Download = = 2 m 60º x 30º x 2 m

IES LILA
Curso 12/13
4ºESO opción B
EXAMEN TRIGONOMETRÍA/SEMEJANZA
1.- Halla las razones trigonométricas del ángulo α en el siguiente triángulo rectángulo. En caso
necesario, extrae factores del radical y racionaliza.
2 65
8
c. opuesto
α
14
cateto contiguo
Aplicamos el teorema de Pitágoras para obtener el valor de la hipotenusa:
h2 = 82 + 142 = 260
Podemos extraer factores del radicando 260= 22 ∙ 5 ∙ 13 = 22 ∙ 5 ∙ 13 = 2 65
Ahora hallamos el valor de las razones trigonométricas:
𝒔𝒆𝒏 𝜶 =
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
cos 𝛼 =
=𝟐
𝟖
𝟔𝟓
=
𝟒
𝟒∙ 𝟔𝟓
𝟔𝟓 𝟔𝟓∙ 𝟔𝟓
=
𝟒 𝟔𝟓
𝟔𝟓
𝟐
=
𝟒 𝟔𝟓
𝟔𝟓
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒈𝒖𝒐
𝟏𝟒
𝟕
𝟕 𝟔𝟓
=
=
=
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
𝟔𝟓
𝟐 𝟔𝟓
𝟔𝟓
𝑡𝑔 𝛼 =
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐
𝟖
𝟒
=
=
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒈𝒖𝒐 𝟏𝟒 𝟕
2.- Un carpintero quiere construir una escalera de tijera, cuyos brazos, una vez abiertos, formen
un ángulo de 60°. Para que la altura de la escalera, estando abierta, sea de 2 metros, ¿qué
longitud deberá tener cada brazo?
60º
30º
x
2m
2m
x
hipotenusa
c. contiguo
De las tres razones trigonométricas, nos interesa utilizar el coseno ya que relaciona el
cateto contiguo y la hipotenusa:
𝟐
cos 30º = 𝒙 ;
x cos 30º = 2;
2
2
x=cos 30º = 0,87 = 2,30 𝑚
El brazo de la escalera mide aproximadamente 2,30 m
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Si en vez de aproximar con dos decimales el valor de la razón trigonométrica empleada
en el apartado anterior aproximas con cuatro, la longitud del brazo de la escalera será
diferente. Valora el error cometido.
Si utilizamos cuatro decimales para el valor del coseno, la altura de la escalera será:
2
2
x= cos 30º = 0,8660 = 2,31 𝑚
Para valorar el error cometido vamos a hallar el error absoluto y el error relativo:
𝐸𝑎 = 𝑉𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑜 − 𝑉𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜
𝐸𝑟 =
𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑜
=
𝐸𝑎
𝑉𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑜
0,01
2,31
=
= 2,31 − 2,30 = 0,01 𝑚
= 0,004 = 0,4%
El error cometido es despreciable.
3.- Los dos catetos de un triángulo rectángulo miden 48 cm y 71
cm. Calcula, en grados y minutos, los dos ángulos agudos.
Para hallar el valor de los ángulos utilizamos alguna de las
razones trigonométricas. En este caso, la tangente.
𝑡𝑔 𝛼 =
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐
𝟒𝟖
=
≅ 𝟎, 𝟔𝟕𝟔 … …
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒈𝒖𝒐 𝟕𝟏
Tomando todos los valores que apareen en la calculadora y con la combinación de teclas
correspondiente hallamos α = 34º 3´
Para hallar β podemos utilizar la tangente:
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐
𝟕𝟏
𝑡𝑔 𝛽 = 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒈𝒖𝒐 = 𝟒𝟖 ≅ 𝟏, 𝟒𝟕𝟗 … …
β=55º 56´
o, teniendo en cuenta que la suma de los tres ángulos de un triángulo es de 180º:
β= 180º -90º - 34º 3´= 55º 56´
4.- Un albañil ha terminado de alicatar la pared de una cocina; al verla, duda de que esté
realmente vertical. Para asegurarse mide la distancia AB y obtiene que es igual a 69 cm. ¿Está
bien construida la pared? ¿en qué concepto se basa el albañil para averiguarlo?
A
Si la pared está bien construida se tiene
que cumplir el teorema de Pitágoras:
60 cm
69 cm
PARED
B
SUELO
40 cm
C
h2 = 602 + 402
h2 = 3600 + 1600
h2 = 5200
h = 5200 ≅ 72,1𝑐𝑚
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El valor de la hipotenusa debería ser aproximadamente 72 m y sin embargo el valor
obtenido por el albañil es de 69 cm. Por lo tanto, al no cumplirse el teorema de Pitágoras,
podemos deducir que la pared no está bien construida: el ángulo formado por el suelo y la pared
no es un ángulo recto.
En vez de calcular el valor de la hipotenusa, podíamos haber comprobado si se cumplía la
igualdad
692 = 602 + 402
Al hacer los cálculos correspondientes obtendríamos:
4761 ≠ 5200
llegando a la misma conclusión.
5.- Las dimensiones de un campo de fútbol son 70 y 100 m respectivamente. ¿Cuál es la
superficie de un futbolín hecho a escala 1:75? (HECHO EN CLASE)
CAMPO DE FÚTBOL
FUTBOLÍN
70 m
1: 75
100 m
Sabemos que
Á𝑟𝑒𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙
Á𝑟𝑒𝑎 𝑚𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑎
= 𝑟2
Para hallar la superficie del futbolín necesitamos calcular primero la superficie del campo de
fútbol. Como se trata de un rectángulo, su área será: A = 70·100 = 7000 m2 = 700000 cm2
700000
Á𝑟𝑒𝑎 𝑚𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑎
=
75 2
1
;
700000
𝑥
=
5625
1
5625 x = 700000; x =
700000
5625
≅ 124,4 cm2
5.- Un lado de un triángulo mide 7 centímetros y uno de sus ángulos 60º. Se hace una fotocopia al
300%. ¿Cuánto mide el nuevo lado?¿Y el nuevo ángulo?
La fotocopia del triángulo y el original son figuras semejantes: sus lados correspondientes
serán proporcionales y sus ángulos correspondientes iguales.
Por lo tanto, el nuevo ángulo medirá tambien 60º.
Para hallar el valor del nuevo lado utilizamos la razón de semejanza(300% =
300 (𝑓𝑜𝑡𝑜𝑐𝑜𝑝𝑖𝑎 ) 𝑥
=
100(𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 )
7
;
100x = 7·300;
x=
2100
100
= 21𝑐𝑚 medirá el nuevo lado
300
)
100