pues sus potencias no son números naturales son:
3 x2 3 x 8;
x 1  1 . A las expresiones que resultan de un cociente de
polinomios las llamamos expresiones algebraicas racionales. Por
2
ejemplo: 2  5 x , 3  x   2 x  1 .
x3  x
10 x
Otras expresiones algebraicas que no son polinómicas ni
racionales son:
2  5x -3
10
5
x
;
x 5
.
2x - 3
Cuando trabajamos con expresiones algebraicas debemos tener en
cuenta su dominio, es decir en qué conjunto de números reales
podemos realizar las operaciones indicadas.
Entre los conjuntos de números que usaremos más a menudo
para describir el dominio se encuentran los Intervalos. En forma general
los podemos definir como un subconjunto de los números reales. Existen
distintos tipos de intervalos, como se muestra a continuación:

Consideremos dos números reales fijos a y b, con a < b.
Se llama intervalo abierto de extremos a y b al conjunto
de los números reales x que están entre a y b, sin tener
en cuenta los extremos. Se lo denota como (a,b).
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Los números reales x del intervalo abierto (a,b) son
aquellos para los que a < x < b. Usando la notación de
conjuntos queda
( a,b )  x  IR : a  x  b .
Gráficamente se lo representa en la recta numérica ó
recta real de la siguiente forma:
(
)
a
b
Si a = b entonces (a,b) = (a,a), luego el intervalo no tiene
ningún elemento o sea (a,b)=Ø.

Un intervalo cerrado de extremos a y b, es el conjunto de
los números reales x que están entre a y b, incluyendo
los extremos. Lo denotamos como [a,b].
Los números reales x del intervalo cerrado [a,b] son
aquellos para los que a  x  b. Usando la notación de
conjuntos es:
a,b  x IR : a  x  b
Gráficamente se lo representa en la recta numérica de la
siguiente forma:
[
]
a
b
Si a = b entonces [a,b] tiene un sólo elemento y se escribe
[a,b] = {a} = {b}.
La diferencia entre un intervalo abierto y uno cerrado es
que el primero no contiene los valores extremos y el
segundo sí.
Además de intervalos abiertos y cerrados podemos
considerar los intervalos semi-abiertos.

Se llama intervalo abierto a la derecha de extremos a y
b al conjunto de los números reales x tales que a  x  b
y se escribe [ a , b ) . Es decir
[a, b)  x  IR : a  x  b .
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Gráficamente se lo representa en la recta numérica de la
siguiente forma:

[
)
a
b
Se llama intervalo abierto a la izquierda de extremos a
y b al conjunto de los números reales x tales que
a  x  b y se escribe ( a , b ] . Es decir,
(a, b]  x  IR : a  x  b.
Gráficamente se lo representa en la recta numérica de la
siguiente forma:
(
]
a
b
Dados los intervalos A = [-1; 3] y B = (-2; 2) ; U=IR
C
a) Encuentra los conjuntos A B , A B , A , B
C
A,
AC  B .
b) Representa gráficamente los conjuntos anteriores.
Encuentra el Dominio para las siguientes expresiones
algebraicas
a)
3x2 12
x4 16
b)
3
( x  2) 2
c)
( x  1) 2
x 1
d)
2 x
4 x
.
Halla la expresión irreducible para las siguientes expresiones
algebraicas, analizando previamente su dominio:
x2 6x9
a)
2x2 18
b)
x2  9
.
x 2  x  12
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¿Qué es una ecuación?
Una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas
que se cumple solamente para algún o algunos valores de las variables.
Cada expresión algebraica al lado del signo = se denomina
miembro de la ecuación y la letra es la incógnita.
Resolver una ecuación es encontrar qué valor o valores hacen
verdadera la igualdad presentada.
Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una
igualdad algebraica de la forma ax2 + bx+ c = 0, siendo: a, b y c números
reales y a distinto de 0.
Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones. Expresa el
conjunto solución y represéntalo en la recta real.
a)
2x  1
x 3
x
1
3
2
b) x  2  10  4 x  6
2
c)
1
8
x 3
x 2  2x  8
1
d)
4x  7
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¿Dónde está el fallo en la siguiente demostración?
x 2  xy
x 2  y 2  xy  y 2
( x  y )( x  y )  y ( x  y )
x y  y
2y  y
2 1
¿Qué es una inecuación?
Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones
algebraicas de una o varias incógnitas que solo se verifica para ciertos
valores de las variables.
Resuelve cada una de las siguientes inecuaciones. Representa
la solución en la recta real.
a)  3x  3  0
b) 3x 
1
1
x4
 5x c)
 0 d)
 0.
1 x
2 x
2
 Volver
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Funciones Reales
Definición (Dirichlet 1837): Una función f : A  B , consiste de
dos conjuntos, el dominio A y el rango B, y una regla que asigna a cada x
del conjunto A un único elemento y del conjunto B. Esta correspondencia
es denotada por y  f (x) o x  f (x) . Decimos que y es la imagen de x o el
valor de f en x y que x es la pre imagen de y.
1 1
sin
x x 1
Para simplificar solemos escribir f ( x)  x o k ( x)  
2
especificar el dominio, entendiendo que en el caso de la primera función
el dominio es el conjunto de todos los números reales IR y en el segundo
IR excepto el cero y el uno.
“Las funciones reales de una
variable real x eran, desde
Descartes
(1637),
la
herramienta universal para el
estudio de las curvas
geométricas y, desde Galilei y
Newton, para los cálculos
mecánicos y astronómicos.
La palabra “functio” fue
propuesta por Leibniz y Joh.
Bernoulli, mientras que el
símbolo
y=f(x)
fue
introducido por Euler (1734)”
Comprobar si es válida la siguiente igualdad para cualquier x :
f ( x  1)  f ( x)  2 x  1
Dada f ( x)  1 /( x  1) , interpretar lo siguiente:
i.
f ( f ( x)) (¿Para qué valores de x tiene sentido?)
ii.
f ((1 / x))
iii.
f ( x  y)
iv.
¿Para qué números c existe un número x tal que
f (cx)  f ( x) ?
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Repasemos la relación entre variables analizando el siguiente
cuadro:
Con frecuencia, en cálculo aparecen una variedad de tipos o
familias importantes de funciones. Vamos a identificar y describir
brevemente dos de estas familias.
Función Lineal
La función lineal es un buen modelo para analizar situaciones
en las cuales a variaciones iguales de una variable corresponden
cambios iguales de la otra variable.
La fórmula que la define es: f ( x)  ax  b donde a y b son
números cualesquiera, x identifica una de las variables (la
independiente) e y  f (x) adopta los valores que se obtienen a medida
que x cambia (variable dependiente). Los números que acompañan la
fórmula dan información acerca de su gráfica: el número a (coeficiente
de la x ) se llama pendiente, y nos indica la inclinación de la recta. El
número b se llama ordenada al origen, y nos indica el corte de la recta
con el eje y .
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Función Cuadrática
Las funciones cuadráticas, son un buen modelo para analizar
situaciones en las cuales una de las variables en juego se relaciona con
el cuadrado de la otra.
En matemática, una función cuadrática es toda función que
2
pueda escribirse de la forma: f ( x)  ax  bx  c donde a , b y c son
números cualquiera, con la condición de que a sea un número distinto
de cero, x identifica una de las variables y f (x) es el valor que se obtiene
2
para x a través de la función f . En una función cuadrática: ax se
denomina término cuadrático, bx se denomina término lineal, c se
denomina término independiente.
La gráfica de una función cuadrática es siempre una curva, o
parte de una curva, que se llama parábola y los puntos del plano que
2
verifican la ecuación y  ax  bx  c con a distinto de 0 constituyen la
gráfica. Las parábolas son curvas que podemos descubrir observando
nuestra realidad.
Elementos de una parábola:

Eje de simetría:
Es la recta vertical que divide a la parábola en dos partes
exactamente iguales. Para expresar el eje de simetría se escribe
x = (punto de corte de la parábola con el eje x ).
El eje de simetría de una parábola puede determinarse mediante
la siguiente expresión:
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los valores de "b" y "a" son los coeficientes de la fórmula de la
función cuadrática.

Vértice:
Origen
de
las
coordenadas
Es el punto donde el eje de simetría corta a la parábola.
Podemos denotarlo V(xv, yv).
salud que padecía desde niño,
cartesianas: Debido a la precaria
Las fórmulas para calcular las coordenadas del punto del
vértice son:
René Descartes tenía que pasar
innumerables horas en cama, así
aprovechaba
para
pensar
en
filosofía, matemáticas, e incluso se
permitía perder el tiempo pensando
en las musarañas. Teniendo su
vista perdida en el techo de la
estancia fue una mosca a cruzarse

Cortes con los ejes:
en su mirada, cosa que hizo que la
Para encontrar los puntos de corte con el eje de las ordenadas
(eje y ), se reemplaza x por 0 en la fórmula y así se encuentra el
punto (0, y ).
Para encontrar los puntos de corte con el eje de las abscisas
(eje x ), se reemplaza y por 0 en la fórmula, y luego se resuelve
2
la ecuación de segundo grado ax  bx  c  0 .
siguiera con la vista durante un
buen rato, mientras pensaba y se
preguntaba si se podría determinar
a cada instante la posición que
tendría el insecto. Luego pensó que
si se conociese la distancia a dos
superficies perpendiculares, en
este caso la pared y el techo, se
podría saber. Mientras le daba
vueltas a esto se levanto de la
cama y agarrando un trozo de papel
dibujó
sobre
él
dos
rectas
perpendiculares: cualquier punto
de la hoja quedaba determinado
por su distancia a los dos ejes. A
estas
distancias
las
llamó
coordenadas del punto: acababan
de
nacer
las
Coordenadas
Cartesianas, y con ellas, la
Geometría Analítica.
 Volver
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Bibliografía
Producción y productos lácteos. Producción lechera. (2016). Sitio de la
Organización de las Naciones Unidas para la Alimentación y la
Agricultura (FAO): http://www.fao.org/agriculture/dairygateway/produccion-lechera/es/
Russell, B.; Whitehead, A. (1927). Principia Mathematica. Cambridge
University Press.
Stanford
Encyclopedia
of
Philosophy.
(2016).
http://plato.stanford.edu/entries/set-theory/
Sitio:
Cassirer, E. (1956). El problema del conocimiento. Fondo de Cultura
Económica.
Gentile, E. (1984). Notas de Algebra I. Ediciones Previas. EUDEBA
Paenza, A. (2014). Matemática…¿Estás ahí?. Siglo XXI Editores.
Palau, G. (2014). Lógica formal y argumentación como disciplinas
complementarias. Biblioteca de Humanidades. Universidad
Nacional
de
La
Plata.
Versión
electrónica
en:
http://www.ssoar.info/ssoar/handle/document/43273
Spivak, M. (1996). Cálculo Infinitesimal. Editorial Reverté.
Varsavsky,O., Calcagno, E. (1973). América Latina: modelos
matemáticos. Desarrollo Económico. Vol. 12, No. 48, pp. 934937
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