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LA RECTA NUMÉRICA, UN CAMINO AL ESTUDIO DE LOS NÚMEROS REALES
Descripción del conjunto de números enteros
Observa la animación de la introducción y tenla en cuenta para responder las preguntas de la
actividad 1.
Figura 1. El trampolín
Introducción
Hace mucho tiempo, los chinos utilizaban
bastoncillos de bambú o de madera para representar
los números y realizar en especial cálculos
comerciales de una manera práctica, pero también
para tratar cuestiones relacionadas con los
aumentos y disminuciones de magnitudes o con
distancias recorridas en sentidos opuestos; esos
bastoncillos eran negros o rojos y representaban
cantidades positivas o negativas, de acuerdo con
una atribución del color que es justamente la
opuesta a la empleada en la contabilidad occidental.
Los matemáticos hindúes del siglo VI mencionan
también el uso de números negativos para tratar
este tipo de problema. Los antiguos griegos, por
el contrario, rechazaron que pudieran existir tales
números.
En Europa medieval, los árabes dieron a conocer
los números negativos de los hindúes, que en
Figura 2. Ascensor
el siglo XII se utilizaban ya ocasionalmente para
designar las pérdidas en el análisis de cuestiones
financieras.
Durante el Renacimiento, el manejo práctico de
1
esos números en la contabilidad y otros contextos,
ayudó a su lenta introducción en las matemáticas.
(Profesor en línea, (s.f))
La historia de los números ha sido determinante para la
invención de algunos artefactos que utilizan los
números enteros como parte de su estructura.
Algunos artefactos en los que se puede ver el uso de
los números enteros son los ascensores, los cuales
se mueven de manera vertical hacia arriba y hacia
abajo. Aumentando hacia arriba los números de los
pisos y disminuyendo hacia abajo, y en algunos
sótanos o parqueaderos se usan los números enteros
negativos para denominar que se encuentran
debajo del primer piso.
Otro de estos artefactos |es el termómetro, el cual nos
permite medir la temperatura por encima y por debajo
de cero, siendo las cantidades por debajo del cero las
más frías.
°F
°C
120
50
100
40
80
60
30
20
10
40
0
20
0
-10
-20
- 20
-30
- 40
-40
Figura 3. Termómetro
Objetivos de aprendizaje
Reconocer el conjunto de los números enteros a partir de sus propiedades
Determinar las características de los números enteros
Resolver operaciones en el conjunto de números enteros
Actividad 1
Definición del conjunto de los números enteros y descripción de sus características
De acuerdo a la animación de la introducción, y a la siguiente imagen, define que es el conjunto de los
números enteros y cuáles son sus características.
+4
+3
+2
+1
0
-1
-2
-3
Figura 4. Ascensor en edificio
2
Definición del conjunto de los números enteros:
____________________________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________________________
Características:
_________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________
Actividad 2
Reconocimiento de los conjuntos del conjunto de los números enteros
1. Observa el siguiente diagrama del conjunto de los números enteros y luego completa la siguiente frase,
para ello usa las palabras que te dan como opciones:
Conjunto de los números enteros
Figura 5. Conjunto de los números enteros
Entre otros, el conjunto de los números enteros contiene el _____________ de los ___________________
• principal
• conjunto
• números
• elementos
• naturales
Como pudiste darte cuenta, en el diagrama del ejercicio anterior se presentó el conjunto de los números
enteros, señalando cada uno de los conjuntos de dicho conjunto (el conjunto de los números naturales
o positivos y el conjunto de los números enteros negativos o también llamados opuestos), lo cual se
puede denotar por Z= {N U (0) U Z- }.
3
2. Ahora escribe los números que están en el círculo de la izquierda y que pertenecen al conjunto de los
números enteros en el círculo de la derecha.
Figura 6. Diagramas de Venn
Actividad 3
Reconociendo el opuesto de un número
Partiendo de tus saberes previos sobre el concepto de número opuesto, realiza el siguiente apareamiento:
lee las situaciones de las columnas A y B y luego relaciona cada cifra que aparece en las situaciones de
la Columna A, con la cifra que se le opone en la columna B. Para ello, escribe el número de la columna
Número situación, hasta la columna Número situación con cifra opuesta que corresponda. Luego escribe
en las columnas Cifra, la cifra que representa la misma.
Número
situación
1
2
3
4
Columna A
Un avión se encuentra
a una altura de 250km.
Cifra
Número
situación son cifras
opuestas
El polo sur presenta
una temperatura de
35°C bajo cero
Juan se ha ganado
una lotería por
$250´000.000
El fílosofo Sócrates
nació en el año 470
antes de Cristo
4
Columna B
Martina ha perdido una apuesta
$250´000.000
Un submarino se
encuentra a una
profundidad de 250km
Un gran Volcán
Exploto en el año
470 después de
Cristo
La costa atlántica
presenta una
temperatura de 35°C
Cifra
Actividad 4
Valor absoluto de un número
De acuerdo a tus saberes previos sobre Valor absoluto, resuelve los siguientes ejercicios. Para ello,
haz clic en los botones de ejercicio.
1. Encuentra y señala en la sopa de números los valores absolutos de los números listados en la tabla de
la izquierda. Mira las instrucciones.
Instrucciones:
Primero, elige el número de la tabla de la izquierda al que le buscarás el valor absoluto, y coloréalo con el color que desees.
Luego, señala en la tabla de la derecha el valor absoluto, y coloréalo del mismo color
que elegiste en la columna de la izquierda. Para señalar los valores absolutos que
tengan más de un dígito, debes de colorear cada uno de los dígitos que conforman
dicho número, con el mismo color que pintaste el número que elegiste en el primer
paso.
Se pueden señalar números con varios dígitos de forma horizontal o vertical (no diagonal).
Sopa de Números
Números
3
-297
6
-34
1
Figura 7. Sopa de números
5
2. Si dos automóviles parten de un mismo punto cero a dos ciudades en sentido contrario, y cada
ciudad está a 2250 km del punto de partida, y asociamos la imagen con la recta numérica, responde
las siguientes preguntas:
0
2250 km
2250 km
Figura 8. Distancia
Preguntas:
a. El carro negro va hacia el lado __________ y este se representa con el signo ______
b. El carro amarillo va hacia el lado ___________ y este se representa con el signo _______.
c. ¿Con cuál o cuáles signos puedes representar la distancia a la que se encuentran las ciudades?
¿Por qué?:
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
3. Responde las siguientes preguntas:
¿Qué es el valor absoluto de un número?
____________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________
¿Cómo se representa el valor absoluto de un número?
__________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________
6
Escribe tres ejemplos de valor absoluto:
Como definición de valor absoluto podemos decir:
Si tienes un número negativo, por ejemplo -5, su valor absoluto es su opuesto, es decir:
|-5| = 5, y si tienes un número positivo por ejemplo 8, el valor absoluto del número es el mismo número positivo, es decir |8| = 8
Actividad 5
Ubicando números enteros sobre la recta numérica
Ubica el número dado sobre la recta y escribe el antecesor y el sucesor de dicho número señalándolos
con A o S, según corresponda.
-5
Figura 9. Recta
12
+1
7
-11
Actividad 6
Ordenando y comparando números enteros
Ubica los números de la siguiente lista hasta el lugar correcto sobre la recta numérica, luego escríbelos de
mayor a menor, y de menor a mayor en los recuadros, de tal forma que se cumplan las relaciones
planteadas.
Luego escribe algunas conclusiones sobre las relaciones de los números ordenados según los signos
< y > y socialízalas en la clase.
-11
+1
-7
-2
+13
-1
+5
+8
-6
es >
es >
es >
es >
es >
es >
es >
es >
< es
< es
< es
< es
< es
< es
< es
< es
8
Actividad 7
Las leyes de los signos
En esta actividad recordaremos las leyes de los signos, necesarias para resolver operaciones de suma,
resta y multiplicación con enteros. Observa la tabla con atención, en la cual se incluyeron números al azar,
y luego resuelve los ejercicios:
Entonces, ¿cuál es el resultado de multiplicar
dos factores con signos iguales o hacerlo con
factores de signos contrarios? Socializa tus
respuestas en la clase.
Figura 10. Leyes de los signos
Ejercicio 1
Realiza las siguientes multiplicaciones con números enteros teniendo en cuenta las leyes de los signos.
Copia en el espacio el factor o el producto que corresponda.
a) 4 • 5 • (-20) • 6 = 20 • ____ • 6 = _____ • 6 = ___
b) (-3) • (-4) • (-5) • (-6) • -2 = _____• 30 • (- 2) = _____ • (- 2) = _____
c) 8 • (-6) • (-4) • 5 • (-6) • 3 = (-48) • (-4) • 5 • _____= (-48) • ____ • -18 = (-48) • _____= _____
Ejercicio 2
Ahora completa las frases y responde las preguntas
1. Multiplicar cuatro factores con signos iguales dan resultados ___________.
2. Multiplicar cuatro factores, tres con signos iguales y uno con signo contrario, dan resultados ___________.
3. Multiplicar cinco factores con signos iguales dan resultados _________ o ___________.
4. El producto entre dos números enteros es -1170 y uno de los factores es -26 ¿cuál es el valor del otro
factor?
9
Actividad 8
Suma, resta y multiplicación de números enteros
En esta actividad resolveremos sumas, restas y multiplicaciones teniendo en cuenta los signos de agrupación.
Para ello resolveremos un ejemplo.
Ejemplo: {50+[25-38]-25+[35-(45+20)]} =
Para resolverlo seguiremos los siguientes pasos
• Elimina los signos de agrupación efectuando las operaciones de los signos de agrupación más internos,
hasta efectuar las operaciones de los más externos.
• Recuerda que si un signo de agrupación esta precedido de un signo menos, esto implica utilizar la ley
de los signos.
• Suma números positivos entre sí y negativos entre sí. Efectúa la operación sumando los dos resultados.
1. Realizar las operaciones intenas y eliminar signos de agrupación.
{50+[-13]-25+[35-(65)]}, después {50+[-13]-25+[-30]}
• Cambiar los signos de resultados de las operaciones, si están precedidos del signo menos:
{50-13-25-30}
• Sumar números positivos entre si y negativos entre sí. Efectuar la suma de los dos números enteros
resultantes.
-13+(-25)+(-30)=-68 -68+50=-18
hora resuelve los siguientes ejercicios:
{35+(54-(-37-35).(-25)+82)}
10
-{52-[36-58-(24+82)+36]+32+(-42)}
{-[27-3 •(120+(-170))+25]+5 •(34-49)}
11
Ahora observa la animación de la actividad, y compara lo que hiciste con lo que plantea esta. ¿Se
cumplen los casos presentados?, socializa tus conclusiones con los compañeros.
Figura 11. Operaciones con numeros enteros
Aquí te presentamos un resumen
Suma de enteros
Signos de 1er
Signos de 2do
Operación
sumando
sumario
Positivo (+)
Negativo (-)
Positivo (+)
Negativo (-)
(+)
(+)
(+)
(+)
Positivo (+)
Negativo (-)
Negativo (-)
Positivo (+)
Signo del
resultado
Positivo (+)
Negativo (-)
Ejemplo
5+7=+12
(se suman los valores absolutos
de los números)
-5+(-7)=-12
(se suman los valores absolutos
de los números)
-5+(-7)=-2
Signo del mayor (se restan los valores absolutos
de los números)
-5+7=12
Signo del mayor (se restan los valores absolutos
de los números)
Resta:
Recuerda que la resta en los números enteros se puede definir como la suma de un número
con el opuesto del sustraendo
En la multiplicación de dos factores: si los dos factores tienen igual signo, el producto es positivo, y
si los dos factores tienen distinto signo, el producto es negativo, por ejemplo:
(+4)•(+3)= +12
(-4)•(-3)= +12
(-4)•(+3)= -12
(+4)•(-3)= -12
12
El conjunto de los números enteros
Puede realizar
operaciones como
Contiene
Al conjunto de los
números naturales y
sus opuestos
La multiplicación
La resta
La suma
Donde
factores
con signos
Donde se
pueden restar,
de número
Donde todos los
sumandos pueden
presentar
Igual, dan
Igual, dan
un producto un producto
positivo
positivo
Positivo un
negativo
Positivo otro
positivo
Signos
positivos
Negativo un
postivo
Signos
contrarios
Tiene características
como
Signos
negativos
Negativo otro
negativo
13
Todos tienen
un antecesor
y un sucesor
Se pueden
representar
por medio de
la recta
númerica
Entre dos
números
negativos, el
mayor es el
que esté mas
cercano al
cero
Son
infinitos
Entre dos
números positivos,
el mayor es que
esté mas alejado
al cero
Actividad 1
A partir de los valores que aparecen en las columnas a, b y c, resuelve las operaciones que se indican
en las siguientes tres columnas:
a
2
4
-3
-4
b
6
-2
3
1
c
3
5
4
-2
a+(b + c)
b • [c-(a + b)]
Realiza aquí los respectivos desarrollos:
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- [a + b • (- c)]
Actividad 2
Lee la siguiente situación y después responde:
Un termómetro marca a las 7 a.m., una temperatura
de 8°C, y durante el día tiene los siguientes movimientos:
• A las 10:00 a.m. la temperatura sube 25°C.
• A la 1:00 p.m. baja 17 °C.
• A las 4:00 p.m. el termómetro está marcando 22°C
• A las 7:00 p.m. la temperatura baja a 15°C.
7:00 AM
8.0° C
Figura 12. Termómetro
Responde:
• ¿Qué temperatura marca el termómetro a las 10:00 a.m.? ____
• ¿Cuál es la temperatura a la 1:00 p.m.? _____
• ¿Cuál es la diferencia de temperatura entre la 1:00 .pm. y las 4:00 p.m.? ____
• ¿Cuántos grados marca a las 7:00 p.m.? ____
• ¿Qué diferencia hay entre la temperatura de las 7:00 a.m. y las 7:00 p.m.? _____
Actividad 3
A partir de la siguiente situación resuelve:
En un tanque hay 200 L de agua. Si se abre una
llave en la parte superior para que deposite 23 litros
del líquido por minuto, y al mismo momento se
abre otra llave que se encuentra en la parte inferior
del depósito para que riegue externamente 14 L
de agua por minuto, si se dejan abiertas las dos
llaves por 12 minutos
a. ¿Cuántos litros de agua quedan en el tanque al
cerrar las llaves?
_______
b. ¿Cuántos litros de agua hay a los 8 minutos de
haber abierto las llaves? ______
Figura 13. Caneca
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Lista de figuras
Figura 1. El trampolín
Figura 2. El ascensor
Figura 3. Termómetro
Figura 4. Ascensor en edificio
Figura 5. Conjunto de los números enteros
Figura 6. Diagramas de Venn
Figura 7. Sopa de números
Figura 8. Distancia
Figura 9. Recta
Figura 10. Leyes de los signos
Figura 11. Libro
Figura 12. Termómetro
Figura 13. Caneca
Referencias
Hipertextos 7. (2010). Santillana.
C. Boyer. (1987). Historia de la matemática. Alianza Universidad.
Sánchez , L. E., & Restrepo , M. (2011). Matemáticas para pensar 7. Norma.
Profesor en línea (Sf) Números enteros(z) Recuperado de http://www.profesorenlinea.cl/mate
matica/NumerosEnterosZ.htm
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