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SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
DE LA UNIDAD
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Página 36
PRACTICA
1 Obtén estos resultados por dos métodos:
1. Primero quita paréntesis y después opera.
2. Opera dentro de los paréntesis antes de suprimirlos.
a) –5 + 3 · (4 – 6) – 7 · (–8 + 3)
b) (–17 + 5) + 3 · (5 – 3 · 2)
1. a) – 5 + 12 – 18 + 56 – 21 = 68 – 44 = 24
b) –17 + 5 + 15 – 18 = –15
2. a) –5 + 3 · (–2) – 7 · (–5) = –5 – 6 + 35 = 24
b) –12 + 3 · (–1) = –12 – 3 = –15
2 Calcula mentalmente:
a) La cuarta parte de 100, 200, 600 y 1 000.
b) Los cuadrados de los números del 1 al 12.
c) Los cubos de los números del 1 al 5.
d) Las potencias de base 2 hasta 210.
a) 25, 50, 150 y 250, respectivamente.
b) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144
c) 1, 8, 27, 64, 125
d) 20 = 1, 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, 24 = 16, 25 = 32,
27 = 128, 28 = 256, 29 = 512, 210 = 1 024
26 = 64,
3 Ordena estos números de menor a mayor: –17, –2, 1, –5, 4, 0.
–17 < –5 < –2 < 0 < 1 < 4
4 Calcula:
a) (–2)5 = –32
b) (–2)8 = 256
c) (–1)10 = 1
d) (–1)23 = –1
5 Escribe en forma de potencia buscando la base adecuada:
a) 8 = 23
b) 27 = 33
c) 121 = 112
d) 125 = 53
e) 128 = 27
f ) 169 = 132
g) 343 = 73
h) 625 = 54
Unidad 1. Los números y sus utilidades
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6 Calcula mentalmente el mínimo común múltiplo de estos números:
a) m.c.m. (4, 3 y 5) = 60
b) m.c.m. (4, 6 y 12) = 12
c) m.c.m. (8 y 12) = 24
d) m.c.m. (9 y 15) = 45
e) m.c.m. (6, 9 y 4) = 36
f ) m.c.m. (12, 18 y 6) = 36
7 Halla el máximo común divisor de:
a) M.C.D. (40 y 60) = 20
b) M.C.D. (30, 45 y 90) = 15
c) M.C.D. (25 y 36) = 1
d) M.C.D. (12, 18 y 24) = 6
8 ¿Cuáles de estos pares de números son primos entre sí?
a) 12 y 21
b) 15 y 22
c) 100 y 101
d) 111 y 121
a) 12 y 21 no son primos entre sí.
b) 15 y 22 son primos entre sí.
c) 100 y 101 son primos entre sí.
d) 111 y 121 son primos entre sí.
9 Comprueba si son primos los siguientes números:
a) 323 = 19 · 17 → No es primo.
b) 119 = 7 · 17 → No es primo.
c) 193 → Sí es primo.
10 Busca mentalmente, en cada caso, el número n que verifica la igualdad:
a) n + 17 = 22 → n = 5
b) n + 8 = 3 → n = –5
c) n – 18 = 3 → n = 21
d) 3n = 18 → n = 6
e) n · (–5) = 20 → n = –4
f ) n = 2 → n = –14
–7
h) n3 = –8 → n = –2
g) –7n = –21 → n = 3
11 Simplifica:
34
= 32 = 9
32
a)
25
= 22 = 4
23
c)
23 · 34
= 22 · 33 = 4 · 27 = 108
2·3
b)
12 Calcula:
a) (– 4)2 = 16
b) – 42 = –16
Unidad 1. Los números y sus utilidades
c) – 43 = –64
d) (– 4)3 = –64
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13 RESUELTO EN EL LIBRO
14 Extrae factor común:
a) –8m – 28m + 20m = 4m (–2 – 7 + 5)
b) 55b – 60b + 15b = 5b(11 – 12 + 3)
c) 5a2 – 3a + 2a3 = a(5a – 3 + 2a2)
P I E N S A Y R E S U E LV E
15 Calcula la diferencia de altura entre el Everest, que está a 8 848 m, y la Fosa
de las Marianas, que está a –11 022 m.
La distancia será la diferencia entre ambas alturas:
8 848 – (–11 022) = 19 870 m
16 La temperatura de un congelador desciende 2 grados cada 5 minutos hasta
llegar a –20 °C. ¿Cuánto tardará en llegar a –12 °C si, cuando lo
enchufamos, la temperatura es de 18 °C?
De 18 °C a –12 °C hay 30 °C. Si cada 5 minutos desciende 2 °C, entonces
tardará:
30 · 5
= 75 minutos (1 hora 15 minutos)
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17 Un caracol está en el fondo
de un pozo de 10 m. Para
salir del pozo, asciende 3 m
cada día, pero por la noche
desciende 2 m. ¿Cuántos
días tardará en llegar al
borde del pozo?
¡Ojo! La respuesta no es 10 días.
Cada día sube 3 m y resbala 2 m. Asciende, por tanto, 1 m cada día.
El último asciende 3 m, pero no resbala porque ya ha llegado al borde.
Tarda, por lo tanto: 7 días → 7 m
1 día → 3 m



8 días
18 RESUELTO EN EL LIBRO
19 Una máquina, trabajando 8 horas diarias, tarda 3 días en fabricar 6 000
botellas. En la empresa tienen un pedido urgente de 15 000 botellas y ponen
la máquina a trabajar 10 horas diarias. ¿Cuántos días tardarán en fabricar el
pedido?
Unidad 1. Los números y sus utilidades
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Idea clave: ¿Cuántas botellas fabrica la máquina en una hora?
En 8 · 3 = 24h hacen 6 000 botellas.
Por lo tanto, en una hora hacen 6 000 : 24 = 250 botellas.
Así, harán 15 000 botellas en 15 000 : 250 = 60h
Como en un día la máquina trabaja 10 h, entonces 60 : 10 = 6 días se tardará
en fabricar el pedido de 15 000 botellas.
20 Tres personas, trabajando 8 horas diarias, hacen un trabajo en 15 días.
¿Cuántos días tardarán en hacer el mismo trabajo cinco personas en jornadas
de 9 horas?
En total trabajan 8 · 3 · 15 = 360 h
Cinco personas en jornadas de 9 h son 45 h diarias de trabajo.
Por lo tanto, 360 : 45 = 8 días tardarán en hacer el mismo trabajo.
21 RESUELTO EN EL LIBRO
22 En un concurso de radio se reparten 180 € entre dos concursantes que han
acertado 32 y 28 preguntas, respectivamente. ¿Cómo se debe repartir el
dinero?
En total se reparten 180 € entre 28 + 32 = 60 preguntas. Luego por cada
pregunta se dan 180 : 60 = 3 €.
Así, se dan 3 · 32 = 96
concursante.
€
al primer concursante y 3 · 28 = 84
€
al segundo
23 Para recaudar fondos para UNICEF, tres amigas han reunido 156 € por la
venta de tarjetas. Si Elena ha vendido 3 paquetes, María 5 paquetes y Cristina
4 paquetes, ¿cuánto ha recaudado cada una?
Se han recaudado 156 € por vender 3 + 5 + 4 = 12 paquetes.
Luego por cada paquete se recaudan 156 : 12 = 13 €. Entonces:
13 · 3 = 39 € recauda Elena.
13 · 5 = 65 € recauda María.
13 · 4 = 52 € recauda Cristina.
Unidad 1. Los números y sus utilidades
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24 En una parada de autobuses
coinciden dos líneas, A y B.
Los vehículos de la línea A
pasan cada 15 minutos, y
los de B, cada 20 minutos.
Son las ocho y veinte de la
mañana y hay un autobús de cada línea en la parada. ¿A qué hora volverán a
coincidir?
m.c.m. (15, 20) = 60
Luego vuelven a coincidir al cabo de 60 minutos, es decir, a las nueve y veinte
de la mañana.
25 Un taxista cambia el aceite de un vehículo cada 3 500 km y le hace una
revisión general cada 8 000 km. ¿Cada cuántos kilómetros coinciden las dos
operaciones?
m.c.m. (3 500, 8 000) = 56 000. Las dos operaciones coinciden cada 56 000 km.
26 En una cooperativa tienen 420 litros de un tipo de aceite y 225 litros de otro
tipo. Quieren envasar el aceite con el menor número posible de garrafas
iguales. ¿Qué capacidad tendrá cada garrafa?
M.C.D. (420, 225) = 15. Luego cada garrafa ha de tener 15 litros.
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27 Se desea cubrir con baldosas cuadradas el suelo de una habitación que mide
330 cm de ancho por 390 cm de largo. Se quiere realizar el trabajo utilizando
baldosas lo más grandes que sea posible y sin cortar ninguna. ¿Cuál debe ser
el tamaño de las baldosas?
M.C.D. (330, 390) = 30. Luego las baldosas son de 30 × 30.
28 El número de empleados de una empresa está comprendido entre 150 y 200.
Con ellos se pueden formar equipos de 15, de 12 o de 20 personas, sin que
sobre o falte ninguno en cada caso. ¿Cuántos empleados son?
m.c.m. (15, 12, 20) = 60
Luego el número de empleados es múltiplo de 60, y está entre 150 y 200.
Vemos que 60 · 3 = 180.
Por lo tanto, hay 180 empleados.
29 Eduardo observa que al contar sus discos de 3 en 3, de 4 en 4 o de 5 en 5,
siempre le sobran 2. Calcula cuántos discos tiene Eduardo si sabes que son
menos de 75.
m.c.m. (3, 4, 5) = 60
Como sobran 2 discos cada vez y son menos de 75, Eduardo tiene 62 discos.
Unidad 1. Los números y sus utilidades
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30 Con ayuda de la calculadora, busca el dígito que hay que poner en cada
cuadrado para que se verifique la igualdad:
a) 4 5 5 + 8 5 8 = 1 3 13
b) 34 5 × 2 6 = 8 970
c) 425 + 23 × 7 = 5 8 6
31 Sustituye los cuadrados por el signo de la operación adecuada para que estas
igualdades sean verdaderas:
a) 12
+
34
×
9 = 318
b) (25
–
16)
×
45
–
5 = 400
32 Con los dígitos 3, 4, 5 y 6, forma dos números de dos cifras de modo que al
multiplicarlos obtengas el mayor producto posible.
Tomamos los dos dígitos mayores como decenas de los dos números que
buscamos, y nos quedan dos opciones:
53 · 64 = 3 392
54 · 63 = 3 402



El producto mayor es 54 · 63
33 Pon los paréntesis necesarios para que cada expresión dé el resultado que
indica la flecha:
a) 6 + 3 · 5 + 8 → 53
a) (6 + 3) · 5 + 8 = 53
b) 6 + 3 · 5 + 8 → 45
b) 6 + 3 · (5 + 8) = 45
c) 7 + 3 · 5 – 1 → 19
c) 7 + 3 · (5 – 1) = 19
d) 7 + 3 · 5 – 1 → 40
d) (7 + 3) · (5 – 1) = 40
e) 7 + 3 · 5 – 1 → 49
e) (7 + 3) · 5 – 1 = 49
f ) 18 – 6 : 2 → 6
f ) (18 – 6) : 2 = 6
34 Si en tu calculadora no funcionase la tecla del 0, ¿cómo podrías conseguir que
apareciese en la pantalla cada uno de estos números?
a) 180 = 5 * 36
b) 108 = 3 * 36
c) 1 080 = 135 * 8
d) 104 050 = 25 * 4 162
35 Si en la pantalla de tu calculadora está el número 56 327, ¿qué operación harías para transformar el 3 en un 0? ¿Y para que en lugar del 6 hubiera un 8?
Para transformar el 3 en un cero, basta con restar 300:
56 327 – 300 = 56 027
Para transformar el 6 en un 8, basta con sumar 2 000:
56 327 + 2 000 = 58 327
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REFLEXIONA SOBRE LA TEORÍA
36 Si el producto de dos números a · b es igual a 48, di cuál es el valor de:
a) 2a · 3b = 6 · 48 = 288
b) (2ab)2 = (2 · 48)2 = 962 = 9 216
c) a2b2 = (a · b)2 = 482 = 2 304
37 Comprueba que si multiplicas los dos miembros de una desigualdad por un
número positivo, esta sigue siendo verdadera. Hazlo con estas desigualdades:
3 < 8; –5 < 9; – 8 < –1. ¿Ocurre lo mismo si multiplicas los dos miembros
por un número negativo?
3 < 8. Multiplicamos por 2: 3 · 2 < 2 · 8 → 6 < 16
–5 < 9. Multiplicamos por 3: –5 · 3 < 9 · 3 → –15 < 27
– 8 < –1. Multiplicamos por 4: –8 · 4 < –1 · 4 → –32 < –4
Con los números negativos no ocurre lo mismo. Por ejemplo, en la desigualdad
3 < 8, si multiplicamos por –2 nos queda –2 · 3 < –2 · 8 → –6 < –16, que
no es cierto.
38 ¿Qué dirías de un número que solo tiene dos divisores? ¿Cuáles serían?
Un número con solo dos divisores es un número primo. Los divisores serían él
mismo y la unidad.
39 Busca dos números cuyo máximo común divisor sea 8 y que sumen 56.
Los números son 8 y 48.
M.C.D. (8, 48) = 8
48 + 8 = 56



Se cumplen las dos condiciones.
40 Un número n tiene como factores primos 2, 3 y 5. Los de otro número m
son 2, 3 y 7. Calcula m y n sabiendo que su máximo común divisor es 36.
¿Hay solo una solución?
36 = 22 · 32
Luego m y n son dos números que han de tener 22 y 32 como factores.
Por lo tanto, serían: m = 22 · 32 · 5 = 180
n = 22 · 32 · 7 = 252
Además, cualquier otro par de números que además de estos tuvieran otros
factores distintos de 2 y 3 a la vez, también valdría, luego hay infinitas
soluciones.
41 Si dos números son múltiplos de 7, razona si también es múltiplo de 7:
a) Su suma.
b) Su diferencia.
Unidad 1. Los números y sus utilidades
c) Su producto.
d) Su cociente.
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a) Sí lo es, porque de esa suma se podría sacar el 7 factor común y, así,
obtendremos un número multiplicado por 7.
b) Sí lo es. Razonamiento análogo al apartado a).
c) Sí lo es. Tendrá como factor 72 → es múltiplo de 7.
d) No tiene por qué. Por ejemplo:
21
= 3 → 3 no es múltiplo de 7
7
98
= 14 → 14 sí es múltiplo de 7
7
El cociente será múltiplo de 7 si el dividendo tiene, al menos, una potencia
de 7 con exponente una unidad más que el divisor.
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PROFUNDIZA
42 ¿Cuántos múltiplos de 5 hay entre 100 y 500, incluidos estos dos?
Entre 100 y 195 hay 20 múltiplos de 5. Lo mismo entre 200 y 295, 300 y 395,
400 y 495.
Aquí hay 80 múltiplos de 5 en total. Si, además, contamos el 500, tendremos
81 múltiplos de 5 entre 100 y 500, ambos incluidos.
43 a) Comprueba que la suma de tres números consecutivos es siempre múltiplo
de 3.
1 + 2 + 3 = ...
19 + 20 + 21 = ...
37 + 38 + 39 = ...
b) Demuestra que esa propiedad se cumple con tres números consecutivos
cualesquiera.
n + (n + ...) + (... + ...) = ...
a) Cada uno de los sumandos es: n, n + 1, n + 2.
Al sumarlos nos da: n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3 = 3(n + 1), que es múltiplo
de 3.
b) Está ya hecho en el apartado a).
44 Demuestra que la suma de dos números impares consecutivos es siempre
múltiplo de 4.
Los números impares consecutivos son 2n + 1 y 2n + 3. Al sumarlos, queda:
2n + 1 + 2n + 3 = 4nn + 4 = 4(n + 1), que es múltiplo de 4.
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45 ¿Cuántos divisores tiene el número 120? Escríbelos todos.
Los divisores son todos los productos de los factores primos de 120:
120 = 23 · 3 · 5
1
3
5
3·5
2
22
23
2·3
22 · 3
23 · 3
2·5
22 · 5
23 · 5
2 · 3 · 5 22 · 3 · 5 23 · 3 · 5
En total, 16.
46 RESUELTO EN EL LIBRO
47 Resuelve las siguientes ecuaciones en las que x es una clase residual
módulo 6.
a) (3) + x = (1)
b) x + (5) = (0)
c) (4) = x + (5)
d) (5) · x = (2)
e) (3) · x = (2)
f) (3) · x = (0)
a) x = (4), pues (3) + (4) = (1)
b) x = (1), pues (1) + (5) = (0)
c) x = (5), pues (5) + (5) = (4)
d) x = (4), pues (5) · (4) = (2)
e) No tiene solución.
f ) x = (0), x = (2), x = (4) (tres soluciones)
48 Haz la tabla de la suma y de la multiplicación para clases residuales módulo
5. Mirando dicha tabla, resuelve estas ecuaciones:
a) (2) + x = (1)
b) (3) · x = (2)
c) (4) · x = (1)
d) (4) · x = (0)
+
(0) (1) (2) (3) (4)
·
(0) (1) (2) (3) (4)
(0) (0) (1) (2) (3) (4)
(0) (0) (0) (0) (0) (0)
(1) (1) (2) (3) (4) (0)
(1) (0) (1) (2) (3) (4)
(2) (2) (3) (4) (0) (1)
(2) (0) (2) (4) (1) (3)
(3) (3) (4) (0) (1) (2)
(3) (0) (3) (1) (4) (2)
(4) (4) (0) (1) (2) (3)
(4) (0) (4) (3) (2) (1)
a) x = (4), pues (2) + (4) = (1)
b) x = (4), pues (3) · (4) = (2)
c) x = (4), pues (4) · (4) = (1)
d) x = (0), pues (4) · (0) = (0)
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Pág. 10
49 a) Haz las tablas de la suma y de la multiplicación de clases residuales
módulo 4.
b) Observando las tablas anteriores, realiza las siguientes operaciones:
[(2) + (3)] · (3)
III) [(2) · (3) + (1)] · (2)
I)
II) [(3) + (1)] · (2) · (3)
IV) [(2) + (1)] · [(3) + (3)]
c) Resuelve las ecuaciones:
I) (2) · x = (0)
a)
+
II) (2) · x = (3)
·
(0) (1) (2) (3)
III) (3) · x + (1) = (2)
(0) (1) (2) (3)
(0) (0) (1) (2) (3)
(0) (0) (0) (0) (0)
(1) (1) (2) (3) (0)
(1) (0) (1) (2) (3)
(2) (2) (3) (0) (1)
(2) (0) (2) (0) (2)
(3) (3) (0) (1) (2)
(3) (0) (3) (2) (1)
b) I) (3)
II) (0)
III) (2)
IV) (2)
c) I) x = (0), x = (2)
II) No tiene solución.
III) (3) · x = (1), porque (1) + (1) = (2)
Si (3) · x = (1), entonces x = (3)
COMPROBACIÓN:
(3) · (3) + (1) = (1) + (1) = (2)
50 a) Haz las tablas de la suma y de la multiplicación de clases residuales
módulo 7.
b) Observando las tablas anteriores, realiza las siguientes operaciones:
[(3) + (4) · (6)] · (2)
III) [(1) + (2)] · (3) · (4)
I)
II) [(3) + (5) · (2)] · (4)
IV) (6) · (4) + [(5) · (4)] · (3)
c) Resuelve las ecuaciones:
I) [(3) · x + (6)] · (2) = (1)
II) (2)[x + (6)] + (5) = (3)
a)
+
(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6)
·
(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6)
(0) (0) (1) (2) (3) (4) (5) (6)
(0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0)
(1) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (0)
(1) (0) (1) (2) (3) (4) (5) (6)
(2) (2) (3) (4) (5) (6) (0) (1)
(2) (0) (2) (4) (6) (1) (3) (5)
(3) (3) (4) (5) (6) (0) (1) (2)
(3) (0) (3) (6) (2) (5) (1) (4)
(4) (4) (5) (6) (0) (1) (2) (3)
(4) (0) (4) (1) (5) (2) (6) (3)
(5) (5) (6) (0) (1) (2) (3) (4)
(5) (0) (5) (3) (1) (6) (4) (2)
(6) (6) (0) (1) (2) (3) (4) (5)
(6) (0) (6) (5) (4) (3) (2) (1)
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b) I) (5)
II) (3)
III) (1)
c) I) (3) · x + (6) = (4), pues (4) · (2) = (1)
(3) · x = (5), pues (5) + (6) = (4)
x = (4), pues (3) · (4) = (5)
Solución: x = (4)
II) (3) · [x + (6)] = (5), pues (5) + (5) = (3)
x + (6) = (6), pues (2) · (6) = (5)
x = (0), pues (0) + (6) = (6)
Solución: x = (0)
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IV) (0)