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Simposio de Topología Carlos Javier Ruiz Salguero
SOBRIFICACIÓN POR UN PUNTO
DE ESPACIOS DE STONE
Lorenzo Acosta G.
26 de enero de 2013
Simposio de Topología Carlos Javier Ruiz Salguero
Plan de la charla
• Espacios de Stone
–
–
–
–
Retículos distributivos
Teorema del ideal primo
Espectro primo
Espacios de Stone (Caracterización de Balbes-Dwinger)
• Sobriedad
– Cerrados irreducibles y PIF
– Sobriedad
– Sobrificación de un espacio topológico
• Sobriedad en espacios de Stone
– Sobriedad y existencia de mínimo
• Sobrificación por un punto de un espacio de Stone
Simposio de Topología Carlos Javier Ruiz Salguero
Espacios de Stone
La noción de espacio de Stone no es estándar
en la literatura. La definición usada aquí
corresponde a la de Balbes y Dwinger en
“Distributive Lattices”.
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Retículo distributivo
a∨b
• Conjunto ordenado
• Cada par de elementos
tiene sup e inf.
a
b
• ∧ es distributivo con
respecto a ∨
a∧b
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Ideal
Filtro
• Subconjunto no vacío.
• Subconjunto no vacío.
• Cerrado para ∨.
• Cerrado para ∧.
• Absorbente para ∧.
• Absorbente para ∨.
Primo
• Propio.
• a∧b está implica a está o b está.
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Teorema del ideal primo
• I ideal
• F filtro
• Disyuntos
• Existe P ideal primo
– P contiene a I
– P y F son disyuntos
P
I
F
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Espectro primo
• L retículo distributivo
• I conjunto de ideales primos de L
• d : L  P (I )
a d(a) = ideales primos que no contienen a a
 d es un homomorfismo de retículos.
 La imagen de d es una base para una topología
sobre I , llamada topología de Zariski.
El espacio correspondiente es el espectro primo de L
y se nota spec L.
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Espacios de Stone (Balbes-Dwinger)
Definición
Un espacio topológico X es un espacio de Stone
si existe un retículo distributivo L tal que X es
homeomorfo a spec L.
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(Morfismos adecuados)
spec
Retículos
distributivos
Espacios de
Stone
Co-equivalencia de categorías
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Espacio coherente
Definición
Un espacio topológico es coherente si tiene una
base de abiertos-compactos cerrada para
intersecciones finitas.
Cada conjunto de la forma d(a) es compacto en
spec L.
Así,
todo espacio de Stone es coherente.
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Colección bi-reducible
Definición
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Espacios de Stone
El siguiente teorema es una consecuencia
inmediata del Teorema del ideal primo:
Teorema
En un espacio de Stone la colección de abiertoscompactos es bi-reducible.
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Caracterización de Balbes-Dwinger
de los Espacios de Stone
X es un espacio de Stone si y solo si
• X es T0
• X es coherente
• La colección de abiertos-compactos de X es
bi-reducible.
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Cerrados irreducibles
Definición
Un cerrado no vacío es irreducible si no puede
expresarse como unión de dos cerrados propios.
Proposición
Un cerrado no vacío es irreducible si y solo si la
colección de sus abiertos no vacíos tiene PIF.
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Cerrados irreducibles
Ejemplos
• Las adherencias de los puntos siempre son
cerrados irreducibles.
• Si X es un conjunto infinito con la topología de
complementarios finitos entonces X es un
cerrado irreducible que no es la adherencia de
ningún punto.
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X
Cerrados
irreducibles de
X
x
adherencia de {x}
Esta función es inyectiva si y solo si X es un espacio T0.
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Sobriedad
Definición
Un espacio topológico es sobrio si todo cerrado
irreducible es la adherencia de un único punto.
Diremos que un espacio es ebrio si no es sobrio.
Teorema
• Todo espacio T2 es sobrio.
• Todo espacio sobrio es T0.
La sobriedad es una propiedad de separación.
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Sobriedad
Ejemplos
• Un espacio grosero con más de un punto es
ebrio.
• Un conjunto infinito con topología de
complementarios finitos es ebrio.
• Un conjunto bien ordenado con la topología de
colas a izquierda es sobrio.
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X
Funtor olvido del conjunto
Espacios
topológicos
Ω
Topología de X
Retículos
distributivos
spec
Espacios
topológicos
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Ω(X)
spec Ω(X)
Abiertos primos
Ideales primos
principales
sob(X)
Cerrados irreducibles
X
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Espacios
topológicos
T0
Espacios
topológicos
sobrios
sob
i
sob(X)
¡E
X
Α
sob es adjunto a izquierda de i
Y
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Sobriedad en Espacios de Stone
Teorema
Para un espacio de Stone X son equivalentes:
• X es un espacio ebrio.
• X es un cerrado irreducible.
• ϕ es un abierto primo.
• El retículo asociado a X no tiene mínimo.
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Suma de retículos distributivos
L
M
M↵L
0
S
0↵S=Š
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Espacios de Stone
Proposición
Si S es un retículo distributivo entonces
spec Š ={ Ĭ : I ε spec S} U {0}.
Además
{ Ĭ : I ε spec S} ≅ spec S
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Espacios de Stone
Teorema
Si S es un retículo distributivo sin mínimo
entonces
spec Š es homeomorfo a sob(spec S)
En otras palabras,
spec Š es la sobrificación de spec S
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Retículos
distributivos
sin mínimo
spec
Espacios de
Stone
ebrios
0↵___
sob
Retículos
distributivos
con mínimo
Espacios de
Stone
sobrios
spec
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Referencias
① Balbes R., Dwinger P., Distributive Lattices
② Johnstone P., Stone Spaces
③ Roa M., Sobriedad versus compacidad en
espacios de Stone
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Gracias por su atención
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Suma reducida
L
M
M ↵º L