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 El material concreto como mediador en
la construcción de conceptos
matemáticos
Enseña la importancia de utilizar materiales concretos
como herramientas pedagógicas para el desarrollo del
pensamiento matemático.
Autores: Cecilia Casasbuenas S. y Virginia Cifuentes de
Buriticá.
En el momento en que el docente planea una situación de aprendizaje, para
propiciar en los niños y en las niñas la construcción de conceptos matemáticos, es
inevitable reflexionar acerca del conocimiento objeto de enseñanza, como también
acerca de las posibles concepciones que, con respecto a ese conocimiento, tienen
los estudiantes. De igual manera, es necesario tener en cuenta aquellas
representaciones familiares o modelos que faciliten construcciones conceptuales y
el desarrollo de los procesos involucrados en la aprehensión de estos
conocimientos.
El material concreto permite el inicio de representaciones y modelaciones de fácil
comprensión y manejo.
La selección de los materiales está condicionada por las intenciones de la
enseñanza y así como en esta no todo está previsto, sino por el contrario, deja
espacios a las conjeturas, a las diferentes formas de razonamiento, a las variadas
estrategias y a las mismas preguntas de los estudiantes, los materiales que la
apoyan deben gozar de esa misma versatilidad.
Por esta razón es importante tener un aula rica en materiales manipulables como
fichas, cubos de ensamblar, ábacos, tangramas, geoplanos, bloques lógicos,
figuras geométricas, papel cuadriculado y otros provenientes de las nuevas
tecnologías como calculadoras y el computador, que estimulan la exploración de
cantidad, de formas, de posiciones espaciales, el advertir características
particulares y encontrar regularidades.
De la calidad y pertinencia de los materiales con los que interactúan los
estudiantes, de las reglas de los juegos donde ellos intervienen, del tipo de
problemas que desencadenan las acciones sobre el material, depende la riqueza
y calidad de las reflexiones sobre esas acciones; reflexiones que originan ideas
matemáticas.
1
Del uso del material a la construcción de conceptos.
Los multicubos para explorar “curiosidades” de los números.
La situación de aprendizaje tiene un propósito, un qué: acercar a los estudiantes a
escudriñar propiedades, “curiosidades”, de los números que les permitirán
construir sucesiones más complejas que la sucesión natural de los números de
contar.
La situación de aprendizaje tiene un cómo: un contexto histórico que relaciona
aspectos aritméticos y geométricos de los números y por lo tanto exige un material
que permita hacer representaciones figurales de ellos. En nuestro caso usaremos
los multicubos.
Quizá el hecho de recurrir a estas representaciones sea un camino para advertir
leyes de formación, regularidades y relaciones entre números, ligadas a
operaciones que permiten obtener unos a partir de otros.
Representemos los números de contar por medio de cubos:
1
2
3
4
5
(Representarlos mínimo hasta 25)
Algunas de las representaciones permiten hacer parejas sin que sobren o falten
cubos.
2
4
6
8
Preguntas como: ¿cuántas parejas resultaron en cada representación?, ¿cómo se
puede expresar este conteo?, llevan a los estudiantes a comprender la naturaleza
de los números pares al pasar de la representación concreta a la construcción
conceptual del número par como un producto donde un factor es 2
1x2
2x2
3x2
4x2
2
Aplicaciones de este concepto o ampliaciones de él podrían ser la construcción
significativa de la tabla del 2, la elaboración de criterios para decidir cuándo un
número es par o no, cuándo es múltiplo de 2, cuándo es divisible entre 2.
En algunos casos, en los primeros grados de la educación básica, es posible que
los niños requieran volver al material concreto para hacer verificaciones y
argumentar con base en ellas.
Considerando el concepto de número par en los números naturales, los
estudiantes posiblemente encuentren argumentos para aceptar el número 0 como
par, dando así un paso hacia el pensamiento matemático, desligado de la
representación que le dio origen. De la misma manera, en grados superiores se
llega a la generalización al expresar cualquier número par como 2xn, donde n es
cualquier número natural.
En algunas de las representaciones, al tratar de hacer parejas sobra o falta
un cubo.
1
3
5
7
En la manipulación de estas representaciones los estudiantes advierten fácilmente
la imposibilidad de formar parejas completas porque falta o sobra un cubo. Será
una forma de argumentar por qué un número impar no puede tener a 2 como
factor.
De la escritura de listados de números impares se podrán encontrar criterios para
decidir cuándo un número es impar.
Para saber cómo avanzan los estudiantes en la comprensión de la caracterización
de los números pares e impares, los docentes analizarán los argumentos que den
los estudiantes al anticipar cómo sería la suma de dos pares, de dos impares, de
un par y un impar e inclusive de ternas de ellos. Se encontrarán así indicadores de
logros que den cuenta del desarrollo del pensamiento numérico. En los primeros
grados es posible que recurran a ejemplos particulares, inclusive usando el
material concreto o permitiendo el uso de contraejemplos.
En los grados avanzados será interesante encontrar expresiones generales para
los números impares a partir de los números pares, tanto en el conjunto de los
números de contar como en el de los números naturales.
3
2n + 1
2n - 1
En los números naturales
cuando n es 0 se obtiene
el primer número impar : 1
En los números de contar
cuando n es 1 se obtiene
el primer número impar : 1
¿Qué sucede cuando sumamos sucesiones de números impares?
1
1+3
1+3+5
1+3+5+7
Atendiendo a la forma de los arreglos se puede convenir en asignarle un nombre a
los números obtenidos en cada suma.
Es importante la forma como se vayan organizando los arreglos para captar
regularidades.
1er. cuadrado
2do. cuadrado
3er. cuadrado
.
.
.
1 = 1x1 = 1
4 = 2x2 = 1+3
9 = 3x3 = 1+3+5
.
.
.
7º cuadrado
49 = 7x7 =?
hay 1 sumando
hay 2 sumandos
hay 3 sumandos
.
.
.
Debe haber 7 sumandos
Pero, ¿cómo saber cuál es el 7º sumando sin necesidad de escribir la sucesión
de ellos?
El primer impar es: 2x1 – 1 = 1
El 7º impar es: 2x7 – 1 = 14 – 1 = 13
Vale la pena verificar escribiendo los sumandos:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49
4
La suma de números impares consecutivos a partir de 1, es 121, ¿cuál es el último
sumando?
Estas preguntas sobre casos particulares propician en los estudiantes la
elaboración de conjeturas que posiblemente atiendan a condiciones no suficientes
o a interpretaciones erróneas. Estas producciones se pueden utilizar para
negociar, a partir de conjeturas incompletas, elaboraciones que describan
completamente el objeto involucrado en la pregunta. Los errores dan cabida al uso
de los contraejemplos como una forma de contraargumentar o problematizar las
falsas concepciones de los estudiantes, para que sean ellos mismos quienes las
reelaboren y se sientan artífices de su propio conocimiento.
Además es importante que los estudiantes comuniquen en lenguaje natural las
conceptualizaciones que van logrando.
“Si quiero encontrar el octavo número cuadrado multiplico 8 por 8,
o sumo los primeros ocho números impares”.
“Y si quiero anticipar hasta cuál número impar debo sumar, multiplico
2 por 8 y resto 1”.
En niveles más avanzados nos acercaremos a la generalización y utilizaremos
expresiones propias del lenguaje formal:
n-esimo cuadrado:
n = nxn = 1 + 3 + ... + 2n-1 =
∑ 2n-1
En las representaciones hechas con los cubos se observa que los arreglos tienen
igual número de filas y de columnas, es decir tienen forma cuadrada. Esta
particularidad que viene de lo geométrico es heredada por los números
representados en cada arreglo y por eso se les denomina números cuadrados.
1
4
9
16
Esta misma particularidad permite encontrar el número de cubos usado en cada
arreglo mediante la manipulación, pero una manipulación muy especial. Arreglos,
como ya se dijo, con igual número de filas y de columnas dan lugar a productos
de factores iguales.
5
4 = 2x2
9 = 3x3
16 = 4x4
Esta nueva representación es la que permite admitir al número 1 como el primer
número cuadrado.
Preguntas como:
¿Cuántos sumandos impares, a partir de 1, producen el tercer número cuadrado?
Si 49 es número cuadrado, ¿cómo es el arreglo que lo representa?
¿Cuántos sumandos impares consecutivos, a partir de 1, lo producen?
En forma similar se pueden encontrar los números generados por la suma de
números pares consecutivos a partir del 2.
Estos números son llamados oblongos. Es interesante encontrar relaciones entre
estos nuevos números y los números cuadrados.
Dentro de este mismo contexto es importante y sorprendente encontrar los
llamados números triangulares a partir de los números oblongos o de los números
cuadrados.
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