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8.4 Integrales trigonométricas
c. Grafique la función y =
x 4sx - 1d4
2
52. Determine el polinomio de segundo grado P(x) tal que Ps0d = 1,
P¿s0d = 0 y
para 0 … x … 1 . Expe-
x + 1
rimente con el rango en el eje y entre 0 y 1, luego entre 0 y
0.5, y después disminuya el rango hasta que la gráfica pueda
verse. ¿Qué concluye acerca del área que está debajo de la
curva?
8.4
581
Psxd
2
L x sx - 1d
3
dx
es una función racional.
Integrales trigonométricas
Las integrales trigonométricas incluyen combinaciones algebraicas de las seis funciones
trigonométricas básicas. En principio, siempre podemos expresar tales integrales en términos de senos y cosenos, pero con frecuencia es más sencillo hacerlo con otras funciones,
como en la integral
sec2 x dx = tan x + C.
L
La idea general es utilizar identidades para transformar las integrales en integrales con las
que sea más fácil trabajar.
Productos de potencias de senos y cosenos
Iniciamos con integrales de la forma:
senm x cosn x dx,
L
donde m y n son enteros no negativos (positivo o cero). Podemos separar el trabajo en tres
casos.
Caso 1 Si m es impar, escribimos m como 2k + 1 y utilizamos la identidad sen2 x = 1
– cos2 x para obtener
senm x = sen2k + 1 x = ssen2 xdk sen x = s1 - cos2 xdk sen x.
(1)
Después combinamos en la integral el sen x, que está solo, con dx, y hacemos sen x dx
igual a - d scos xd.
Caso 2 Si m es par y n es impar en 1 senm x cosn x dx, escribimos n como 2k + 1 y utilizamos la identidad cos2 x = 1 – sen2 x para obtener
cosn x = cos2k + 1 x = scos2 xdk cos x = s1 - sen2 xdk cos x.
Luego combinamos el cos x, que está solo, con dx, y hacemos cos x dx igual a d(sen x).
Caso 3 Si m y n son pares en 1 senm x cosn x dx , sustituimos
sen2 x =
1 - cos 2x
,
2
cos2 x =
1 + cos 2x
2
para reducir el integrando a uno con potencias menores de cos 2x.
A continuación presentamos algunos ejemplos que ilustran cada caso.
EJEMPLO 1
m es impar
Evaluar
L
sen3 x cos2 x dx.
(2)
582
Capítulo 8: Técnicas de integración
Solución
L
EJEMPLO 2
sen3 x cos2 x dx =
L
=
L
=
L
=
L
sen2 x cos2 x sen x dx
s1 - cos2 xd cos2 x s - d scos xdd
s1 - u2 dsu2 ds -dud
u = cos x
su4 - u2 d du
=
u5
u3
+ C
5
3
=
cos3 x
cos5 x
+ C.
5
3
m es par y n es impar
Evaluar
L
cos5 x dx.
Solución
L
cos5 x dx =
L
=
L
=
L
cos4 x cos x dx =
s1 - sen2 xd2 dssen xd
s1 - u2 d2 du
2 3
1
2
1
u + u5 + C = sen x - sen3 x + sen5 x + C.
5
5
3
3
m y n son pares
Evaluar
L
sen2 x cos4 x dx.
Solución
L
m = 0
u = sen x
s1 - 2u2 + u4 d du
= u -
EJEMPLO 3
L
sen2 x cos4 x dx =
L
a
1 - cos 2x 1 + cos 2x 2
ba
b dx
2
2
=
1
s1 - cos 2xds1 + 2 cos 2x + cos2 2xd dx
8L
=
1
s1 + cos 2x - cos2 2x - cos3 2xd dx
8L
=
1
C x + 21 sen 2x - (cos2 2x + cos3 2x) dx D .
8
L
583
8.4 Integrales trigonométricas
Para el término que incluye a cos 2 2x utilizamos
L
cos2 2x dx =
=
1
s1 + cos 4xd dx
2L
1
1
ax + sen 4xb .
2
4
Se omite la constante de integración hasta el resultado final.
Para el término cos3 2x, tenemos
L
cos3 2x dx =
=
L
u = sen 2x,
du = 2 cos 2x dx
s1 - sen2 2xd cos 2x dx
1
1
1
s1 - u2 d du = asen 2x - sen3 2xb .
2L
2
3
Nuevamente
se omite C.
Combinando todo y simplificando, obtenemos
L
1
1
1
ax - sen 4x + sen3 2xb + C.
16
4
3
sen2 x cos4 x dx =
Eliminación de raíces cuadradas
En el ejemplo siguiente, utilizamos la identidad cos2 u = s1 + cos 2ud>2 para eliminar
una raíz cuadrada.
EJEMPLO 4
Evaluar
p>4
L0
21 + cos 4x dx.
Para eliminar la raíz cuadrada utilizamos la identidad
Solución
cos2 u =
1 + cos 2u
,
2
1 + cos 2u = 2 cos2 u.
o
Con u = 2x, esto se transforma en
1 + cos 4x = 2 cos2 2x.
Por lo tanto,
p>4
L0
p>4
21 + cos 4x dx =
L0
p>4
22 cos2 2x dx =
L0
222cos2 2x dx
p>4
= 22
L0
= 22 c
p>4
ƒ cos 2x ƒ dx = 22
L0
p>4
sen 2x
d
2
0
=
cos 2x dx
cos 2x Ú 0
en [0, p>4]
22
22
.
[1 - 0] =
2
2
Integrales de potencias de tan x y sec x
Sabemos cómo integrar la tangente, la secante y sus cuadrados. Para integrar potencias
mayores, utilizamos las identidades tan2 x = sec2 – 1 y sec2 x = tan2 x + 1 e integramos por
partes, cuando sea necesario, para reducir las potencias grandes a potencias menores.
584
Capítulo 8: Técnicas de integración
EJEMPLO 5
Evaluar
L
tan4 x dx.
Solución
L
tan4 x dx =
L
=
L
=
L
=
L
tan2 x # tan2 x dx =
tan2 x sec2 x dx tan2 x sec2 x dx tan2 x sec2 x dx -
L
L
L
L
tan2 x # ssec2 x - 1d dx
tan2 x dx
ssec2 x - 1d dx
sec2 x dx +
L
dx.
En la primera integral, hacemos
du = sec2 x dx
u = tan x,
y tenemos
L
u 2 du =
1 3
u + C1 .
3
Las integrales restantes están en forma estándar, de manera que
L
EJEMPLO 6
tan4 x dx =
1 3
tan x - tan x + x + C.
3
Evaluar
L
Solución
sec3 x dx.
Integramos por partes, usando
u = sec x,
dy = sec2 x dx,
y = tan x,
du = sec x tan x dx.
Entonces
L
sec3 x dx = sec x tan x -
= sec x tan x -
= sec x tan x +
L
L
L
stan xdssec x tan x dxd
ssec2 x - 1d sec x dx
sec x dx -
L
sec3 x dx.
Combinando las dos integrales de secante cúbica se obtiene
2
L
sec3 x dx = sec x tan x +
L
sec x dx
tan2 x = sec2 x - 1
8.4 Integrales trigonométricas
585
y
L
sec3 x dx =
1
1
sec x tan x + ln ƒ sec x + tan x ƒ + C.
2
2
Productos de senos y cosenos
Las integrales
L
sen mx sen nx dx,
L
sen mx cos nx dx
y
L
cos mx cos nx dx
surgen un muchos lugares en donde se aplican las funciones trigonométricas a problemas
de matemáticas y ciencia. Podemos evaluar estas integrales mediante integración por partes, pero en cada caso se requieren dos integraciones por partes. Es más sencillo utilizar
las identidades
sen mx sen nx =
1
[cos sm - ndx - cos sm + ndx],
2
(3)
sen mx cos nx =
1
[sen sm - ndx + sen sm + ndx],
2
(4)
cos mx cos nx =
1
[cos sm - ndx + cos sm + ndx].
2
(5)
Estas identidades provienen de las fórmulas de la suma de ángulos para las funciones seno y coseno (sección 1.6) y proporcionan funciones cuyas antiderivadas son fáciles de
encontrar.
EJEMPLO 7
Evaluar
L
Solución
sen 3x cos 5x dx.
De acuerdo con la ecuación (4), con m = 3 y n = 5, obtenemos
L
sen 3x cos 5x dx =
=
1
[sen s - 2xd + sen 8x] dx
2L
1
ssen 8x - sen 2xd dx
2L
= -
cos 2x
cos 8x
+
+ C.
16
4
EJERCICIOS 8.4
Productos de potencias de senos y cosenos
Evalúe las integrales de los ejercicios 1 a 14.
p>2
1.
L0
p
sen5 x dx
2.
L0
sen5
x
dx
2
p>2
3.
L-p>2
p>6
cos3 x dx
4.
sen7 y dy
6.
p>2
5.
L0
3 cos5 3x dx
L0
p>2
L0
7 cos7 t dt
586
Capítulo 8: Técnicas de integración
1
p
7.
8 sen4 x dx
L0
8.
L0
p>4
9.
L-p>4
L0
10.
35 sen4 x cos3 x dx
12.
37.
sen 2x cos2 2x dx
L0
p>2
14.
sen2 2u cos3 2u du
L0
L0
1 - cos x
dx
2
A
18.
L-p>4
L-p>2
cos x cos 7x dx
Teoría y ejemplos
39. Área de una superficie Determine el área de la superficie generada al hacer girar el arco
y = t 2>2,
0 … t … 2,
Determine la longitud de la curva
y = ln scos xd,
20.
L-p/4
0 … x … p>3 .
L-p
Determine la longitud de la curva
0 … x … p>4 .
2sec2 x - 1 dx
p
22.
41. Longitud de arco
y = ln ssec xd,
p/4
21 + tan2 x dx
u 21 - cos 2u du
L0
21 - cos2 u du
L0
p>2
21.
L0
40. Longitud de arco
21 - cos 2x dx
L0
p>4
19.
p>2
p
21 - sen2 t dt
L0
38.
sen x cos x dx
L0
alrededor del eje x.
p
16.
p
17.
cos 3x cos 4x dx
x = t 2>3,
Evalúe las integrales de los ejercicios 15 a 22.
2p
36.
p
Integrales con raíces cuadradas
15.
L-p
p>2
sen 3x sen 3x dx
p
8 cos3 2u sen 2u du
L0
8 sen4 y cos2 y dy
L0
p>4
13.
35.
p
16 sen2 x cos2 x dx
p>2
11.
p
8 cos4 2px dx
s1 - cos2 td3>2 dt
42. Centro de gravedad Determine el centro de gravedad de
la región acotada por el eje x, la curva y = sec x y las rectas
x = -p>4, x = p>4 .
43. Volumen Determine el volumen generado, al hacer girar un arco de la curva y = sen x alrededor del eje x.
Potencias de tan x y sec x
44. Área Determine el área entre el eje x y la curva y = 21 + cos 4x,
0 … x … p.
Evalúe las integrales de los ejercicios 23 a 32.
0
23.
L-p>3
2 sec3 x dx
24.
sec4 u du
26.
csc4 u du
28.
L
p>4
25.
L0
p>12
Lp>4
p
Lp>2
p>4
29.
L0
Lp>6
3 csc4
u
du
2
4 tan3 x dx
30.
cot3 x dx
32.
L-p>4
6 tan4 x dx
p>2
Lp>4
L-p
8.5
34.
L0
46. Serie de Fourier
suma
Una serie finita de Fourier está dada por la
ƒsxd = a an sen nx
n=1
Demuestre que el m-ésimo coeficiente, am, está dado por la fórmula
p>2
sen 3x cos 2x dx
b. Demuestre lo mismo para cos mx y cos nx.
= a1 sen x + a2 sen 2x + Á + aN sen Nx
Evalúe las integrales de los ejercicios 33 a 38.
0
a. Demuestre que sen mx y sen nx son ortogonales en cualquier
intervalo de longitud 2p, siempre y cuando m y n sean enteros y m2 Z n2.
N
8 cot4 t dt
Productos de senos y cosenos
33.
45. Funciones ortogonales Se dice que dos funciones f y g son orb
togonales en un intervalo a … x … b si 1a ƒsxdgsxd dx = 0 .
c. Demuestre los mismo para sen mx y cos nx, incluso si m = n.
p>4
p>3
31.
3 sec4 3x dx
L0
p>2
27.
e x sec3 e x dx
sen 2x cos 3x dx
1
am = p
p
L-p
ƒsxd sen mx dx .
Sustituciones trigonométricas
Las sustituciones trigonométricas pueden ser eficaces para transformar integrales que incluyen 2a 2 - x 2, 2a 2 + x 2 y 2x 2 - a 2 en integrales que podamos evaluar de manera
directa.
8.5 Sustituciones trigonométricas
587
Tres sustituciones básicas
Las sustituciones más comunes son x = a tan u, x = a sen u y x = a sec u. Provienen de los
triángulos de referencia de la figura 8.2.
Con x = a tan u,
a2 + x2 = a2 + a2 tan2 u = a2s1 + tan2 ud = a2 sec2 u.
Con x = a sen u,
a 2 - x 2 = a 2 - a 2 sen2 u = a 2s1 - sen2 ud = a 2 cos2 u.
Con x = a sec u,
x2 - a2 = a2 sec2 u - a2 = a2ssec2 u - 1d = a2 tan2 u.
a 2 x 2
␪
x
x
␪
␲
2
␪ tan–1 ax
x
a
0
–␲
2
␪
␪ sen–1ax
␲
2
0
x
a
1
–␲
2
␪
a 2 x 2
a
x a tan ␪
x a sen ␪
a
x a sec ␪
a 2 x 2 asec ␪
a 2 x 2 acos ␪
x 2 a2 atan ␪
Queremos que cualquier sustitución que utilicemos en una integración sea reversible,
de manera que podamos restituirla a su variable original. Por ejemplo, si x = a tan u, deseamos poder hacer u = tan-1 sx>ad después de realizar la integración. Si x = a sen u, deseamos
poder hacer u = sen-1 sx>ad cuando hayamos terminado la integración, y de manera similar para x = a sec u.
Como sabemos, de acuerdo con la sección 7.7, las funciones en estas sustituciones sólo tienen inversa para ciertos valores de u (figura 8.3). Para que se pueda revertir,
x = a tan u
requiere
x
u = tan-1 a a b
con
-
p
p
6 u 6 ,
2
2
x = a sen u
requiere
x
u = sen-1 a a b
con
-
p
p
… u … ,
2
2
x = a sec u
requiere
u = sec-1
–1
␪
0 1
sec–1
x
a
p
2
si
x
a Ú 1,
p
6 u … p
2
si
x
a … - 1.
0 … u 6
x
aa b
d
con
␪
␲
x 2 a2
FIGURA 8.2 Triángulos de referencia para las tres sustituciones básicas,
identificando los lados etiquetados con x y a para cada sustitución.
␪
–1
a
x
Para simplificar los cálculos con la sustitución x = a sec u, restringiremos su uso a
integrales en las que x>a Ú 1. Esto colocará a u en [0, p>2d y hará que tan u Ú 0. Después
␲
2
x
a
FIGURA 8.3 Arco tangente, arco seno y
arco secante de x> a, graficados como
funciones de x> a.
tendremos 2x 2 - a 2 = 2a 2 tan2 u = ƒ a tan u ƒ = a tan u, sin valores absolutos, siempre y cuando
EJEMPLO 1
Uso de la sustitución x = a tan u
Evaluar
dx
L 24 + x 2
.
588
Capítulo 8: Técnicas de integración
Solución
Hacemos
dx = 2 sec2 u du,
x = 2 tan u,
-
p
p
6 u 6 ,
2
2
4 + x 2 = 4 + 4 tan2 u = 4s1 + tan2 ud = 4 sec2 u.
4 x 2
x
Entonces
␪
2
dx
L 24 + x2
FIGURA 8.4 Triángulo de referencia para
x = 2 tan u (ejemplo 1):
x
tan u =
2
y
2 sec2 u du
=
L 24 sec2 u
=
L
=
sec2 u du
L ƒ sec u ƒ
2sec2 u = ƒ sec u ƒ
sec u 7 0 para -
sec u du
p
p
6 u 6
2
2
= ln ƒ sec u + tan u ƒ + C
24 + x
.
2
2
sec u =
= ln `
24 + x2
x
+ ` + C
2
2
De la figura 8.4
= ln ƒ 24 + x2 + x ƒ + C¿ .
Tomando C¿ = C - ln 2
Observe cómo expresamos ln ƒ sec u + tan u ƒ en términos de x: dibujamos un triángulo de
referencia para la sustitución original x = 2 tan u (figura 8.4) y obtenemos las razones del
triángulo.
EJEMPLO 2
Uso de la sustitución x = a sen u
Evaluar
x 2 dx
L 29 - x 2
Solución
.
Hacemos
x = 3 sen u,
dx = 3 cos u du,
-
p
p
6 u 6
2
2
9 - x 2 = 9 - 9 sen2 u = 9s1 - sen2 ud = 9 cos2 u.
Entonces
x 2 dx
L 29 - x 2
=
9 sen2 u # 3 cos u du
ƒ 3 cos u ƒ
L
= 9
3
L
x
sen2 u du
cos u 7 0 para -
p
p
6 u 6
2
2
1 - cos 2u
du
2
L
␪
= 9
9 x 2
FIGURA 8.5 Triángulo de referencia para
x = 3 sen u (ejemplo 2):
=
sen 2u
9
b + C
au 2
2
=
9
su - sen u cos ud + C
2
sen 2u = 2 sen u cos u
=
9
x 29 - x 2
x
b + C
asen-1 - #
2
3
3
3
Figura 8.5
=
9
x
x
sen-1 - 29 - x 2 + C.
2
3
2
x
sen u =
3
y
cos u =
29 - x 2
.
3
8.5 Sustituciones trigonométricas
589
Uso de la sustitución x = a sec u
EJEMPLO 3
Evaluar
dx
L 225x - 4
2
,
x 7
2
.
5
Primero reescribimos el radical como
Solución
225x2 - 4 =
25 ax2 -
B
= 5
4
b
25
2
x2 - a b
5
C
2
para poner el radical en la forma x2 – a2. Después sustituimos
x =
2
sec u,
5
dx =
2
sec u tan u du,
5
0 6 u 6
p
2
2
2
4
4
x2 - a b =
sec2 u 5
25
25
=
5x
25x 2 4
4
4
ssec2 u - 1d =
tan2 u
25
25
2
2
2
2
x 2 - a b = ƒ tan u ƒ = tan u.
5
5
5
C
tan u 7 0 para
0 6 u 6 p>2
␪
2
FIGURA 8.6 Si x = s2>5dsec u,
0 6 u 6 p>2 , entonces u = sec-1 s5x>2d ,
y podemos leer los valores de las otras
funciones trigonométricas de u de este
triángulo rectángulo (ejemplo 3).
Con estas sustituciones, tenemos
dx
L 225x - 4
=
2
dx
L 52x - s4>25d
2
=
s2>5d sec u tan u du
#
L 5 s2>5d tan u
=
1
1
sec u du = ln ƒ sec u + tan u ƒ + C
5L
5
=
225x 2 - 4
5x
1
+
ln `
` + C.
5
2
2
Figura 8.6
En ocasiones una sustitución trigonométrica nos puede ayudar a evaluar una integral
que tiene una potencia entera de un binomio cuadrático, como en el ejemplo siguiente.
EJEMPLO 4
Determinación del volumen de un sólido de rotación
Determine el volumen del sólido generado al hacer girar, alrededor del eje x, la región acotada por la curva y = 4>sx2 + 4d , el eje x y las rectas x = 0 y x = 2.
Solución
Hacemos un bosquejo de la región (figura 8.7) y utilizamos el método de los
discos:
2
V =
L0
2
dx
.
sx
+ 4d2
0
L
p[Rsxd]2 dx = 16p
2
Para evaluar la integral, hacemos
x = 2 tan u,
dx = 2 sec2 u du,
x
u = tan-1 ,
2
x 2 + 4 = 4 tan2 u + 4 = 4stan2 u + 1d = 4 sec2 u
Rsxd =
4
x2 + 4
590
Capítulo 8: Técnicas de integración
y
y
y
1
y
4
x2 4
4
x2 4
0
2
0
x
x
2
(a)
(b)
FIGURA 8.7 La región (a) y el sólido (b) del ejemplo 4.
(figura 8.8). Con estas sustituciones,
x 2 4
2
x
dx
2
2
L0 sx + 4d
V = 16p
␪
2
p>4
2 sec2 u du
s4 sec2 ud2
p>4
2 sec2 u du
= p
16 sec4 u
L0
= 16p
L0
FIGURA 8.8 Triángulo de referencia para
x = 2 tan u (ejemplo 4).
= 16p
L0
p>4
= p
L0
= pc
EJEMPLO 5
u = 0 cuando x = 0;
u = p>4 cuando x = 2
p>4
2 cos2 u du
s1 + cos 2ud du = p cu +
p>4
sen 2u
d
2
0
2 cos2 u = 1 + cos 2u
p
1
+ d L 4.04.
4
2
Determinación del área de una elipse
Determine el área acotada por la elipse
y2
x2
+
= 1
a2
b2
y
b
–a
Ya que la elipse es simétrica respecto de ambos ejes, el área total A es cuatro
veces el área en el primer cuadrante (figura 8.9). Resolviendo la ecuación de la elipse para
y Ú 0, obtenemos
Solución
0
a
x
y2
–b
b
2
= 1 -
x2
a2 - x2
=
,
2
a
a2
o
2
FIGURA 8.9 La elipse
ejemplo 5.
y2
x
+ 2 = 1 del
a2
b
b
y = a 2a 2 - x 2
0 … x … a
8.5 Sustituciones trigonométricas
591
El área de la elipse es
a
A = 4
b
2
2
a 2a - x dx
L0
p>2
b
= 4a
a cos u # a cos u du
L0
x = a sen u, dx = a cos u du,
u = 0 cuando x = 0;
u = p>2 cuando x = a
p>2
cos2 u du
= 4ab
L0
p>2
= 4ab
L0
1 + cos 2u
du
2
p>2
sen 2u
= 2ab cu +
d
2
0
= 2ab c
p
+ 0 - 0 d = pab.
2
Si a = b = r, obtenemos que el área de un círculo de radio r es pr 2 .
EJERCICIOS 8.5
Sustituciones trigonométricas básicas
23.
Evalúe las integrales de los ejercicios 1 a 28.
1.
dy
2.
L 29 + y 2
2
5.
L0
dx
4.
8
+
2x 2
L0
1>222
dx
6.
29 - x2
L0
9.
L
225 - t 2 dt
dx
,
L 24x 2 - 49
L
13.
L x 2x - 1
17.
dx
2
2
21.
7
2
y 7 7
,
x 7 1
x 3 dx
26.
27.
y 2 dy
L s1 - y 2 d5>2
28.
L w 2 24 - w 2
4x 2 dx
s1 - x 2 d3>2
dx
,
L sx - 1d3>2
2
L
21 - 4x2
ln 4
21 - 9t 2 dt
5 dx
,
L 225x 2 - 9
2y 2 - 25
dy,
L
14.
L x 2x 2 - 1
y3
2 dx
3
,
x 7 1
L0
x 7
3
5
y 7 5
x 7 1
L1>12
L x 2 2x 2 + 1
30.
+ 9
dx
6 dt
2
2
L s9t + 1d
s1 - r 2 d5>2
L
r8
Lln s3>4d
e
32.
dx
L x 2x 2 - 1
x dx
35.
L 2x 2 - 1
dr
e t dt
s1 + e 2t d3>2
dy
L1 y21 + sln yd2
dx
2
L1 + x
dx
36.
L 21 - x 2
33.
34.
Problemas con valor inicial
37. x
dy
= 2x 2 - 4,
dx
x Ú 2,
ys2d = 0
dy
= 1,
dx
x 7 3,
ys5d = ln 3
38. 2x 2 - 9
dx
20.
L0 s4 - x2 d3>2
x 2 dx
,
L sx - 1d5>2
x4
Resuelva los problemas con valor inicial de los ejercicios 37 a 40 para
y como una función de x.
dx
2
2t
2 dt
1t + 4t1t
1
22.
L
ln s4>3d
e t dt
2e
1>4
31.
12.
s1 - x2 d1>2
En los ejercicios 29 a 36, utilice una sustitución apropiada y después
una sustitución trigonométrica para evaluar las integrales.
2 dx
29 - w 2
dw
18.
w2
L
8 dw
L0
10.
16.
L 2x 2 + 4
23>2
19.
x 7
2y 2 - 49
dy,
y
11.
15.
8.
x6
24.
8 dx
2
2
L s4x + 1d
29.
7.
L
dx
25.
L 21 + 9y 2
2
dx
3.
4
+
x2
L-2
3>2
3 dy
s1 - x2 d3>2
39. sx 2 + 4d
x 7 1
dy
= 3,
dx
40. sx 2 + 1d2
ys2d = 0
dy
= 2x 2 + 1,
dx
ys0d = 1
592
Capítulo 8: Técnicas de integración
Aplicaciones
Por último, x = 2 tan-1 z , por lo que
41. Determine el área de la región en el primer cuadrante que está
acotada por los ejes coordenados y la curva y = 29 - x2>3 .
42. Determine el volumen del sólido generado al hacer girar, alrededor del eje x, la región en el primer cuadrante acotada por los ejes
coordenados, la curva y = 2>s1 + x2 d , y la recta x = 1 .
La sustitución z = tan sx>2d
dx =
2 dz
.
1 + z2
(4)
Ejemplos
a.
1
1 + z2 2 dz
dx =
2
L 1 + cos x
L 2 1 + z
La sustitución
z = tan
x
2
=
(1)
b.
2 dz
1
1 + z2
dx =
2
2
2
+
sen
x
L 2 + 2z + 2z 1 + z
L
P(cos x, sen x)
1
x
2
A
=
dz
dz
=
2
2
z
+
z
+
1
sz
+
s1>2dd
+ 3>4
L
L
=
du
2
2
Lu + a
sen x
x
0 cos x
1
u
1
= a tan-1 a a b + C
=
vemos la relación
=
tan
sen x
x
=
.
2
1 + cos x
x
2
- 1
cos x = 2 cos2 a b - 1 =
2
sec2 sx>2d
43.
2
2
- 1 =
- 1
1 + tan2 sx>2d
1 + z2
1 - z
,
1 + z2
(2)
y
= 2 tan
sen x =
23
2
23
tan-1
tan-1
2z + 1
23
+ C
1 + 2 tan sx>2d
23
44.
+ C
46.
du
2 + cos u
48.
dt
sen
t
- cos t
L
50.
L0
L0
dx
L 1 + sen x + cos x
p>2
dx
1 + sen x
p>2
47.
sen x = 2 sen
dx
L 1 - sen x
p>2
45.
2
cos x =
2
Utilice las sustituciones de las ecuaciones (1) a (4) para evaluar las
integrales de los ejercicios 43 a 50. Integrales como éstas surgen en
el cálculo de la velocidad angular promedio del eje secundario de una
junta universal, cuando los ejes primario y secundario no están alineados.
Para ver el efecto de la sustitución, calculamos
=
dz = z + C
x
= tan a b + C
2
reduce el problema de integración de expresión racional en sen x y cos
x a un problema de integración de una función racional de z. Esto a su
vez puede integrarse por medio de fracciones parciales.
De la siguiente figura
L
dx
Lp>3 1 - cos x
2p>3
Lp>2
cos u du
sen u cos u + sen u
cos t dt
1
L - cos t
sen sx>2d
x
x
# cos2 a x b
cos = 2
2
2
2
cos sx>2d
49.
2 tan sx>2d
x#
1
=
2 sec2 sx>2d
1 + tan2 sx>2d
Utilice la sustitución z = tan su>2d para evaluar las integrales de los
ejercicios 51 y 52.
2z
.
1 + z2
(3)
51.
L
sec u du
52.
L
csc u du