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ASIGNATURA: Matemáticas
DOCENTE: Viviana Villamizar García
ESTUDIANTE: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
GUIA No. 2-4
GRADO: Décimo
TIEMPO:
FECHA:
PERIODO: SEGUNDO
TEOREMAS DEL SENO Y DEL COSENO
TEOREMA DEL SENO: Los lados de un triángulo son
7.
proporcionales a los senos de los ángulos opuestos:
𝑎
𝑏
𝐶
=
=
sin 𝐴 sin 𝐵 sin 𝐶
Ejemplo
8. En un momento dado, cuando un avión
Resolver un triángulo con los siguientes datos:
estaba directamente arriba de una carretera
a = 25 cm, B=53° y A= 67º
recta que une a dos pueblos, los ángulos de
Dibujamos el triángulo, nombramos los ángulos y
elevación con respecto a estos pueblos
lados, colocamos los datos conocidos y
eran 21,2° y 12,3°.Determina las distancias
resolvemos. Resolver un triángulo es decir lo que
del avión a cada uno de los pueblos en
valen sus 3 ángulos y sus 3 lados.
dicho instante, considerando una
separación de 8,45km entre los puntos
𝑏
𝑎
=
𝑠𝑒𝑛𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝐴
representativos de los pueblos.
𝑏
25
=
𝑠𝑒𝑛53 𝑠𝑒𝑛 67
𝑏=
25𝑠𝑒𝑛53
= 21.69
𝑠𝑒𝑛 67
9. Un aeroplano que se encuentra en el punto A,
observado por dos estaciones terrestres ubicadas
C= 180-(67+53)=180-120=60 (teniendo en cuenta
en Neiva y Campoalegre. Como se muestra en la
que los ángulos internos de un triángulo es 180)
figura. Encontrar la distancia a la que se
𝑐
𝑎
=
𝑠𝑒𝑛𝐶 𝑠𝑒𝑛 𝐴
encuentra el aeroplano de la estación de Neiva.
𝑐
25
=
𝑠𝑒𝑛60 𝑠𝑒𝑛 67
𝑐=
25𝑠𝑒𝑛60
= 23.52
𝑠𝑒𝑛 67
Solución: b=21.69, c=23.52, C=60
Ejercicios: Dibujar y resolver los siguientes
triángulos
1.
a = 4 cm, b = 5 cm y B = 30º
2.
a = 12 cm, b = 8 cm y A = 150º
3. c=40m, A=75° B=31°
4. a= 25m, A=30°, B=40°
5. c=15cm, b=13,6cm, B=65°
6. a=14m, b=15, A=65°
10. Una escalera mide 10,7m esta recostada sobre
un terraplin inclinado 62° con la horizontal. Si
el extremo inferior de la escalera es 3,2
metros de la base del terraplin. Hallarr la
distancia del extremo superior de la escalera a
la base del terraplin.
TEOREMA DEL COSENO:
Es decir que un lado cualquiera al cuadrado es igual a la
6. Se desea abasatecer de agua una pequña vivienda
suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el
de campo aprovechando la presencia de un arroyo
doble del producto de estos dos lados por el coseno del
que se encuentra cerca de ella. Se estima que el
ángulo que forman
ángulo formado entre el camino y el arroyo mide 135°
Determinar la longitud del tubo que necesita para
comunicar el punto A del arroyo con la casa:
7. Una torre de altura 23,5m foma un ángulo de 110° con
la colina sobre la cual se ubica. Pablo se encuentra a
28m de la base de la torre ¿Cuál es el ángulo de
elevación desde ese punto a la parte superior de la
Ejemplo
torre.
Resolver un triángulo con los siguientes datos:
a = 1200 cm, c =700cm y B = 108º
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑐 𝑐𝑜𝑠𝐵
𝑏2 = (1200)2 + (700)2 − 2(1200)(700)𝑐𝑜𝑠108
𝑏2 = 1930000 − 2(1200)(700)𝑐𝑜𝑠108 =
2449148.551
8. Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y
12 cm, y el ángulo que forman es de 48°. Calcular los
lados.
𝒃 = √𝟐𝟒𝟒𝟗𝟏𝟒𝟖. 𝟓𝟓𝟏 =1564.97
Utilizamos la siguiente formula para hallar A
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 𝑐𝑜𝑠𝐴
(1200)2 = (1564.97)2 + 7002 −
2(1564.97)(700) 𝑐𝑜𝑠𝐴
Despejamos cosA
9. Tres pueblos A,B,C están unidos por carreteras
rectas y planas. Las distancia entre A y B es
6km, entre B y es de 9 km ¿El ángulo formado
1440000 − 2449131.101 − 490000
= cos 𝐴
−2190958
0.6842 = cos 𝐴
𝑨 = 𝐜𝐨𝐬−𝟏 𝟎. 𝟔𝟖𝟒𝟐=46.82
C= 180-A-B= 180-108-46.82=25.18
por ambas carreteras es 120° ¿Cuál es la
distancia entre A y C?
10. En una construcción, dos vigas de 10m están
soldadas por sus extremos y forman un
triángulo con otra viga de 15m, halla los
ángulos que forman las vigas entre sí .
Ejercicios: Dibujar y resolver los siguientes
triángulos:
1. a=14cm, b=15cm, c=16cm
2. a=12cm, b=17cm,B=45,28°
3. c=3.46dm, b=2dm, B=30°
4. b=5m, c=10m, A=30°
5. b=8cm, c=23cm y A=15°