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El resultado más extraño y fascinante de las
Matemáticas
Crédito de la imagen: Youtube
Pregunta: ¿Cuánto da la suma de TODOS los números POSITIVOS?
1+2+3+4+5+6+7+8+…=?
(Los puntos suspensivos significan que tenemos que sumar todos los números positivos hasta el
infinito) Será un número enorme, enorme, enorme, ¿verdad?
Respuesta correcta: -1/12, ¡¡¡un número NEGATIVO!!! Este resultado no es sólo
matemáticamente cierto. Además, resulta necesario en muchos campos de la física: desde la teoría
de cuerdas hasta la mecánica cuántica. Y sí, la primera vez que encontré esto en un libro de
matemáticas casi me estalla la cabeza. ¿Cómo puede ser que la suma de todos los números positivos
dé un número negativo?
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Una pequeña introducción
Las sumas (que también se llaman “series”) de infinitos términos son uno de los objetos más
estudiados en matemáticas. Básicamente existen dos tipos:
a) Las series convergentes, que tienen un valor bien definido. Por ejemplo:
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + …. = 2
Puede parecer algo extraño, pero una suma de infinitas fracciones como esta tiene un resultado
finito. Sería imposible realizarla incluso con un ordenador porque tiene infinitos términos y no
acabaríamos nunca. Pero las matemáticas son maravillosas y es muy sencillo demostrar que el
resultado es 2. Por cierto, este ejemplo muestra que la paradoja de “Aquiles y la tortuga” inventada
por el filósofo griego Zenón no es tal.
b) Las series divergentes, que, en principio, no tienen un valor definido. La serie que nos interesa
es divergente. Dicho en términos técnicos: “la sucesión de sumas parciales tiende al infinito”:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 +… = ?
Pero resulta que sí podemos asignarle un valor matemáticamente riguroso a esta suma y que
ese valor es -1/12.
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Una forma mucho más sencilla de entenderlo es a través del método que utilizan en este vídeo
Brady Haran, y Antonio Padilla, un físico de la Universidad de Nottingham. (NOTA: En el vídeo se
realizan algunos pasos que no son matemáticamente rigurosos, pero aún así, resulta muy
interesante desde un punto de vista pedagógico).
http://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww
Básicamente la demostración es como sigue:
Sea S1 la siguiente suma:
S1 = 1-1+1-1+…
Asumimos que el resultado es ½ . Si paramos en un término par, la suma es 1 y si paramos en uno
impar la suma es 0. Tomaremos el valor medio entre estos dos posibles, por tanto:
S 1=
1
2
Sea S2 la suma:
S2= 1-2+3-4+5-…
Para calcular el resultado seguimos este proceso:
1) Duplicamos la suma colocando los sumandos “a nuestro gusto”, ¡pero todo legal, eh!
S 2= 1−2+3−4+5−...
+
S 2=
1−2+3−4+5
2 S 2= 1−1+1−1+ 1−...
2 S 2=1/2
Despejando:
S 2=
1/2
=1 /4
2
Sea S la suma que queremos averiguar:
S = 1+2+3+4+5+….
Restamos a S, S2
S-S2 = 1+2+3+4+5+… -[1-2+3-4+5-…] = 0+4+0+8+0+12+… = 4+8+12+… = 4(1+2+3+…)
Es decir:
S – S2 = 4·S
Despejando: - S2 = 3S
Sustituimos S2 por su valor: -1/4 = 3S y despejamos S
−1 /4
−1
=S=
3
12
!!!!!
Como decía Niels Henrik Abel, otro de los grandes de las matemáticas:
“Las series divergentes son una invención del diablo”.