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CÁLCULO IV (0270)
Tema 1. Operaciones con números complejos – Mayo 2016
1. Calcule
3i20 − i19
.
2i − 1
2. Encuentre x, y ∈ R tales que 3x + i2y − ix + 5y = 7 + 5i .
3. Pruebe que
a. z1 + z2 = z1 + z2
b. z1z2 = z1 z2
4. Demuestre que
5i
1
a.
=
(1 − i)(2 − i)(3 − i) 2
b. (1 − i)4 = −4
c. (2 + i)2 = 3 − 4i
d. eiθ = 1
e. eiπ = −1
f.
2i = ±(1 + i)
g.
1−i 3 = ±
3 −i
2
n
 1 + cos(θ) + isen(θ) 
inθ
h. 
 =e
1
cos(
)
isen(
)
+
θ
−
θ


5. Exprese en forma binómica los números
a. (1 + i)25
b. ( 3 + i)37
6. Encuentre todos los valores de z tales que z5 = −32 y localice estos valores en el plano
complejo.
7. Si z es un número complejo tal que z = 1 , calcule 1 + z
2
2
+ 1−z .
Rta. 4
8. Un triángulo equilátero tiene su centro en el origen y un vértice en el punto (1,0). Determine
los otros dos vértices.
Rta. (− 12 ,
3
);
2
(− 12 , −
3
)
2
9. Calcule el valor de a y b para que
3b − 2ai
4 − 3i
sea real y de módulo igual a 1.
Prof. José Luis Quintero
Rta. a =
3
2
, b=
4
3
1
10. Calcule los números complejos z = x + iy tales que
w=
2z − i
2 + iz
sea un número
Rta. z −
a. real
5
i
4
=
3
4
Rta. z = iy
b. imaginario puro
11. Dos números complejos no nulos z1 y z2 son tales que z1 + z2 = z1 − z2 . Pruebe que z1 / z2
es imaginario puro.
12. Considere el número complejo
z = x + iy =
1
.
2 + cos(t) + isen(t)
Pruebe que cuando t varía en los números reales, z se mueve sobre la circunferencia cuyo
diámetro es el segmento que une los puntos (1/3,0) y (1,0).
13. Sabiendo que
z+
1
= 2 cos(t), t ∈ R, z ∈ C ,
z
demuestre que
zn +
1
zn
= 2 cos(nt) .
14. Usando la fórmula de De Moivre, deduzca las siguientes identidades trigonométricas:
a. cos(3θ) = cos3 (θ) − 3 cos(θ)sen2 (θ)
b. sen(3θ) = 3 cos2 (θ)sen(θ) − sen3 (θ)
15. Determine un polinomio de coeficientes reales de grado 4 que tenga por raíces los números
complejos −4i , − 5 + 2i .
Rta. x4 + 10x3 + 45x2 + 160x + 464
16. Dé un argumento geométrico para justificar que
a. z − 4i + z + 4i = 10 representa una elipse con focos en (0, ±4)
b. z − 1 = z + i representa la recta que pasa por el origen con pendiente -1
17. Defina el lugar geométrico que describen las siguientes ecuaciones
a. z − a − z − b = c , c < b − a
b. z − 2 = Re z + 3
c.
z − i = Im z + 1
18. Sea p(x) = a0 + a1x + a2 x2 + ... + anxn un polinomio en el que los coeficientes a0 , a1 , a2 ,..., an
son reales. Demuestre que si z es una solución de la ecuación p(z) = 0 , entonces también z
es una solución.
Prof. José Luis Quintero
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