Download MUNDO GEOMETRICO MUNDO GEOMETRICO

LIBRO DE TEORÍA DE GEOMETRÍA
MUNDO GEOMÉTRICO
MUNDO
GEOMETRICO
MUNDO
GEOMETRICO
LIBRO
DE TEORÍA
DE GEOMETRÍA
LIBRO
DE TEORÍA
DE GEOMETRÍA
Dra. Gloria
Bustamante
Dra. Gloria
Bustamante
República Bolivariana de Venezuela
Universidad Nacional Experimental
República Bolivariana de Venezuela
Universidad Nacional Experimental
UNERMB
UNERMB
UNERMB
Rafael
María Baralt
FONDO EDITORIAL
Rafael María Baralt
Segunda
Segunda
ediciónedición
MUNDO GEOMÉTRICO
LIBRO DE TEORÍA DE GEOMETRÍA
A mis alumnos que siempre
me brindaron su apoyo
Dra. Mayela Vilchez
Rectora
Dr. Miguel Sanchez
Vicerrector Académico
Ing. Yogri Castillo
Vicerrector Administrativo
Dra. Oda Gonzalez
Secretaria
M.Sc Victoria Martínez
Directora Programa Educación
FONDO EDITORIAL UNERMB.
Colección: Una Asignatura un Libro.
El Fondo Editorial de la Universidad Nacional Experimental Rafael María Baralt (UNERMB) es un órgano universitario de difusión
de información que brinda apoyo a las sociedades académicas y a
la comunidad en general en materia de difusión y extensión. Su objetivo primordial consiste en estimular y promover las publicaciones
de los investigadores de nuestra universidad; así como también, de
las comunidades en general para que sus progresos en materia de
investigación puedan ser difundidos y compartidos con el resto de
la sociedad.
En el caso particular de la colección “Una Asignatura un Libro”
la misma tiene como propósito poner a disposición de los alumnos
material bibliográfico de las asignaturas a precios accesibles; en
este sentido, se publican compilaciones y producciones propias de
los docentes referidas a las asignaturas relativas al pensum de estudio de nuestra universidad.
En nombre del Fondo Editorial de la UNERMB, agradecemos
de manera especial el esfuerzo de la profesora Gloria Bustamante
por su esfuerzo e interés en preparar esta guía de ejercicios en el
área de geometría; tan útil, para nuestros estudiantes universitarios y para todo aquel interesado en esa área de estudio.
Jorge Vidovic López
Coordinador del Fondo Editorial - UNERMB
Dedicatoria
Prólogo
Introducción
HISTORIA DE LA GEOMETRÍA
Generalidades de la geometría
Definición de términos primitivos
Tipos de rectas
Operaciones con segmentos
Axiomas de incidencias
Axioma de orden
Ejercicios resueltos de términos primitivos
Ejercicios propuestos de términos primitivos
ÁNGULOS
Definición de ángulo
• Clasificación de ángulos de acuerdo a sus medidas
• Clasificación de acuerdo a su posición
Ángulos entre dos rectas paralelas
Teorema de tales
Principios de las rectas paralelas
Medidas de ángulos en diferentes sistemas
Ejercicios resuelto de ángulo en los diferentes sistemas
Sistema sexagesimal a sistema circular
Sistema circular a sistema sexagesimal
3
11
13
15
17
19
21
25
29
29
30
35
38
38
39
41
42
45
45
46
46
46
47
10
Operaciones con ángulos en el sistema sexagesimal
Adición de ángulos en el sistema sexagesimal
49
Producto de un ángulo por un escalar
División de un ángulo entre un escalar
Ejercicios resueltos de reducción de ángulos
Ejercicios propuestos de ángulos
53
POLÍGONOS / CALCULO DE AREA
Elementos de un polígonos
Polígonos regulares e irregulares.
Clasificación de los polígonos de acuerdo a sus lados.
Estudios de los polígonos.
Ejercicios resuelto de polígonos.
Ejercicios propuesto de polígonos
TRIANGULOS
Elementos de un triángulo
Principios de los triángulos
Clasificación de los triángulos
• Clasificación de los triángulos de
acuerdo a sus ángulos
• Clasificación de los triángulos de acuerdo a sus lados
Segmentos y puntos notables
Congruencia de triángulos
Criterios de congruencia de triángulos
Criterios de congruencia de triángulos rectángulos
• Teoremas fundamentales
• Teorema de Pitágoras
50
54
55
57
64
64
65
66
67
72
75
77
77
79
80
80
82
83
86
87
89
90
90
11
•
Teorema de thales
• Teorema de Euclides
• Teorema de Stewart
• Teorema de Apolonio
• Teorema del seno
• Teorema del coseno
• Teorema de las Tangentes
Ejercicios resueltos de triángulos
Ejercicios propuestos de triángulos
PROPORCIONALIDADES Y
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Tipos de proporcionalidades
Teorema de Thales
Principios de las proporcionalidades
Semejanza de triángulos
Criterios de semejanza de triángulos
Medidas proporcionales en un triángulo rectángulo
Teorema de Pitágoras
Ejercicios resueltos de semejanza de triángulos
Ejercicios propuestos de semejanza de triángulos
CIRCUNFERENCIA
Partes de una circunferencia
Circulo
Principios de la circunferencia
Posición relativa de la circunferencia
Ángulos en una circunferencia
Ejercicios resueltos de circunferencia
91
92
93
93
94
94
95
96
98
105
106
107
108
110
110
112
113
113
115
117
118
120
121
121
123
126
12
Ejercicios propuestos de circunferencia
129
CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS PLANAS
Ejercicios resueltos de figuras planas
Ejercicios propuestos de figuras planas
Bibliografía
132
132
134
136
13
Durante el devenir de su ejercicio profesional, la Dra. Gloria
Leonor Bustamante, se ha preocupado por dejar un legado físico
sobre su producción intelectual en el área de la matemática, específicamente en la rama denominada Geometría, que sirva de
apoyo al proceso de enseñanza aprendizaje de la misma.
De allí, que se traza como meta la socialización del saber a
través de la publicación de su primer texto denominado “Mundo
Geométrico”, en el cual se presenta una síntesis histórica de
esta rama del conocimiento matemático así como los aspectos
teórico prácticos referentes a la resolución de problemas de la
vida cotidiana en los que se requiera la aplicación de aspectos
geométricos como el cálculo de áreas, la construcción o la demostración de teoremas y/o axiomas de las figuras planas.
14
La claridad y el progresivo grado de profundidad, con el que la
autora presenta el contenido del mismo, aunado al notable éxito
de la anterior edición y a la puesta en práctica que los docentes
y estudiantes del Proyecto Matemática y Física de la Universidad Nacional Experimental “Rafael María Baralt”; ha conllevado
a la preparación de esta segunda impresión con la cual se pretende seguir contribuyendo a la formación del profesional que
necesita la nación en los actuales momentos.
Es por ello, que ante una comprobada praxis educativa y de
investigación de la autora y de su eterna preocupación por optimizar la enseñanza de la geometría en los distintos niveles
educativos y la formación de los docentes de relevo en el área
matemática, que se recomienda este libro muestra del amor, la
dedicación y el esfuerzo profesional que se traducen en un respetuoso y sincero legado a la ciencia matemática y a su continua
aplicación en el hecho educativo y en la cotidianidad de la vida
humana.
Para finalizar, quiero expresar mi agradecimiento sincero, la
admiración y el honor que ha representado para mí prologar
este extraordinario texto, augurándole a la Dra. Bustamante mucho éxito en esta segunda edición de su primogénita obra.
Dra. Gilsi Domínguez de Silva.
Coordinadora del Proyecto
Matemática y Física de la
Universidad Nacional Rafael María Baralt.
15
La geometría es una de las ciencias fundamentales en la
construcción de conocimientos matemáticos, ayuda a obtener
un beneficio positivo en los estudiantes; uno de los beneficios
más importante, es que el estudiante utilice criterios, al escuchar, leer y pensar.
Cuando estudia geométrica deja de aceptar a ciegas proposiciones e ideas y se le enseña a pensar en forma clara y crítica,
antes de hacer conclusiones.
Se requiere que los estudiantes de geometría adquieran un
lenguaje matemático y geométrico, para poder transmitir ese conocimiento y habilidades para analizar una situación o resolver
un problema nuevo que se le pueda presentar.
16
El presente libro tiene como objetivo primordial, solventar los
problemas que se les presenten a los estudiantes de geometría
en la elaboración de ejercicios y que sirva como material de apoyo.
Este libro desarrollo siguiendo los lineamientos del programa
de geometría en la siguiente forma se inicia con una breve historia de la geometría para que el estudiante tenga un breve conocimiento histórico del origen de la geometría, generalidades de
la geometría y los términos primitivos para introducir un poco el
lenguaje geométrico como son los teoremas, axiomas, elementos generales como punto, plano recta y otros.
El estudio de ángulos para conocer todo lo referente a los
ángulos como su clasificación de acuerdo a sus medidas y posiciones, además se realiza el estudio de ángulos entre dos rectas
paralelas y una recta secante para estudiar los diferentes tipos
de ángulos que se forman entre ellas.
Se realizo un estudio de los triángulos clasificándolos de
acuerdo a sus lados y de acuerdo a sus ángulos, buscado sus
puntos notables, criterios de congruencia y semejanza; y todo lo
referente a triángulos
Luego se estudio la circunferencia y los polígonos para hallar
su perímetro y su área.
Por último estudiamos las construcciones geométricas con regla y compás.
Para reforzar los conocimientos se realizaron una serie de
ejercicio y se proponen otros para que el estudiante los realice,
con ayuda de los conocimientos adquiridos.
17
TÉRMINOS GENERALES
HISTORIA DE LA GEOMETRÍA
El origen de la geometría se encuentra en el mismo origen de
la humanidad; el hombre primitivo a consecuencia de diferentes
actividades prácticas, clasificaba de una manera inconciente los
objetos que le rodeaban según su forma. En la abstracción de
estas formas comienza el primer acercamiento informal e intuitivo de la geometría.
Las primeras civilizaciones llegaron obtener conocimientos
geométricos a partir de la observación de la naturaleza y en una
forma muy práctica.
Los egipcios cultivaron la Geometría de modo muy especial
por tener una alta formación matemática: con la finalidad práctica que se utilizaba para calcular la producción proporcional de
las parcelas de tierra para determinar los impuestos o reconstruirlas, después de las inundaciones; razón por la cual se centraron en el cálculo de área y nociones básicas de semejanza de
triángulos.
De allí el nombre de Geometría que significa medida de la
tierra que recibió esta ciencia. También se puede decir, aquel
origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los primeros geómetras, que se interesaban en problemas como la medida del tamaño de los campos o el trazado de
ángulos rectos para las esquinas de los edificios. Este tipo de
geometría empírica, que floreció en el Antiguo Egipto, Sumeria y
Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos.
18
Los egipcios poseían grandes conocimientos de geométricos,
esto lo indica la construcción de grandes pirámides, templos y
canales. El mayor aporte lo podemos ver en las fantásticas pirámides de Gizeh, en Egipto, la Esfínter y otras pirámides, construidas con tal precisión que los errores de las medidas son inferiores a la anchura de un dedo.
Los griegos introdujeron los problemas de construcción en lo
que en ciertas líneas o figuras deben ser construidas utilizando
sólo una regla de borde recto y un compás.
Estas transformaciones comenzaron con Tales de Mileto y
Pitágoras culminando con Euclides con su famosa obra de los
elementos.
Tales de Mileto en el siglo VII a. c fue el primer geómetra
helénico y el más antiguo e ilustre de los siete sabios de la antigua Grecia. Thales fue el fundador de la escuela Jonica. Fue
un astrónomo y filosofo. Sus estudios de Geometría le llevaron
a resolver cuestiones como la igualdad de ángulos de la base
de un triangulo Isósceles y el valor del ángulo inscrito y a demostrar los conocidos teoremas que llevan su nombre sobre la
proporcionalidad de los segmentos determinando en dos rectas
cortadas por un sistema de rectas paralelas.
Pitágoras de Samos en el siglo VI a.C., fue discípulo de Thales de Mileto pero se separo de la escuela jónica y fundó la
escuela Pitágoras, a Pitágoras se debe la demostración del teorema que lleva su nombre y también se le atribuye a la escuela
Pitagórica la demostración de la propiedad de la suma de los
ángulos internos de un triangulo y la construcción geométrica
del polígono estrellado de cinco lados. El matemático Pitágoras
19
colocó la piedra angular de la geometría científica al demostrar
que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría
empírica se pueden deducir como conclusiones lógicas de un
número limitado de axiomas, o postulados. Estos postulados
fueron considerados por Pitágoras y sus discípulos como verdades evidentes; sin embargo, en el pensamiento matemático
moderno se consideran como un conjunto de supuestos útiles
pero arbitrarios.
La geometría sufrió un cambio radical de dirección en el siglo
XIX. Los matemáticos Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski,
y János Bolyai, trabajando por separado, desarrollaron sistemas
coherentes de geometría no euclídea. Estos sistemas aparecieron a partir de los trabajos sobre el llamado “postulado paralelo”
de Euclides, al proponer alternativas que generan modelos extraños y no intuitivos de espacio, aunque, eso sí, coherentes.
GENERALIDADES DE LA GEOMETRÍA
La geometría es la parte de la matemática que se encarga
de estudiar y solucionar problemas concretos en el mundo para
la cual es necesario utilizar instrumentos como juegos geométricos, compás, pantógrafo y un sistema de proposiciones axiomáticas que unen a los elementos punto, recta. Plano y otros
formadores de las figuras geométricas.
La geometría esta formada por un conjunto de términos indefinidos que constituyen la base sobre la cual se sustenta las
definiciones de todas las demás concepto geométricos.
20
La geometría tienen como propósito el estudio de las figuras
desde el punto de vista de su forma, extensión y la relación que
guardan entre si para ello es necesario tener conjunto de definiciones tales como:
Proposición: Es un enunciado, el cual puede ser verdadero
o falsa.
Axioma: Son proposiciones o afirmaciones que relacionan
conceptos, es toda proposición que se acepta sin demostración,
es Verdadera por si misma. Existen varios tipos de axiomas tales
como axiomas de incidencia y orden.
Teorema: Es una proposición que debe ser demostrada para
que pueda ser cierta. En los teoremas podemos distinguir dos
parte la primera la hipótesis y la segunda la tesis; donde la hipótesis es la suposición de algo cierto y la tesis que queremos
demostrar. Para realizar la demostración, consta de un conjunto
de racionamientos que conducen a la evidencia de la verdad de
la proposición.
Demostración: Para demostrar un hecho, consiste en probarlo partiendo de verdades universales y evidentes (Axiomas)
y siguiendo una serie de deducciones hasta establecer la veracidad donde se utilizan Axiomas, teoremas proposiciones previamente establecida.
Postulado: Es una proposición que se admite sin demostración, aunque no tienen la evidencia del axioma.
Corolario: Es un teorema cuya verdad se deduce sencillamente de otro ya demostrado.
21
DEFINICIÓN DE LOS TÉRMINOS PRIMITIVOS
Los griegos introdujeron los problemas de construcción, en
los que cierta línea o figura debe ser construida utilizando sólo
una regla de borde recto y un compás. Ejemplos sencillos son
la construcción de una serie de puntos en línea recta donde por
dos se puede trazar una recta.
Arthur Cayley Estudio los primeros elementos de las figuras
planas como son punto, línea y plano
Punto: Es una idea intuitiva que no se puede definir, solo podemos dar idea, como una casa blanca, un avión en el cielo,
una marca de un lápiz o una aguja en una hoja de papel y otros.
Los puntos se denotan con letras mayúsculas tales como A, B,
C...
A
B
C
Puntos coliniales son puntos que tienen una misma dirección y
están uno detrás del otro.
A
B
C
D
E
22
Recta: Es una idea intuitiva que no se puede definir por ser un
término primitivo, pero podemos decir que es un conjunto infinito
de puntos coliniales que no tiene punto de origen ni punto final,
nos da idea de recta las líneas del cuaderno, la intersección de
dos paredes y otros.
Las rectas se denotan con letras minúsculas tales como: l, m, s
, p y otros
A
B
C
D
E
F
G
H
Semi-recta: es un conjunto infinito de puntos que tiene punto
de origen y no tiene punto final
Dado un punto situado sobre una recta determina dos semirecta opuesta (o sea en sentido contrario) y el origen es el punto
dado. No posee longitud ya que es ilimitada.
A
A
23
TIPOS DE RECTAS:
Las rectas se dividen de acuerdo a su posición y a su dirección en:
DE ACUERDO A SU POSICIÓN.
Rectas paralelas: son las rectas que no se cortan nunca lo
que quiere decir que no poseen punto en común, se denota con
║.
Rectas perpendiculares: son las rectas que al cortarse forman ángulos de 900. se denota con I
Rectas secante: son las rectas que solo se cortan en un solo
punto. Y solo forman ángulos diferentes de 900 y se denota X
24
Rectas iguales o coincidentes: son las rectas que coincide
en todos sus puntos. m= l
s
m
n
DE ACUERDO A SU DIRECCIÓN
Rectas horizontales: un conjunto de rectas son horizontales
si son paralelas al eje de la abscisa (eje de las X).
Rectas verticales: son las rectas que son paralelas al eje de
la ordenada (eje de las Y).
Recta oblicuas: son las rectas que forman un ángulo diferente de 900 con el eje de las abscisas (eje de las X).
25
Plano: Es un conjunto de puntos no colineales, nos da idea
de plano la pizarra, una pared, una mesa y otras cosas más.
Los planos se denotan con letras griegas tales como α, β, χ,
δ, φ, ϕ, γ, λ, θ, ρ y otras letras griegas.
á
Semi-plano: Toda recta divide a un plano en dos semiplano
de borde la recta que lo divide ( la recta pertenece a los dos
semi-plano)
a1
a2
Puntos coplanares: Son los puntos que se encuentran en un
mismo plano
A
B
C
Rectas coplanares: que se encuentra en un mismo plano.
m
Segmento: Es un conjunto finito de puntos coliniales que tiene punto de
26
Gloria Bustamente
origen Dra.
y punto
final, y se denota AB que son el punto de origen (A) y el
punto final
(B)Bustamente
Dra. Gloria
Segmento: Es un conjunto finito de puntos coliniales que tiene punto de
A
B
origen
y punto
y se denota
quecoliniales
son el punto
de origen
Segmento:
Es final,
un conjunto
finito deAB
puntos
que tiene
punto (A)
de y el
punto
(B) final, y se denota AB
origen final
y punto
que son el punto de origen (A) y el
Longitud de un segmento: Es el tamaño del segmento o sea es lo que
B
punto final (B)
AA
B
mide. Esta representado por un único número real y positivo que le
A
B
corresponde
cada
Longitudade
un segmento.
segmento: Es el tamaño del segmento o sea es lo que
Longitud de un segmento: Es el tamaño del segmento o sea
Longitud
demide.
un segmento:
Es el
del
segmento
oy sea
es real
lo que
que
mide.
Esta
representado
por
un tamaño
únicopor
número
real número
positivo
es lo que
Esta representado
un
único
y le
positivo
que
corresponde
mide.
Esta
representado
por una cada
único segmento
número real y positivo que le
corresponde
a le
cada
segmento.
Segmentos
congruentes:
Dos
o más
segmentos
son congruentes si y solo
corresponde a cada segmento.
si posee la misma longitud.
AB = CD
Segmentos congruentes: Dos o más segmentos son congruentes si y solo
Segmentos congruentes: Dos o más segmentos son congruentes si y solo
si
posee
la misma congruentes:
longitud.
ABDos
= CDo más segmentos son conSegmentos
A
si
posee la misma
longitud.
ABmisma
= CD
gruentes
si y solo
si posee la
C
A
A
B
longitud
B
A
B
C
C
B
D
D
D
Punto medio de un segmento:
Es el punto que
D se encuentra entre dos
C
de uny lo
segmento:
el partes
punto que
se encuentra entre dos
puntoPunto
de unmedio
segmento
divide enEs
dos
congruentes.
Punto medio de un segmento: Es el punto que se encuentra entre dos
punto
de unAB
segmento
divide
en dosmedio
parteses
congruentes.
Del segmento
se tieney lo
que
el ponto
M, donde AM = MB
punto de un segmento y lo divide en dos partes congruentes.
Del segmento AB se tiene que el ponto medio es M, donde AM = MB
Del segmento AB se tiene que el ponto medio es M, donde AM = MB
A
A
A
M
A M
M
B
B
B
M
B
medio de un segmento.
27
●
●
A●
M
B●
Mediatriz de un segmento: es laArecta perpendicular
M
B que pasa
por el punto medio de un segmento.
A
M
B
OPERACIONES CON SEGMENTOS:
OPERACIONES CON SEGMENTOS:
Adición de segmentos:
Adición
de segmentos:
OPERACIONES
CON SEGMENTOS:
Para sumar dos o más segmentos trazamos una recta y un punto sobre e
Para
sumar
dos o más segmentos trazamos una recta y un punto sobre
Adición
de segmentos:
luegoPara
se coloca
medida
delsegmentos
primer segmento
a launa
recta
y donde
sumarlados
o más
trazamos
recta
y un termina
luego se coloca la medida del primer segmento a la recta y donde termi
punto sobre ella, luego se coloca la medida del primer segmento
coloca el segundo segmento y así sucesivamente hasta terminar con
a la recta
donde termina
se coloca
segundo segmento
así
coloca
el ysegundo
segmento
y así elsucesivamente
hastay terminar
co
segmentos
y el segmento
resultante
queda
formado
por
la primera letra
sucesivamente
hasta terminar
con los
segmentos
y el
segmento
segmentos
y el segmento
resultante
queda
formado
por lasegprimera letr
resultante queda
formado por
la primera
letra
del primer
primer segmento y la última letra del último segmento.
mento y la última letra del último segmento.
primer segmento y la última letra del último segmento.
Sumar AB + CD + EF
Sumar AB + CD + EF
●
●
●
●
●
●
A●
B ●
C●
D ●
E●
F●
D
C
E
B
F
A
A
B
C
D
E
F
A
● A
●
A
B
●B
C
●
BC
C
AB + CD + EF = AF
AB + CD + EF = AF
E
● E
D ●
DE
D
F
● F
●
F
Dra. Gloria Bustamente
28 Sustracción de segmentos:
Para realizar la sustracciónSustracción
de segmentos
debemos tener un segm
de segmentos:
Sustracción de segmentos:
mayor que otro, si el segmento
minuendo
essustracción
mayor quedeel segment
sustraen
realizar ladebemos
Para realizar la sustracciónPara
de segmentos
tener un
segmento
mayor
quesegmento
otro, simayor
elpositivo
segmento
es mayor
resultado
será
siminuendo
elsi minuendo
es minuend
menor q
tos debemos
tener
un un
segmento
que yotro,
el segmento
que el sustraendo el resultado será un segmento positivo y si el
sustraendo
segmento
sentidoel
contrario.
Entonces
si AB >y C
o es mayor
que el
sustraendo
resultado
será
un segmento
positivo
s
minuendo
esel
menor
que eltendrá
sustraendo
segmento
tendrá sentido
contrario. AB - CD = AD
restamos
si el minuendo
es menor que el sustraendo el segmento tendrá sentido co
ontrario. Entonces si AB > CD, y
restamos
A
B
D
C
B
A
C
AB - CD = AD
A
● C
D
B
●
CA
●
D
●
B
A
pero si AB < CD la sustracción sería
D
AB – CD = CA A
B
●
C
B
A
●
D
B
B
●
C
●
D
AB – CD = CA
pero si AB < CD la sustracción sería
C
CD
D
C
A
D
C
B
D
B
A
D
A
B
A
●
B
●
C
●
D
C
A
●
B
●
C
Combinación de adición y sustracción de segmento.
29
Si se dan varios segmentos, primero se deben sumar los segmento
signos
iguales,deluego
a ylos
resultadosdese
le aplica la sustracció
Combinación
adición
sustracción
segmento.
Si se dande
varios
segmentos,
segmentos
diferentes
signos.primero se deben sumar los segmentos de signos iguales, luego a los resultados se le aplica la
Ejemplo:
sustracción de segmentos de diferentes signos.
Ejemplo:
Dados
los segmentos AB, BC, CD, EF, y GH. hallar (AB + BC + CD)
Dados los segmentos AB, BC, CD, EF, y GH. hallar (AB +
+ GH)
BC + CD) – (EF + GH)
Multiplicación de un segmento por un escalar:
MULTIPLICACIÓN DE UN SEGMENTO POR UN ESCALAR:
Para
multiplica
ununsegmento
real positivo
Para
multiplica
segmentopor
porun
unescalar
escalar (un
(un número
número real
positivo), se obtiene construyendo una recta y un punto sobre
obtiene construyendo una recta y un punto sobre ella y se lleva el segm
ella y se lleva el segmento dado tantas veces como indique el
dado
tantas
como
indiquey el
escalar
por el quebuscado.
se multiplica y re
escalar
por elveces
que se
multiplica
resulta
el segmento
Tomando en la notación el punto de origen y el punto final.
el segmento buscado. Tomando en la notación el punto de origen y el
Ejemplo:
final.
Ejemplo:
Dado el segmento AB multiplicarlo por 6
B
A
B
A
A
A
A
●
B
A
B
B
B
●
A
A
A
A
●
B
B
B
B
●
A
A
A
●
B
B
B
●
A
●
B
30División de un segmento entre un escalar:
Para dividir un segmento entre un escalar se divide en tantas partes ig
DIVISIÓN
DE UN
SEGMENTO
ENTRE UNcolocamos
ESCALAR:
como
indique
el escalar.
Para construirlo
el segmento dado
Para dividir un segmento entre un escalar se divide en tantas
uno
de iguales
los extremos
semirrecta
en forma oblicua
partes
como trazamos
indique eluna
escalar.
Para construirlo
coloca- y coloc
mos el segmento dado, por uno de los extremos trazamos una
tantos segmentos iguales del tamaño que se desee, como indique el es
semirrecta en forma oblicua y colocamos tantos segmentos
igualestrazamos
del tamaño
se desee,
como
indiquepunto
el escalar;
luego
un que
segmento
desde
el último
de losluego
segmentos
trazamos un segmento desde el último punto de los segmenel
extremos
del segmento
dado, para
luego
trazar
para
tosotro
hasta
el otro extremos
del segmento
dado,
para
luegosegmentos
trazar
segmentos paralelos por los puntos indicados en la recta y que
por los puntos indicados en la recta y que corte el segmento dado.
corte el segmento dado.
Ejemplo:
Ejemplo:
Dividir el segmento AB en 6 partes iguales
A
B
A
1
B
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
31
AXIOMA DE INCIDENCIA.
Los axiomas de incidencia son aquellos que aseguran las condiciones de existencia entre los puntos, rectas y planos; también
indican como inciden unos conceptos en los otros.
A1 Existen infinitos punto cuyo conjunto llamaremos espacio.
A2 Los puntos del espacio se encuentran agrupados en conjuntos parciales de infinitos puntos llamados planos y los de cada
plano en otros conjuntos parciales de infinitos puntos llamados
rectas.
A3 Por dos puntos distintos pasa una y una sola recta.
A4: Dado un plano y dos puntos distintos cualesquiera en el
plano, existe una recta única que lo contiene.
A5: Dados tres puntos distintos, no alineados existe un plano único que lo contiene.
A6 : Si dos puntos distintos de una recta pertenece a un plano, la
recta es un subconjunto de ese plano.
A7: Si dos planos distintos se interceptan, su intersección es una
recta.
A8: Existen cuatro puntos no coplanares.
AXIOMAS DE ORDEN.
Estos axiomas ayudan a determinar la posición y orden que presentan los puntos en las rectas y los planos.
A1: A, B y C son puntos colineales distintos dos a dos, entonces, B está entre A y C.
A2: Si B esta entre A y C, entonces, B esta entre C y A.
A3: Si B esta entre A y C, entonces es falso que A esta entre B
y C.
La recta es un conjunto de puntos linealmente ordenado, abierto y denso.
nealmente ordenado: Índica que es posible definir una relación de orden
32
re puntos de una recta, relación que estaría explicitada por las frases
ecede a”Ao4:“sigue
a”. es un conjunto de puntos linealmente ordenado,
La recta
abierto y denso.
ierto: Significa que un punto cualesquiera está entre otros dos, es
Linealmente ordenado: Índica que es posible definir una relación de orden entre puntos de una recta, relación que estaría
cir, ningún punto es primero ni último.
explicitada por las frases “precede a” o “sigue a”.
Abierto:
quepuntos
un punto
cualesquiera
está siempre
entre otros
nso: Significa
queSignifica
dado dos
cualquiera
en la recta,
existe
dos, es decir, ningún punto es primero ni último.
menos uno
entre Significa
ellos.
Denso:
que dado dos puntos cualquiera en la recta,
siempre existe al menos uno entre ellos.
Entre dos puntos siempre existe un punto.
A5: Entre dos puntos siempre existe un punto.
A cada A
par
decada
punto
A de
y B
le asignamos
único número
real número
llamado
:A
par
punto
A y B le un
asignamos
un único
6
real llamado distancia entre A y B.
distancia entre A y B.
AB  0: AB = 0
y
AB = BA.
Todo punto situado en una recta determina dos únicas
A7: Todo punto situado en una recta determina dos únicas
semirrectas
de origen
el punto
y sentido
contraria.
mirrectas
de origen
el punto
y sentido
contraria.
se-
EJERCICIOS RESUELTOS DE TÉRMINOS PRIMITIVOS
1.- Teorema 1: Dado tres puntos A, B y C, no coliniales, entonces, cualesquiera dos puntos de ellos son distintos.
Hipótesis: Los puntos A, B y C son no coliniales, es decir, no
existe una recta que los contenga.
Tesis: A = B; A = C
y
B = C.
24
33
Demostración:
Supongamos por el absurdo, que A = B, por el axioma existe
una recta l tal que B ∈ l y C ∈ l. Pero como A = B, entonces, A
∈ l por tanto, los puntos A, B y C son coliniales, lo cual es una
contradicción, ya que niega la hipótesis. Como la contradicción
proviene de considerar A = B se tendrá A = B, de igual forma se
demuestra A = C y B = C.
2.- Teorema 2: Si dos rectas se interceptan, entonces la intersección es un punto.
Hipótesis: l1 y l2 rectas distintas tal que l1 ∩ l2 =Ф pero A, PЄ l1
y B ,PЄl2 , porque por dos puntos distintos pasas una y una sola
recta, como P pasa por l1 y l2 entonces contradice que l1 ∩ l2 =
Ф. Entonces PЄl1, l2 por lo tanto son rectas se interfecta en un
punto.
3.- Dado un punto M, punto medio entre A y C, señalar sobre
una recta XY cuatro puntos colineales A, B. C y D tal que AB
+ AC = 10 cm donde AC – AB = 2 cm
valor de AC, AB, CM y AM.
y AM = 4CM . Calcular el
Solución:
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
34
-8
-7
-6
-5
-4
AB + AC = 10 cm
AC - AB = 2 cm
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
AB + AC = 10 cm
AB + (6cm) = 10 cm
2AC = 12 cm
AB = 10 cm - 6 Cm
AC = 12 cm .
2
AC = 6 cm
AB = 4 cm
AC = AM + MC
AC = 4CM + MC
AC = 5 CM
6 cm = 5 CM
6 cm -- CM
5
por estar M entre A y C; como AM = 4CM lo
por estar M entre A y C; como AM =
sustituimos en la ecuación.
4CM
lo sustituimos
la ecuación.
y como
AC = 6 cm loensustituimos
Y como AC = 6 cm lo sustituimos
Sustituimos CM en la ecuación
Sustituimos CM en la ecuación
AM = 4 CM
AM -- 4 6 cm
5
AM --
24 cm
5
2
35
Dra. Gloria Bustamente
4.- Sean O, A. B. C, O‟, A‟, B‟ y C‟ puntos colineales donde
O‟A + O‟B + O‟C = 0 y
Demostrar que
O‟A‟ + O‟B‟ + 0‟C‟ = 0
AA‟ + BB‟ + CC‟ = 0
Solución:
A
O
B
CA
O‟B
A‟C
B‟ O’ C‟ A’
B’
C’
OA = OO‟ - O‟A
OB = OO‟ – O‟B
OC = OO‟ – O‟C
OA + OB + OC = 3OO‟ –O‟A – O‟B – O‟C
OA + OB + OC = 3 OO‟ – (O‟A + O‟B +O‟C) donde O‟A+ O‟B+O‟C=0 por hip
OA +OB +OC = 3 OO‟ (1)
O‟A‟ = OA‟ – OO‟
O‟B‟ = OB‟ – OO‟
O‟C‟ = OC‟ – OO‟
O‟A‟+ O‟B‟ + O‟C‟ = OA‟ +OB‟ +OC‟ – 3 OO‟ como O‟A‟+O‟B‟+O‟C‟=0
Entonces
O = OA‟ +OB‟+ OC‟ – 3 OO‟
3 OO‟ = OA‟ + OB‟ +OC (2)
tomando (2) y (1) restando tenemos que:
despejando tenemos
Dra. Gloria Bustamente
36
(2)
OA„+ OB‟ +OC‟ = 3 OO‟
OA + OB + OC = 3 OO
(OA‟- OA) + (OB‟ – OB) + (OC‟ – OC) = 0
AA‟
+ BB‟ + CC‟
=0
Por ser OA‟ – OA = AA‟
OB‟ – OB = BB‟
OC‟ – OC = CC‟
5.- Sea M, N y O puntos colineales donde OM2 + ON2 = 2OM.ON.
Demostrar que MN2 = 0
Solución:
O
O M
OM + MN = ON
N M
N
despejamos MN
MN = ON – OM elevamos al cuadrado cada miembro
MN2 = (ON – OM)2 se resuelve
MN2 = ON2 –2.ON. OM + OM2
MN2 = (ON2 + OM2) – 2.ON. OM por hipótesis sabemos que
OM2 + OM2 = 2.ON. OM entonces
MN2 = 2.ON. OM – 2 ON .OM
MN2 = O
entonces
37
Dra. Gloria Bustamente
EJERCICIOS
PROPUESTOS
TERMINOS PRIMITIVOS
EJERCICIOS
PROPUESTOS
DEDETÉRMINOS
PRIMITIVOS
1.- Dados cuatro puntos colineales A, B, C y D, donde C es punto medio de
BD tal que AB + AC = 10 cm
AC - AB = 2 cm.
Demostrar que: AD = 4 CD.
2.- Dados los puntos colineales, A, B, C, D y E de los cuales sabemos que:
B se encuentra se encuentra entre C y D; E es el origen de las
semirrecta EA y ER. A no se encuentra entre B y C; DB = 2 cm;
BE = 4 cm ; CA = 5 cm y DA = 8 cm.
Determinar EA y BC.
3.- Sea r una recta y P un punto, P Є r entonces existe un único plano
que contiene a r y a P.
4.- Sean dos rectas distintas ( r y s ) que se cortan entonces existe un único
plano que contienen a r y s.
5.- Si O, A y B son puntos colineales, entonces
OA2 + OB2 = AB2 + 2 OA OB
6.- Si O, A, B, C y
P son puntos colíneales y 0A + 0B + OC = 0,
entonces PA + PB + PC = 3 PO.
38
Dra. Gloria Bustamente
7.- Sean A, B y C puntos no colineales ¿Cuántas rectas determinan?
Dibujelas
8.- En un haz de cinco rectas indicar cuantas semirrectas hay9.- Sean A, B, C y D puntos colineales y consecutivos
Determinar que
AC = BD
AB = CD; AC = AB + BC y BC.
10.- Sean A, B, C, D y E puntos colineales donde AC = 4 cm ; si C es
el punto medio de BD y AE. Demostrar que D es punto medio de CE.
Hallar el valor de AB; CD; BE y AD.
11,. La coordenada de A es -2 y B es el punto medio de AC, Si
la coordenada se C es mayor que la de A y BC = 5cm. ¿Cuáles son las
coordenadas de B y C.?.
12.- Si M; N
y P son tres puntos colineales. MN = 7 cm;
MP = 2 cm. La coordenada
de
M
NP = 9 cm;
es tres. Indicar cuales son las
coordenadas de N y P Si :a) La coordenada de M es menor que la de N
b) La coordenada de M es mayor de la de N.
13.- Si G, H y K son tres puntos de una recta. Las coordenadas de G y H
son 4 y -3 respectivamente. S i H esta entre G y K ; y GK = 13 cm
¿Cuál es la coordenada de K?
39
Dra. Gloria Bustamente
14.- La coordenada de B, es el punto medio de AC y es 5. Si la coordenada
de A es mayor que la de C y si BC = 9 ¿Cuáles son las coordenadas
de A y C?
15.- Si las coordenadas de P y Q son 4 y 10 respectivamente y M
biseca a PQ. ¿Cuál es la coordenada de M y cual es el valor de PQ y
PM.?
16.- Dado el segmento AB = 11 cm Hallar; a) 5 AB b) 1 AB
5
17.- Sea A, B y C puntos colineales. Si AB = 3 y
y BC - AB.
BC = 5
18.- Sobre una recta, se colocan los puntos A, B, C y D
sucesivos de
tal
manera
AC = BD = 3 cm
c) 2AB
3
Hallar AC
de una forma
y AD = 5 cm. ¿Cuál es la
distancia BC?.
19.- Dado AB = 5 cm, BC = 2 cm, CD = 1 cm, DF = 3 cm y FG = 2 cm.
Hallar: a) [ AB + BC +CD ] – [ DE + FG ]
B) [ AB + BC ] – [ CD + FG ]
20.- Dado el segmento AB = 11 cm.
hallar: a) 5AB
b) ⅜AB
c ) 1 AB
5
31
40
ÁNGULOS
DEFINICIÓN DE ÁNGULO: Es el lugar geométrico, formado por
la abertura de dos semirrectas con el mismo origen denominado
vértice las dos semirrectas que forman el ángulo se llaman lados del ángulo. También podemos decir que son la intersección
de dos sumí planos en direcciones contrarias que tienen un punto común, donde los bordes de los sumí planos son los lados del
ángulo.
Los ángulos se denotan con letras griegas como α β φ,… y
otros también se denotan con la letra del vértice y un sombrerito
Â, B, o también con los tres puntos que los forman y el vértice es
la letra del centro ángulo A B C
A
O
B
También, se observa un ángulo cuando se toma una hoja de
papel y se efectúan dos cortes en forma diagonal y cada punto
forma un ángulo.
Bisectriz de un ángulo: Es la semirrecta de origen el vértice
del ángulo y lo divide en dos partes iguales se denota con la
letra W.
41
CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS:
Los ángulos se clasificar de acuerdo a su medida y su posición.
CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS SEGÚN SUS MEDIDAS.
Ángulo nulo: es el ángulo que no posee abertura (su medida
es cero)
O
AB
Ángulos agudos son aquellos que miden menos de noventa
grados o sea que su medida es 00 < ∝ < 900.
A
O
A
Angulo recto: es aquel que mide 900
A
O
B
Angulo obtuso es el que mide más de 900 y su medida
esta
900
∝ < 180 0
A
O
B
42
Angulo llano: es el ángulo que mide 1800 y esta formado por
dos semi - rectas opuestas
O
A
B
Ángulo convexo: es aquel ángulo cuya medida es mayor que 00
y menor de1800.
A
B
α
Ángulo de un giro: es aquel ángulo que da la circunferencia
completa o sea que mide 3600.
α
Ángulos cóncavos: son aquellos que miden más de 1800 y
menos de 3600 entonces 1800 < α < 3600
A
B
43
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU POSICIÓN.
Ángulos adyacentes: dos ángulos son adyacentes cuando
tienen un lado común y los otros dos lados pertenecen a la misma recta.
B
α
α + β = 1800
Ángulos Complementarios: dos ángulos son complementarios cuando Sumados miden 900
α
β
α + β = 900
Ángulos suplementarios: dos ángulos son suplementarios
cuando su suma es igual a 1800.
β
α
β + α = 1800
44
Ángulos opuestos por el vértice: dos ángulos son opuestos
por el vértice cuando los lados de uno de ellos son las prolongaciones de los lados del otro ángulo, estos ángulos son iguales
Ángulos consecutivos: dos ángulos son consecutivos si tienen un lado común que lo separe a los otros dos.
ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE
S
1
2
3
l
4
5
6
7
8
m
45
Las rectas l y m son dos rectas paralelas y s es una recta secante que corta a las rectas l y m, formando así ocho ángulos;
denominado de acuerdo a su posición de la siguiente manera:
Ángulos correspondientes: Dos ángulos son correspondientes si están al mismo lado de la recta secante y poseen el
mismo sentido. Estos ángulos son congruentes.
< 1 ≅ < .5
< 2 ≅<6
<3 ≅<7
<4 ≅ <8
Ángulos alternos internos: Son los ángulos que están en la
parte interna de las rectas paralelas y uno a cada lado de la recta
secante con sentido opuesto. Estos ángulos son congruentes.
<3≅ <5
<4≅ <6
46
Ángulos alternos externos: Son los ángulos que están en la
parte externa de las rectas paralelas y uno a cada lado de la recta
secante con sentido opuesto. Estos ángulos son congruentes.
< 1 ≅< 7
<2 ≅<8
Ángulos opuestos por el vértice: Son los ángulos que se
encuentran uno en la parte externa y otro en la parte externa de
las rectas paralelas con sentidos opuestos y poseen el mismo
vértice. Estos ángulos son congruentes.
<1 ≅<3
<2 ≅<4
<5 ≅<7
< 6 ≅<8
Ángulos conjugados: Son dos ángulos situados en un mismo
semiplano respecto a la recta secante y pueden ser interno o
externos, los ángulos conjugados suman 1800 .
47
Ángulos conjugados internos
< 3 + < 6 = 1800
< 4 + < 5 = 1800
Ángulos conjugados externos
< 2 + < 7 = 1800
< 1 + < 8 = 1800
TEOREMA DE TALES (PARALELISMO)
Dos rectas l y s, distintas, coplanarias cortadas por una
transversal (secante) son paralelas si y solo si, un par de ángulos alternos internos, alternos externos o correspondiente son
congruentes.
Principios de las rectas paralelas:
1.- Por un punto dado, exterior a una recta dada, se puede trazar una y solo una recta paralela a la recta dada.
2.- Si los lados de un ángulo son respectivamente paralelos a
los lados de otro ángulo, los ángulos son iguales o suplementarios.
3.- Si varias rectas son paralelas, toda perpendicular a una de
ellas, es también perpendicular a las otras.
MEDIDAS DE ÁNGULOS EN SUS DIFERENTES SISTEMAS.
48
Para medir los ángulos es necesario poseer un sistema de medidas
para tal
efecto seDE
estudiara
los sistemas
y SISTEMAS.
sistema circular. En
MEDIDAS
ÁNGULOS
EN SUSsexagesimal
DIFERENTES
el sistemaPara
sexagesimal
utiliza grado,
minutosposeer
y segundo.
medir losseángulos
es necesario
un sistema de
medidas para tal ‟efecto se estudiara los sistemas sexagesimal
60
10
y sistema circular. En el sistema sexagesimal se utiliza grado,
‟
y segundo.
1minutos
60”
0
”
1360
10
1’
60’
60”
En el sistema circular
se utilizan pi360
radian
(π)
”
10
En el sistema circular se0 utilizan pi radian (π)
1 π rad
180 ,
1 π rad
1800,
0
0
como una
circunferencia
tiene 360
2π
rad2 π rad
como
una circunferencia
tieneque
360son
que
son
Reducciones
de ángulos:
Reducciones
de ángulos:
EJERCICIOS RESUELTOS DE REDUCCIONES DE ÁNGULOS
Del sistema sexagesimal al sistema circular ( radianes)
1. llevar 55º a radianes
180º ------- 
55º
------- X
R = 11 
36
X = 55º 
1800
= 11 
36
39
49
Dra. Gloria Bustamente
2. Llevar 160º a radianes
180º ------- 
160º ------- X
X = 160º  = 8 
180º
9
R = 160º = 8 
9
3. Llevar 340º a  radianes
1 ------ 180º
X ------ 340º
X
1π 40º 340π 17π


180º
180
9
180°
R  340º 
17
π
9
Del sistema circular al sistema sexagesimal llevar
4. Llevar 7 
2
a grados
180º ------- 
X
------- 7.
2
1 vuelta y 2700
X = 180º . 7/2  = 1260º = 630º =

2
50Dra. Gloria Bustamente
5. Llevar 5 a grados
4
180º ------- 
X
6.
------- 5 
4
X = 180º . 5/4  = 900º = 225º

4
Llevar  a grados
3
180º ------- 
X
------- 
3
X = 180º .  /3

= 180º = 60º
3
OPERACIONES CON ÁNGULOS EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL
I.- Dados los siguientes ángulos, ordenarlos y realizar las reduccion
necesarias.
1.)
32º
72'
68''
Solución:
32º
72'
68'' como 1' = 60''
+ 1' – 60''
32º
73'
1º  60'
8'' como 1º - 60'
nes
3
180º ------- 
X
------- 
3
X = 180º .  /3

51
= 180º = 60º
3
OPERACIONES CON ÁNGULOS EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL
I.- Dados los siguientes ángulos, ordenarlos y realizar las reducciones
necesarias.
1.)
32º
72'
68''
Solución:
32º
72'
68'' como 1' = 60''
+ 1' – 60''
32º
73'
Dra. Gloria Bustamente
8'' como 1º - 60'
1º  60'
Dra. Gloria Bustamente
Dra. Gloria33º
Bustamente
13'
8''
2.)
3º
8''
2.)Entonces3º32º 72' 68''
90'= 33º 13'99''
Solución:
2.)
3º
90'
99''
3º
90'
Solución:
Solución:
3º
90'
90'
99''
1'  60''
99''
3º
90'
99''
1'  60''
3º
91'
3º
1'  60''
91'
39''
1º
 60'
31'
99''
41
39''
3º
1º
91'
 60'
39''
4º
1º
4º
 60'
31'
39''
Entonces 3º 90' 99'' = 4º 31' 39''
39''
4º
31'
39''
Entonces 3º 90' 99'' = 4º 31' 39''
Entonces 3º 90' 99'' = 4º 31' 39''
3.) 75º
59'
60''
4º
31'
39''
52 Entonces 3º 90' 99'' = 4º 31' 39''
3.) 75º
59'
60''
75º
59'
60''
1'  60''
75º
60'
1º
- 60'
76º
00'
00
00''
Entonces 75º 59' 60'' = 76º
ADICIÓN
DE ANGULOS
EN EN
EL EL
SISTEMA
SEXAGESIMAL
ADICIÓN
DE ÁNGULOS
SISTEMA
SEXAGESIMAL
4.) Dado los ángulos  = 37º 15' 27'' y  = 39º 56' 58''
Hallar  + 
Dra. Gloria Bustamente
Dra.
Gloria Bustamente
Solución:
 = 37º
15'
 = 39º
+
= 76º
27''
 = 39º
56'
58''
71'
85''  se realizan las reducciones
56'
58''
+
71'
85''  se realizan 1'
las
reducciones
necesarias
60''
1'  60''
76º
72'
1º
60'
77º
12'
Entonces  + 
25''
= 76º
76º
72'
1º
60'
77º
12'
25'' Entonces  + 
42
25''
25''
= 77º 12' 25''
= 77º 12' 25''
5.) Si  = 15º 5' 12'' y  = 12º 54' 48'' cuál es el valor d
5.) Si  = 15º 5' 12'' y  Solución:
= 12º 54' 48'' cuál es el valor de  + 
77º
12'
25''
Entonces  + 
= 77º 12' 25''
53
5.) Si  = 15º 5' 12'' y  = 12º 54' 48'' cuál es el valor de  + 
Solución:
 = 15º
5'
12''
 = 12º
54' 48''
+
= 27º
59' 60''
+
= 27º
59'
60''
1' - 60''
o
27º
60'
00''
1º - 60'
28º
00'
00''
entonces  +  = 28º
6.) Dado  = 26º 18' 40'' y  = 15º 12' 20'' Hallar  + 
Dra. Gloria Bustamente
Solución:
 = 26º
18'
 = 15º
12'
+
= 41º
30'
40''
20''
60''
1' - 60''
41º
31'
00''
entonces  +  = 41º 31'
SUSTRACCIÓN DE ÁNGULOS EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL
43
1' - 60''
41º
41º
31'
31'
00''
00''
54
entonces
+  31'
= 41º 31'
entonces
 +  =41º
SUSTRACCIÓN
DE ÁNGULOS
EL SISTEMA
SEXAGESIMAL
SUSTRACCIÓN
DE ÁNGULOS
EN EL EN
SISTEMA
SEXAGESIMAL
7.) 
Dado
 15'
= 280
y 20'
= 12º
15'' Hallar
7.) Dado
= 280
12''15'
y 12''
= 12º
15''20'
Hallar
- -
Solución:
Solución:
15'
 = 28º= 28º
15'
12'' 12''
- = 12º
20'
15'' 15''
- = 12º
20'
 = 28º= 28º
15'
12'' 12''
15'
1'  1' 60'' 60''
28º 28º
14' 72''
14' 72''
28º 14'
28º 72''
14' 72''
1º 60'1º 60'
 = 27º= 27º
74'
72'' 72''
74'
- = -
12º= 12º
20'
15'' 15''
20'
 -   =-  15º= 15º
54'
57'' 57''
54'
Entonces
 -  =15º
57''54' 57''
Entonces
- 54'
= 15º
8.) Dado
= 330
15''24'
y 15''
= 250
25''12'
Hallar
- -
8.) 
Dado
 24'
= 330
y  12'
= 250
25'' Hallar
Solución:
Solución:
 = 33º= 33º
24'
- = 25º 12'
- = 25º
 = 33º 23'
 = 33º
15'' 
24'
15'' 
 = 33º
 = 24'
33º 15''
24'
25''
1' 60''
12'
25''
1'
 = 33º 23' 75''
 = 33º 23'
75''
23'
75''
15''
60''
75''
44
55
Dra. Gloria Bustamente
L
- = 25º
12'
25''
 -  = 8º
11'
50''
entonces  -  = 8º 11'' 50''
9.) Dado  = 54º 55' 56'' y  = 25º 30' 35'' Hallar  - 
 = 54º
- = 25º
 -  = 29º
55'
30'
25'
56''
35''
21'
PRODUCTO DE UN ÁNGULO POR UN ESCALAR
PRODUCTO DE ÁNGULO POR UN ESCALAR
10) Dado un ángulo  = 52º 15' 20'' Hallar 4
3
Solución:
4
4
=
=
4(52º
208º
15'
20'')
60'
80''
1' - 60''
.
4 = 208º
61'
20''
60‟
.
10
0
4 =
209
1‟
20‟‟
entonces 4 = 209º 1' 20‟‟
11) Dado  = 18º 15' 10'' Hallar 5
Solución:
5
5
44
=
=
5(8º
40º
10'
20'')
50'
100''
1'  60''
5 = 40º
51'
40''
entonces 5 = 40º 51' 40''
Dra.Dra.
Gloria
Bustamente
Gloria
Bustamente
56
Dra. Gloria Bustamente
12)12)
Dado
8º8º
5' 5'4''4''Hallar
Dado = =
Hallar6
6
12) Dado  = 8º 5' 4'' Hallar 6
Solución:
Solución:
Solución:
66
= 6(8º
= 6(8º5' 5'50'')
50'')
==48º
24''
66
=648º
30'30'5'
24''
6(8º
50'')
6 = 48º 30' 24''
DIVISIÓN
DEUN
UNÁNGULO
ÁNGULOENTRE
ENTREUN
UNESCALAR
ESCALAR
DIVISIÓN
DE
DIVISIÓN
DE UN ÁNGULO
ENTRE
UN ESCALAR
DIVISIÓN DE
UN ÁNGULO
ENTRE
UN ESCALAR
Dado
α 155º
= 155º
39'46''
46''Hallar
Hallar αα
13)13)
Dado
α=
39'
2
13) Dado α = 155º 39' 46'' Hallar2 α
Solución:
Solución:
2
Solución:
155º
46''
155º
39'39'
46''
22
77º 49' 53''
15º15º
155º
39'
46'' 77º249' 53''
1º 1º15º
60'60'
77º 49' 53''
99'99'
1º
60'
19'19'
99'
60''
1' 1'19'
60''
106''
106''
1'
60''
06''
06''106''
0
0 06''
0
14) Dado  = 25º 65' 80'' Hallar 
14) Dado  = 25º 65' 80'' Hallar 5
5 
14) Dado  = 25º 65' 80'' Hallar
Solución:
5
Solución:
Como
 = 25º 65' 80'' realizamos las reducciones necesarias en 
Solución:
Como  = 25º 65' 80'' realizamos las reducciones necesarias en 
Como
= 25º
65'80'' realizamos
80''
= 25º 65'
las reducciones necesarias en 
 = 25º
65'1' 80''
60''
 60''
 = 25º
25º 1'
65'
80''
66'
20''
25º1º - 66'
20''
60'1'  60''
1º
- 60'6'
26º
25º
66' 20''
20''
26º 1º -6' 60' 20''
26º
6'
20''
26º
6'
20''
5
26º1º
6' 60'
20''
55º 13' 16''
1º 26º
60'66'
6'
20'' 5º 13'
5 16''
16'
66'
1º
60'
5º 13' 16''
16' 66'
16'
46
46
Dra. Gloria Bustamente
1'
60''
80''
80''
30''
30''
0
Dra. Gloria Bustamente
57
1'
60'' 0
80''
30''
0
1'  = 26º60''
15) Dado
12' 18'' Hallar 
15) Dado  = 26º80''
12' 18'' Hallar 3
30''
3
0
26º
12'
18''
3
26º
18''
2º  = 26º12'
120'
9º 44' 6''
15) Dado
12' 18'' Hallar
 3
2º
120'
132'
3 9º 44' 6''
132'
12'
12' 18'' 18'' 3
26º
12' 0'
15) Dado  = 26º 0'12' 18'' Hallar
18''
0 9º 44' 6''
2º
120'
3
0
132'
12'
26º
12'
18''
3
0'
18''
2º
120'
9º 44' 6''
0
132' EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁNGULOS
12' EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁNGULOS
0' RESUELTOS
18''
EJERCICIOS
DE ÁNGULOS
0
1.- Calcular los ángulos de un triángulo Â, B y Ĉ en el siguiente caso:
1.- CalcularEJERCICIOS
los ángulos de
un triángulo DE
Â, BÁNGULOS
y Ĉ en el siguiente caso:
RESUELTOS
0
Â=3B
Ĉ = 45
Â=3B
Ĉ = 450
Solución:
1.- Calcular
los ángulos de un triángulo Â, B y Ĉ en el siguiente caso:
Solución: EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁNGULOS
0
 =Como
3 B los ángulos
Ĉ = 450internos de un triángulo es igual a180 0. entonces
Como los ángulos internos de un triángulo es igual a180 . entonces
0 un triángulo Â,
^ los ángulos de
^
1.- Calcular
caso:
Â
BB y yĈ enĈel=siguiente
450
Solución:+ ^B + Ĉ = 1800 donde  = 3 ^
0
 + B + Ĉ = 180
donde  = 3 B
y
Ĉ = 45
 =33^
B + ^B +Ĉ45
= 045=0 1800
B
Como los
ángulos internos
de0 un triángulo es igual a180 0. entonces
0
^
3^
B + ^B + 445
=
180
B = 1800 - 450
0
0
Solución:
^
0
^
^
4
180
 + B + Ĉ = 180
donde
3^
B
y
Ĉ = 450
4B
B =
=
1350Â-=45
0 0
^
^
4 B -= 135
0
B
135
.
Como
los ángulos^
internos
de
un
0
0 triángulo es igual a180 . entonces
3^
B + ^B + 450 =
180
B
-- 135
4 .
^ = 01800 - 450
^
4
B
4Â = 3 ^
 + B +
= Bustamente
180 donde
B
y
Ĉ = 450
Dra.Ĉ
Gloria
0
4^
B = ^B135
0
=0 033 45‟
B 0 =--^
3^
B + ^B + ^
45
180
^0 45‟
BÂ 135
= 33
=
3 .B
0
^ = 180 4 - 45
^0
4B
Â= 3B
 =0 3 ( 330 45‟ )
4^
B = 135
^
0 0 135„
^
=0 99
B B -135
.
= Â 33
45‟
0
^
4 101 15‟
 =  3 =B
47
47
^
0
B = 33 45‟
2.- Tres semirrectas
OA. OB y OC, forman alrededor del punto O tres
^
Â= 3B
47
Dra. Gloria Bustamente
 = 3 ( 330 45‟ )
58
 = 990 135„
 = 1010 015‟
 = 3 ( 33 45‟ )
 = 990 135„
0
 = 101OA.
15‟OB
2.- Tres semirrectas
y
OC, forman alrededor del punto O tres
ángulos consecutivos congruentes <AOB = <BOC = <AOC. Demuestre
2.- Tres semirrectas OA. OB y OC, forman alrededor del punto O tres
que las bisectrices de cada ángulo es una prolongación de lado.
ángulos consecutivos congruentes <AOB = <BOC = <AOC. Demuestre
que las bisectrices de cada ángulo es una prolongación de lado.
Solución
B
Solución
D
B
D
E
O
A
E
O
A
C
F
Como los tres ángulos son congruentes entonces cada uno tiene una
C
F
medida de 1200, por hipótesis hallamos la bisectriz de cada ángulo que
Como los tres ángulos son congruentes entonces cada uno tiene una
son OD, OE y
OF. Ellas dividen a cada ángulo en dos ángulos
medida de 1200, por hipótesis hallamos la bisectriz de cada ángulo que
iguales entonces dada ángulo mide 600.
son
y BOE
OF.
dividen
a cadaadyacentes.
ángulo en dos ángulos
ser ángulos
m <OD,
AOB OE
+ m<
= Ellas
1800 por
0
0
0
iguales
dada
mide
120
+entonces
600 =
180ángulo
donde
A, 60
O y. E son puntos coloniales.
0
por ser
adyacentes.
m < AOB
BOE = 180
Donde
OE +esm<
prolongación
de OA
(sonángulos
semirrectas
opuestas)
0
0
0
0
120BOC
+ + 60
= 180
donde
y E son
puntos coloniales.
m<
m< COF
= 180
por A,
serOángulos
adyacentes.
Donde OE es prolongación de OA (son semirrectas opuestas)
m< BOC + m< COF = 1800 por ser ángulos adyacentes.
48
48
59
Dra. Gloria Bustamente
1200 +
600
= 1800 donde O, B y F son puntos colíneales donde OF
es prolongación de OB.
m< COA + m< AOD = 1800 Por ser adyacentes.
1200 + 600
= 1800 entonces C, O y D son colíneales donde
OD es prolongación de OA.
Entonces las bisectrices son semirrecta opuesta a uno de los lados del
ángulo.
3.-Dado un ángulo CAB, dibujamos CD perpendicular a AB que corta este
segmento en D. Completamos el rectángulo CDAF, prolongamos FC hasta E
y dibujamos la línea AE que corta a CD en H. Determinar el punto E de
manera que se cumpla que HE = 2AC. De esta forma el ángulo EAB es 1/3
del ángulo CAB.
EJERCICIOS PROPUESTOS DE ÁNGULOS
EJERCICIOS PROPUESTOS DE ÁNGULOS
1.- La medida de un ángulo es 240 más que la medida de su
suplementario. Hallar las medidas de cada ángulo.
1.- La medida de un ángulo es 240 más que la medida de su
2.- La medida de un ángulo es cinco veces la medida de su
suplementario.¿Cuánto
Hallar las
medidas
de cada ángulo.
complementario
mide
los ángulos?.
3.- Hallar el ángulo que es igual al doble de su suplementario
2.- La medida de un ángulo es cinco veces la medida de su
4.- Hallar el ángulo que es igual a la tercera parte de su complementario.
complementario ¿Cuánto mide los ángulos?.
5.- Hallar la medida de los ángulos de la figuras
3.- Hallar el ángulo que es igual al doble de su suplementario
4.- Hallar el ángulo que es igual a la tercera parte de su complementario.
60
B
C
2X
A
5X
3X
O
D
6.-Probar que las bisectrices de dos ángulos adyacentes son
perpendiculares.
7.-Probar que las bisectrices de dos ángulos opuestos por el
vértice son semirrectas opuestas.
8.-Probar que dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes.
9.-Si <AOB y <BOC son complementarios y <DOC y <BOC son
complementarios, entonces, <AOB = <DOC.
C
B
D
A
O
10.- Dada la figura, donde <BAD = 80º y <DCA = 30º con
CD = DA .
Hallar el <ABD.
C
D
B
A
61
A
11.- Dada la figura, con EO ┴ AB
B
y <AOG  <BOD. Demostrar que
<GOE  <DOE.
E
E
G
D
G
D
A
B
O
A
O
B
12.- Dada la figura donde AO ┴ XY en O y EO, AO y BO son
bisectrices de los
respectivamente
ángulos
<XOD,
<DOC
y
<COY,
<XOE + <YOC = 1200 . ¿Cuál es el valor de
y
cada ángulo?
A
D
E
A
D
B
O
X
B
C
E
X
C
O
Y
Y
51
Dra. Gloria Bustamente
Dra.
Dra.Gloria
GloriaBustamente
Bustamente
Dra. Gloria Bustamente
Dra. Gloria Bustamente
Dra.elGloria
Bustamente
3.-62
Hallar
valor
de X y Y en cada una de las figuras.
3.3.-Hallar
Hallarelelvalor
valorde
deXX yy YY en
encada
cadauna
unade
delas
lasfiguras.
figuras.
3.- Hallar el valor de X y Y en cada una de las figuras.
a) 3.-EHallar el valor
A
D
b) una
G de las
F figuras.
E
D
cada
a)
EE el valorde
AA XX yy YY Den
b)
FF
EE
DD
a)Hallar
Den cada una
b)deGG
3.las figuras.
X
Y de
X
Y
X
Y
a) E
A
D
b) G
F
E
D
Y
a) XE
A
D
b) G
F
E
D
D
a) E
AY
D
b) G
F 0
Y E
45
X
00
YY
45
0
0Y
0
45
X
60
55
X
105
0
60
55000
X
10500
600
C 105
B
H
A4555 B
CY X
I
0
0
0
C
B
H
A
B
C 60
B
A 45B0 CC Y I I
55 H
X
105
0
Y
C AD105
B
H AG ║ABF 55
By0 CD
C ║45BEX I
║ 0CB
6000
0 ║ CB
0 y CD ║ BE
AD
AG
║
BF
AD
║
CB
AG
║
BF
y
CD
║
BE
60
55
X
105
C
B
H
A
B
C
I
B
C
I
AD ║ CB C
AG ║ BF H y CD A
║ BE B
AD ║ CB
AG ║ BF
CD ║ BE
14.- Dada la siguiente
figura donde AE es la bisectriz
del y<CAB;
AD
║ CB
║ BF
ydel
║ el
BE elel
14.siguiente
figura
<CAB;
14.-Dada
Dadalala
siguiente
figuradonde
donde AE
AE es
es laAG
la bisectriz
bisectriz
delCD
<CAB;
14.- Dada
la siguiente
donde
AE Hallar
es la elbisectriz
<CAB; αel y β
<ACD
= 35º yfigura
el <ABC
= 25º
valor de del
los ángulos
<ACD
==35º
yy elel<ABC
==25º
Hallar
elelvalor
de
los
α y β
<ACD
35º
<ABC
25º
Hallar
valor
de
losángulos
ángulos
14.- Dada la siguiente figura donde AE es la bisectriz
del
<CAB;α yel β
Dada
la <ABC
siguiente
figura
donde
AE de
es los
la ángulos
bisectriz αdely <CAB;
el
<ACD14.= 35º
y el
= 25º
Hallar
el valor
β
A = 25º Hallar el valor de los ángulos α y β
<ACD = 35º y el <ABC
<ACD = 35º y el <ABCAA
= 25º Hallar el valor de los ángulos α y β
A
α
αα
A
A
α
α
α
β
ββ
D
C β E
B
DD
CC
E
BB
βE
β B
D
C
E
0
y hallar elBvalor
15.- Demostrar que α + β + ∂ D= 180 si 0C0AE ║ BD
E BD
15.AE║
hallar
valor
15.-Demostrar
Demostrarque
que αα ++ ββ +
180 Csisi AE
D+ ∂∂ == 180
E║ BD yy hallar
B elelvalor
0
15.- Demostrar
de α, βquey α ∂.+ β + ∂ = 180 si AE ║ BD y hallar el valor
de
deα,α, ββ yque
y ∂.∂.α + β + ∂ = 1800 si AE ║ BD y hallar el valor
15.- Demostrar
y hallar el valor
que α + β + E∂ = 1800 si AE ║ BD
de α, 15.β Demostrar
y ∂.
D
EE
DD
de α, β y ∂.
de α, β y ∂.
E 600
D
0
60
600
E
D
E
D
600
β
0
60 0
ββ
60α
500
∂
00
β
50
α
∂∂
50
A
Bα
C
0
A
B
CC
β B
A
50
α
∂
β
B BC
C∂ CA ll DE,
16.- Dada la siguienteAfigura donde:
AB ll EF,
FD,
500donde:
α llBC
0
16.AB
llllEF,
ll FD, CA ll DE,
16.-Dada
Dadalalasiguiente
siguientefigura
figura
donde:
AB
EF,
BC
50
α
A
B ∂ll FD,CCA ll DE,
16.- Dada la siguiente figura donde:A AB ll EF, BC ll FD, BCA ll DE,C
52
16.- Dada la siguiente figura donde: AB ll EF, BC ll FD, CA ll DE,
52
52
16.- Dada la siguiente figura donde: AB ll EF, BC ll FD, CA ll DE,
52
600
Dra. Gloria Bustamente
Dra. Gloria Bustamente
β
0
50
α
∂
A
B
C
<ABC = 40º y el <FDE = 60º Hallar el valor de δ y Ω
<ABC = 40º y el <FDE = 60º Hallar el valor de δ y Ω
16.- Dada la siguiente figura donde: AB ll EF, BC ll FD, CA ll DE,
63
Dra. Gloria Bustamente
<ABC = 40º y el <FDE = 60º Hallar el valor de δ y Ω
A
A
52
A
A
F
F
δ
Fδ
C
C
D
D
F
DΩ
δ
δ
Ω
Ω
C
E
ΩE
D
B
B
E
C
E
B
17.- Hallar α y β en la siguiente figura donde AB ║ CD y CD ║ EF y
17.- Hallar α y β en la siguiente figura donde AB ║ CD y CD ║ EF y
el <BOF = 7000
17.- Hallar
α y =β70
en la siguiente figura donde AB ║ CD y CD ║ EF y
el <BOF
A
el <BOF = 700 AA
B
B B
0 0
3232
0
32
A
β B
β 0
C
D
32
β
C
OO
0D
C
O
0 70 D
70 0
β
α α 70
E
C
O α
D
E
F F
700
E
F
α
18.- Calcular el valor de cada uno de los ángulos en la siguiente figura.
E de cada uno de los ángulos F
18.- Calcular el valor
en la siguiente figura.
D
18.- Calcular el valor de cada uno
en la siguiente figura.
D
E de los ángulos
D
E
C
E
C
D
F E
X
60°
C
CX
X
X
0
45°
45
3000 30°
450
30
0
F A
X
60
X
B
O
A 0
O
B
0
30
A45
O
B
0
^ + Ĉ = 180 0 y ^
B = 2
19.- Calcular los ángulos si  + B
^
A si  + B
O + Ĉ = 180 B y ^
19.- Calcular los ángulos
B = 2
F
F
X
X
6000
60
^ + Ĉ = 1800
19.- Calcular los ángulos si  + B
y ^
B = 2
Ĉ = 3 Â.
Ĉ = 3 Â.
Ĉ = 3 Â.
F
64
600
X
45
0
X
300
A
O
B
^ + Ĉ = 1800
19.- Calcular los ángulos si  + B
y ^
B = 2
Ĉ = 3 Â.
Dra. Gloria Bustamente
20.- Calcular los ángulos Â, ^
B
Â+ ^
B + Ĉ = 180
y
Ĉ
si
^
 = 3B
Ĉ = 450
y
0
21.-Si  + ^
B = 900
y
^ y Ĉ si
Ĉ - Â = 300 Calcular Â, B
^
 + B + Ĉ = 1800
22.- Si  + ^
B + Ĉ = 1800 ;
 – Ĉ = 300
y
 -^
B = 450
Calcular Â, ^
B y Ĉ
23.- En el < BOC se traza la bisectriz OD si por un punto R que
pertenece a OD se dibuja una paralela a OB y se prolonga hasta
cortar a OC en J. Qué puede decir acerca del ΔORJ. Justifica tu
repuesta. Por R se traza un segmento RP, de tal manera que P
pertenece a OB y RP = OJ . Que puede decir acerca del
cuadrilátero PRJO. Justifica tu repuesta.
24.- Dado el triángulo ABG donde AW es la bisectriz del <CAB, CH es la
altura del vértice C, <CBA = 30º y <ACH = 50º. Hallar β y μ
:
C
53
65
C
β
W
μ
A
B
25.- Dado un ángulo <CAB, se traza el segmento CD perpendicular a
AB en el punto D. Completamos el rectángulo CDAF, prolongamos
FC hasta E y trazamos el segmento AE que corte al segmento CD
en H. Si HE = 2AC. Demostrar que el ángulo <EAB = ⅓ <CAB.
66
POLÍGONOS
Los polígonos es el lugar geométrico del plano limitado por
una línea poligonal cerrada que recibe el nombre de contorno.
ELEMENTOS DE UN POLÍGONO:
VÉRTICE: Son los puntos de intersección de dos segmentos
consecutivos y se denotan con letras mayúsculas A; B, C y otras,
LADOS: están formados por los segmentos que constituyen el
polígono. Estos segmentos unen los vértices consecutivos.
DIAGONAL DE UN POLÍGONO: Es el segmento que une dos
vértices consecutivos del polígono.
El número de diagonal de un polígono se determina mediante la
relación. N0diag -polígono
n(n-3) .
2
Siendo n el número de lados del
APOTEMA: Es el segmento de recta que va desde el centro del
polígono hasta el punto medio de uno de los lados.
Un polígono es convexo cuando está limitado por una poligonal convexa y si se traza un segmento entre dos pontos internos,
el segmento resultante debe estar dentro del polígono.
67
Un polígono es cóncavo, cuando está limitado por una línea
poligonal cóncava.
LOS POLÍGONOS PUEDEN SER REGULARES O IRREGULARES.
Los polígonos regulares: son los que tienen todos los lados y
ángulos de la misma medida.
Polígonos irregulares: son los que tienen los lados de diferentes medidas.
Ángulos internos de un polígono: son los que están formados por dos lados consecutivos Si = (n – 2).1800
Ángulo externo de un polígono: son los ángulos adyacentes a los internos que se obtiene al prolongar los lados
en un mismo sentido. La suma de los ángulos externos es igual
a 3600.
El número de lados de un polígono coincide con el número de
vértices y el número de ángulos.
Perímetro de un polígono: Es la longitud de su contorno, o sea,
la suma de la longitud de sus lados y se denota con la letra P.
P = AB + BC + CD +...............
68
CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS DE ACUERDO AL
NÚMERO DE LADOS.
Según el número de lados y reciben los siguientes nombres:
Número de lados
Nombre
Tres
Triángulo
Cuatro
Cuadrilátero
Cinco
Pentágono
Seis
Hexágono
Siete
Heptágono
Ocho
Octágono
Nueve
Eneágono
Diez
Decágono
Once
Endecágono
Doce
Dodecágono
Apotema de un polígono regular: es el segmento perpendicular trazado desde el centro del polígono a uno de los lados. La
apotema es igual al radio de la circunferencia inscrita.
Área de un polígono regular: es igual al producto del semi perímetro por su apotema.
ESTUDIO DE POLÍGONOS
69
Triángulo: es un polígono de tres lados, tres vértices y tr
y externos.
ESTUDIO DE
POLÍGONOS
Triángulo: es
un polígono de
tres
lados, tres
vérticesde
y tres
Cuadriláteros:
Son
polígonos
convexos
cuatro lado
ángulos internos y externos.
se clasifican de acuerdo con el paralelismo de los l
Cuadriláteros: Son polígonos convexos de cuatro lados. Los
cuadriláteros se
clasifican de acuerdo
con
el paralelismo de los
paralelogramos,
trapecios
y trapezoides.
lados opuestos en: paralelogramos, trapecios y trapezoides.
Paralelogramo:
Son cuadriláteros
que
tienen
sus lados
Paralelogramo:
Son cuadriláteros
que tienen sus
lados
paralelos dos a dos (todo cuadrilátero tiene iguales sus lados opues(todo
tiene iguales
sus
lados opuestos),
tos), y se dividen
en:cuadrilátero
cuadrado, rectángulo,
rombo
y romboides.
Propiedades
de los paralelogramos:
cuadrado,
rectángulo, rombo y romboides.
• Los lados opuestos son paralelos e iguales.
Propiedades de los paralelogramos:
• Las diagonales lo dividen en dos triángulos iguales.
• Los ángulosopuestos
un opuestos
paralelogramo
son iguales.
Los de
lados
son paralelos
e iguales.
Las diagonales
lo dividenson
en dos
triángulos iguale
• Los ánguloscontinuos
de un paralelogramo
suplementarios

Los ángulos opuestos de un paralelogramo son igu
 de Los
ángulos continuos
de un paralelogramo
• Las diagonales
un paralelogramo
se bisecan
mutuamente. son su

Las diagonales de un paralelogramo se bisecan mu
Cuadrado: es un paralelogramo que tiene sus cuatro
Cuadrado: es un paralelogramo que tiene sus cuatro lados
iguales y sus cuatro
cuatro ángulos
ángulosrectos.
rectos.
l
A
B
l
A
l
D
l
C
A = l2
l
l
B
l
D
l
P = AB + BC + CD + DA
C

P = 4.l
70
Propiedades de los cuadrados
• Los ángulos del cuadrado son rectos.
• Cada ángulo exterior, vale siempre un ángulo recto.
• Las diagonales son iguales.
• Las diagonales son perpendiculares.
• Las diagonales son bisectrices de los ángulos cuyos vértices
une.
• Las diagonales forman triángulos iguales.
Rectángulo: es un paralelogramo que tiene sus cuatro ángulos
iguales (rectos) y sus lados continuos desiguales.
B
A
h
D
A = b.h
a
C
P = AB + BC +CD + DA
Propiedades de los rectángulos:
• Cada ángulo interno, vale in ángulo recto.
• Cada ángulo exterior, vale un ángulo recto.
• Las diagonales, forman dos pares de triángulos iguales.
• Los lados continuos son de diferentes medidas.
• Los lados paralelos son iguales.
• Las diagonales se cortan en el punto medio.
71
Rombos: son los paralelogramos que tienen los cuatro lados
iguales y los ángulos continuos son desiguales.
A
D
B
C
A = d1. d2 .
2
P = AB + BC +CD + DA
Propiedades de los rombos:
• Las diagonales son perpendiculares.
• Las diagonales son bisectrices de los ángulos cuyos vértices
unen.
• Las diagonales siempre forman cuatro triángulos iguales.
Romboides: Son los paralelogramos que tienen los lados y los
ángulos continuos desiguales.
A
C
A = b.h B
D
P = AB + BC + CD + DA
72
Propiedades de los romboides:
• Los ángulos opuestos son iguales.
• Las diagonales forman triángulos iguales.
• Las diagonales bisecan los ángulos cuyos vértices unen.
• Las diagonales se bisecan.
Trapecios: es un cuadrilátero irregular donde tiene dos lados
paralelos y se divide en: trapecio rectángulo, isósceles y escaleno.
A = (b1 + b2).h .
2
P = AB + BC + CD + DA
Trapecio rectángulo: tiene dos ángulos rectos.
B
A
D
C
Trapecio isósceles: si los dos lados no paralelos son iguales.
A
D
B
AD = BC
C
73
Trapecio escaleno: cuando no es rectángulo ni isósceles y tiene
sus lados desiguales
A
B
D
C
Trapezoides: es si no existe ningún tipo de paralelismo. Los
trapezoides se dividen en simétricos y asimétricos.
Trapezoides simétricos: son aquellos que tienen dos pares
de lados continuos son iguales, pero el primer par de lados continuos iguales es distinto del segundo
B
C
A
D
Propiedades de los trapezoides:
• Las diagonales son perpendiculares.
• Las diagonales son bisectrices de los ángulos que las unen y
se bisecan.
Trapezoide Asimétrico: son los cuadriláteros que tienen sus lados
y
74ángulos diferentes, no tienen lados paralelos y una mitad es diferente de la
otra.
A
Trapezoide Asimétrico: son los cuadriláteros
que tienen
B
sus lados y ángulos diferentes, no tienen lados paralelos y una
mitad es diferente de la otra.
A
D
C
B
EJERCICIOS RESUELTOS DE POLÍGONOS
D
C
1.- Dado un polígono ABCD es un trapecio donde m(Â) = 3 m(B) ;
EJERCICIOS RESUELTOS DE POLÍGONOS
m (Ĉ) = 9 m(Â) + 50 ; m(D) = 2 m(Â) + 100.
1.- Dado un polígono ABCD es un trapecio donde m(Â) = 3
m(B); m (Ĉ) = 9 m(Â) +A50 ; m(D) = B2 m(Â) + 100.
A
D D
B
C
C
Solución:
La suma de los ángulos internos de un polígono convexo es igual a 360 0
^
^
M(Â) + m(B) + m(Ĉ) + m(D) = 3600
^ ) + 50 + 6 m(B) + 100 = 3600
^ + m(B)
^ + 9 (3 m(B)
3 m(B)
3 m(B) + m(B)
+ Bustamente
27 m(B) + 6 m(B) + 150 = 3600
Dra. Gloria
37 m(B) = 3600 - 150
m(B) -- .36!00! .
0
37 m(B) = 345
!37!
0!
m(B)m(B)
-- .36!0
. 28‟‟
= 90 19‟
!37!
Entonces.
m(Â) = 3 m(B)
0
m(Ĉ) = 9 m(Â) + 50
0
63
0
Dra.
GloriaBustamente
Bustamente
Dra.
Gloria
75
19‟ 28‟‟
28‟‟
m(B) = 9900 19‟
Entonces.
Entonces.
m(Â)==33m(B)
m(B)
m(Â)
m(Ĉ)
m(Ĉ) == 99 m(Â)
m(Â) ++ 5500
19„28“)
m!(Â)==33( (990 019„28“)
m!(Â)
m(Ĉ)
m(Ĉ) == 99 (27
(270058„
58„24“)
24“) ++ 550 0
m(Â)==27
270 058„24«
58„24«
m(Â)
m (Ĉ
(Ĉ )) == 251
2510045„36«
45„36« ++ 550 0
45„36„
36„
m(
m( Ĉ
Ĉ )) == 256
2560045„
m(D) == m(Â)
m(Â) ++ 10
1000
m(D)
58„28“ ++ 10
1000
m(Ĉ)== 27
270058„28“
m(Ĉ)
m(Ĉ)
m(Ĉ) == 37
370058„28“
58„28“
2.-Calcular
Calcularelelperímetro
perímetro del
del polígono
polígono convexo
2.convexo dado
dado
AA
AB
AB== 88cm
cm
B
EE
AB = 8 cm
BC
BC== 66cm
cm
BC = 6 cm
CD
CD== 44cc mm
CD = 4 cm
DE
DE==5.5
5.5cm
cm
DE = 5.5 cm
Solución:
Solución:
DD
C
EA
EA==2.5
2.5cm
cm
EA = 2.5 cm
AB ++ BC
BC ++ CD
CD ++ DE + EA
PP == AB
EA
PP == 88cm
cm ++ 2.5
2.5cm
cm
cm ++ 66cm
cm ++ 44 cm
cm + 5,5 cm
PP == 26
26cm.
cm.
2.cumple que
que los
losángulos
ángulosexteriores
exteriores
2.- En
Enelelsiguiente
siguiente polígono
polígono convexo
convexo se cumple
son
5“
son: : β‟β‟== 41
410 0 5“
3500 20„
20„
∂‟∂‟== 35
ε‟ = 8700 5„
5„ 10“
10“ θ‟θ‟== 91
910 015“
15“
Calcularelelángulo
ánguloexterior
exterior α‟
α‟
Calcular
6464
Dra. Gloria Bustamente
76
E
E
A
Aα
α
ε
β
β
ε
θ
B
B
∂
θD
D
∂ C
C
Solución:
Hipótesis
tesis
β‟ = 410 5“
α‟ = ?
∂‟ = 350 20„
ε‟ = 870 5„ 10“
θ‟ = 910 15“
Como sabemos que a suma de los ángulos externo de un polígono
convexo es igual a 3600
β‟ + ∂‟ + ε +‟ θ +‟ α‟ = 3600
410 5 + 350 20„ + 870 5„ 10 + 910 15« + α‟ = 3600
2540 25‟ 30‟‟ + α‟ = 360 0
α‟ = 3600 - 2540 25‟ 30‟‟
α‟ = 1050 34‟ 30‟‟
EJERCICIOS PROPUESTOS DE POLÍGONOS
254 25‟ 30‟‟ + α‟ = 360
α‟ = 3600 - 2540 25‟ 30‟‟
α‟ = 3600 - 2540 25‟ 30‟‟
α‟ = 1050 34‟ 30‟‟
α‟ = 1050 34‟ 30‟‟
77
EJERCICIOS PROPUESTOS DE POLÍGONOS
EJERCICIOS PROPUESTOS DE POLÍGONOS
BCD es un trapecio donde la altura es igual a 7 cm AB = 5 cm;
1.- ABCD es un trapecio donde la altura es igual a 7 cm AB = 5 cm;
= 9cm; CD = 11cm y DA = 9cm. Hallar el área y el perímetro.
BC = 9cm; CD = 11cm y DA = 9cm. Hallar el área y el perímetro.
65
A
Dra. Gloria Bustamente
B
H
A
B
H
D
C
D
H
C
2.- Si ABCD es un paralelogramo romboides Hallar X y Y; si AD = 5X;
AB = 2X; CD = Y. si su perímetro es igual a 84 cm.
3.- Calcular el área de una figura plana.
A
4cm
B
4cm C
D
2cm
H
E
6cm
G
F 3cm
4.- Calcular el área de un triángulo cuyo lados miden 6, 8 y
12cm. 2
5.- Hallar el lado de un cuadrado cuya área tiene un valor de 28.05 cm2
65
78
4.- Calcular el área de un triángulo cuyo lados miden 6,
12cm.2
8 y
5.- Hallar el lado de un cuadrado cuya área tiene un valor de
28.05 cm2
6.- Calcular el área de un hexágono regular cuyo lado mide 5cm.
79
TRIÁNGULOS.
Triángulo es la intersección de tres semiplano que se interceptan en tres puntos diferentes
A
B
C
ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO:
Vertice: es el punto de intersección de dos semiplano. Se denotan con letras mayúsculas A, B y C.
Lados: Son los segmentos de rectas que se unen con los vértices. Se denotan con letras minúsculas de acuerdo al ángulo
opuesto a, b y c.
Angulos internos: son los ángulos formados por dos lados del
triángulo y están ubicados en la parte interna, Se denotan con
letras griegas α β y φ.
80
A
α
b
c
Dra. Gloria Bustamente
β
B
φ
C
parte externa del triángulo. Se denotan con las letras griegas con un
Angulos externos: son los ángulos que están formados por
apostrofe.
α‟ βtriángulo
„ y φ‟ .
un lado del
y la prolongación del lado consecutivo, se
encuentra en la parte externa del triángulo. Se denotan con las
A
letras griegas con un άapostrofe.
α’ β ‘ y φ’ .
A
c
α
c
B
Β‟
a
B
b
‟
b φ‟
C
β
φ
C
PERIMÉRTRO DE UN TRIÁNGULO: es la suma de sus lados y se denota
Perimetro de un angulo: es la suma de sus lados y se denocon
la letra
minúscula.
AB + BC AB
+ CA
ta con
la pletra
p minúscula.
+ .BC + CA .
ÁREA DE UN TRIÁNGULO: es el producto de la longitud de la base por la
Área de un Triangulo: es el producto de la longitud de la
base por
laaltura
longitud
la altura sobre dos.
longitud
de la
sobrede
dos.
A = b. h .
2
PRICIPIOS DE LOS TRIÁNGULOS.
81
PRINCIPIOS DE LOS TRIÁNGULOS.
α
A
α
c
B
b
β
β
φ
φ
C
1.- La suma de los tres ángulos interno de un triángulo es igual
a 1800.
α + β + φ = 1800
2.- En un triángulo cualquiera la suma de dos ángulos internos
es menor que 1800.
α + β < 1800
α + φ < 1800
β + φ < 1800
3.- La suma de los ángulos externo de un triángulo es igual a
3600
α’ + β’ + φ’ = 3600
4.- La medida de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la
suma de dos ángulos internos no adyacente a él
α + β = φ’
φ + α = β’
β + φ = α’
5.- La suma de las medidas un ángulo interno con la medida de
su externo (adyacente), es igual a 1800
α + α’ = 1800
β + β’ = 1800
φ + φ’ = 1800
00
β + β‟ = 180
φ0 0+ φ‟ = 180β0β++β‟β‟==180
180
αα++0α‟α‟==180
180
00
φφ++φ‟φ‟==180
180
82
gulo exterior
6.6.-La
Lamedida
amedida
un triángulo
de
detodo
todo
es
ángulo
ángulo
mayorexterior
que
exterior
la amedida
aun
untriángulo
triánguloesesmayor
mayorque
quelalamedi
med
nterno no de
adyacente
decualquier
cualquier
a él.
ángulo
ángulointerno
internono
noadyacente
adyacentea aél.él.
6.- La medida de todo ángulo exterior a un triángulo es mayor
cualquier
>α
α‟ > que
β la medida
φ‟φ‟>>ββdeφ‟
φ‟>>αα α‟ángulo
α‟>>ββ interno no adyacente a él.
φ’ > β
φ’ > α
α’ > β
ulo es7.7.menor
Todo
Todo
que
lado
lado
lade
suma
de
un
unun
triángulo
de
triángulo
los otros
eseses
menor
dos
menor
y que
mayor
que
lalasuma
de
dede
los
los
otros
otros
dos
dosy ymayo
ma
7.Todo
lado
de
triángulo
menor
que
lasuma
suma
los
otros
dos y mayor que la diferencia.
que
quelaladiferencia.
diferencia.
CA
ó
AB
AB
AB-++BC
BC
BC<>>CA
CA
CA
óó
BC<<CA
CA
AB
AB- -BC
yor lado
8.-En
se
Enopone
todotriángulo
triángulo
mayor ángulo
mayor
y viceversa.
ladoseseopone
oponemayor
mayorángulo
ánguloy yviceversa.
viceversa.
8.todo
a amayor
lado
8.- En todo triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo y viceversa.
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS:
Los triángulos pueden cosificarse de acuerdo a sus ángulos y de
69
acuerdo a sus lados.
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS DE
ACUERDO A SUS ÁNGULOS
Triángulo rectángulo: es el triángulo que posee un ángulo recto
(900). El lado que se opone al ángulo recto se llama hipotenusa
y los otros dos lados se llaman cateto
A
B
C
83
Triángulo acutangulo: Son los triángulos que tienen sus tres
ángulos agudo (menor de 90°)
A
C
B
Triángulo Obtusangulo: Es aquel triángulo que posee un ángulo obtuso (más de 90°)
A
C
B
Triangulo Isore ISORECTÁNGULO: es un triángulo rectángulo
que sus catetos tienen la misma medida (catetos iguales),
A
B
C
84
CLASIFICACIÓN LOS TRIÁNGULOS
DE ACUERDO A SUS LADOS:
Triángulo Escaleno: es el triángulo que posee sus tres lados de
diferentes medidas o tamaño y sus tres ángulos tienen diferente
medidas.
A
B
C
Triánfulo Isósceles: Es el triángulo que posee dos lados de
igual medidas, el lado diferente se llama base y los ángulos adyacente a la base son de igual medida. ( poseen dos lados y dos
ángulos iguales).
En todo triángulo isósceles la altura, la mediana y la bisectriz
respecto a la base son iguales y coincidentes.
A
B
C
85
Triángulo Equilatero: es el triangulo que posee sus tres lados
iguales y sus tres ángulos internos.( cada ángulo interno mide
600)
A
B
C
SEGMENTOS Y PUNTOS NOTABLES:
Ceviana es un segmento de recta que une un vértice de un triángulo con el lado opuesto a este o su prolongación. También se
la conoce como transversal angular. Se puede decir que la mediana, la altura o la bisectriz son cevianas o segmentos notables
de un triángulo y la mediatriz es una recta notable. Los puntos
notables de un triangulo son baricentro, ortocentro, Incentro y
Circuncentro
Mediana: es el segmento de recta que va desde un vértice hasta
el punto medio del lado opuesto. Todos los triángulos poseen
tres medianas. Se denota con una m minúscula y la letra del
lado. ma, mb y mc
A
AM mediana de A
Ma
B
M
C
86
Donde BM = MC por ser M punto medio.
Baricentro: es el punto de intersección de las tres medianas de
un triángulo. Se denota con la letra B, es el centro de gravedad
de un triángulo.
A
C
B
Altura: es el segmento de recta perpendicular trazado desde el
vértice al lado opuesto al vértice o a su prolongación desde. La
altura de un triángulo se denota con la letra h y la letra del lado
correspondiente. ha, ha y hc
A
h
B
C
Ortocentro: es el punto de intersección de las tres altura de un
triángulo y se denota con la letra O.
A
B
C
87
Bisectriz: Es el segmento de recta que divide el ángulo interno
de un triángulo en dos ángulos iguales y va desde el vértice del
ángulo hasta el otro lado del triángulo. Se denota con la letra W
y de subíndice el lado tales como wa, wb y wc.
A
C
B
Wa
Incentro: es el punto de intersección de las tres bisectrices de
los ángulos interno de un triángulo. Se denota con la letra I.
A
B
C
88
Mediatriz: Es la recta perpendicular trazada por el punto medio
de los lados de un triángulo, Se denota con la letra mayúscula
M y como subíndice la letra del lado correspondiente. Ma, Mb
y Mc.
A
C
B
Circuncentro: es el punto donde se interfecta las mediatrices.
Se denota con la letra C.
A
B
C
En todo triángulo el circuncentro, baricentro y ortocentro están
alineados siendo la distancia entre estos dos últimos puntos el
doble de la distancia entre los dos primeros ( La recta que contiene estos puntos se llama (“Recta de Euler”).
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS.
La congruencia de triángulos se reduce al estudio de sus lados y
ángulos, es fácil comprender que toda congruencia es una igualdad, en los triángulos indican que los segmentos y ángulos son
iguales.
89
Dra. Gloria Bustamente
Todo triángulo
es congruente en sí mismo, en el efecto por el
carácter idéntico de la igualdad de los segmentos y ángulos. Los
lados y ángulos de un triángulo son iguales a si mismo; razón
Secual
dice todo
que dos
triángulos
ΔABN
ΔA‟B‟C‟ son congruente si y solo
por lo
triangulo
es igual
a siymismo.
sus lados y ángulos correspondientes son iguales. Poseen la misma forma
Se dice
que dos triángulos ΔABN y ΔA’B’C’ son congruente si
y solo
si sus tamaño.
lados y ángulos correspondientes son iguales. Poel mismo
seen la misma forma y el mismo tamaño.
A
α
A’
α’
c
B
β
ΔABC
b
a
ΔA‟B‟C‟
∂
c’
C
B’
β’
b’
a’
∂’
C’
AB = A‟B‟ ; BC = B‟C‟ ; CA = C‟A‟
α = α‟
β ═ β‟
∂ ═ ∂‟
CRITERIOS
DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Para
triángulossea
seacongruentes
congruentes
es necesario
que sus tre
Paraque
que dos
dos triángulos
es necesario
que tengan
tengan sus tres lados y sus tres ángulos, respectivamente iguasus tres comprobar
ángulos, respectivamente
iguales. pues
No es
les. lados
No es ynecesario
todos los elementos,
en necesar
muchos
casos basta
se cumplanpues
la igualdad
de algunos
comprobar
todos que
los elementos,
en muchos
casos elebasta que s
mentos, para que los demás sean iguales.
cumplan la igualdad de algunos elementos, para que los demás sean iguales
El conjunto de elementos que deben ser iguales para que los
El conjunto de elementos que deben ser iguales para que los triángulos sea
triángulos sean congruentes da origen en cada caso a los criterios congruentes
de congruencia
de triángulos,
da origen
en cadaestos
caso son:
a los criterios de congruencia d
triángulos, estos son:
90
Dra. Gloria Bustamente
Primer criterio (L.L.L.)
Primer criterio (L.L.L.)
Dos triángulos son congruentes sii tienen sus tres lados iguales
Dos triángulos son
congruentes
sii AB
tienen
sus BC
tres =lados
y
y respectivamente
ΔABC
= ΔA’B’C’
= A’B’
B’C’ iguales
y
CA = C’A’
respectivamente ΔABC = ΔA‟B‟C‟ AB = A‟B‟ BC = B‟C‟ y CA = C‟A‟
A
B‟
C‟
.
Segundo criterio. (L.A.L.)
Segundo criterio. (L.A.L.)
DosDos
triángulos
sonson
congruente
triángulos
congruentesisiitienen
tienendos
dos lados
lados iguales
iguales yy el ángulo
ángulo comprendido entre ellos.
comprendido entre ellos.
ΔABC  ΔA‟B‟C‟
AB = A‟B‟
y AC = A‟C‟
A
A‟
α
B
α = α‟
α‟
C
B‟
C‟
Tercer criterio (A.LA-)
Dos triángulos son congruente si tienen un lado igual
adyacentes a dicho lado.
ΔABC  ΔA‟B‟C‟
AB = A‟B‟
y α = α‟ β = β‟
y los ángulos
α
α‟
Dos triángulos son congruentes sii tienen sus tres lados ig
respectivamente ΔABC = ΔA‟B‟C‟ AB = A‟B‟ BC = B‟C‟ y91CA =
B
C
A
B‟
C‟
B‟
C‟
Tercer
criterio
(A.LA-)
Tercer criterio
(A.LA-)
DosDra.
triángulos
son congruente si tienen un lado igual y los ánGloria Bustamente
Dos triángulos
son congruente si tienen un lado igual y los ángulos
gulos
a dicho lado.
Dra.
Gloriaadyacentes
Bustamente
adyacentes a dicho lado.
AB = A‟B‟
C
ΔABC  ΔA‟B‟C‟
.
C‟
y α = α‟ β = β‟
C
C‟
Segundo criterio. (L.A.L.)
Α
78
β
α’
β’
Dos triángulos son congruente sii tienen dos lados iguales y e
Α
A
β
α’
A’
B
Acomprendido entre ellos.
B
β’
A’
B’
B’
CRITERIO
CONGRUENCIA
ΔABC DE
 ΔA‟B‟C‟
AB =DE
A‟B‟ y AC = A‟C‟ α = α‟
CRITERIO DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS:
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS:
CRITERIO DE CONGRUENCIA
DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS:
A
A‟
A
A
A‟
α
A‟
α
α
B
α‟
α‟
α‟
B
C
B‟
C
B‟
B
C
B‟
Dos
triángulos
rectángulos
Tercer
criterio
(A.LA-) son congruente sii:
C‟
C‟
C‟
Dos triángulos rectángulos son congruente sii:
Primer
criterio (L.A.L):
los catetos
iguales.un lado igual
Dos triángulos
sonTienen
congruente
si tienen
Dos triángulos rectángulos son congruente sii:
Primer criterio (L.A.L): Tienen los catetos iguales.
ABC  aΔA‟B‟C‟
BC = B‟C‟
adyacentes
dicho lado. AB = A‟B‟
Primer criterio (L.A.L): Tienen los catetos iguales.
y los
ABC  ΔA‟B‟C‟
AB = A‟B‟
BC = B‟C‟
Segundo criterio (A.L.A.) Tiene un ángulo agudo y el cateto adyacente al
ΔABC  ΔA‟B‟C‟
AB = A‟B‟
y α = α‟ β = β‟
Segundo criterio (A.L.A.) Tiene un ángulo agudo y el cateto adyacente al
ángulo
ángulo
ABC  ΔA‟B‟C‟
ABC  ΔA‟B‟C‟
AB = A‟B‟
AB = A‟B‟
α = α‟
α = α‟
Dos triángulos rectángulos son congruente sii:
92Primer criterio (L.A.L): Tienen los catetos iguales.
ABC  ΔA‟B‟C‟
AB = A‟B‟
BC = B‟C‟
Segundo criterio (A.L.A.) Tiene un ángulo agudo y el cateto adyacente al
ángulo
ABC  ΔA‟B‟C‟
AB = A‟B‟
α = α‟
Tercer criterio (L.L.L.): Tiene un cateto y su hipotenusa iguales.
Dra. Gloria Bustamente
ΔABC  ΔA‟B‟C‟
AB = A‟B‟
AC = A‟C‟
TEOREMAS
FUNDAMENTALES:
TEOREMAS
FUNDAMENTALES:
TEOREMA DE PITÁGORAS
TEOREMA DE PITAGORAS
El teorema de Pitágoras se cumple para los triángulos rectánEl teorema
gulos. de Pitágoras se cumple para los triángulos rectángulos.
79
El Teorema
Pitágoras
estableceque
que en
en un triángulo
El Teorema
de de
Pitágoras
establece
triángulorectánrectángulo, e
gulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del
cuadrado
de rectángulo)
la hipotenusa
(el a lado
de demayor
longitud de
del
triángulo
es igual
la suma
los cuadrados
los triángulo
catetoses
(los
dosalados
menores
triángulo,delos
conforman
rectángulo)
igual
la suma
de losdel
cuadrados
losque
catetos
(los dos lados
el ángulo recto).
menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).
B
a
c
A
b
C
a 2 = b 2 + c2
TEOREMA DE THALES
Teorema para las semejanzas y proporcionalidades.
Si las rectas a, b, c son paralelas y cortan a otras dos rectas r y s, entonces
93
TEOREMA DE THALES
Teorema para las semejanzas y proporcionalidades.
Si las rectas a, b, c son paralelas y cortan a otras dos rectas r y
s, entonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales.
A
D
B
E
C
F
AB
DE
---
BC
EF
Dra. Gloria Bustamente
94
AB
DE
---
BC
EF
TEOREMAS DE EUCLIDES
El
teorema de
TEOREMAS
DE Euclides
EUCLIDESse utiliza para la proyección de los catetos
sobre
la hipotenusa
seutiliza
utilizan
dos
teoremas
secundarios:
uno
El teorema
de Euclides se
para la
proyección
de los
catetos sobre la
referido
a un cateto (en un triángulo rectángulo) y otro referido a
hipotenusa se utilizan dos teoremas secundarios: uno referido a un cateto (en
la altura.
un triángulo rectángulo) y otro referido a la altura.
En un triángulo rectángulo la medida de cada cateto es media
En un triángulo rectángulo la medida de cada cateto es media proporcional
proporcional geométrica entre las medidas de la hipotenusa y su
geométrica entre las medidas de la hipotenusa y su proyección sobre ella
proyección sobre ella
A
b
C
h
m
a.- Teorema de los catetos:
c
H
a
n
B
a.- Teorema de los catetos:
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al
la hipotenusa por la proyección del mismo cateto sobre la hipotenusa”.
producto de la hipotenusa por la proyección del mismo cateto
2
b = m.a
y
sobre la
hipotenusa”.
b.- Teorema
la altura
b2 =dem.a
c2 = n.a
y
c2 = n.a
EnTeorema
un triangulode
rectángulo,
b.la alturael cuadrado de la altura de la hipotenusa (h) es
En un triángulo
el cuadrado
deenlala hipotenusa
altura de
equivalente
al productorectángulo,
de las proyecciones
de los catetos
la
hipotenusa
Por lo tanto, (h) es equivalente al producto de las proyecciones
de los
en la hipotenusa
m.n
h2 =catetos
Por lo tanto,
h2 = m.n
81
95
Dra. Gloria Bustamente
TEOREMA
DE
STEWART
TEOREMA
DE
STEWART
Establece una relación entre la longitud de los lados de un triánEstablece una relación entre la longitud de los lados de un triángulo
gulo y la longitud de una ceviana.
longitud de una ceviana.
A
A
m
b
c
p
m
B
B
a(p2 + m.n) = b2.m
b
n
mD
- a2.n
a
D
C
n
C
a
TEOREMA DE APOLONIO.
TEOREMA DE APOLONIO.
Teorema de Apolonio (teorema de la mediana). Para todo trián-
Teorema
de Apolonio
dede
la dos
mediana).
Para todo triángulo
la su
gulo la suma
de los (teorema
cuadrados
lados cualesquiera,
es
a la mitad de
deldos
cuadrado
del tercer lado
doble
del
deigual
los cuadrados
lados cualesquiera,
es más
igual el
a la
mitad
del cuadr
cuadrado de su mediana correspondiente.
del tercer lado más el doble del cuadrado de su mediana correspondiente.
b
a
Mc
φ
a2 + b2 = ½ c2 + 2Mc
mc
φ’
C
nc
TEOREMA
DEL SENO (LEY DE SENO)
96
Se cumple para todos los triángulos que no sea rectángulos.
TEOREMA DEL SENO (LEY DE SENO)
El teorema del seno es una relación de proporcionalidad entre las longitud
Se cumple para todos los triángulos que no sea rectángulos.
de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos respectivamen
El teorema del seno es una relación de proporcionalidad entre
opuestos.
Si en un
lastriángulo
medidasy de
lados
a
las longitudes
detriángulo
los ladosABC,
de un
loslos
senos
deopuestos
los
ángulos
opuestos. Si
unentonces
triángulo ABC, las
ángulos
α, respectivamente
β y δ son respectivamente
a, en
b, c,
medidas de los lados opuestos a los ángulos α, β y δ son respectivamente a, b, c, entonces.
A
b
A
α
α
c
δ
β
B
B
δ
β
a
C
C
a
--b --c .
senα
senβ
senδ.
TEOREMA DEL COSENO (LEY DE COSENO)
TEOREMA DEL COSENO (LEY DE COSENO)
Se cumple para todos los triángulos que no son rectángulos. El teorem
Se cumple para todos los triángulos que no son rectángulos. El
relaciona
unrelaciona
lado de un
con
los otros
dos
con el
coseno
teorema
un triángulo
lado de un
triángulo
con
losyotros
dos
y con del ángu
el coseno
del ángulo
formado por estos dos lados:
formado
por estos
dos lados:
Dado un triángulo ABC, siendo α, β y δ los ángulos, y a, b, c, los
Dado un triángulo ABC, siendo α, β y δ los ángulos, y a, b, c, los lad
lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:
respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:
Dra. Gloria Bustamente
97
Dra. Gloria Bustamente
A
A
α
α
β
δ
β
B
δ
B
C
C
2
2
2
a = b + c - 2b.c. cosα
a2 = 2b2 + c2 2 - 2b.c.
cosα
b = a + c2 - 2a.c.cosβ
b2 = 2a2 + 2c2 - 2a.c.cosβ
c = a + b2 - 2a.c- cosδ
2a.b.cos
c2 = a2 + b2 - 2a.ccosδ
TEOREMA
DEDE
LAS
TANGENTES.
TEOREMA
LAS
TANGENTES.
El teorema
la tangente
es una fórmula que relaciona las lonTEOREMA
DEdeLAS
TANGENTES.
El teorema de la tangente es una fórmula que relaciona las longitude
gitudes de los tres lados de un triángulo y las tangentes de sus
El teorema de la tangente es una fórmula que relaciona las longitudes de
tres lados de un triángulo y las tangentes de sus ángulos. a, b, y c
ángulos. a, b, y c son las longitudes de los tres lados del triángutres lados de un triángulo y las tangentes de sus ángulos. a, b, y c son
de los
losángulos
tres lados
del triángulo,
y lados
α, β, respecy φ son los
lo,longitudes
y α, β, y φ son
opuestos
a estos tres
longitudes
deEllos
tres lados
del triángulo,
y α,que:
β, y φ son los ángu
tivamente.
teorema
de la tangente
establece
opuestos a estos tres lados respectivamente. El teorema de la t
opuestos a estos tres lados respectivamente. El teorema de la tange
establece que:
establece que:
A
A
α
α
98
EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIÁNGULOS
1.- Dado un cuadrilátero ABCD donde DR ┴ AC y BT ┴ AC.
Demostrar que DR = BT.
C
D
T
R
Solución:
A
B
ABCD, es un paralelogramo donde AD = BC por ser lados paralelos de un paralelogramo. <DAR = <BCR por ser alterno interno
entre paralelas.<ARD = <CTR por ser ángulos recto entonces
<ADR = <TCB.
Entonces Δ ADR = ΔBCT por el criterio A.LA. Entonces DR =
BT.
2.- Si en un triángulo M es el punto medio de AC y N es el punto
medio de CB y el segmento MN ║ AB. Demonstrar ∆ MCN .
∆DNB
C
M
A
N
D
B
99
Solución:
<DBN = <MNC por ser correspondientes entre paralelas MN ║
AB. BN = NC por ser N punto medio BC; <NCM = <DNB por
ser ángulos correspondientes entre rectas paralelas, AC ║ DN.
Luego Δ MCN Δ DNB por el criterio ALA.
3.- En un triángulo isósceles AH es la altura del lodo diferente
demostrar que ΔABH ΔACH.
A
B
H
C
Solución:
El < BHA = < CHA por ser ángulos rectos por ser BC AH.
<ABH = <ACH por ser ángulos de la base de un triángulo isósceles.
Por ser la suma de tres ángulos internos de un triángulo es igual
a 1800.Entonces <BAH = <CAH.
AB = AC por ser lados iguales de triangulo isósceles.
AH = AH por ser altura del triángulo.
Entonces ΔBAH ΔCAH por el criterio LAL.
100
EJERCICIOS PROPUESTOS TRIÁNGULOS.
1.- Demostrar que la suma de los tres ángulos internos de un
triángulo es igual a 1800
2.- La suma de dos ángulos interno de un triángulos es menor
de 1800.
3.- Demostrar que la suma de los tres ángulos externo de un
triángulo es igual a 3600.
4.- .Demostrar que el ángulo formado por la mediana y la altura
de un triángulo rectángulo, trazada ambas desde el vértice
del ángulo  recto y es igual a <B - <C
5.- Dado un triángulo ABC tal que AB < AC, se toma sobre este
último una longitud AD = AB con la cual resulta que el punto
D equidista de los vértices B y C según esto. Demostrar
que <B =<C ,
6.- En un triángulo rectángulo β = 320, cuál será el valor del
ángulo <AIC formado por el punto de la intersección de las
bisectrices de los ángulos <A y <C.
7.- Demostrar que un paralelogramo es rectángulo, si y solo si,
sus diagonales son congruentes.
8.- Los segmentos AB y CD se bisecan en E. Demostrar que el
triangulo Δ ACE ≅ Δ DBE.
101
9.- Demostrar que una diagonal de un paralelogramo lo divide
en dos triángulos congruentes.
10.- Demostrar si una recta pasa por el punto medio de un lado
de un Triángulo y es paralelo a uno de los otros dos lados entonces corta al tercer lado en su punto medio.
11.- El punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo
equidista de los tres vértices
12.- Por los vértices de un trapezoide ABCD, se trazan paralelas a las diagonales AC y BD. Demostrar que el cuadrilátero
que resulta es un paralelogramo de doble área que el trapezoide dado.
13.- En un paralelogramo A B C D, M y N son puntos medios de
los lados AB y CD. Trazar la diagonal AC. Se trazan perpendiculares a AC por M y N . Demostrar que los triángulos que se
forman son que forman son congruentes.
14.- La bisectriz del ángulo diferente de un triángulo isósceles lo
divide en dos triángulos congruentes.
15.- Si un punto en la base de un triángulo isósceles equidista de
los puntos medios de los lados congruentes, el punto biseca
a la base.
16.- En el triángulo ABC, tenemos que <ABC ≅ <ACB, si M es
punto medio de AB y N es punto medio de AC, y AB = AC entonces ΔMBC ≅ ΔNCB.
medio de AB y N es punto medio de AC, y AB = AC entonces
ΔMBC  ΔNCB.
102
17.- Dada las siguientes figuras donde tememos RS = QT; PS = PT,
<RTP
= <QSP
demostrar que
ΔRTP
= ΔQPS
17.Dada
las siguientes
figuras
donde
tememos RS = QT; PS
= PT, <RTP = <QSP demostrar
que ΔRTP = ΔQPS
P.
P
R
SR
R
T
T
18.- En la figura RV = ST ; RQ = SP
que
Q
Q
y <VRQ  <TSP. Demostrar
ΔRVQ  ΔTSP.
V
.
V
T
V
P
T
Q
S
19.- Si se tiene un triángulo ABC equilátero, donde BE = 2AB y
R
P
Q
S
el <BDE es recto. Probar que el triángulo ∆CAD es rectángulo
en A.
A
89
D
B
E
C
103
20.- Si AB ║ CD y AB = CD . Demonstrar que Δ AOB ≅ ΔCOD.
A
B
o
D
C
21.- Si BC = AD y DC = AB. Demostrar que Δ ABD ≅ Δ BCD.
C
B
D
A
22.- Si BD ┴ AC
y B es el punto medio de AC. Demostrar que
ΔABD ≅ ΔBCD.
A
D
B
C
104
23.- En el ΔABC tenemos que AB = AC; CE = CD; BF = BD y
α = 600
¿Cuál es el valor del < EDF?.
A
E
F
C
D
B
24.- Dados los puntos R, Q y S coliniales donde RQ = QP y
RV = PT. Hallar el ángulo <SQP si <QRV = 250 y <VQT = 1000.
Q
α
S
100°
25
R
V
T
P
25.- Sea D cualquier punto del lado AB, uno de los lados iguales en
un triángulo isósceles ABC. Se toma un punto F en la prolongación
del lado AC de modo que la intersección de DF con BC Es el
punto medio del segmento DF. Demostrar que CF = BO
105
26.-ABC es un triángulo isósceles tal que AB = AC. Se toma
un punto cualquiera G sobre AB y se toma un punto H en la
prolongación del lado AC de modo que BG = CH. Pruebe que GH
> BC.
27.- Dado un triángulo ABC tal que AB < AC; se toma este último
lado Una longitud AD = AB, con los cuales resulta que el punto
D equidista de los vértices B y C. Demostrar que B = 3C.
28.- Los triángulos ΔABC = ΔAED son rectángulos en B y E. Si
M y N son puntos medios de AD y PC. Probar que ME
NE.
A
E
M
B
P
N
C
D
29.- Dada la figura donde PB ║ AD y BP es bisectriz del <ABC.
Demostrar que AB = DB
C
P
A
B
D
106
30.-Si se tiene el paralelogramo ABCD, AE ll CF. Demostrar que
ΔAED  ΔBCF
F
A
D
E
B
C
31.- Considérese en el triángulo ABC; done AH es la aluta que
parte desde el vértice A, si AW es la bisectriz del ángulo A.
el <A es mayor que <C.
Entonces el ángulo determinado por la altura (AH) y la bisectriz
del ángulo
A, (WA) es igual a < HAW = <B - <C .
2
A
B
H
W
C
PROPORCIONALIDADES Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULO.
PROPORCIONALIDADES Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULO.
Segmentos Proporcionales:
107
os Proporcionales:
Dado los conjunto de segmentos S= [ AB, BC, CD,.]
conjunto de segmentos S= [ AB, BC, CD,.]
s‟ = {A‟B‟, B‟C‟.C‟D‟…}
SEMEJANZA
, B‟C‟.C‟D‟…}
PROPORCIONALIDADES
Y SEMEJANZA
DE biunívoca
TRIÁNGULO.
Entre los
dos conjunto existe una
correspondencia
F ( a cada
dos conjunto
existeProporcionales:
una correspondencia biunívoca F ( a cada
Segmentos
elemento
selos
S leconjunto
corresponde
un elemento
S‟) BC, CD,.]
Dado
de segmentos
S= de
[ AB,
o se S le corresponde un elemento de S‟)
s’ = {A’B’, SB’C’.C’D’…}
S’
Entre
los
dos
conjunto
existe
una
correspondencia
biunívoca F
S
S’
A’Bun elemento de S’)
( a cada AB
elemento se S le corresponde
AB
A’B
s
BA
B’C s
BA
B’C
AB
CD
C’D’A’B
CD
C’D’
BA
B’C
CD
C’D
Una proporcionalidad
es una es
correspondencia,
si conserva
la igualdad,
Una proporcionalidad
una correspondencia,
si conserva
la el
porcionalidad es una correspondencia, si conserva la igualdad, el
orden
la suma entre
elementos de S y S’.
orden igualdad,
y la sumaelentre
losyelementos
de Slos
y S‟.
la suma entre los elementos de S y S‟.
Es
decir
(igualdad)
Es decir: AB = AC
→ A‟B‟ = A‟C‟
(igualdad)
s decir: AB = AC AB→> BC
A‟B‟ = A‟C‟
(igualdad)
(orden)
→ A‟B‟ > B‟C‟
(orden)
AB > BC AB→
A‟B‟
>
B‟C‟
(orden)
(orden)
< BC
→ A‟B‟ < B‟C
(orden)
AB < BC
A‟B‟
< B‟C
(orden)
AC→= AB
+BC
→ A’B’ = A’B’
+ B’C’ (suma)
(suma)
AC = AB +BC → A’B’ = A’B’ + B’C’ (suma)
En tal caso se dice que los segmentos son proporcionales y se
En tal pueden
caso se escribir:
dice que los segmentos son proporcionales y se
so se dice que los segmentos son proporcionales y se
pueden escribir: AB -- BC -- CD --…………= K,
ҰKεR K≠0
-- CDB‟C‟
--…………=
ҰKεR K≠0
escribir: AB -- BC A‟B‟
C„D„ K,
A‟B‟
B‟C‟
C„D„
RAZON: Es el cociente entre dos cantidades, es decir, dividir la primera
RAZON:entre
Es eldos
cociente
entre es
dosdecir,
cantidades,
es primera
decir, dividir
Es el cociente
cantidades,
dividir la
la
primera
cantidad
entre
la
segunda
cantidad:
es
importante
cantidad entre la segunda cantidad: es importante que
el estudiante
que
el
estudiante
entienda
que
una
razón
es
el
cociente
entre la segunda cantidad: es importante que el estudiante de
cantidades
medidas
semejantes.
entienda
que una de
razón
es el cociente
de cantidades de medidas semejantes.
que una razón es el cociente de cantidades de medidas semejantes.
95
95
108
a . -- k
Razón
b
Constante de proporcionalidad (k) es el valor de una razón y es
un número real. Proposición: es la igualdad de dos razones
a . -b
c .
d
ó
a: b = c: d
se lee a es a b como c es a d. Donde a y d son extremo de la
proporción, b y c son medios de la proporción.
TIPOS DE PROPORCIONES:
1.- Cuarta proporcional: Se llama cuarta proporcional de tres
cantidades a, b y c, a un valor x que cumple la condición
a . -b
c .
x
ó
a.b = c.x
2.- Tercera proporcional: Se llama tercera proporcional de dos
cantidades a y b, a un valor x que cumple la condición.
a . -- b . ó
a.b = b.x
b
x
Cuando la tercera proporcional ocupa la posición de un extremo
los medios deben ser iguales..
3.- Media proporcional: Se llama media proporcional de dos
valores a y d, a un valor x, que cumple la siguiente condición.
a . -- x .
x
d
ó
a.x = x.d
109
Siempre ocupa la posición de los medios.
También. Se dice: Si los dos medios de una proporción son
iguales, cualquiera de ellos se denomina medio proporcional
entre el primer término y el cuarto.
4.- Serie de razones iguales: Dada una serie de razones iguales:
a . -- c -- e. -- g .
……
b
d
f
h
Se cumple que la suma de todos los
denominadores, como un numerador
denominador.
a . + c . + e .+ g … . -- a . -b + x + b + x…
b
numeradores es a los
cualquiera es a su
c . -- e . -d
f
g . -h
TEOREMA DE TALES.
Sean m y m’ son dos rectas transversales a un conjunto de restas
paralelas l1, l2, l3, …..ln, entonces los segmentos determinado sobre
m, son proporcionales a los determinados sobre m’
Si l1 || l2 || l3 || …..|| ln debe cumplirse que:
m
m
A
A’
B
C
D
t
AB .-A’B’
B’
C’
BC -- CD .
B’C
C‘D
……
110
PRINCIPIOS DE LAS PROPORCIONALIDADES:
1.- Toda recta paralela a un lado de un triángulo determina sobre
los otros dos lados o sus prolongaciones segmentos que son
proporcionales
A
Si l ║ BC→ AP -- PB
AQ
QC
Q
P
C
B
2.- Si una recta determinada sobre dos lados de un triángulo o
sus prolongaciones segmentos proporcionales, entonces es paralela al tercer lado.
A
Si
Q
v
B
P
C
AQ
BP
QC
BC
→ l ║ AB
111
3.- El segmento que une los puntos medios de dos lados de un
triángulo es paralelo al tercer lado e igual a su mitad.
.Si M1 es punto medio de AB y M2 es punto medio de BC, entonces
M1M2 ║ AC
Λ M1M2 -- AC .
2
B
M2
M1
A
C
4.- La bisectriz de un ángulo en un triángulo, divide al lado opuesto en dos segmentos proporcionales a los lados continuos.
A
BW es bisectriz del ángulo α
AB -BC
α α
2 2
B
W
C
AW
WC
112
SEMEJANZA DE TRIÁNGULO:
Dos triángulos son semejantes si y solo si, sus lados correspondientes son proporcionales y sus ángulos son congruentes.
A
A
B
C
B
C
Intuitivamente dos triángulos son semejantes cuando tienen la
misma forma aunque no necesariamente del mismo tamaño.
AN -ΔABC ~ΔA’B’C’
BC --
A’B’
B’C’
α = α’ : β = β’
CA -- k
C’A’
y ∂ = ∂’
Donde K es ka razón de semejanza.
La congruencia de triángulo es un caso particular de semejanza
donde
K = 1.
CRITERIO DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULO:
Primer criterio (AA)
Dos triángulos son semejantes si y solo si tienen dos ángulos
son congruentes.
113
A’
A
α
α
β
β’
B
ΔABC ~ ΔA’B’C’
C
→
α = α’
C’
β = β’
Segundo criterios (L.A.L.)
Dos triángulos son semejantes si y solo si tienen un ángulo igual
y los lados que lo forman son proporcionales
ΔABC ~ ΔA’B’C’
→
α = α’
AB -A’B’
AC .
A’B’
Tercer criterio (L.L.L.)
Dos triángulos son semejantes si y solo si, tienen son tres lados
proporcionales.
ΔABC ~ ΔA’B’C’ →
AN -- BC -- CA
A’B’
B’C’
C’A’
114
Principios:
1.- Dos triángulos rectángulos son semejantes si y solo si:
tienen un ángulo agudo igual.(AA).
2.- Dos triángulos isósceles son semejantes si y solo si: tienen
igual el ángulo opuesto a la base (LLL).
3.- Todos los triángulos equiláteros son semejantes (LLL).
4.- Dos triángulos, si tienen sus lados proporcionales son
semejantes.(AA).
5.- En un triángulo rectángulo la altura correspondiente a la
hipotenusa divide al triángulos dado en otro dos semejantes a
él y semejante entre si.
A
ΔABC ~ ΔABH ~ ΔACH
H
B
MEDIAS PROPORCIONALES EN EL
TRIÁNGULO RECTÁNGULO.
C
1.- En todo triángulo rectángulo la altura correspondiente a la
hipotenusa es media proporcional entre los segmentos que su
pie determina sobre la hipotenusa. ΔABC es rectángulo en B.
BC es la hipotenusa del ΔABC
AH altura correspondiente a la hipotenusa BC.
Se cumple: BH . -- AH .
AH
BC
2.- En todo triángulo rectángulo, cualquiera de los catetos es m
proporcional entre la hipotenusa y la proyección del cateto sob
115
hipotenusa.
BC -- AB
BC -AC
2.cualquiera de los catetos es
AB En todo
BHtriángulo rectángulo,
AC
HC
medio proporcional entre la hipotenusa y la proyección del cateto
TEOREMA
DE PITÁGORAS
sobre
la hipotenusa.
BC -- AB
BC -AC
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la
AB
BH
AC
HC
de los cuadrados de los catetos.
TEOREMA DE PITÁGORAS
En todo triángulo rectángulo
el cuadrado de la hipotenusa es
A
2
igual a la suma de los cuadrados de
= bcatetos.
+ c2
a2los
A
B
a2 = b2 + c2
H
C
RESUELTOS
DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULO
B EJERCICIOS
H
C
1.- Dado un triángulo rectángulo donde N es el punto medio de la hipote
EJERCICIOS RESUELTOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULO
un triángulo
rectángulo
donde
el punto
medio
y1.-elDado
segmento
MN es paralelo
al lado
ABNyesMN
I AC
en N.deDemostra
la hipotenusa y el segmento MN es paralelo al lado AB y MN
el ΔAC
ABC
CMN.
en ~N.ΔDemostrar
que el Δ ABC ~ Δ CMN.
B
M
A
Solución:
N
C
116
Dra. Gloria Bustamente
Dra. Gloria Bustamente
Solución:
El < BCA = <MNC = 900
El < BCA = <MNC = 900
<ACB = < MCN es un ángulo común
<ACB = < MCN es un ángulo común
Como <ABC + <BAC + <ACA = 1800 y <NMC +<MNC + <NCM =1800 por
Como <ABC + <BAC + <ACA = 1800 y <NMC +<MNC + <NCM =1800 por
ser ángulos internos de los triángulos ΔABC y ΔMNC entonces,
ser <ABC
ángulos
internos de los triángulos ΔABC y ΔMNC entonces,
+ <BCA + <CAB = <NMC + <MNC + <NCM por ser igual a 1800
<ABC
+ <BCA
+ <CAB
<NMC
+ <MNC
<NCM por ser igual a 1800
entonces
tenemos
que = <ABC
= <NMC
por+demostración.
entonces
tenemos
<ABC
= <NMC
por demostración.
Entonces,
ΔABC que
~ ΔMNC
por el
criterio AAA
AB ΔABC
-- BC~ ΔMNC
-- CA por
. el criterio AAA
Entonces,
MN
MC
NC
AB -- BC -- CA .
2.- En todo
MN
MC triángulo
NC oblicuángulo, el cuadrado del lado opuesto
2.- En todo triángulo oblicuángulo, el cuadrado del lado opuesto al ángulo
al ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros
es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el
dos,todo
menos
el doble
producto de
uno de ellos
por la
proyección
2.- En
triángulo
oblicuángulo,
el cuadrado
del lado
opuesto
al ángulo
del otro
lado de
sobre
él.ellos por la proyección del otro lado sobre él.
doble
producto
uno de
agudo
agudo
es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el
B
doble producto de uno de ellos por la proyección del otro lado sobre él.
h B
c
A
Solución:
c
m
m
h
a
n
H
a
C
n
A
Probaremos en el ΔABC
que a2 =Hb2 + c2 - 2bm. C
Por el teorema de Pitágoras en el ΔABH por ser recto en H ya que h es
Solución:
altura se tiene c2 = h2 + m2 y en el ΔCBH tenemos que a2 = h2 + n2
Probaremos en el ΔABC que a2 = b2 + c2 - 2bm.
117
Solución:
Probaremos en el ΔABC que a2 = b2 + c2 - 2bm.
Por el teorema de Pitágoras en el ΔABH por ser recto en H ya
que h es altura se tiene c2 = h2 + m2 y en el ΔCBH tenemos que
a2 = h2 + n2
Dra. Gloria Bustamente
Despejando h2 en cada una de las ecuaciones.
h2 = c2 - m2 h22 = a2 – n2
donde b = m + n
Despejando h en cada una de las ecuaciones.
a2 – n2 = c2 – m2
despejando n = b – m
h 2 = c2 - m 2
2
2
h 2 = a 2 – n2
donde b = m + n
a – ( b – m) = c – m
despejando n = b – m
a 2 – n 2 = c2 – m 2
a2 – (b2 - 2bm + m2 ) = c2 – m2
– m)
a2 – ( b–
a2 – b2 + 2bm
m22==c2 c– 2m2– m2
2
2
2
2
2
a – (b - 2bm
–m
2
a2 = b2 – 2bm
+ m2 ++2mc2) 2=–c m
2
2
2
a – b + 2bm – m = c – m
a2 = b2 + ca22=–b2 2bm
era lo que queríamos demostrar
– 2bm + m2 + c2 – m2
2
a2 = b2 + c2 – 2bm
2
era lo que queríamos demostrar
EJERCICIOS PROPUESTOS SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.
EJERCICIOS PROPUESTOS SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.
1.- Los triángulos
Δ ABC y Δ AED son rectángulos en B y E.
Si M y 1.-NLos son
puntos medios de AD y PC. Probar que ME
triángulos Δ ABC y Δ AED son rectángulos en B y E. Si M y N
I NE. son puntos medios de AD y PC. Probar que ME I NE.
A
M
B
E
P
N
C
D
105
2.- Dado el triángulo Δ ABC donde M y N son punto medios de los lados
118
AB y CB. Demostrar que MN║ CA y MN =
AC .
2
Dado
Δ ABC
donde
M yrectángulo,
N son punto
medios
3.- La 2.altura
deel
latriángulo
hipotenusa
de un
triángulo
forma
dosde
triángulos
los lados
rectángulos
entre si que
y también
al triángulo
dado.
ABsemejantes
y CB. Demostrar
MN║ son
CA semejantes
y MN = AC
.
2
3.- La altura
la triángulos
hipotenusarectángulos
de un triángulo
4.- Demostrar
quede
dos
son rectángulo,
semejantesforma
si tienen un
dos triángulos rectángulos semejantes entre si y también son
ángulosemejantes
agudo igual.
al triángulo dado.
4.- Demostrar que dos triángulos rectángulos son semejantes si
5.- Todos
losuntriángulos
equiláteros
tienen
ángulo agudo
igual. son semejantes.
6,. Si 5.una
recta
determina equiláteros
sobre dosson
lados
de un triángulo o
Todos
los triángulos
semejantes.
sus
prolongaciones
segmentos
proporcionales,
entonces
paralela
al tercer
6.- Si una recta
determina
sobre dos lados
de un es
triángulo
o sus
prolongaciones segmentos proporcionales, entonces es paralela
lado e igual a la mitad.
al tercer lado e igual a la mitad.
7.-Dado el trapecio ABCD donde AB║ CD y AF ┴ BE en F, y BC ┴ DC
7.-Dado el trapecio ABCD donde AB║ CD y AF ┴ BE en F, y
en C. Demostrar que ΔABF ~ ΔBCE..
BC ┴ DC en C. Demostrar que ΔABF ~ ΔBCE..
A
B
F
D
E
C
Dra. Gloria Bustamente
8.- El segmento que une los lados de un triángulo es paralelo al tercer
119
Igual a la mitad
8.- El segmento que une los lados de un triángulo es paralelo al tercer lado
Igual
lasegmento
mitad
9.-aEl
Dado
un triángulo
ΔABC
y PQde║un
BCtriángulo
Demostrar
que el ΔABC
~ ΔA
8.que une
los lados
es paralelo
al
tercer lado e Igual a la mitad
A
9.- Dado un triángulo ΔABC y PQ ║ BC Demostrar que el ΔABC ~ ΔAPQ
9.- Dado un triángulo ΔABC y PQ ║ BC Demostrar que el
A
ΔABC ~ ΔAPQ.
P
C
P
Q
Q
B
C
B
10.- Si AD ┴ AB y DC ┴ AD. Demostrar que
10.- Si AD ┴ AB y DC ┴ AD. Demostrar que
AB
DC
AB
DC
--
--
AD .
BC
AD .
BC
CIRCUNFERENCIA
Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano
que equidistan de un punto fijo llamado centro, también podemos
decir, que es el conjunto de puntos que están a igual distancia
de un punto dado llamado centro.
de un punto fijo llamado centro, también podemos decir, que es el conjunto
120 que están a igual distancia de un punto dado llamado centro.
de puntos
PARTES
DE UNA CIRCUNFERENCIA:
CIRCUNFERENCIA
PARTES DE UNA CIRCUNFERENCIA:
Radio
… …….cuerda
Circunferencia…….
……arco
diámetro
.recta secante
… recta tangente
T
recta exterior
Radio: es el segmento de recta que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de ella. Se denota con la letra r.
Radio: es el segmento de recta que une el centro de la circunferencia con
cualquier punto de ella. Se denota con la letra r.
Diámetro: es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia,
la cuerda
de mayor
conformado por
Diámetro:
es laes
cuerda
que pasa
por el longitud
centro deestá
la circunferencia,
es lados
radios. Se denota con la letra D y es D = 2r.
cuerda de mayor longitud está conformado por dos radios. Se denota con la
Cuerda: es el segmento de recta que une dos puntos cualquiera de la circunferencia.
letra D y es D = 2r.
Cuerda: es el segmento de recta que une dos puntos cualquiera de la
Arco de la circunferencia: es el conjunto de puntos de la circunferencia que se encuentra entre dos puntos dados. Se denocircunferencia.
ta con un arco sobre los puntos AB.
Recta secante: es la recta que corta a la circunferencia en dos
puntos.
108
121
Recta Tangente: es la recta que toca a la circunferencia en un
solo punto y este punto se llama punto de tangencia y se denota con la letra T. El radio corta a la recta tangente en el punto
de tangencia en forma perpendicular.
Recta Exterior: es la recta que no corta a la circunferencia en
ningún punto.
Longitud de la circunferencia: es el entorno de la circunferencia. Se denota con la letra L y es L = 2π r.
Interior de la circunferencia: es el conjunto de puntos del plano
cuya distancia al centro es menor que el radio.
Exterior de una circunferencia: es el conjunto de puntos del
plano cuya distancia al centro es mayor que el radio.
Ángulo central: es todo ángulo que tiene su vértice en el centro
de la circunferencia y sus lados son radios de la circunferencia.
Arco menor: cuando la medida del ángulo central que lo subtiende es menor de 1800
Arco mayor: cuando la medida del ángulo central que lo subtiende es mayor a 1800.
Semi-circunferencia: es aquel arco cuya medida del ángulo
central es igual a 1800, o sea es un ángulo llano. (es media circunferencia).
122
CÍRCULO:
Es el conjunto de los puntos internos de una circunferencia y su
entorno.
Sector Circular
Sector circular: es la porción del círculo limitada por dos
radios, lados de un ángulo central y el arco correspondiente.
Corona circular: es el lugar geométrico comprendido entre
dos circunferencias concéntricas de diferentes radios
Área de un círculo: es la superficie cerrada en una circunferencia.
Ao = π r2
donde
π = 3.141º6…
Semi círculo: es el sector circular comprendido
diámetro y la semicircunferencia correspondiente
entre un
123
Área del círculo: corresponde al valor de la superficie encerrada
en una circunferencia. Se denota por A = π r2
PRINCIPIOS DE UNA CIRCUNFERENCIA.
Todo diámetro divide a la circunferencia o el círculo en dos partes
iguales.
Un diámetro perpendicular a una cuerda, biseca la cuerda y sus
arcos correspondientes.
La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia.
(es el diámetro).
Toda recta tangente a una circunferencia es perpendicular al
radio en su punto de tangencia.
POSICIÓN RELATIVA DE LAS CIRCUNFERENCIAS.
Circunferencias concéntricas: son las que tienen el mismo
centro.
Si O1 = O2
y r1 ≠ r2 C1 y C2.
Circunferencias congruentes: son aquella circunferencia que
tienen radios iguales. r1 = r2 y o1 = o2 entonces C1 = C2
124
Circunferencias exteriores: cuando los puntos de una circunferencia son exteriores a la otra circunferencia.
Circunferencias Interiores: cuando los puntos de una de las
circunferencia son puntos internos de la otra circunferencia. Y
pueden ser concéntricas cuando tienen en mismo centro y excéntricas cuando están dentro de la circunferencia pero con centros diferentes.
Circunferencias secantes: son aquellas circunferencias que
tienen dos puntos comunes.
Circunferencias Tangentes: son aquellas que tienen un punto
en común, denominada punto de tangencia y se denota con la
letra T.
125
Circunferencias tangentes exteriores: cuando tiene un punto
en común y los demás puntos son externos.
Circunferencias tangentes interiores: cuando tienen un punto
en común y los demás puntos son internos a una circunferencia.
ÁNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA,
Ángulo Central: es el ángulo cuyo centro está en el centro de la
circunferencia y sus lados son dos radios. La medida de un
ángulo central es igual al arco que lo subtiend θ = AB
A
θ
B
126
Ángulo inscrito: es el ángulo cuyo vértice está sobre la circunferencia y sus lados son cuerdas.. Un ángulo inscrito es igual
a la mitad del arco que lo subtiende.
Θ -- AB .
2
A
O
Θ
B
Ángulo semi-inscrito: es aquel cuyo vértice está en la circunferencia y un lado es una cuerda y el otro lado un segmento
tangente es igual a la mitad del arco que lo contienen.
Θ -- AT .
2
T
Θ
A
.
T
127
A
Ángulo
interior:
es un ángulo
vérticecuyo
se encuentra
Ángulo
interior:
es uncuyo
ángulo
vértice sedentro
encuentra de
de la circunferencia o sea que es un punto interno en una
circunferencia
o seadel
que
es unSu
punto
interno
en una
circunferencia,
diferente
centro.
medida
es igual
a lacircunferencia
semi
suma de los arcos interceptados por dicho ángulo y el de su
del centro. Su medida es igual a la semi suma de los arcos interce
opuesto por el vértice.
dicho ángulo y el de su opuesto por el vértice.
Θ --
AB + CD .
2
A
A
B
B
C
C
D
D
Ángulo exterior: es el ángulo cuyo vértice es un punto exterior de la Circunferencia y sus lados pueden ser: rectas secantes, rectas tangentes o una recta secante y una tangente.. Su
medida es igual a la semi diferencia de los arcos limitados por
sus lados. Θ -- AB – CD
2
A
C
Θ
D
B
semi diferencia de los arcos limitados por sus lados. Θ -A
AB – CD .
2
C
128
θ
D
B
EJERCICIO RESUELTOS DE CIRCUNFERENCIA
EJERCICIO RESUELTOS DE CIRCUNFERENCIA
1.- Dada la circunferencia de centro O, desde el punto A exterior
1.- Dada la circunferencia de centro O, desde el punto A exterior se traza la
se traza la recta secante ABC de modo que AB = r también por
recta secante ABC de modo que AB = r también por A se traza otra recta
A se traza otra recta secante AOD que pasa por el centro de la
secante AOD que pasa por el centro de la circunferencia. Demostrar que
circunferencia. Demostrar que el <COD = 3 < BAO
el <COD = 3 < BAO.
C
D
B
O
E
A
Solución:
Tesis
Hipótesis
<COD = 3115<BAO
AB = r
OC = OD = OB = r; por se O centro de la circunferencia.
Demostración:
Los triángulos ΔABO y ΔBOC son isósceles por hipótesis
BA = BO = r por hipótesis
OB = OC por ser radio de la circunferencia.
En ΔABO el < BAO = < BOA por ser triángulo isósceles
entonces el <CBO = <BAO + < BOA por ser ángulo exterior al
ΔABO entonces <CBO = 2 <BAO.
El ΔBOC es isósceles por lo tanto <CBO = < BCO = 2<BAO
como el < COD es un ángulo exterior al ΔAOC entonces el
<COD = <BAO + <BCO Como <BCO = 2<BAO entonces
tenemos que <COD = <BAO + 2<BAC → <COD = 3<BAO.
El ΔBOC es isósceles por lo tanto <CBO = < BCO = 2<BAO como el
129
< COD es un ángulo exterior al ΔAOC entonces el <COD = <BAO + <BCO
Como <BCO = 2<BAO entonces tenemos que <COD = <BAO + 2<BAC
→
que todo ángulo exterior a una circunferencia
<COD2.= Demostrar
3<BAO.
es igual a la semidiferencia de los arcos limitados por sus
lados..
2.- Demostrar que todo ángulo exterior a una circunferencia es igual a la
semidiferencia de los arcos limitados por sus lados..
A
C
Θ
E
D
Dra. Gloria Bustamente
B
Solución:
116
Trazamos el segmento AD, luego resulta el ΔAED donde tenemos
que
el < ADB = AB por ser ángulo inscrito y el < CAD = CD por ser ángulo
2
2
inscrito en una circunferencia, entonces, <ADB es ángulo exterior al
ΔAED por lo tanto < ADB = <CAD + <CED como <CAD = CD y
2
y < ADB = AB
2
entonces
< CED = <ADB - <CAD
< CED -- AB 2
CD
2
→
θ -- AB - CD
2
3.- La perpendicular trazada desde el centro de una circunferencia a una
cuerda, biseca a la cuerda y a los arcos que los subtiende.
<
→
θ
< CED
CED --- AB
AB -- CD
CD
→
θ --- AB
AB -- CD
CD
2
2
2
2
2
2
130
< CED -- AB - CD
→
θ -- AB - CD
2
2
2
3.La
perpendicular
trazada
desde
el
centro
de
una
3.- La perpendicular trazada desde el centro de una circunferencia
circunferencia
3.- La perpendicular trazada desde el centro de una circunfecuerda,
biseca
a
y atrazada
los arcos
que los
subtiende.
La perpendicular
desde
el centro
de una circunfer
Dra. Gloria3.cuerda,
biseca
a la
la cuerda
cuerda
arcos
los
subtiende.
rencia
a Bustamente
una
cuerda,
bisecayaalalos
cuerda
yque
a los
arcos
que los
subtiende.
Solución:
cuerda, biseca a la cuerda y a los arcos que los subtiende.
Solución:
Solución:
P
Hipótesis
Tesis
Solución:
Hipótesis
Tesis
Sea
circunferencia
Sea la
la Hipótesis
circunferencia de
de centro
centro o
o
OQ
OQ
P
O
AB la circunferencia de centro o
ll Sea
.. AB
OQ
l . AB
O
A
M
A
B
M
AM
Tesis
AM =
= MB
MB
AQ =
= AM
BQ = MB
AQ
BQ
AP =
= AQ
PB = BQ
AP
PB
B
Q
AP = PB
Se trazan los radios AO y OB.
Los <AMO = <BMO = 90º por ser OQ ┴ AB por hipótesis.
AO = OB por ser radio de la circunferencia.
OM = OM por ser lado común, entonces los ∆AOM ≈ ∆ BOM por ser
triángulos rectángulos y tener un cateto y sus hipotenusas iguales. Entonces
se tiene que AM = MB entonces M es el punto medio de AB
<AOM = <MOB por ser opuestos a lados iguales de triángulos congruentes.
Entonces AQ = QB por ser arcos de ángulos centrales e iguales.
AP = <POA por ser Angulo central
BP = <POB por ser Angulo central
Como los <POA = <POB por ser ángulos adyacentes y miden 90º; entonces
queda demostrada la tesis.
EJERCICIOS PROPUESTOS CIRCUNFERENCIA.
131
Dra. Gloria Bustamente
EJERCICIOS PROPUESTOS CIRCUNFERENCIA.
1.- Hallar el valor de los ángulos α y β, el arco AB en cada
uno de los siguientes casos.
(a)
32
C
E
0
B
800
T
(b)
D
α
β
α
1000
G
B
β
C
(d)
380
E
A
B
A
c)
1300
F
β
860
1050
B
D
A
D
0
29
C
A
C
720
α
β
B
1050
E
B
A
β
56
D
0
350
A
700
C
α
β
B
F
D
119
Gloria Bustamente
132
Dra. Gloria Bustamente
ean dos circunferencias tangentes interiores en T, si AD y CD son
tas secantes
cualquiera
trazadas tangentes
por T . Probar
que
ACsi AD
ll yBDCD yson
2.- Sean
dos circunferencias
interiores
en T,
AT -- CT .
BT
DT
rectas secantes cualquiera trazadas por T . Probar que AC ll BD y
AT
BT
-- CT .
DT
A
A
B
B
T
T D
CD
C
3.-Unestá
cuadrilátero
está
en unasi circunferencia
si sus
n cuadrilátero
inscrito
una inscrito
circunferencia
sus
ángulos
3.-Un cuadrilátero
estáen
inscrito
en una circunferencia
si sus
ángulos
opuestos
son suplementario.
estos sonángulos
suplementario.
opuestos
son
suplementario.
4.- Demostrar que los segmentos tangentes desde un punto
Demostrar
quecircunferencia
los segmentos
tangentes
desde
un punto
externo
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externo
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congruentes
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la circunferencia.
pasa porcircunferencia.
el punto y el centro de la circunferencia.
A
A
O
P
O
P
B
B
5.- En una circunferencia OA es igual al diámetro y AB es igual al
radio de la circunferencia dada y <BAE = 200. Hallar el valor de ángulo
n una circunferencia OA es igual al diámetro y AB es igual al
<COD.
133
5.- En una circunferencia OA es igual al diámetro y AB es
igual al radio de la circunferencia dada y <BAE = 200. Hallar el
valor de ángulo <COD.
Dra. Gloria Bustamente
Dra. Gloria Bustamente
C
C
B
B
O
O
A
A
D
D
6.- Si e traza una recta tangente exterior a dos circunferencia de
6.- Si e traza
unayrecta
exterior
a dos circunferencia
de diferentes
diferentes
radios,
los tangente
radios esta
separados
por una distancia
mayor
quey los
su radios
suma.
radios,
esta separados por una distancia mayor que su suma.
- Si e traza una recta tangente exterior a dos circunferencia de diferentes
dios, y los radios esta separados por una distancia mayor que su suma.
.
.
.
O
O’
.
O 7.- Demostrar que en toda circunferencia, si dos cuerdas
O’ iguales se cortan,
7.- Demostrar que en toda circunferencia, si dos cuerdas iguales
los segmentos de una cuerda son respectivamente iguales a los segmentos
se cortan, los segmentos de una cuerda son respectivamente
de la otra cuerda.
iguales a los segmentos de la otra cuerda.
8.- Demostrar
que la perpendicular trazada desde el centro de
8.- Demostrar que la perpendicular trazada desde el centro de la
la circunferencia
acircunferencia,
una
cuerda, biseca
cuerda
yque
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arcos
- Demostrar
que en toda
doslaycuerdas
se que
cortan,
circunferencia
a una
cuerda, biseca lasicuerda
los arcos iguales
subtiende.
los subtiende.
s segmentos de una cuerda son respectivamente iguales a los segmentos
e la otra cuerda.
134
CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS PLANAS
Las construcciones son lugares geométricos de una figura conociendo una o varias condiciones geométricas restrictivas.
Lugar geométrico es el conjunto de todos los puntos que satisfacen una o más condiciones dadas.
Para determinar el lugar geométrico seguimos los siguientes pasos:
a) Construimos una figura de análisis.
b) Localizamos varios puntos que satisfagan las condiciones dadas.
c) Trazamos una o varias líneas rectas o curvas que pase
por los puntos.
d) Formar una conclusión referente al lugar geométrico y
describir con exactitud la figura geométrica que representa la conclusión.
e) Probar la conclusión demostrando que la figura satisface
las característica del lugar geométrico.
EJERCICIOS RESUELTOS DE CONSTRUCCIONES DE
FIGURAS PLANAS
Dra. Gloria Bustamente
1.- Construir una circunferencia de razón a/b sobre el segmento
AB. (Circunferencia de Apolunio).
Solución:
P
A
X
a) dado el segmento AB
b) Dado un punto P fuera de AB.
B
Q
135
a) dado el segmento AB
b) Dado un punto P fuera de AB.
c) Unimos los punto A y B con P
d) Hallamos la bisectriz de los ángulos internos y externo al
ángulo de vértice P.
e) Esas dos bisectrices deben formar un ángulo de 900.
f) Prolongamos el segmento AB hasta que corte la bisectriz del
ángulo
externo.
g) Hallamos el punto medio de RQ que será el centro de la
Circunferencia.
h) Trazamos una circunferencia de diámetro RQ y que pase por
P.
i) este es la circunferencia de Apolonio.
2.- Dado el segmento AB y un ángulo comprendido 00 < α < 1800.
Bustamente
TraceDra.elGloria
arco
capaz de α sobre AB
Solución:
O
A
a) Construimos el segmento AB.
b) Trazamos la mediatriz del segmento AB.
B
136
a) Construimos el segmento AB.
b) Trazamos la mediatriz del segmento AB.
c) En el extremo A del segmento AB, trazamos el ángulo dado en
la parte inferior.
d) Trazamos en la parte superior del segmento AB, y por el punto
A una recta perpendicular al lado del ángulo de tal manera que
corte la mediatriz del segmento AB.
e) El punto de corte de la mediatriz del segmento AB y la recta
perpendicular es el centro de la circunferencia que forma el arco
capaz del ángulo dado.
EJERCICIOS PROPUESTOS
CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS PLANAS
1.- Construir una circunferencia que pasa por tres puntos no
colineales.
2.- Construir un triángulo conociendo sus tres lados.
3.- Construir un triángulo isósceles ∆ABC conociendo su base
y la altura.
4.- Construir un triángulo ABC conociendo A, ha, Wa.
5.- Construir un cuadrilátero ABCD conociendo AB, BC, la
diagonal AC y los ángulos < ADB y <DBC.
6.- Construir un paralelogramo ABCD conociendo AB, AC y β.
7.- Construir una circunferencia conociendo su diámetro.
8.- Construir un arco capaz en el segmento AB y con un <600
9.-Construir un arco capaz en el segmento AB y con un < 1300.
10.-Construir un pentágono.
11.- Construir un octágono.
12.-Construir un rombo conociendo sus diagonales.
13.- Trazar una tangente interior a dos circunferencias de radios
iguales.
14.- Construir un triángulo conociendo dos lados y un ángulo
opuesto a un lado dado.
138
BIBLIOGRAFÍA
BALDOR, A. ( 1992 ) Geometría plana y del espacio. Editorial
cultura venezolana S.A. Caracas.
BALLESTER C. (1995) Geometría. Fondo Editorial. CNAMEC.
Caracas.
CLEMENS S. Y O’DAFFER P. (2002) Geometría. Aplicaciones y
solución de problemas. Editorial Iberoamericana. España,
DURAN, D.(2000) Geometría Euclidiana Plana. Ediluz
Maracaibo- Venezuela.
GOMËZ, A. (1990) Geometría Instituto Universitario del
Mejoramiento Profesional del Magisterio.
HEMMERLING, E. (1991) Geometría Elemental. Editorial,
Limusa. México
JAMES, N.(1997) Sigma (El mundo de la Matemática) Tomo I
Grijalbooo. Barcelona.
MARTINO, A. ( 1989 ) Álgebra Lineal y Geometría Euclidiana
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(Geometría) Fondo Educativo Interamericano. Colombia.
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Regional de ayuda técnica. Mexico.
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Editorial Trillas, Mexico.
RODRIGUEZ DE, M.(1982) GEOMETRÍA Modulo III. Colegio
Universitario de Maracaibo. Venezuela.
139
RODRÍGUEZ, J. y Ruiz, J. ( 1998 ) Geometría Proyectiva.
Editorial Addison Wesley. España.
VIEDMA, J, (1992) Lecciones de geometría intuitiva . Editorial
McGraw-Hill, Mexico.
Este libro fue impreso en los talleres de Grafifor,C.A.
el mes de Septiembre del año 2013. Se emplearon
tipos Arial 12. Consta de un tiraje de 1000 ejemplares
MUNDO
GEOMETRICO
LIBRO DE TEORÍA DE GEOMETRÍA
Dra. Gloria Bustamante
El presente libro se realizó debido a la necesidad de
tener un apoyo para los estudiantes y docentes en el
estudio de la geometría plana, en todos los niveles del
sistema educativo. Razón por la cual este libro comienza del estudio de la geometría desde sus comienzo A.C.
(Antes de Cristo) hasta la actualidad, donde se estudiaron los términos primitivos como punto, recta y plano con sus diferentes teoremas y axiomas. Se realizó
un estudio de los diferentes polígonos con todas sus
propiedades y cálculo de áreas: haciendo énfasis en los
triángulos realizando un estudio minucioso, estudiando todos sus elementos, su clasificación y los diferentes
criterios como los criterios de congruencia y semejanzas, también se estudiaron los diferentes teoremas
tales como Pitágoras, Thales, Stewart, de Apolonio y
la ley del seno y coseno entre otros. Se estudió la circunferencia y los tipos de recta que pasan por ella, los
ángulos de la circunferencia, su posición relativa y la
construcción de figuras planas conociendo algunos de
los elementos, en todos los puntos estudiados se tienen
problemas resuelto y propuestos para el mayor entendimiento de las personas que utilicen este libro y que
sea un gran aporte.
República Bolivariana de Venezuela
Universidad Nacional Experimental
FONDO EDITORIAL
UNERMB
Rafael María Baralt
UNERMB
Segunda edición