Download Junio 2003 Segunda vuelta

Ampliación de Matemáticas
Segunda Vuelta Junio
Antonio Baeza Salas
17 de mayo de 2004
1
Segunda Vuelta
JUNIO
CIENCIAS AMBIENTALES
Departamento de Matemáticas
Ampliación de Matemáticas
Fecha: .............
Nombre y Apellidos.............................................................................
1. (1 punto) Determinar si las siguientes ecuaciones son exactas, en su
caso resolverlas:
a) (2x − 1)dx + (3y + 7)dy = 0
dy
= 4x3 + 4xy
b) (1 − 2x2 − 2y) dx
2. (1 punto) Resuelva la ecuación respectiva de Bernoulli empleando una
sustitución adecuada.
dy
a) x dx
+y =
b)
dy
dx
1
y2
= y(xy 3 − 1)
3. (2 puntos) En el problemas de valor inicial que siguen, aplique el Método de Euler para hallar una aproximación al valor indicado con cuatro
decimales de precisión. Use h = 0,1. Resolver la ecuación y comparar
los resultados obtenidos.
y 0 = 2x − 3y + 1,
y(1) = 5;
y(1,5)
4. (1 punto) Determine la solución general de cada ecuación diferencial:
a)
b)
d2 y
dy
+ 16y = 0
+ 8 dx
dx2
y 000 − 4y 00 − 5y 0 = 0
5. (1 punto) Resolver, aplicando el método de variación de parámetros,
los siguientes sistemas:
a)
dx
dt
dy
dt
= 3x − 3y + 4
= 2x − 2y − 1
b)
0
X =
3 −5
3
4 −1
2
!
X+
1
−1
!
t
e2
6. (2 puntos) La cantidad C(t) de laboratorios que emplean sistemas de
análisis computarizados en un paı́s está definida por el problema de
valor inicial
dC
= C(1 − 0,0005C),
C(0) = 1
dt
en donde t > 0. ¿Cuantos laboratorios utilizan el método computarizado cuando t = 10? ¿Cuántos lo adoptarán después de un tiempo
muy largo?
7. (2 puntos) Un cultivo tiene inicialmente una cantidad N0 de bacterias.
Para t = 1 hora, el número de bacterias medido es 32 N0 . Si la rapidez
de multiplicación es proporcional al número de bacterias presentes,
determinar el tiempo necesario para que el número de bacterias se
triplique.
3