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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS
SOBRE LA IGUALDAD DE CONJUNTOS
Por Manuel Suárez Fernández
Quizás la idea que a menudo se tiene de la igualdad de conjuntos es la de identidad de
conjuntos
Es decir, la idea de que si
es un conjunto y
es un conjunto entonces
1
( es igual a ) si y solo si el conjunto
es el mismo conjunto que el conjunto
.
Sin embargo, la idea de igualdad de conjuntos que en la práctica se utiliza, creo que
(expresada informalmente) viene a ser la siguiente: Un conjunto
es igual a un conjunto
si y solo si
produce el mismo efecto que
(sobre cualquier fórmula).
Para expresar con más precisión la idea anterior, digamos antes que
notación de un
concepto matemático es cada expresión gráfica asignada al mismo para nombrarle, que
notamos significa que a un concepto matemático le asignamos una notación y que, con el
fin de simplificar el lenguaje hablado y escrito y también las ideas, lo que aquí (en este
2
contexto) se hace es identificar los conceptos con las notaciones de los mismos .
1
Quizás a menudo, pero no siempre, se tiene la referida idea. Por ejemplo, si
y
son
triángulos equiláteros tal que los lados del uno son de igual longitud que los lados del otro,
entonces se acostumbra a decir que
y
son triángulos iguales, aunque sean distintos
(aunque no haya identidad entre
y ´). Y también se dice que
y
son triángulos
isométricos (o que se corresponden mediante una isometría o movimiento), lo cual, estimo, es
más afortunado (que decir que son iguales).
2
Así es como generalmente se procede (aunque ello no se diga explícitamente).
Por ejemplo, la expresión
no se lee:
el número que notamos cuatro es
menor que el número que notamos ocho
sino, más simplemente (identificando números
con notaciones), se lee:
cuatro es menor que ocho . Y en el lenguaje coloquial no se
dice que, por ejemplo, El hombre que se llama Juan es hermano de la mujer que se llama
Carmen , sino, más simplemente (identificando personas con nombres), se dice que
Juan
es hermano de Carmen
Lo que en los referidos ejemplos se hace, es identificar los llamados conceptos
con las
palabras o los signos gráficos que los designan para que el lenguaje hablado o escrito resulte
más sencillo y las ideas resulten más simples (al prescindir de la dualidad
concepto
y
notación del mismo, identificando lo primero con lo segundo).
Creo que ésta viene a ser la idea expresada en el libro Lógica matemática de José Ferrater
Mora y Hugues Leblanc, cuando dice:
La lógica llamada
clásica o tradicional (la de inspiración aristotélico-escolástica) distingue
entre el
juicio
y la
proposición . El juicio es el acto mental por medio del cual
pensamos cualesquiera enunciados, tales como:
-
5+7 12
Pérez es un buen jugador de pelota
Juan corre
La proposición, en cambio, es lo pensado en dicho acto.
Ello implica que la idea (que la relación) de igualdad de conjuntos
diferente de la idea (de la relación) de identidad de conjuntos .
haya de considerarse
Así, pues, identificando los conjuntos con las notaciones de los mismos, la referida idea de
igualdad de conjuntos (que, informalmente, ya ha sido expresada) la expresamos más
formalmente en el siguiente enunciado:
Definición de igualdad de conjuntos
Si
es (una letra que representa) un conjunto y
es (una letra que representa) un
conjunto entonces
(
es igual a
) si y solo si, si
es una fórmula
(cualquiera) y
es la fórmula tal que
está (figura) en
donde
está (figura)
3
en
entonces
es verdad si y solo si
es verdad.
Teorema 1
Si
es un conjunto y
es un conjunto entonces
(
es igual a
) si y solo si
pertenece a (es elemento de) los mismos conjuntos a los que pertenece (de los que es
elemento)
.
La lógica moderna (la que sigue la línea inspirada por Frege) ha preferido prescindir de los
juicios y atenerse a las proposiciones. Pero como aún las proposiciones han mostrado ser de
difícil manejo, se ha tendido cada vez más en la lógica a confinarse a las sentencias. Por éstas
se entienden series de signos en los cuales se expresan proposiciones. En el presente
volumen seguiremos el uso hoy día más extendido y nos las habremos con sentencias.
3
Es decir,
(
es la fórmula que resulta borrando
en todos los lugares en los que
está (si es que está en alguno) en la fórmula
y escribiendo
en dichos lugares. Por
ejemplo,
-
Si
es un conjunto y
es la fórmula
(en la que
entonces
es la fórmula
Si
son conjuntos,
es el conjunto vacío y
es la fórmula
(en la que
no está) entonces
es la (misma) fórmula
.
Si
es un conjunto y
es la fórmula
(en la que
y
entonces
es
Si
son conjuntos y
es
(en la que
no está y
entonces
es
.
está)
están)
está)
Dicha relación de igualdad es una condición necesaria pero no suficiente para la de identidad
(Así, pues, si un conjunto
es idéntico a un conjunto
entonces entre
y
ha de
cumplirse dicha relación de igualdad. Pero puede cumplirse dicha relación de igualdad entre un
conjunto
y un conjunto
, sin que
sea idéntico a
. Y tal relación de igualdad
viene a ser una identidad relativa a las propiedades de un determinado Universo. Este es el
criterio de Leibniz, llamado Principio de identidad de los indiscernibles , para dar sentido a la
idea de identidad de individuos, criterio que en el libro Introducción a la lógica y al análisis
formal de Manuel Sacristán, es enunciado de la manera siguiente:
Dos individuos son idénticos, en un universo del discurso dado, cuando los dos tienen por igual
todas las propiedades que se consideran en ese universo del discurso.
Demostración.
Si
es un conjunto,
es un conjunto y
(que se lee
para todo ,
pertenece a
todo
es equivalente a
5
es verdad.
4
entonces la fórmula
si y solo si
pertenece a
o
para
)
es verdad si y solo si la fórmula
6
Y esta última fórmula es verdad.
Luego (por ser
, la fórmula
es verdad, lo que significa que
pertenece a los mismos conjuntos a los que pertenece
Recíprocamente, si
si la fórmula
la fórmula tal que
.
pertenece a los mismos conjuntos a los que pertenece
(Es decir,
es verdad),
es una fórmula (cualquiera) y
es
está en
donde
está en
entonces,
-
Si
no está en
entonces
Luego,
es verdad si y solo si
es la misma fórmula que la fórmula
7
es verdad.
.
-
Si
está en
entonces si
donde y solo donde
está en
8
es la fórmula tal que
está en
,
y
es verdad, entonces
9
y
es la fórmula tal que
está en
donde
está en
(ya que
está en
donde
está en
.
Luego, si
pertenece a los mismos conjuntos a los que pertenece
entonces
Luego,
cumple la fórmula
es verdad) lo que implica que
Luego, la fórmula
11
verdad.
Y, análogamente, si
4
(tal que
está en
es verdad entonces
(es decir, la fórmula
cumple la fórmula
.
donde
está en
10)
es
es verdad.
En todo este contexto se considera que
es una variable y que las variables son letras
que no expresan conjuntos y están en los (llamados) lugares libres
de las fórmulas (sin
otro significado que el de ocupar y así definir cuáles son dichos lugares).
Y si
es una fórmula entonces la fórmula
), que se lee
para toda ,
es verdad si y solo si, si
es un conjunto (cualquiera) y
es la fórmula tal que
está en
donde
está en
entonces
es verdad.
5
Pues si
es la fórmula
entonces la fórmula
tal que
está en
donde
está en
, es la fórmula
.
6
Pues si
es una fórmula (cualquiera) entonces la fórmula
, que se
lee
para todo ,
es equivalente a
es verdad.
7
Por ejemplo, si
son conjuntos y
es la fórmula
(en la que no está
)
entonces
es la misma fórmula
.
8
Por ejemplo, si
son conjuntos y
es la fórmula
(en la que no está
entonces
es la fórmula
Y si
estuviese en
entonces, en lugar
de
, se consideraría otra variable que no estuviese en
9
Pues
pertenece al (conjunto)
) (
si y solo si
cumple la fórmula
(en la cual está el signo
que se lee
y ). Es decir,
pertenece a dicho conjunto si y solo si la fórmula
es verdad. Y esta
fórmula es verdad porque lo es la fórmula
(ya que
es el cuyos elementos
son
) y también lo es la fórmula
(por hipótesis).
10
Póngase atención en que se dice
donde
y no
donde y solo donde . Por ejemplo, si
es la fórmula
entonces
está en
donde
está en
, pero
no está en
donde y solo donde
está en
.
11
El razonamiento efectuado si
está en
, también vale si
no está en
Teorema 2.
Si
es un conjunto,
es un conjunto y
elementos que tiene
(Es decir, entonces la fórmula
,
entonces
tiene los mismos
es verdad).
Demostración
Si
es un conjunto y
es un conjunto tal que
(según la definición dada de
conjuntos iguales) entonces
cumple la fórmula
si y solo si
cumple la fórmula
(Es decir, la fórmula
es verdad
12
si y solo si la fórmula
es verdad).
Y la fórmula
es
verdad. Luego, la fórmula
es verdad.
Así, pues, la referida definición de conjuntos iguales (que adoptamos) es condición suficiente
para que si
es un conjunto,
es un conjunto y
entonces los elementos de
sean los mismos que los elementos de
.
Luego, que
tenga los mismos elementos que , es condición necesaria para que
sea
igual a
. Y para que esta condición (además de necesaria) sea condición suficiente para
que
sea igual a
(y en consecuencia se cumpla que si
es un conjunto y
es un
conjunto entonces
si y solo si la fórmula
es verdad , se admite
13
el llamado axioma de extensión .
En consecuencia, admitiendo dicha
de extensión , se cumple que si
-
-
12
Definición de conjuntos iguales
y también el
es un conjunto y
es un conjunto entonces,
Axioma
si y solo si, si
es una fórmula (cualquiera, esté o no esté
en
y
es la fórmula tal que
está en
donde
está en
entonces
es verdad si y solo si
es verdad (Definición de conjuntos
iguales)
si y solo si, si
es un conjunto (cualquiera) entonces
si y solo si
(Teorema 1).
si y solo si, si
es un conjunto (cualquiera) entonces
si y solo si
(Teorema 2 y Axioma de extensión).
Pues si
es la fórmula
y
es la fórmula tal que
está
en
donde
está en
entonces
es la fórmula
.
13
Un enunciado del axioma de la teoría de conjuntos de Zermelo y también de la teoría de
conjuntos de Zermelo-Fraenkel, llamado axioma de extensión , es el siguiente:
Si
es un conjunto y
es un conjunto tal que si
es un conjunto (cualquiera) entonces
si y solo si
, entonces
.