Download resumen algebra básica

Álgebra Superior
Ciclo 07-2
RESUMEN ALGEBRA BÁSICA
TERMINO ALGEBRAICO: Es una expresión matemática que consta de un producto (o cociente)
de un número con una variable elevado a un exponente (o con varias variables).
TÉRMINO ALGEBRAICO
SIGNO
EXPONENTE
-3x2y3
COEFICIENTE
PARTE
LITERAL
TÉRMINOS SEMEJANTES: Son aquellos que tienen la misma literal (letra) y el mismo exponente,
sin importar el numero y signo que los acompaña
TÉRMINOS SEMEJANTES
TÉRMINOS NO SEMEJANTES
5a, – 6b, + 8c, x, 4x2
8a, - 9a, 6a
3mm+1, – 2mm+1, 5mm+1
GRADO DE UN MONOMIO: Se conoce como grado de un monomio a la suma de los
exponentes de cada variable que tenga el monomio. Las constantes tienen grado cero.
OPERACIONES BÁSICAS ENTRE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
SUMA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
Las sumas de expresiones algebraicas se efectúan mediante la agrupación de términos
semejantes. Hecho esto solo se sumaran monomio a monomio.
Ejemplos:
Sumas de expresiones
3x + x =
5y2 + 3y2 =
4x2 + 3x =
2x + 3y + 3x +5 y =
Resultado
4x
8y2
No se puede simplificar ya que
2
4x y 3x no son términos semejantes
Agrupando los términos semejantes en
x y en y tenemos:
(2x + 3x) + (3y +5 y) = 5x + 8y
1 de 16
Álgebra Superior
Ciclo 07-2
Otra forma en que comúnmente se realizan las sumas es de la siguiente manera:
o
Como podemos ver, se quitaron primero los paréntesis y después se agruparon en términos
semejantes.
La suma se puede realizar con más de dos expresiones algebraicas, por ejemplo podemos sumar
con
y
, como podemos observar en la última expresión, a diferencia de las
otras dos, no se encuentra ningún término con la variable , sin embargo la operación se puede
realizar como veremos:
o
RESTA DE DOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
La resta de dos operaciones algebraicas se realiza de manera similar a como se hace con la suma
de operaciones algebraicas, es decir se realizan las restas entre dos términos semejantes.
Ejemplos:
1.- Restar
de
.
Solución:
o
2 de 16
Álgebra Superior
Ciclo 07-2
2.- Restar
de
Solución:
MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
La multiplicación de dos o más monomios se efectúa aplicando las reglas de la potenciación,
de los signos, las propiedades asociativa y conmutativa del producto. Como resultado del
producto de monomios se obtiene otro monomio.
El coeficiente numérico del monomio resultante es igual al producto de los coeficientes de los
monomios que intervienen en el producto.
La parte literal es formada por las mismas letras que intervienen en los monomios del producto,
con el exponente de la respectiva literal igual a la suma de los exponentes.
Ejemplos:
1.2.3.Multiplicación de un monomio por un polinomio.
Se efectúa multiplicando el monomio por todos y cada uno de los términos del polinomio, después
se suman cada uno de los productos obtenidos de multiplicar el monomio por cada uno de los
términos del polinomio, es decir se reducen términos semejantes.
Multiplicación de dos polinomios.
La multiplicación de dos polinomios se efectúa multiplicando todos y cada uno de los términos de
uno de ellos por todos y cada uno de los términos del otro y sumando todos los productos
obtenidos, reduciendo términos semejantes, el resultado de la suma de estos productos generan
un nuevo polinomio, de grado la suma del grado de ambos polinomios. Generalmente se ordenan
ambos polinomios en orden creciente o decreciente.
2x
x2
(x + 3)( x + 2) = x 2 + 2 x + 3x + 6 = x 2 + 5 x + 6
3x
6
3 de 16
Álgebra Superior
Ciclo 07-2
División entre polinomios
Para la división de dos polinomios, por la división larga, se siguientes pasos:
Se ordenan los términos de ambos polinomios según las potencias decrecientes (o
crecientes) de una de las letras comunes a los dos polinomios.
Se divide el primer término de dividendo por el primero del divisor, con lo que resulta el primer
término del cociente.
El resultado del cociente se multiplica por el divisor, para después restar este producto del
dividendo.
Una vez realizado esta resta, hora se centra la atención en este resultado, se divide entre el
divisor para formar el segundo termino del cociente.
Se multiplica nuevamente este resultado por el divisor, restándolo nuevamente del anterior
resultado.
Esto se realiza de manera consecutiva hasta reducir el residuo a cero o a un polinomio menor que
el divisor.
Si el residuo es cero, entonces el cociente y el divisor son factores del dividendo.
Ejemplo:
División Sintética
Si el divisor es un polinomio de primer grado de la forma x-c donde c es una constante, esta
constante puede ser inclusive un número complejo, sin embargo, aquí c es una constante real.
El algoritmo de la división sintética se realiza de acuerdo a los siguiente pasos:
1.- Listar los coeficientes del dividendo en orden decreciente de potencias de , escribiendo 0
para cada potencia de que falte.
2.- Colocar como prefijo de esta lista al valor de
que hace cero al divisor.
4 de 16
Álgebra Superior
Ciclo 07-2
3.-Escribir en la parte inferior el coeficiente principal de la lista, multiplicarlo por el prefijo y sumar
el producto al siguiente coeficiente de la lista.
4.- Multiplicar por el prefijo la suma obtenida en el paso 3 y sumar el producto al siguiente
coeficiente. Repetir este paso hasta haber usado todos los coeficientes de la lista.
5.- Todos los elementos del tercer renglón excepto el último son los coeficientes del polinomio
cociente, en orden decreciente de potencias, se comienza por una potencia menor a la que tiene
el dividendo. El último elemento de este renglón es el residuo.
FACTORIZACIONES.
Una buena parte del álgebra se encarga de simplificar y tratar de poner expresiones en productos
de otras expresiones más simples.
DESCOMPOSICION DE NUMEROS NATURALES EN SUS FACTORES PRIMOS
Un número natural como 20 puede expresarse como un producto de números de diferentes
formas:
En cada uno de estos casos a los números que forman el producto se les conoce como
“factores”. Es decir cuando expresamos el número 20 como el producto 2*10, a cada uno de los
números (2 y 10) se le denomina factor. En el caso de 1*20 los factores son 1 y 20 y finalmente en
el caso de 4*5, los factores son 4 y 5. Cada uno de los números 1, 2, 4, 5, 10,20 se denominan a
5 de 16
Álgebra Superior
Ciclo 07-2
su vez “divisores” de 20. Debe recordarse además que cuando un número es divisible
únicamente por si mismo y por la unidad el número se denomina “primo”.
FACTORIZACION Y PRODUCTOS NOTABLES
Así como los números naturales pueden ser expresados como producto de dos o más números,
los polinomios pueden ser expresados como el producto de dos o más factores algebraicos.
Cuando un polinomio no se puede factorizar se denomina irreducible. En los casos en
Que la expresión es irreducible, sola puede expresarse como el producto del número 1 por la
expresión original.
Al proceso de expresar polinomio como un producto de factores se le denomina “factorización”.
El proceso de factorización puede considerarse como inverso al proceso de multiplicar.
Por otro lado, algunos productos sencillos que tienen una estructura determinada y que pueden
ser evaluados de forma directa se denominan “productos notables”.
Continuación se muestran los principales casos de factorización. Los productos notables pueden
ser aplicados usando esta misma tabla. Esto se muestra posteriormente con los ejemplos
DESIGNACIÓN
FACTORIZACIÓN
Factor común
Factor común por
agrupación de
términos
Trinomio cuadrado
perfecto
Trinomio
b, c enteros
Trinomio
a, b, c enteros
. La factorización es posible si existen m y n son
enteros que satisfacen: m+n = b y mn = c
La factorización es posible si existen m y n
enteros que satisfacen: (m+n) = b y mn=ac
Diferencia de
cuadrados
Diferencia / Suma de
cubos
Binomio al cubo
Productos Notables:
Ejemplo: Factorizar
Este es un ejemplo sencillo de la factorización por factor común. Dada una expresión algebraica
se encuentra el máximo común divisor (mcd) de los coeficientes de los términos de la expresión
6 de 16
Álgebra Superior
Ciclo 07-2
algebraica. Este mcd corresponde al coeficiente del factor común. Para la parte literal se toman las
variables comunes a todos los términos con el menor exponente que aparezca. Para este ejercicio
el mcd de 9, 6 y 12 es 3; además como no hay variables comunes en los tres términos tenemos:
es decir 9x +6y-12z se ha expresado como el producto de los factores 3 y 3x+2y-4z.
Ejemplo: Factorizar
En este caso además del factor común 3 (mcd de 9, 6, 12) la variable y es común a los tres
términos. La menor potencia común es
Los factores en este caso son
indicado se obtiene la expresión original:
por lo tanto la factorización queda:
y
. Para verificar, al realizar el producto
Ejemplo: Factorizar
Este ejercicio nuevamente es un caso de factorización por factor común. El método general para
determinar el mcd de los coeficientes se basa en la descomposición en factores primos.
En un ejemplo precedente se había encontrado que mcd(56,42,28) = 14. La parte literal común es
. Así el factor común es
Por lo tanto al factorizar se tiene:
.
.
Ejemplo: Factorizar
En este caso tenemos un trinomio cuadrado perfecto. Extraemos las raíces de los términos
extremos (A y B) y se verifica que el otro término es dos veces el producto de estas raíces; la
factorización queda:
Ejemplo: Factorizar
.
Como
y
. Además
, el polinomio dado se puede
factorizar como un trinomio cuadrado perfecto. La factorización queda por lo tanto:
Ejemplo: Factorizar
.
Tenemos que
y
. Por otro lado
expresión corresponde a un trinomio cuadrado perfecto:
, lo cual implica que esta
Se puede añadir que si n es un número natural impar la expresión entre paréntesis puede ser
factorizada utilizando la última fila de la tabla
Ejemplo: Factorizar
.
Este es un trinomio de la forma
. (Aunque la variable sea “Z”, debe observarse que lo
importante es que el trinomio tiene la misma estructura ). La forma práctica de aplicar el criterio
7 de 16
Álgebra Superior
Ciclo 07-2
para la factorización de estos trinomios es expresar el trinomio como un producto de dos binomios
lineales, como se muestra a continuación:
en donde los signos de interrogación corresponden a dos números enteros m y n tales que mn= 6
y m+n= -5.
Dos números que satisfacen lo anterior son -3 y -2, pues (-3)*(-2)=6, y también
-3-2=-5. Un número dado puede ser expresado como producto de dos enteros de varias formas.
En este caso 6 puede ser expresado como producto de dos enteros de 4 formas distintas:
(-3)*(-2)=6 y -3-2=-5
(3)*(2)=6 y 3+2=5
(-1)*(-6)=6 y -1-6=-7
(1)*(6)=6 y 1+6=7
La factorización se obtiene escribiendo los números -3 y -2 (que son los únicos que satisfacen las
dos condiciones) en los espacios donde aparecen los signos de interrogación:
Finalmente, se obtiene al hacer los productos de signos:
Ejemplo: Factorizar
.
Buscamos dos números enteros cuyo producto sea -32 y cuya suma sea -4.
A continuación se muestran las posibilidades para expresar -32 como el producto de dos enteros y
las respectivas sumas obtenidas:
-32=1*(-32) -32+1=-31
-32=(-1)*(32) 32-1=31
-32=2*(-16) -16+2=-14
-32=(-2)*( 16) 16-2=14
-32=4*(-8) 4-8=-4
-32=8*(-4) 8-4=4
Solo una de estas parejas satisface simultáneamente las dos condiciones, la pareja -8 y 4.
Obtenemos por lo tanto:
De donde finalmente:
Ejemplo: Factorizar
.
Este es un trinomio de la forma
. Por lo tanto se deben buscar dos números cuyo
producto sea 2*5=10 y su suma sea 7, tenemos las siguientes posibilidades:
1*10=10 y 1+10=11
(-1)*(-10)=10 y (-1)+(-10)=-11
5*2=10 y 5+2=7
(-5)*(-2)=10 y (-5)+(-2)=-7
La pareja 2, 5 satisface simultáneamente las condiciones. Se tiene entonces:
8 de 16
Álgebra Superior
Ciclo 07-2
Obsérvese que se ha factorizado por factor común
simplificar el 2 del numerador y el 2 del denominador.
. Esta factorización permite
.
Ejemplo: Factorizar
Buscamos dos números enteros que sumen -2, con producto 3(-8)=-24. Estos números son -12 y
2. Tenemos que
-6(4)=-24 y -6+4=-2
Al factorizar se obtiene:
Para simplificar el 3 del denominador se factoriza 3z-6=3(z-2).
Ejemplo: Factorizar
.
Esta expresión corresponde a una diferencia de cuadrados .
Tenemos que
y
. Por lo tanto:
Completando el cuadrado es el segundo método para obtener las raíces o ceros de un
polinomio. El proceso es el siguiente:
Primero mueves el tercer término con signo opuesto al lado contrario de la igualdad.
Luego, vas a calcular el término que te permite crear tu cuadrado de la siguiente forma: selecciona
el coeficiente de la variable que está elevada a la 1, se divide entre dos y elevarlo al cuadrado.
Este resultado lo sumarás a ambos lados de la expresión.
Después, la raíz cuadrada del primer término, el operador (signo) del medio y la raíz cuadrada del
último termino, todo elevado al cuadrado es igual a la suma de la derecha.
Luego, sacas raíz cuadrada a ambos lados, observando que hay dos posibles soluciones, el caso
positivo y el caso negativo.
Por último despejas por la variable y esas son las raíces o ceros del polinomio.
Como ejemplo vamos a utilizar el ejercicio
.
9 de 16
Álgebra Superior
Ciclo 07-2
Expresiones Fraccionales
Una fracción es una expresión en la forma:
Una expresión fraccional esta simplificada cuando el numerador y el denominador no tienen
factores comunes.
Por ejemplo:
10 de 16
Álgebra Superior
Ciclo 07-2
Suma y Resta de Expresiones Algebraicas
En suma y resta cuando los denominadores son los mismos, se suman o restan los numeradores
y se mantiene el mismo denominador.
Por ejemplo:
Multiplicación y División de Expresiones Algebraicas
Para multiplicar expresiones fraccionales, se multiplican los numeradores y se multiplican los
denominadores.
Por ejemplo:
Para dividir se multiplica por el reciproco y luego se factoriza y se simplifica el resultado.
Por ejemplo:
Exponentes Enteros
Reglas Básicas para Manejar los Exponentes:
Regla:
Ejemplo:
11 de 16
Álgebra Superior
Ciclo 07-2
Radicales
Un radical es una expresión en la forma:
Cada parte de un radical lleva su nombre,
El índice debe ser un entero positivo. Para una raíz cuadrada, el índice 2 es usualmente omitido.
Propiedades de los Radicales
Ejemplo:
Ejemplo:
12 de 16
Álgebra Superior
Ciclo 07-2
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
Fracciones Parciales
Definición: Se llama función racional a toda función del tipo
En donde
Ejemplo:
y
son polinomios con coeficientes reales, y grado
¿Cómo descomponer una función racional en fracciones parciales?
Veamos los siguientes casos:
CASO 1: Factores Lineales Distintos.
A cada factor lineal, ax+b, del denominador de una fracción racional propia (que el denominador
se puede descomponer), le corresponde una fracción de la forma
a determinar.
Ejemplo:
, siendo A una constante
luego nos queda la siguiente igualdad
o también lo podemos escribir 1 = ( A + B )x + 2A - 2B
Haciendo un Sistema.
13 de 16
Álgebra Superior
Ciclo 07-2
A+B=0
2A - 2B = 1 , las soluciones son :
Quedando de esta manera:
con lo cual
CASO 2: Factores Lineales Iguales.
A cada factor lineal, ax+b, que figure n veces en el denominador de una fracción racional propia, le
corresponde una suma de n fracciones de la forma
EJEMPLO:
Calculemos la siguiente integral
Pero:
Tendremos
Amplificando por
Las Soluciones son:
Nos queda:
CASO 3: Factores Cuadráticos Distintos.
A cada factor cuadrático reducible,
que figure en el denominador de una fracción
racional propia, le corresponde una fracción de la forma
determinar.
siendo A y B constantes a
Ejemplo:
Calcular:
14 de 16
Álgebra Superior
Ciclo 07-2
Con lo que se obtiene
de donde
luego los valores a encontrar son.
A=0,B=1,C=1,D=0
CASO 4: Factores cuadráticos Iguales
que se repita n veces en el denominador de una
A cada factor cuadrático irreducible,
fracción racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma
siendo los valores de A y B constantes reales.
Ejemplo:
Calcular la siguiente integral
tendremos que
por tanto multiplicando a ambos lados de la
igualdad por el minimo común denominador tenemos
Donde los valores de las constantes son
A=0,B=2,C=0,D=1
De donde remplazando e integrando a primitivas se obtiene.
Triángulo de Pascal
Triángulo de Pascal o de Tartaglia
El triángulo de Pascal es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico cuyas diez primeras
líneas han sido representadas en la figura:
15 de 16
Álgebra Superior
Ciclo 07-2
Se construye de la siguiente manera: Se empieza por el « 1 » de la cumbre. De una línea a la
siguiente se conviene escribir los números con un desfase de media casilla. Así, las casillas (que
no se dibujan) tendrán cada una dos casillas justo encima, en la línea anterior. El valor que se
escribe en una casilla es la suma de los valores de las dos casillas encima de ella. El valor cero no
se escribe.
Por ejemplo, en la última línea dibujada, el cuarto valor es 84 = 28 + 56, suma del tercer y cuarto
valor de la línea anterior.
Se observa, y no es difícil demostrarlo, que la capa exterior está formada de unos, la segunda
capa de los naturales en orden creciente, que los números no hacen más que subir de una línea a
la siguiente y que existe un eje de simetría vertical que pasa por el vértice.
Sin embargo, el interés de este triángulo no radica en estas propiedades, sino en el vínculo que
tiene con la álgebra elemental. En efecto, las cifras 1; 2; 1 y 1; 3; 3; 1 recuerdan las identidades:
y
pues son los coeficientes de sus monomios. Este parecido no es casual y se generaliza a
cualquier potencia del binomio 'a + b
Vínculo entre el triángulo de Pascal y el binomio de Newton
La fórmula que da el desarrollo de (a + b)n según las potencias crecientes de a (y decrecientes de
b) se llama binomio de Newton. En esta expresión, lo único que se desconoce son los
coeficientes de los monomios akbn − k.
16 de 16