Download programa de estudios

División Académica de Ciencias Básicas
Licenciatura en Matemáticas
PROGRAMA DE ESTUDIOS
TEORÍA DE CONJUNTOS
Área a la que
pertenece:
Horas teóricas:
Horas
prácticas:
Créditos:
Clave:
ÁREA
SUSTANTIVA
PROFESIONAL
5
0
10
F0060
Asignaturas antecedentes y subsecuentes
Álgebra elemental y Geometría Elemental
PRESENTACIÓN
El curso de Teoría de Conjuntos tiene como propósito el de comunicar al estudiante
en matemáticas, los hechos básicos en la vida acerca de la teoría de los conjuntos y
hacerlo con el mínimo de raciocinio filosófico y formalismo lógico. Desde este punto
de vista los conceptos y métodos de este curso son tan sólo algunas de las
herramientas usuales de las matemáticas. La teoría de conjuntos que se estudiará en
este curso se debe al matemático alemán George Ferdinand Ludwid Philipp Cantor
(1845-1918), E. Zermelo, A. A. Fraenkel y otros.
OBJETIVO GENERAL
Comprender y aplicar los conceptos fundamentales de la teoría de conjuntos, como
cardinalidad, orden, axioma de elección y ordinales.
CONTENIDO
Unidad
No.
Objetivo
particular
1
ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS
Comprender la teoría de conjuntos desde un punto de vista
axiomático. Del mismo modo, aprender a usar el producto
cartesiano para definir relaciones y funciones, a través de los
ejemplos respectivos. Aplicar las herramientas anteriores a la
construcción de los sistemas numéricos, como un ejemplo adicional
de la importancia de esta teoría.
Hrs estimadas
Temas
F0060_Teoría de Conjuntos
Resultados del aprendizaje
1/4
División Académica de Ciencias Básicas
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
Licenciatura en Matemáticas
Álgebra de Conjuntos: Unión,
Intersección y Complemento.
Producto Cartesiano, Relaciones,
Funciones y Familias.
Los Números Naturales.
La Extensión de los Naturales a los
Reales.
Unidad
No.
Objetivo
particular
2
Comprensión del formalismo axiomático
de la Teoría de Conjuntos. Habilidad
para utilizar los conceptos básicos de
conjuntos, como son: operaciones,
producto
cartesiano,
relaciones,
funciones y familias. Capacidad para
usar las herramientas conjuntistas en la
construcción de los sistemas numéricos.
CARDINALIDAD
Aprender a distinguir los conjuntos infinitos de los finitos, por medio
de ejemplos y ejercicios. Utilizar las propiedades de las funciones
para determinar la numerabilidad o no numerabilidad de conjuntos.
Comprender la construcción de los números cardinales, el Teorema
de Cantor y la Hipótesis del Continuo. Aplicar el Teorema de
Cantor-Bernstein para la aritmética cardinal a través de los
ejemplos respectivos.
Hrs estimadas
Temas
2.1. Conjuntos Finitos e Infinitos.
2.2. Conjuntos
Numerables
y
No
Numerables.
2.3. Equivalencia de Conjuntos.
2.4. La No Numerabilidad del Conjunto
de los Números Reales.
2.5. Números Cardinales.
2.6. El Teorema de Cantor- SchröderBernstein.
2.7. El Teorema de Cantor.
2.8. Hipótesis del Continuo.
2.9. Aritmética Cardinal.
Unidad
No.
Objetivo
particular
3
Resultados del aprendizaje
Habilidad para usar funciones con el fin
de determinar la numerabilidad o no
numerabilidad
de
un
conjunto.
Capacidad para construir los números
cardinales. Habilidad para demostrar de
los Teoremas de Cantor- SchröderBernstein y Cantor. Comprensión de la
Hipótesis del Continuo. Capacidad para
utilizar la aritmética cardinal.
EL AXIOMA DE ELECCIÓN
Comprender la noción de conjuntos parcial y totalmente ordenados,
por medio de ejemplos y ejercicios. Entender tanto el Axioma de
Elección como sus diferentes equivalencias, así como saberlo
aplicar en la demostración de importantes teoremas dentro de la
Matemática y, en particular, en la Teoría de Conjuntos. Finalmente,
F0060_Teoría de Conjuntos
2/4
División Académica de Ciencias Básicas
Licenciatura en Matemáticas
conocer algunas de las paradojas
formalización de esta teoría.
que dieron origen a la
Hrs estimadas
Temas
3.1. Conjuntos Parcial y Totalmente
Ordenados.
3.2. Axioma de Elección, Lema de Zorn
y Teorema del Buen Orden.
3.3. Aplicaciones
del
Axioma
de
Elección.
3.4. Algunas Paradojas de la Teoría de
Conjuntos.
Unidad
No.
Objetivo
particular
4
Resultados del aprendizaje
Identificación de conjuntos totalmente y
parcialmente ordenados. Habilidad para
aplicar el Axioma de Elección y sus
equivalencias
en
demostraciones.
Reconocimiento de las paradojas de la
Teoría de Conjuntos.
NÚMEROS ORDINALES
Conocer los números ordinales y la aritmética ordinal por medio
de ejemplos. Además, entender cómo el principio de inducción y el
teorema de recursión se generalizan a los números ordinales, y
aplicar dichas generalizaciones en demostraciones que las
involucren.
Hrs estimadas
Temas
4.1. Números Ordinales.
4.2. El Axioma de Reemplazo.
4.3. Inducción y Recursión Transfinita.
4.4. Aritmética Ordinal.
4.5. Ordinales Iniciales y Alephs.
4.6. Suma y Multiplicación de Alephs.
Resultados del aprendizaje
Habilidad para construir los números
ordinales y capacidad para demostrar
sus propiedades básicas.
Habilidad para utilizar la aritmética
ordinal.
Capacidad
para
efectuar
las
operaciones de suma y multiplicación de
alephs.
Sugerencias didácticas
Exposiciones del profesor y de los alumnos.
Hacer una evaluación diagnóstica de conocimientos y habilidades.
Trabajar con los alumnos en grupos pequeños e individualmente.
Trabajar ejercicios en clase.
Propiciar en el estudiante la reflexión, el análisis, la síntesis y la crítica.
F0060_Teoría de Conjuntos
3/4
División Académica de Ciencias Básicas
Licenciatura en Matemáticas
Trabajar ejemplos y ejercicios en cada concepto.
Estrategias de evaluación del aprendizaje
Preguntas escritas.
Preguntas orales.
Exposición de los alumnos.
Trabajos y tareas dentro y fuera de clase.
Bibliografía
Básica
1.
2.
3.
4.
Kolmogorov & Fomin. Elements of the Theory of
Functions & Functional Analysis. Dover Publications, Inc.
U.S.A., 1999. (En español, Mir, 1975).
Halmos. Naive Set Theory. Springer-Verlag New York,
Inc., U.S.A., 1998. (En español: Teoría Intuitiva de los
Conjuntos. C.E.C.S.A., México, 1980).
Hernández Hernández, F. Teoría de Conjuntos. SMM,
México, 1998.
Lipschutz, S. Schaum's Outline of Set Theory and
Related Topics. Schaum's. U.S.A., 1998. (En español:
Teoría de Conjuntos y Temas Afines. McGraw-Hill,
México, 1981).
Bibliografía
Complementaria
F0060_Teoría de Conjuntos
4/4