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Dimensión de un espacio vectorial
Publicado en Glosario Matemático (http://www.ub.edu/glossarimateco)
Dimensión de un espacio vectorial
Descripción: Llamamos dimensión de un espacio vectorial al número de vectores que forman una base del
espacio vectorial.
Descriptores: Espacio vectorial Descriptores: Álgebra Ejemplo: La dimensión del espacio vectorial \({ \Re }^{ 2 }\) es 2.
Es decir, las bases de \({ \Re }^{ 2 }\) tienen 2 vectores. La Base Canónica \(\left\{ (1,0),(0,1)
\right\} \subseteq { \Re }^{ 2 }\) tiene 2 vectores.
Tambien el conjunto de 2 vectores \(\left\{ (3,1),(0,-1) \right\} \subseteq { \Re }^{ 2 }\) es una base
del espacio vectorial \({ \Re }^{ 2 }\) .
Vamos a comprobar que el conjunto \(\left\{ (3,1),(2,-3),(0,-1) \right\} \subseteq { \Re }^{ 2 }\) no
es una base de \( { \Re }^{ 2 }\). Es suficiente que ver que los vectores no son linealmente
independientes:
Si tenemos una combinación lineal igualada a cero \(\alpha (3,1)+\beta (2,-3)+\gamma
(0,-1)=(0,0)\), se obtiene el sistema de ecuaciones lineales: \(3\alpha +2\beta +0\gamma
=0\\\alpha-3\beta -\gamma=0\)
Este sistema admite multiples soluciones : \(\beta=-3\alpha; \gamma=10\alpha; \forall \alpha \in \Re
\), no se cumple que todos los escalares valen cero. No son linealmente independientes. No es una
base.
Álgebra
Espacio vectorial
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