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UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA
FACULTAD DE CIENCIAS
PROGRAMA DE MATEMÁTICAS
PLAN DE ESTUDIOS
ASIGNATURA : TOPOLOGIA GENERAL II
CÓDIGO : 8106432
SEMESTRE : QUINTO
CRÉDITOS : 3
FECHA DE ULTIMA REVISIÓN: ENERO DE 2006
1. JUSTIFICACIÓN
Los conceptos que se presentan en este curso surgen del estudio de problemas en los
espacios topológicos mismos, tales como la inmersión de un espacio dado en un espacio
métrico o en un espacio compacto de Hausdorff, que son básicamente cuestiones de
Topología mas que de Análisis y cuya solución comprenden los axiomas de separación y
contabilidad.
De otra parte, en el estudio del cálculo hay tres teoremas básicos acerca de funciones
continuas de los cuales depende el resto del cálculo: el Teorema de Valor Intermedio, el
Teorema del Valor Máximo y el Teorema de Continuidad Uniforme. La propiedad del
espacio [a,b] de la cual depende el teorema de Valor Intermedio es llamada Conexidad y
la propiedad de la cual depende los otros dos, es llamada Compacidad.
En
consecuencia, es necesario el estudio de tales propiedades en espacios topológicos
arbitrarios, puesto que son fundamentales en Análisis, Geometría y Topología.
2. OBJETIVO GENERAL
• Generalizar las nociones de conexidad, compacidad y separación que poseen
algunos subconjuntos de la recta real, fundamentales en el Análisis, la Geometría
y la Topología.
•
Inducir al estudio de temas de interés de la Topología General.
3. OBJETIVOS ESPECIFICOS
• Aplicar el concepto de conexidad en diversas caracterizaciones de espacios
topológicos.
•
Analizar el concepto de compacidad para un espacio topológico como abstracción
de una importante propiedad que cumplen algunas conjuntos de números reales.
•
Abordar problemas de Topología General cuya solución requiere de la utilización
de los axiomas de separación y contabilidad.
4. HABILIDADES
• Verifica que un espacio topológico dado es conexo, compacto, Hausdorff e
identifica conjuntos conexos y compactos en la recta real.
•
Verifica las propiedades de los espacios topológicos estudiados.
•
Demuestra las propiedades básicas de los espacios conexos y de los espacios
compactos, tales como los teoremas de Tychonoff, de Ascoli y las proposiciones
básicas de separación y contabilidad.
•
Deduce propiedades de los temas tratados y establece inter-relaciones entre las
nociones topológicas.
5. COMPETENCIAS
•
Establece conjeturas de las propiedades relacionadas con las nociones de
espacios topológico conexo, espacio compacto y las de separación y contabilidad.
•
Modifica, debilita o fortalece hipótesis para analizar proposiciones sobre las
nociones tratadas.
•
Propone ejemplos y contra-ejemplos como formas de verificar o refutar
enunciados y sustenta los procesos de demostración de proposiciones sobre los
espacios conexos, compactos y Hausdorff.
•
Efectúa y aplica demostraciones desarrolladas y propuestas en los textos de
Topología General.
6. CONTENIDO SINTÉTICO
• ESPACIOS TOPOLOGICOS CONEXOS.
• ESPACIOS TOPOLOGICOS COMPACTOS.
• AXIOMAS DE SEPARACION Y CONTABILIDAD.
7. EVALUACIONES
Primer Parcial
Segundo Parcial
Prueba de Conocimiento
Investigación
Prueba de Conocimiento
Investigación
8. ESTRATEGIA METODOLOGICA
• Exposiciones compartidas entre profesores y estudiantes.
•
Lecturas individuales sobre el texto guía, textos complementarios con el
respectivo análisis en clase.
•
Desarrollo de talleres sobre la verificación de propiedades, demostraciones
relaciones entre estos conceptos.
9. CONTENIDO TEMÁTICO
•
ESPACIOS TOPOLOGICOS CONEXOS
Definición, ejemplos y propiedades.
Conjuntos conexos en la recta real.
Componentes de un espacio.
Espacios totalmente disconexos
Espacios localmente conexos
Curvas y conexidad.
•
ESPACIOS TOPOLOGICOS COMPACTOS
Definición, ejemplos y propiedades.
Conjuntos compactos en la recta real.
Puntos límites y continuidad
Producto de espacios. Teorema de Tychonoff
Compacidad local y propiedades.
Compacidad en espacios métricos. Teorema de Ascoli.
•
AXIOMAS DE SEPARACION Y CONTABILIDAD
Axiomas de contabilidad. Ejemplos y propiedades.
Los axiomas de separación y propiedades.
El lema de Uryshon.
Teorema de metrizacion de Urysohn
10. RECURSOS
Recursos Didácticos
Texto guía y textos complementarios. Artículos. Guías de
trabajo.
Recursos Técnicos
Otros Recursos
11. BIBLIOGRAFÍA
Lecturas, exposiciones.
Texto Guía
Munkres, James R. Topología: A first courses. PrenticeHall,Inc.Englewood clifs, New Jersey.
Textos de Consulta
Simmons, George F. Introduction to Topology and Modern
Analysis. Mc-Graw-Hill Book Company, 1963.
Bourbaki, Elements de Mathématique. Livre III: Topologie
Génerale.Chap I. Hermann, París, 1961.
Kelley, J.L. Topología General. Eudeba, Buenos Aires, 1962.
Muñoz, José M. Topología Básica. Academía Colombiana de
Textos Complementarios Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Bogotá, 2003.
Steen, L. and Seebach, J. Counterexamples in Topology.Halt,
Rinehart and Winston, New York,1970.
Willard, S. General Topology. Addison-Wesley P.C., Reading,
Mass, 1970.
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