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Lic. Mónica Fiore
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EXPRESIÓN DE LA FUERZA DE MAREA EN FUNCIÓN DE LONGITUDES
ASTRONÓMICAS MEDIAS
Las siguientes expresiones de las componentes horizontal y vertical de la fuerza de marea
(Schureman, 1988) son función del ángulo θ (pto. sobre la superficie de la Tierra – centro de la
Tierra – centro del Astro) y de la distancia d (centro de la Tierra – centro del Astro) que no varían
uniformemente con el tiempo, dificultando su cálculo.
fh3
f v3
fv4
fh 4
g
3
M  a 3
=  L  ⋅   ⋅ ⋅ sen 2θ [1]
g
 MT   d  2
3
[
4
[
M  a
=  L ⋅
⋅ 3 ⋅ cos 2 θ - 1 [2]
g  M   d 
 T
=
]
3  ML   a 
 ⋅   ⋅ 5 ⋅ cos3 θ − 3 ⋅ cos θ
⋅ 
2  MT   d 
]
4
3 M  a
= ⋅  L  ⋅   ⋅ sen θ ⋅ [5 ⋅ cos 2 θ − 1]
g 2 M
 T  d
Para solucionar este problema se reemplazan a θ y d por longitudes astronómicas medias, que si
bien en apariencia complican las fórmulas, facilitan enormemente su cálculo. A continuación se
definirán algunos elementos astronómicos que permitirán alcanzar el objetivo planteado.
La Figura 1 muestra la eclíptica (con color azul), la órbita de la Luna (con color rojo) y el ecuador
celeste (con color verde).
Ω
N
i
I
A ν
ξ
Tierra
γ
ω
γ'
Luna
Sol
Figura 1
Los puntos en los cuales el plano del ecuador y la eclíptica se interceptan se conocen cono línea de
los equinoccios. En uno de los extremos se encuentra el punto Vernal (γ), que es el sitio donde está
el Sol en su trayectoria aparente aproximadamente el 21 de Marzo, equinoccio de otoño para el
hemisferio Sur. En el otro extremo se encuentra el equinoccio de primavera para el hemisferio Sur,
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que es el sitio que ocupa el Sol en su movimiento aparente aproximadamente el 23 de Septiembre
(Figura 1).
A pesar que el punto Vernal se mueve ligeramente hacia el Oeste (48’’/año), es tomado como punto
fijo de referencia para las longitudes astronómicas medias, que sirven de coordenadas de los Astros
y para los cálculos de marea. El movimiento de los equinoccios en la eclíptica se llama precesión de
los equinoccios, completando un ciclo en 25.868 años (Figura 1).
El ángulo formado por el ecuador celeste y la eclíptica se denomina oblicuidad de la eclíptica (ω)
(Figura 1). En la predicción de marea se puede adoptar, para ω, un valor constante 23°26’21”.4119
(Astronomical Almanac, 1984).
La órbita de la Luna y el ecuador celeste forman un ángulo que se denomina inclinación de la
Orbita de la Luna (i) (Figura 1), cuyo valor aproximado es de 5° 8' 43".43 (Astronomical Almanac,
1984).
A los efectos del cálculo de marea tanto ω como i se consideran constantes durante un siglo.
La órbita de la Luna en su intersección con la eclíptica define los nodos lunares. El nodo ascendente
Ω es aquel por el cual la Luna pasa del sur al norte de la eclíptica, el caso contrario corresponde al
nodo descendente (Figura 1). El nodo ascendente se mueve hacia el oeste, cumpliendo un ciclo en
18.6 años.
Se denomina longitud del nodo ascendente (N) al arco de circunferencia comprendido entre el
equinoccio vernal (γ) y el nodo ascendente (Ω), medido sobre de la eclíptica hacia el oriente.
Si sobre la eclíptica se determina un punto γ' de modo tal que el arco Ωγ es igual al arco Ωγ', se
pueden definir dos nuevas longitudes astronómicas medias denotadas como ξ y ν en la Figura 1. ν
es la longitud media de la intersección del ecuador celeste con la órbita de la Luna (punto A),
medida desde γ, sobre el ecuador celeste. ξ es la longitud media del punto A medida desde γ', sobre
la órbita de la Luna (Figura 1).
El ángulo formado por el plano del ecuador y la órbita de la Luna se denomina oblicuidad de la
órbita de la Luna (I), y es una magnitud variable que depende de la posición del nodo lunar. Al
moverse este último hacia el punto Vernal va variando I, ya que ω e i se mantienen prácticamente
constantes. Cuando la longitud N es cero, coinciden el punto Vernal con el punto A y con el nodo
ascendente de la Luna. En la Figura 2 se representa una idealización del movimiento de Ω hacia el
punto Vernal, mostrando que cuando coinciden I = ω + i (I = 28° 35' 5").
Siguiendo un razonamiento similar, cuando Ω coincide con el nodo descendente de la Luna, o sea
cuando N = 180°, se determina que I = ω - i (I = 18° 17' 38"). Resumiendo el ángulo I será siempre
positivo y variará entre ω - i y ω + i.
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eclíptica
i
γ
I
ecuador celeste
ω
órbita de la Luna
Figura 2
A continuación se planteará la fuerza de marea en función de longitudes astronómicas medias.
Se aplica el teorema del coseno al triángulo esférico AΩγ (Figura 3), que dice en todo triángulo
esférico el coseno de un ángulo es igual al producto de los cosenos de los otros dos con signo
contrario, más el producto de los senos de estos mismos ángulos por el coseno del lado opuesto al
primero:
cos(180°-I) = -cos i . cosω + sen i . sen ω . cos N
- cos I = -cos i . cosω + sen i . sen ω . cos N
cos I = cos i . cosω - sen i . sen ω . cos N
Finalmente considerando ω e i fijos (Schureman, 1988) se tiene:
cos I = 0.911370 – 0.03569 . cos N
[3]
Realizando un análisis trigonométrico sobre la Figura 3 se deducen las siguientes ecuaciones
(Schureman, 1988):
1
(ω − i )
1
N
2
tg (N − ξ + ν ) =
= 1.01883 ⋅ tg
1
2
2
cos (ω + i )
2
cos
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1
tg (N − ξ - ν ) =
2
1
(ω − i )
N
2
= 0.64412 ⋅ tg
1
2
sen (ω + i )
2
sen
Operando se obtiene
N

N − ξ + ν = 2 ⋅ arctg 1.01883 ⋅ tg 
2

N

N − ξ - ν = 2 ⋅ arctg 0.64412 ⋅ tg 
2

Restando miembro a miembro se tiene:
N
N


ν = arctg 1.01883 ⋅ tg  - arctg 0.64412 ⋅ tg  [4]
2
2


Sumando miembro a miembro se tiene:
N
N


ξ = N − arctg 1.01883 ⋅ tg  - arctg 0.64412 ⋅ tg  [5]
2
2


Como se puede observar I, ξ y ν (ecuaciones [3] [4] y [5]) son funciones de N. La longitud N puede
calcularse (Schureman, 1988) con la siguiente expresión:
N = 259° 10’ 57.12” – (5 . 360° + 482912.63”). T + 7.58” . T2 + 0.008” . T3 [6]
Donde T representa el número de centurias julianas (1cj = 36525 dsm) medidas desde las 12hs del
31 de Diciembre de 1899 con origen de tiempo en Greenwich.
A continuación se desarrollan en series de términos armónicos las ecuaciones [1] y [2] (Schureman,
1988) . Para ello se reemplaza al ángulo θ por la declinación D y el ángulo horario t del astro y por
la latitud celeste Y correspondiente al punto P donde se estudia la fuerza de marea, Figura 3.
Elementos de la Figura 3:
• C, Polo Norte Celeste
• AM’P’, Ecuador Celeste
• M, posición de la Luna
• P, lugar donde se observa marea
• CMM’, círculo horario de la Luna o meridiano de la Luna
• A, intersección de la órbita de la Luna con el Ecuador Celeste
• I, Oblicuidad de la órbita de la Luna respecto del Ecuador Celeste
• O, centro de la Tierra
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A
I
Figura 3
Aplicando el segundo teorema del coseno de la trigonometría esférica, al lado θ, en el triángulo
MCP se tiene:
cos θ = cos (90° - D) . cos (90° - Y) + sen (90° - D) . sen (90° - Y) . cos t
cos θ = sen D . sen Y + cos D . cos Y . cos t
Elevando al cuadrado la ecuación anterior se obtiene:
cos2 θ = sen2 D . sen2 Y + 2. sen D . sen Y . cos D . cos Y . cos t + cos2 D . cos2 Y . cos2 t
cos2 θ = sen2 D . sen2 Y + 1/2. sen 2D . sen 2Y . cos t + 1/2 cos2 D . cos2 Y . (1+cos 2t)
cos2 θ = sen2 D . sen2 Y + 1/2. sen 2D . sen 2Y . cos t + 1/2 cos2 D . cos2 Y + 1/2 cos2 D . cos2 Y . cos 2t
Reemplazando cos 2t
cos2 θ = 1/2. sen 2D . sen 2Y . cos t + 1/2 cos2 D . cos2 Y .cos 2t + sen2 D . sen2 Y + 1/2 cos2 D . cos2 Y [7]
Desarrollando el término subrayado:
sen2 D . sen2 Y + 1/2 cos2 D . cos2 Y = sen2 D . sen2 Y + 1/2 [ ( 1 – sen2D) . (1 – sen2 Y)]
= sen2 D . sen2 Y + 1/2 [1 – sen2Y - sen2 D + sen2 D . sen2 Y]
= 3/2 sen2 D . sen2 Y + 1/2 - 1/2 sen2Y - 1/2 sen2 D
=1/2 [ 3 sen2 D . sen2 Y - sen2Y - sen2 D + 2/3 + 1/3]
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=1/2 [ -3 sen2 Y (1/3 - sen2 D) + (1/3 - sen2 D) + 2/3]
= 1/2 (2/3 - 2 sen2 D) . (1/2 – 3/2. sen2 Y) + 1/3
reemplazando en 7 el término subrayado:
cos2 θ = 1/2. sen 2D . sen 2Y . cos t + 1/2 cos2 D . cos2 Y .cos 2t + 1/2 (2/3 - 2 sen2 D) . (1/2 – 3/2. sen2 Y) + 1/3
A
cos2 θ - 1/3 = A, luego reemplazando en 2
Fv3
3
g
=
3  ML   a   1 3
 2

 ⋅   ⋅  − ⋅ sen 2 Y  ⋅  − 2 ⋅ sen 2 D  +
⋅ 
2  MT   d   2 2
 3

3
3  ML   a 
 ⋅   ⋅ sen 2Y ⋅ sen 2D ⋅ cos t +
⋅
2  M T   d 
3
3  ML   a 
 ⋅   ⋅ cos 2 Y ⋅ cos 2 D ⋅ cos 2t
⋅ 
2  MT   d 
[8]
Como puede observarse esta última fórmula ha sido dividida en tres términos. En todos ellos
además de las masas de la Luna y la Tierra figura el paralaje (a/d) que es variable debido a los
cambios de la distancia Tierra – Luna. Más adelante se reemplazará el paralaje por una expresión en
función de longitudes astronómicas medias.
El primer término, que se denota como Fv30 / g, es independiente del ángulo horario de la Luna t,
dependiendo de las variaciones de la declinación del mencionado astro D, ya que la longitud celeste
Y es constante para un cierto punto P. De este término surgirán las componentes de largo período o
sea aquellas de períodos mayores que un día dado que la duración del mes trópico es de 27,3217
dsm.
El segundo término denotado como Fv31 / g, involucra el coseno del ángulo horario de la Luna t. De
este término surgirán las componentes diurnas con períodos de aproximadamente un día lunar. Esto
se debe a que predomina la variable de menor período que es t (24 hs) frente a D (27,3217 dsm).
El tercer término denotado como Fv32 / g, involucra el coseno del doble del ángulo horario de la
Luna t. De este término surgirán las componentes semidiurnas con períodos de aproximadamente un
día Lunar. Esto se debe a que predomina la variable de menor período que es 2t (12 hs) frente a D.
En los tres términos el subíndice 3 indica que la fuerza incluye el cubo del paralaje lunar y que es el
resultado de considerar el primer término del desarrollo en serie realizado. En el primer término el
subíndice 0 indica que no figura t, por lo cual los períodos de las componentes que surjan del
mismo estarán relacionados con D. En el segundo el 1 indica que figura t una única vez, surgiendo
así las componentes diurnas (un máximo y un mínimo por día). Finalmente el subíndice 2 en el
último término denota que figura el doble de t, dando origen a las componentes semidiurnas (dos
máximos y dos mínimos por día).
Supongamos un observador ubicado en el Ecuador. Luego para Y = 0, el factor de latitud de Fv30 / g,
será:
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1
1 3
2 
 − ⋅ sen 0  =
2 2
 2
Para Fv31 / g, será:
sen 2.0 = 0
y finalmente para Fv32 / g:
cos20 = 1
Luego se concluye que en el Ecuador las componentes diurnas son nulas y las semidiurnas
máximas.
Si efectuamos el mismo cálculo en el Polo (Y = 90°), los factores de latitud son –1, 0 y 0 para
Fv30/g, Fv31 / g, Fv32 / g, respectivamente. Luego, sólo actúan las componentes de largo período.
Para los factores de declinación se puede seguir un razonamiento similar. En la ecuación [8]
hacemos:
 ML

 MT
3
  a   ML
 ⋅   = 
  d   MT
3
3
 a c
c
 ⋅   ⋅   = U ⋅  
d
 c d
3
siendo c la distancia media Tierra - Luna, o sea el cociente entre el paralaje verdadero y el medio.
Según Schureman, 1988
M
U L =  L
 MT
3
 a
 ⋅   = 0.5582.10 − 7
 c
3
M   a 
U S =  S  ⋅   = 0.2569.10 −7
 M T   cS 
siendo cS la distancia media Tierra – Sol y Ms la masa del Sol.
Reemplazando en [8],
Fv3
3
g
=
3
c 1 3
 2

⋅ U ⋅   ⋅  − ⋅ sen 2 Y  ⋅  − 2 ⋅ sen 2 D  +
2
d 2 2
 3

3
3
c
⋅ U ⋅   ⋅ sen 2Y ⋅ sen 2D ⋅ cos t +
[9]
2
d
3
3
c
⋅ U ⋅   ⋅ cos 2 Y ⋅ cos 2 D ⋅ cos 2t
2
d
Reemplazando en [9] los ángulos D y t en función de:
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•
•
•
I, que es la oblicuidad de la órbita de la Luna
X, que es la longitud media del punto P medida sobre el Ecuador celeste desde el punto A
(intersección de la órbita de la Luna con el Ecuador celeste)
j, que es la longitud media de la Luna medida desde desde el punto A sobre la órbita de la Luna
Aplicando el teorema del seno en el triángulo esférico MAM’ (Figura 3), recto en M’, se tiene:
sen D
sen j
=
sen I sen 90°
sen D = sen I . sen j [10]
Aplicando el teorema del coseno en el triángulo esférico MP’M’ se tiene:
cos MP’ = cos D . cos t + sen D . sen t . cos 90°
cos MP’ = cos D . cos t [11]
Aplicando el teorema del coseno al triángulo esférico MAP’ se tiene:
cos MP’ = cos X . cos j + sen X . sen j . cos I
cosMP' = cos 2
1
1
I ⋅ cos(X − j) + sen 2 I ⋅ cos(X + j) [12]
2
2
Igualando las ecuaciones [11] y [12] resulta:
cos D ⋅ cos t = cos 2
1
1
I ⋅ cos(X − j) + sen 2 I ⋅ cos(X + j) [13]
2
2
A partir de las expresiones 10 y 13, operando trigonométricamente, se llega a una nueva expresión
de la ecuación 9 donde D y t han sido reemplazados por X, I y j.
Fv30
Fv31
g
=
3
2
g
=
3
c
⋅ U ⋅ 
2
d
3
1 3
 2

⋅  − ⋅ sen 2 Y  ⋅  − sen 2 I + sen 2 I ⋅ cos 2j  [14]
2 2
 3

3
1
c


2 I
2 I
⋅ cos(X − 90° + 2j)
 ⋅ sen 2Y ⋅ sen I ⋅ cos ⋅ cos(X + 90° − 2j) + ⋅ sen 2I ⋅ cos(X − 90° ) + sen I ⋅ sen

2
2
2
d

⋅U⋅
[15]
Fv32
3
1
c
 4 I

2
2
4 I
= ⋅ U ⋅   ⋅ cos Y ⋅ cos
⋅ cos(2X − 2j) + ⋅ sen I ⋅ cos 2X + sen
⋅ cos(2X + 2j) [16]
g 2
2
2
2
d


3
En las ecuaciones [14], [15] y [16] todavía existen elementos que no varían uniformemente con el
tiempo. Debido a esto se reemplazarán j, x y d en función de las siguientes longitudes astronómicas
medias:
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•
•
•
•
•
•
h, longitud media del Sol (S) o ascensión recta
s, longitud media de la Luna (M)
p, longitud del perigeo lunar
p1, longitud del perigeo solar
ν, es la longitud media de la intersección del ecuador celeste con la órbita de la Luna (punto A)
ξ, es la longitud media del punto A medida desde γ', sobre la órbita de la Luna
M
s
A
γ'
ξ
Figura 4
De la Figura 4 se deduce que:
j = s’ - ξ [17]
donde s’ es la longitud verdadera de la Luna en su órbita medida desde γ’. De las efemérides se
obtiene una expresión en función de la longitud media de la Luna s medida sobre su órbita desde γ’
(Astronomical Almanac, 1984):
s’ = s + k
donde
k = 2 . e . sen (s – p) + 5/4 . e2 . sen 2(s – p) + 15/4. m. e. sen (s – 2.h + p) + 11/8 m2 . sen 2(s – h)
donde
• e es la excentricidad de la órbita de la Luna (0,0549)
• m es la razón entre el movimiento medio del Sol respecto al de la Luna (0,0748)
Luego reemplazando en [17] se tiene:
j = s – ξ + k [18]
Por otra parte de la Figura 4 se deduce que:
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X = T + h - ν [19]
Donde T es el ángulo horario del Sol medio.
Por otra parte de las efemérides se obtiene la siguiente ecuación:
c/d = 1 + e . cos (s – p) + e2 . cos 2(s – p) + 15/8 . m . e. cos (s-2h + p) + m2 . cos 2(s-h) [20]
Finalmente reemplazando [18], [19] y [20] en [14], [15] y [16], y operando se tiene (Schureman,
1988):
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Cada término de las nuevas ecuaciones, exceptuando el término permanente, representa una
componente de la fuerza generadora de marea lunar. Por conveniencia se designa a cada
componente con la letra A y un subíndice. Por otra parte a las componentes más importantes se las
denota además con otra simbología que se escribe al lado de cada componente.
Con excepción del término permanente, los otros son funciones armónicas de un ángulo que varía
uniformemente con el tiempo y que se denota como argumento de la componente de marea o
argumento de equilibrio (debido a la teoría del mismo nombre). Por ejemplo para la componente
M2 el argumento de equilibrio es:
2T – 2s + 2h + 2ξ -2ν
El argumento de equilibrio se utiliza para determinar la velocidad y período de la componente,
siendo el que fija los tiempos correspondientes a la fuerza de marea máxima y mínima.
Generalmente se lo divide en dos partes que se denotan como V y u. V incluye a longitudes
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astronómicas medias tales como T, s, h y p. Mientras que la segunda parte u incluye múltiplos de ξ
y ν.
En el término V la variación más rápida está dada por T, que cumple un ciclo en 24 hs. Luego en las
componentes diurnas el coeficiente de T es 1, en las semidiurnas 2 y así sucesivamente. La segunda
parte uincluye múltiplos de las longitudes ξ y ν que son funciones de los nodos de la Luna y varían
lentamente con el tiempo (ciclo de nodos Luna, 18,61 años).
™ Referencias Bibliográficas
ASTRONOMICAL ALMANAC FOR THE YEAR 1984 (with Supplement). Washington. US
Govt. Printing Office. London. H.M.S.O.
SCHUREMAN PAUL, (1988). Manual of Harmonic Analysis and Prediction of Tides, Coast and
Geodetic Survey, Special Publication No. 98, 317 p.
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