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Determine el valor de x para el cual
−1
0
1
Gen 2 , 1 , 1
0
−1
x
no es todo R3 .
Solución
Nuestro resultado clave para resolver el problema es el siguiente:
Si W = Gen {v1 , . . . , vk } es un espacio generado con vectores en
Rn , entonces: W = Rn si y sólo si al formar [v1 · · · vk ] y reducir (o
escalonar) se tiene pivote en cada renglón.
Usando ese resultado, para que el espacio generado no sea R3 la escalonada
que se obtiene de la matriz cuyas columnas son los vectores del conjunto no
debe tener pivote en cada renglón. De allı́ obtendremos la condición para
x. Como la matriz tiene variables, haremos el escalonamiento en forma manual.
1
2
0
1
0
0
−1
1
1
−1
3
−1
0
1
R2 →R2 −2 R1
1 −−−−−−−−−→ 0
x
0
0
1
R3 →R3 + 31 R2
1 −−−−−−−−−→ 0
0
x
−1
3
−1
−1
3
0
0
1
x
0
1
x+
1
3
Para no tener pivote en el último renglón x + 31 = 0, de allı́ que x = − 31 . Por
tanto, x = − 13 es el único valor que hace que el espacio generado del problema
no sea R3
