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Apuntes campo gravitatorio.
Física 2º Bachillerato
a
F
0,98

 1,63·10  25 m / s 2 Es imperceptible
24
m 6·10
a) Fuerza con la que la Tierra atraerá a otra piedra de m=10 kg y aceleración que adquiere
24
m·mT
F 98
11 10·6·10
 9,8m / s 2 La

6
,
67
·
10
·
 98 N  a  
2
2
3
m
10
r
6370·10
independiente de la masa
F G


aceleración
es
5.1 Fuerzas gravitatorias en un conjunto de masas ( Principio de superposición)
La fuerza que actúa sobre una masa cualquiera de un conjunto de masas es igual a la
resultante de las fuerzas que las demás ejercen sobre ella consideradas individualmente.
Tenemos cuatro partículas iguales de 2 kg de masa en los vértices de un cuadrado de 1 m de lado.
Determina el módulo de la fuerza gravitatoria que experimenta debido a la presencia de las otras
tres. F21
 


F  F21  F31  F41
Módulos
F31
F41
1m
r2  12  12  2

mm
2·2
| F21 | G 1 2 2  6,67·10 11 · 2  2,67·10 10 N
r1
1

mm
2·2
| F31 | G 1 2 3  6,67·10 11 · 2  1,33·10 10 N
r2
2

m1m4
2·2
| F41 | G 2  6,67·10 11 · 2  2,67·10 10 N
r3
1


F21  2,67·10 10 i


F41  2,67·10 10 j





2
2 
F31  F31 cos i  F31senj  1,33·10 10
i  1,33·10 10
j  9,4·10 11 i  9,4·10 11 j
2
2



10
10
F  3,61·10 i  3,61·10 j
F
3,61·10   3,61·10 
10 2
10 2
 5,1·10 10 N
6. Consecuencias de la ley de gravitación universal
1º Avala matemáticamente las ideas de Galileo sobre la caída libre de los cuerpos
2º Da significado físico a la cte de la 3ª ley de Kepler
6.1 Aceleración de caída libre de los cuerpos en las superficies planetarias
Si un cuerpos de masa m se encuentra a una altura h sobre la superficie terrestre, se hallará
GmT
m·mT
mmT
 m·a y por tanto a 
sometido a F  G
. Como F = m·a entonces G
2
2
(rT  h)
(rT  h)
rT  h 2
1
Apuntes campo gravitatorio.
Física 2º Bachillerato
: La aceleración con que cae a tierra un objeto de masa m depende de la masa de la
Tierra y no de la del objeto. Por tanto una piedra de 100 g cae con la misma aceleración que
una de 10 kg.
La aceleración varía de manera inversa al cuadrado de la distancia al centro de la Tierra . Si h es
GmT
muy pequeña en comparación al rT ( h <<<< rT ) se puede escribir a 
Si sustituimos G = 6,67
rT 2
· 10-11Nm2/kg2 ; mT= 6 · 1024 kg y rT = 6370 km obtenemos a = 9,8 m/s2
6.2 Significado de la cte en la 3ª ley de Kepler
Consideremos un planeta de masa m que orbita en torno al Sol ( masa ms) a una distancia r. La
mm
2
fuerza gravitacional es centrípeta y por tanto G 2 s  mw2 r . Sabemos que w 
T
r
2
mm
4
G 2 s  m 2 r . Según la 3ª ley de Kepler T2=Kr3
r
T
mm
Gm
4 2
4 2
4 2

K

G 2 s  m 3 r . Y despejando K 2 s 
Gms
r
Kr 2
r
kr
Esto quiere decir que Kepler tenía razón cuando atribuía al Sol el movimiento planetario
pues K es la misma para el movimiento de todos los planetas y solo depende de la masa del sol, no
de los planetas.
Lo mismo ocurre con la K de un satélite en torno a un planeta. Solo depende de la masa del
planeta.
De esta forma se podría hallar la masa del planeta:
4 2 3
4 2 3
T 
r m
r
Gm
GT 2
2
Si
Mp 
no
te
acuerdas
de
la
fórmula
se
puede
deducir
G
M Pm
 mw2 r ;
r2
w2 r 3
4 2 r 3
Mp  2
G
T G
Determina la masa de Marte sabiendo que uno de sus dos satélites, Fobos, describe una orbita
circular de 9,27 · 106 m de radio alrededor del planeta de 7,5 horas


4 2 r 3
4 2 9,27·10 6
Mp  2 
 6,47·10 23 kg
11
4 2
T G
6,67·10 ·(2,7·10 )
G representa la fuerza con la que se atraen dos masas de 1 kg al situarlas a una distancia de 1 m una
de la otra. En este caso se atraen con 6,67 · 10-11 N.
3
7. Campo gravitatorio terrestre
Llamaremos campo gravitatorio a la perturbación que un cuerpo produce en el espacio que
le rodea por el hecho de tener masa.
2
Apuntes campo gravitatorio.
Física 2º Bachillerato
Podemos considerar una partícula de masa M que perturba el espacio
que le rodea, creando un campo gravitatorio. Dicho campo se hace
evidente cuando una partícula testigo de masa m se sitúa en él a una

Mm 
distancia r del centro de M y es atraída con una fuerza F  G 2 u r
r
donde r = R + d; Estaremos fuera del campo gravitatorio cuando F =
0. Para ello r debe ser ∞. Esto es teórico. Si las masas son pequeñas en
relación a la distancia la F 0. Ej: Tiza- bolígrafo
7.1 Intensidad del campo gravitatorio
La fuerza depende de la cantidad de masa m. Vamos a definir una característica del campo
que solo dependa de la masa que origina el campo M y la distancia al punto que consideremos.

La intensidad del campo gravitatorio, g , en un punto del espacio es la fuerza que actuaría
sobre la unidad de masa situada en ese punto. Su unidad es N/kg . Frecuentemente se usa el término
campo gravitatorio para designar la Intensidad de campo gravitatorio.
Para determinar el campo gravitatorio creado por una masa puntual M
situamos una masa de prueba m en un punto P del espacio a una
distancia R de la masa M. Calculamos la F por unidad de masa
  G Mm u
r
 F
M 
r2
g 
 G 2 u r
m
m
r
Podemos decir que el campo gravitatorio tiene las siguientes propiedades:


Es un campo central y disminuye con el cuadrado de la distancia.
El signo negativo es porque g y ur tienen sentidos contrarios. Las fuerzas gravitatorias siempre
son atractivas




Podemos escribir la ecuación de la intensidad como F  mg . Esto coincide con P  mg .

M 
En la superficie de la Tierra g o  G 2 u r
RT
Calcula el campo gravitatorio creado por el sistema de la figura en el punto P. Determina el módulo
de la fuerza gravitatoria que actúa sobre una masa m= 0,5 kg colocada en el punto P.
 

M1= 6 ·u106 kg

j
;
u


i
1
2
30 km
g1
u2
g2
50 km
M1 


5·10 6
11
g1  G 2 u1  6,67·10 ·
 3,7·10 13 u1 N / kg
4 2
r1
(3·10 )
M2 


6·10 6
11
g 2  G 2 u 2  6,67·10 ·
 1,6·10 13 u 2
4 2
r2
(5·10 )
M2 = 6 · 106 kg
u1


   
g  g1  g 2 ; g  1,6·10 13 i  3,7·10 13 j ;

g  (1,6·10 13 ) 2  (3,7·10 13 ) 2  4,03·10 13 N / kg


F  mg  0,5·4,03·10 13  2,0·10 13 N
3
Apuntes campo gravitatorio.
Física 2º Bachillerato
El campo gravitatorio se visualiza a través de unas líneas imaginarias que se llaman líneas
de fuerza. Son la trayectoria que seguiría la unidad de masa dejada en libertad dentro del campo
gravitatorio.
Así también puede definir la intensidad
de campo.
uds unidad de superficie.
Intensidad de campo es el número de líneas que atraviesan la uds colocada perpendicularmente a
dichas líneas
Si suponemos que la causante está en el infinito con respecto al observador
a) Pueden considerarse las líneas paralelas en el cilindro
b) IA=IB
7.2 Flujo del campo gravitatorio ( Φ )
Es el número de líneas que atraviesan una región del espacio.

Tenemos un campo gravitatorio g , que atraviesa una superficie S, que podemos

caracterizar por un vector S , perpendicular a la superficie y de módulo su área ( Esto
es la interpretación geométrica del producto vectorial).
 
Se define el Φ del campo gravitatorio como   g ·S  gs cos .
Si g y S son perpendiculares no hay flujo.
7.3 Tª de Gauss
Gauss definió un Teorema para calcular el flujo del campo electrostático. Para el campo
gravitatorio se usa una modificación de este.
Sea M una masa puntual encerrada en una esfera de radio r.
 
El flujo es   g ·S  gS cos180   gS
Si M está en el centro de la esfera g  G
Como S = 4 π r2 Φ=  G
M
r2
M
·4 ·r 2  4 ·GM
2
r
4
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M es la masa encerrada dentro de la superficie
“ El flujo del campo gravitatorio a través de una superficie cerrada es el producto de una constante (
- 4πG) por la masa encerrada dentro de la superficie”.
Mediante el Tª de Gauss puede justificarse que una esfera homogénea se comporte en su
exterior como una masa puntual situada en su centro. Basta con elegir una esfera concéntrica de
radio r y suponer que el campo gravitatorio es cte y perpendicular a la superficie de la esfera
elegida.
Tª Gauss Φ = -4πGMinterior
Definición de Φ; Φ = -gS= -g4πr2
Igualando
g G
M int erior
r2
8. Variaciones de la intensidad de campo
1º Intensidad en el exterior de un planeta de radio R y masa M

M 
g  G 2 u r .
d
Conforme nos acercamos al planeta la g es mayor ( en módulo ) y si hacemos
un pozo en el centro del planeta sería ∞. ESTO NO ES CIERTO. LA LEY
DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL SOLO SE CUMPLE PARA LA
SUPERFICIE DEL PLANETA.
2º Interior de un planeta macizo
Sobre el punto A solo hay contribución de la masa que hay por debajo.
Suponemos la densidad de la esfera constante.
m
;
r2
m 
d

4
 ·r 3 
M
Mr 3
 m
3


m


4 3
M 4
R3
 ·r 3
R
d
4
3
3
 ·R 3 
3

m G Mr 3 GMr
g A  G 2  2 · 3  3  k ·r
r
r R
R
GM
Justo sobre la superficie g= 2
R
gA  G
Hallar la intensidad del campo gravitatorio en un punto situado a igual distancia del centro de la
Tierra que de la superficie.
5
Apuntes campo gravitatorio.
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r
R
;gp 
2
R
2  GM  1 GM  1 g
o
3
2
R
2R 2 2 R 2
GM
9. Energía potencial de un campo gravitatorio
Vamos a intentar calcular el W para llevar una masa m desde un punto a otro dentro del
campo gravitatorio. Es un campo conservativo central
Nota:
1
r 21
r 1
1
2
 r 2 dr   r dr   2  1   1   r
B  
B
B
B
rB
Mm
Mm
1
1 1
W AB   F ·dr   F ·dr ·cos180    F ·dr    G 2 dr    G r dr  GMm( ) rrBA  GMm(  )
A
A
A
A
rA
r
rA rB
r
r
Es el trabajo que se realiza para llevar la masa m del pto A al B dentro del campo gravitatorio.
Sabemos que W = - ΔEp= EpA-EpB
EpA-EpB= GMm(
1 1
 )
rA rB
Es la variación de la Ep que ha sufrido el cuerpo cuando ha pasado
del punto A al B
Para obtener la Ep relativa a un punto del campo hay que fijar un sistema de referencia que
asigne 0 al valor de la Ep. Se elige el ∞. Si llevo B al infinito rB = ∞  1/rB = 0
_ GMm
Trabajo que hay que realizar para llevar la masa desde A al ∞ y al revés ( desde
rA
∞ al punto A). También expresa la Ep de la masa m en el pto A.
EpA=



W > 0 si :
La masa se desplaza por acción de las fuerzas del campo gravitatorio
La masa m disminuye su energía potencial gravitatoria
Se acercan dos masas
W<0 si:
 La masa m se desplaza por acción de una fuerza exterior al campo gravitatorio
 La masa m aumenta su energía potencial gravitatoria
 Se separan dos masas
10. Potencial en el campo gravitatorio.
Los campos de fuerza conservativos se pueden caracterizar además de por su intensidad por
una magnitud escalar, el potencial. El potencial gravitatorio se define como la energía potencial
por unidad de masa colocada en un punto.
6
Apuntes campo gravitatorio.
Física 2º Bachillerato
VA 
E pA
m
 G
M
rA
Se identifica con el trabajo que es preciso realizar contra las fuerzas del
campo, para trasladar una masa de 1 kg desde A hasta el infinito.
M
1 1
y por tanto VA – VB =  GM (  ) Diferencia de potencial
rB
rA rB
entre dos puntos . Es igual al trabajo que hay que realizar para llevar la unidad de masa de un punto
a otro.
En un punto B sería VB =  G
g
dV
r·0  ( GM )
GM

 2
2
dr
r
r
10.1 Representación del campo gravitatorio
El campo gravitatorio puede representarse mediante superficies equipotenciales que son el
conjunto de puntos del campo que están al mismo potencial.
El trabajo realizado para trasladar una masa cualquiera m entre dos puntos A y B de una
superficie equipotencial será nulo.
WAB  Ep  Ep A  EpB  m·(VA  VB )  m·0  0

g corta a la superficie equipotencial perpendicularmente en cada punto.
 
W AB  0   F ·dr  0  F y dr son perpendiculares. F y g llevan la misma
dirección y dr entre dos puntos A y B es tangente a la superficie  g es
perpendicular a la superficie
10.2 Energía potencial en la Tierra
Si la masa creadora del campo es la masa de la Tierra ( M T) la energía potencial será
1 1
Ep A  Ep B  GM T m   Si elegimos como Ep =0 el suelo de la Tierra rB = RT  EpB = 0
 rA rB 
1
 1
1 
1 
  GM T m

E p A  GM T m 

r
R
R
R

h
T 
T
 A
 T

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Apuntes campo gravitatorio.
Física 2º Bachillerato
Operando y sabiendo que g 0  G
MT
RT2
RT  h  RT
h
h
Si h<<<<<RT GM T m 2 y por tanto
 GM T m 2
RT
RT ( RT  h)
RT  RT h
EpA= gomh =mgoh . Valido para pequeñas alturas sobre la superficie de la Tierra.
E pA  GM T m
¿ A qué altura sobre la superficie de la Tierra el valor de g es la ¼ parte del de la superficie?
g0  G
g G
MT
RT2
MT
RT
g= ¼ go;
 h
2
4g = go
4GM T
RT
 h
2
G
MT
4
1
2
1
 2 ;

;
; 2RT = RT + h; RT = h
2
2
RT RT  h RT
R T ( RT  h)
Calcula el potencial gravitatorio y compáralo con el de la superficie.
MT
MT
M
; V  G
;G T 
r
2RT
RT
M
1
G T
V
2
R
V
1
T

 2  ;V0  2V ;V  o
M
Vo
1 2
2
G T
RT
Vo  G
¿ Qué relación existe entre las energías potenciales de un cuerpo de masa m?
 GMm  GM T m 
 GM T m


E po
r
2 RT  E p
2 RT
1

 ;Ep 

 GM T m
2
2
 E po  GM T m


RT
Rt

Ep 
E po
11. Principio de superposición
Cada masa está creando su propio campo gravitatorio. P es un punto
del espacio.
 



g  g1  g 2  ..........  g n   g i
i
V  V1  Vi ............  Vn  Vi
i
12. Movimiento de planetas y satélites
12.1 Velocidad orbital de un satélite
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Apuntes campo gravitatorio.
Física 2º Bachillerato
Supongamos que hay una partícula de masa m con trayectoria
alrededor de la tierra circular de radio r.
Suponemos que la Tierra está quieta, m lleva velocidad v y no
gasta combustible.
v2
Fc  mac  m
r
OJO
: La ac no depende de la masa, otro cuerpo de masa m` tendría la
misma.
Todas las masas en la misma órbita tienen la misma velocidad
lineal.

MT m
La fuerza gravitatoria de atracción de la Tierra es F  G
Es la misma fuerza vista
r2
M
MT m
M
v2
desde dos puntos de vista distintos. G 2 = m ; v 2  G T y por tanto v  G T
r
r
r
r
12.2 Energía Total
Se llama energía total a la que tiene una masa o satélite que
órbita alrededor de la tierra. Es la suma de la Ec y de la Ep.
E p  G
MT m
M
GM T m
1
1
; Ec  mv 2  mG T 
r
2
2
r
2r
La energía total es la suma de las dos energías ET  G
MT m
M m
1
(1  )  G T Esta es la energía
r
2
2r
necesaria para que un satélite esté en órbita.
Es negativa e igual a la mitad del valor de la energía potencial. El signo menos corresponde a
orbitas cerradas de objetos que no tienen energía suficiente para escapar de la atracción terrestre.
Cuando un satélite cambia de órbita en ausencia de fuerzas exteriores su Energía mecánica se
conserva. EcA + EpA = EcB + EpB
Entonces si lanzamos el satélite desde la superficie de la tierra ya tiene una cierta energía potencial
GM T m
M m
Eco
+
Epo
=
Ecf
+
Epf
;
y
por
Eco 
 G T
RT
2r
tanto Eco  G
 1
MT m
M m
1
 G T  GM T m
  Esto se conoce como energía de satelización.
2r
RT
 RT 2r 
Si queremos calcular la velocidad inicial necesaria para llegar a esa órbita
 1
 1
1 2
1
1
mvo  GM T m
  y por tanto vo  2GM T 
 
2
 RT 2r 
 RT 2r 
12.3 Velocidad de escape
Es la velocidad que hay que comunicar a un cuerpo de masa m situado sobre la superficie del
planeta para que pueda escapar del campo gravitatorio e irse al ∞.
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Apuntes campo gravitatorio.
Física 2º Bachillerato
En el ∞ la EM= 0 ya que hemos dicho que la Ep= 0 y la velocidad con la que llega es 0, por tanto Ec
+ Ep = 0.
Por tanto
M
M m
M m
M
1 2
1
mve  G T  0  mve2  G T  ve2  2G T  ve  2G T
RT
2
RT
2
RT
RT
Se puede escribir:
go =
GM T
;
RT2
ve  2G
MT
 2 g o RT
RT
12.4 Satélites geoestacionarios
Un satélite se llama geoestacionario cuando se encuentra siempre sobre el mismo punto de la
superficie terrestre, es decir, recorre toda su orbita en el tiempo que la tierra hace una rotación
completa ( 24 h )
Aplicando la 3º ley de Kepler T 2 
T 2 GM T
4· 2 3
r r 3
4 2
GM T
Si sustituimos los datos:
T = 24 h = 86400 s
G = 6,67 · 10-11 Nm2/kg2
MT=5,97 · 1024 kg
el valor de r = 4,2 · 107 m
También puede calcularse r igualando la Fc a la fuerza de Newton mw2 r  G
Mm
y
r2
despejar r
Como RT = 6370 · 103 m h =r – RT = 35863 . Altura de la órbita.
Son órbitas de altitudes elevadas y no obtienen imágenes de alta resolución de la Tierra. Son órbitas
ecuatoriales y se usan para aplicaciones meteorológicas y de comunicaciones. Las órbitas de baja
altitud ( 600 a 1200 km ) se llaman heliosincronas ( orientación fija respecto al Sol). Se usan para
observación de la Tierra.
10
Apuntes campo gravitatorio.
Física 2º Bachillerato
Razona
a) Si el cero de energía potencial gravitatoria de una partícula de masa m se sitúa en la
superficie de la Tierra ¿ Cuál es le valor de la energía potencial de la partícula cuando se
encuentra a una distancia ∞ de la Tierra?
MT m
Esta es nula
r.
 GMm
cuando r∞. La Ep siempre es negativa y tiende a 0 cuando la r∞. En la superficie será
RT
GMm
Si cambiara el origen y tomamos la superficie de la Tierra en el ∞ será E =
RT
La energía potencial de una masa m a una distancia r de la Tierra es Ep= -G
b) ¿ Puede ser negativo el trabajo de una fuerza gravitatoria? ¿ Y su energía potencial?
La Ep si, como hemos visto, ya que depende del origen.
El trabajo no, ya que la fuerza gravitatoria hace un W espontáneo y positivo.
No influye el origen ya que es una variación de la energía y es independiente del origen
11