Download pulsar

Examen de Matemáticas (1º Bachillerato)
Diciembre 2002
Problema 1º Enunciar y demostrar el teorema del coseno.
Problema 2º Sabemos que tan α = −2 y además que α pertenece al segundo
cuadrante. Hallar el resto de las razones trigonométricas.
Solución:
sin α
α
cos α
Regla de Signos en el
segundo cuadrante:
sin α cos α tan α
+
csc α sec α cot α
+
0
tan α
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ tan 2 α + 1 = sec 2 α . Sustituyendo el valor que nos dan de
la tangente tenemos 4 + 1 = sec 2 α ⇒ sec α = − 5 .
sec α =
1
1
1
5
⇒ cos α =
=−
=−
cos α
sec α
5
5
sin 2 α = 1 − cos 2 α = 1 −
csc α =
1
5
=
sin α
2
cot α =
1
1
=−
tan α
2
1 4
2 5
= ⇒ sin α =
5 5
5
1
Problema 3º Resolver el triangulo no rectángulo de lados a = 6 , b = 8 y
c = 10 .
C
a
b
B
A
c
Solución:
Por el teorema del coseno tenemos:
a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos A ⇒ 36 = 64 + 100 − 2 ⋅ 8 ⋅ 10 ⋅ cos A ⇒
cos A = 0,8 ⇒ A = 36º 52'11' '
b 2 = a 2 + c 2 − 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cos B ⇒ 64 = 36 + 100 − 2 ⋅ 6 ⋅ 10 ⋅ cos B ⇒
cos B = 0,6 ⇒ B = 53º 7'48' '
A + B + C = 180º ⇒ C = 180º − A − C = 90º
S=
donde
p( p − a )( p − b)( p − c ) = 12 ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ 2 = 256 = 24
p=
a+b+c
2
Problema 4º Resolver la ecuación siguiente:
cos 2 x = 1 + sin x
Solución:
2
cos 2 x = 1 + sin x
cos 2 x − sin 2 x = 1 + sin x
1 − sin 2 x − sin 2 x = 1 + sin x
− 2 sin 2 x − sin x = 0
Si llamamos t = sin x tenemos :
2t 2 + t = 0 ⇒ t ( 2t + 1) = 0 ⇒ t = 0 2t + 1 = 0 ⇒ t = −
Si
Si
1
2
 x = 0º + k ⋅ 360º
t = 0 ⇒ sin x = 0 ⇒ 
 x = 180º + k ⋅ 360º
 x = 210º + k ⋅ 360º
1
1
t = − ⇒ sin = − ⇒ 
2
2
 x = 330º + k ⋅ 360º
Problema 5º Una antena de 2m se ha colocado en la terraza de un edificio.
Desde un punto fijo de la calle vemos el borde de la terraza con un ángulo de
52º , mientras que elevando un poco la mirada vemos el extremo de la antena
bajo un ángulo de 55º . Calcular la altura del edificio.
Solución:
2m
h
55º
x
52º
3
h+ 2
h+ 2


 x = tan 55º
tan 55º = x
h+ 2
h
⇒
=
⇒ tan 52º ( h + 2) = h ⋅ tan 55º
⇒

h
tan 55º tan 52º
x =
tan 52º = h


tan 52º
x
⇒ h ⋅ tan 52º − h ⋅ tan 55º +2 ⋅ tan 52º = 0 ⇒
⇒ h ⋅ (tan 52º − tan 55º ) = −2 ⋅ tan 52º ⇒
⇒h=
− 2 ⋅ tan 52º
= 17,27 m .
tan 52º − tan 55º
4