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Junio 2008, pp. 137-143
U
na vez celebrado el Día Escolar de las Matemáticas, dedicado a la Música y las
Matemáticas, al equipo de redacción de la revista SUMA le ha parecido interesante incluir
una sección para tratar estos temas.
Iniciamos así la andadura de Musymáticas en donde pretendemos aprovechar la relación
entre estas materias para incrementar los recursos en el aula. Como ocurre con el resto de
la revista, se trata de una sección abierta en la que esperamos contar con la colaboración de
todos vosotros.
La música es un ejercicio matemático inconsciente
en el que la mente no sabe que está calculando
G. W. Leibniz (1646-1716)
¿Realmente el número siete es tan esencial para la
música?
Las más de cuatrocientas mil entradas que tiene el número
siete en google dan una muestra del interés que despierta su
uso en muchas facetas de la vida cotidiana y entre ellas, cómo
no, en la música.
Si dejamos aparte especulaciones numerológicas de origen
incierto, la realidad es que a casi cualquier occidental que le
preguntemos por el número de notas musicales, no dudará en
decir que son siete y que sus nombres1 son: do, re, mi, fa, sol,
la, si. Sin embargo, como veremos más adelante, usando sólo
siete notas, la producción musical quedaría muy mermada.
Por otro lado, si la pregunta se hiciese a los que están habituados a la música oriental, la respuesta no sería tan contundente, puesto que desde antiguo se han utilizado escalas que
no partían de siete notas, como son la javanesa (cinco tonos),
la Raga Shruti de India (veintidós tonos), la tailandesa (ocho
tonos), etc.
Vicente Liern Carrión
Universitat de València Estudi General
musymaticas@revistasuma.es
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Musymáticas
La Música y el número siete. Historia de una
relación controvertida
58
SUMA 58
Junio 2008
Además del número de notas, para la música hay otra relación
numérica en la que el número siete juega un papel fundamental: los intervalos o cocientes entre las frecuencias de dos
sonidos. De entre todos los intervalos posibles, hay dos que
siempre han dado lugar a la polémica, el tritono (o cuarta
aumentada) y las séptimas. El tritono, intervalo que se produce, por ejemplo, entre fa-si, resulta dif ícil de entonar y produce un sonido algo siniestro, que en el medievo2 se denominó
diabulus in musica (‘el diablo en la música’), y que debía evitarse a toda costa. De hecho, la Iglesia sostenía que el diablo
se colaba en la música a través de este intervalo. Una manera
de evitarlo era prescindir del uso de la séptima. A este intervalo, que se produce por ejemplo entre do-si, la armonía tradicional posterior al siglo XVII, no le atribuye un carácter diabólico, pero la clasifica como una disonancia absoluta, mientras que el tritono lo trata como una semiconsonancia.
(360-300 a.C.), un discípulo de Aristóteles que sostiene que
basta con el oído para conseguir la afinación, sin duda debemos a Gioseffo Zarlino (1517-1590) su formulación rigurosa y
su popularización. Zarlino, un neopitagórico convencido,
estableció que los sonidos cuyas frecuencias son proporcionales a 1, 2, 3, 4, 5, 6 son consonantes y comprobó que éstos
eran emitidos por cuerdas de longitudes:
1 1 1 1 1 1
, , , , ,
1 2 3 4 5 6
Zarlino, un neopitagórico
convencido, estableció que los
sonidos cuyas frecuencias son
proporcionales a 1, 2, 3, 4, 5, 6
son consonantes
Si con estos antecedentes, la popularidad del número siete en
la música queda en entredicho, la situación aún se hace más
interesante cuando en el centro de la polémica se sitúan grandes matemáticos que han contribuido a avivar la controversia.
Para Zarlino, el número 6 jugaba un papel fundamental.
Desde el punto de vista matemático, se trata de un número
que se obtiene como suma y producto de sus divisores propios,
Un doble interés por los números
Al menos desde el siglo VI a. C. con los pitagóricos, se establece de forma clara el doble interés de los números en la
música. Por un lado, está la cantidad de notas que hay en la
octava y, por otro lado, la propia esencia del número como
elemento generador de las notas. Cualquier análisis del papel
del número siete en la música sería incompleto si descuidase
alguna de estas dos facetas.
En cuanto a que en la música occidental el número de notas
por octava sea siete, no es del todo cierto. Siete es la cantidad
de nombres de notas que manejamos, pero en realidad, la
inmensa mayoría de la música que escuchamos surge del uso
de doce notas denominadas3:
do – do# – re – mib – mi – fa – fa# – sol –sol# – la – sib – si
1 + 2 + 3 = 6, 1 · 2 · 3 = 6
Además, al multiplicar por 6 cualquier número acabado en 6,
nos da un número que acaba en 6. A estas propiedades añadía
la presencia del senario en el mundo: el número de planetas,
los signos del zodíaco en cada hemisferio, las aristas de la
pirámide triangular, las superficies del cubo, etc.
Hasta bien entrado el siglo XVIII, las afinaciones que se usaban normalmente en los estudios teóricos eran la pitagórica y
la Justa Entonación. En ambas, la cantidad de notas en una
octava no está determinada a priori, pero normalmente este
número se fija en 12 notas. En estos sistemas de afinación las
notas se generan con potencias y cocientes de los números 2
y 3 o de los números 2, 3 y 5. Si consideramos una nota fija,
por ejemplo el Do de frecuencia f = 264 Hz, para obtener el
resto de notas afinadas hay que multiplicar por las fracciones
siguientes:
Y si esto ya pone en tela de juicio el papel fundamental del
número siete, la polémica real surge al analizar la función del
número 7 como generador de
notas musicales.
Do Do#
Las consonancias pitagóricas que
se reducen al tetractys (los cuatro
12 NOTAS
37
primeros números), son ampliadas
1
PITAGÓRICAS
por la Justa Entonación hasta el
211
senario (los seis primeros núme12 NOTAS
ros). A pesar de que las primeras
52
1
JUSTAENTONACIÓN
versiones de la Justa Entonación se
3·23
deben a Aristóxeno de Tarento
138
Re
Mib
Mi
Fa
Fa#
32
23
25
33
34
26
22
3
36
29
32
23
3·2 5
5 22
Sol Sol#
La
Sib
Si
3
2
38
212
33
24
24
32
35
27
2 2 52 3
3 32 ·2 2
52
24
5
3
32
5
3·5
23
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Si la frecuencia de la que partimos es 264 Hz, estas notas
están en la octava do2-do3. Para trasladarlas a otra octava, no
hay más que multiplicar por una potencia de 2 adecuada. Así,
si queremos trasladarla n octavas, multiplicamos sus valores
por 2n, con n un número entero.
Está claro que en las dos afinaciones anteriores las potencias
del número siete no se utilizan. Es decir que no se considera
que estas potencias generen notas agradables. Y aquí está la
clave del tratamiento musical del número siete.
Sonidos consonantes
No resulta fácil establecer una definición unánime de sonidos
consonantes, de hecho debemos contentarnos con admitir
que dos o más sonidos son consonantes si resultan agradables
al oído. Evidentemente, se trata de un concepto que depende
mucho de la situación socio-cultural y que ha evolucionado a
lo largo de la Historia. Ante esta perspectiva, resulta complicado establecer una idea de consonancia que resulte operativa. Entre todos los teóricos que han estudiado el tema, nos
quedaremos con la versión del f ísico John Tyndall (1820 –
1893):
A partir de esta ordenación, surgen problemas con las que
musicólogos y matemáticos han tenido que convivir:
• A partir del siglo XVI, compositores y músicos empiezan a
hacer uso de intervalos que habían estado prohibidos. Sirva
como ejemplo un fragmento de la polémica entre C.
Monteverdi (1567 – 1643), representante de la nueva música, y G. M. Artusi (1540 – 1613), partidario de la música
tradicional (véase E. Fubini, 1990):
No niego que inventar cosas nuevas esté bien; incluso es necesario. Sin embargo, decidme: ¿a qué se debe que queráis hacer uso
de aquellas disonancias de la misma manera que las emplean
éstos [los músicos ‘modernos’]? Si lo hacéis porque pretendéis
que se oigan de modo manifiesto [...] ¿por qué no las usáis de la
manera habitual, razonadamente, según en la forma en que
compusieron Adriano, Cipriano, Palestrina [...]?
• Por otro lado, no resulta sencillo justificar por qué es más
consonante 8/5 que 7/4 ó 7/5 si tanto el numerador como el
denominador son más grandes y se alejan más del unísono.
Como veremos a continuación, de nuevo el número siete está
en la esencia de estas cuestiones.
Cuanto más simple es la relación de las frecuencias de dos sonidos, más consonante será el intervalo que forman.
Este criterio, conocido con el desafortunado nombre de
Teorema de Tyndall, no hizo más que recoger la idea con la
que los musicólogos venían trabajando desde hacía siglos.
Prueba de ello es la carta que L. Euler, escribió a Federica
Carlota Ludovica von Brandenburg Schwedt, princesa de
Anhalt Dessau (1745–1808), en la que expone de forma casi
literal el resultado de Tyndall:
Hasta bien entrado el siglo
XVIII, las afinaciones que se
usaban normalmente en los
estudios teóricos eran la
pitagórica y la Justa Entonación
Carta V: Del Unísono y de las Octavas:
“ [...] Vuestra Alteza comprenderá fácilmente que cuanto más
simple sea la proporción [entre las frecuencias], o expresada
con menores números, más distantemente se presenta al entendimiento y presenta un mayor sentimiento de placer [...].”
3 de mayo de 1760
Según este criterio, las consonancias pueden ordenarse de la
forma siguiente:
1/1 Unísono > 2/1 Octava > 3/2 Quinta > 4/3 Cuarta >
> 5/4 Tercera mayor > 5/3 Sexta mayor > 6/5 Tercera
menor > 8/5 Sexta menor > ...
Más de dos siglos de polémica
Nuestro objetivo no es hacer un análisis exhaustivo del uso del
siete en la música, sino dar una visión global a través de algunos trabajos. Y para esto resultan esenciales las aportaciones
de G. Zarlino (1517-1590), J. Kepler (1571-1630), G. W.
Leibniz (1646-1716), J. S. Bach (1685-1750) y L. Euler (17071783), quienes contribuyeron de forma decisiva a reavivar la
controversia. Cualquiera de estos cinco autores merecería un
estudio detallado, sin embargo aquí destacaremos algunas
publicaciones que reflejan de forma clara argumentos a favor
y en contra del número siete en música.
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tenidos en el senario, mientras que aceptar el 7 escapa de los
seis primeros números. Además, sus argumentos se apoyan
en la distinción aristotélica entre potencia y acto. Para
Zarlino, 8/5 se encuentra en el senario en potencia, pero no en
acto, y aprovecha esta circunstancia para justificar que las
consonancias que surgen con el senario sean “consonancias
propiamente dichas” mientras que la sexta menor produce
una “consonancia comúnmente dicha”.
La defensa del Senario: Zarlino y Kepler
Muy influido por el neoplatonismo florentino, G. Zarlino veía
la esencia numérica en todas las cosas. En Le Institutioni
Harmoniche (1558) hace una defensa del senario como límite
para las consonancias, pero esto le plantea un problema:
hemos dicho que la sexta menor, 8/5, se considera una consonancia, y sin embargo tiene en sus términos el ocho que no
pertenece al senario. ¿Por qué no proponer el ottonario como
recinto de las consonancias? Evidentemente, aceptar el ocho
significaría dar cabida al número siete y los intervalos compuestos con este número, 7/6 y 8/7, a las que considera disonancias sin paliativos.
Zarlino, consciente de que el problema tenía dif ícil solución,
recurre a argumentos filosófico-numéricos para resolverlo.
Para él, las fracciones 8/5 y 7/6 contienen números de naturaleza muy diferente porque 8 = 23, y esto significa que incluir
8/5 no supone incorporar números primos que no estén con-
140
Como era de esperar, los razonamientos de Zarlino no fueron
capaces de convencer a muchos musicólogos de la época, de
ahí que otros autores, como F. Salinas (1513 - 1590), hicieran
otro tipo de defensas, basadas en la práctica, argumentando
que 8/5 era consonante por ser complementario de la tercera
mayor (5/4),
85
sexta menor + tercera mayor = · = 2
54
y no por estar dentro o fuera del senario.
Habrá que esperar más de medio siglo hasta que Kepler, en
Harmonices mundi (1619) proporcione razonamientos
mucho más sólidos. Convencido, como los pitagóricos, de que
la armonía de la música y la del universo no eran más que dos
representaciones de una misma realidad, Kepler basa las proporciones armónicas en los polígonos regulares. Para esto
necesitaba quedarse con una cantidad finita polígonos. La
manera de elegirlos fue relacionar la condición de ser construible con regla y compás con la capacidad de generar proporciones consonantes. Así ideó un método que, aparentemente, resolvía de una vez por todas, los problemas de rechazar 7/6 o 8/7 pero aceptar 5/8. El método consistía en generar
un árbol de consonancias en el que cada fracción a/b en el
paso n genera dos fracciones, a/(a+b) y b/(a+b), en el paso
n+1. Se partía de la fracción 1/1 y el proceso continuaba hasta
llegar a un denominador que representase los lados de un
polígono regular no construible con regla y compás (los polígonos de 7, 9, 11 y 13 lados).
En este árbol aparecen todos los intervalos consonantes y no
es necesario aceptar ninguna excepción.
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Kepler intentó comprender las leyes del movimiento planetario durante la mayor parte de su vida. En un principio, considerando que este movimiento debía cumplir las leyes pitagóricas de la armonía, aprovechó que el número de planetas
fuese uno más que el número de poliedros perfectos para
intentar demostrar que las distancias de los planetas al Sol
venían dadas por esferas en el interior de poliedros perfectos
(anidadas sucesivamente unas en el interior de otras). Cuando
advirtió que este modelo no explicaba el movimiento de los
astros tuvo que recurrir, con gran decepción, a las elipses. Esta
falta de simplicidad en el Universo, que Kepler vivió como un
fracaso, fue compensada por la perfección de la Armonía
Universal al comprobar que las proporciones entre las velocidades angulares de los astros en su afelio y su perihelio reproducían fielmente las proporciones de los intervalos consonantes. Una vez efectuadas las mediciones, la Música de las
Esferas de los pitagóricos dejan de ser sólo una idea para plasmarse en unos pentagramas que el propio Kepler escribió.
Y pienso que realmente hay gente en este caso. Esta es la razón
por la que los antiguos no rechazaban completamente el número 7. Pero apenas habrá gente, que llegaría hasta los números
primos [siguientes] más cercanos, 11 y 13.
A pesar de que varios autores del siglo XVIII utilizan la séptima en sus composiciones, y de la innegable revolución que
supone El clave bien temperado (1722, 1740) de J. S. Bach en
el que, por supuesto aparecen séptimas y otros intervalos considerados disonantes, los científicos y teóricos de la música se
mantienen fieles en su renuncia al número siete como generador de consonancias. Una prueba contundente de ello es la
última frase de la carta que Euler escribió a la princesa de
Anhalt Dessau en 1760 (Euler, 1990):
Carta VII: De los doce tonos del clavecín:
“Mi intención era presentar a Vuestra Alteza el verdadero
origen de los sonidos empleados en la música. [...] Los principios de la Armonía se reducen en último término a números, [...] el número 2 produce sólo octavas [...]. Después el
número 3 produce los tonos que difieren de los anteriores en
una quinta. Pero introduzcamos también el número 5 y veamos cuál sería el tono que produce 5 vibraciones, mientras
que el F no hace más que una. [...]. Es llamado una tercera
mayor y produce una consonancia muy agradable, estando
contenido en una proporción de números bastante pequeña,
4 y 5. [...] (Así) tendréis las teclas principales del clavecín que
según los antiguos, constituye la escala llamada diatónica
que deriva del número 2, del número 3 repetido tres veces y
del número 5 [...].
Si se quisiera también introducir el número 7, el número de
tonos de una octava sería mayor, y se llevaría toda la música
a un grado más alto. Pero aquí la Matemática abandona la
armonía a la Música.”
Durante más de siglo y medio, los argumentos de Kepler parecían sólidos, pero después, en menos de veinticinco años, sus
justificaciones se desmoronaron. Por un lado, W. Herschel,
precisamente un músico de la corte del rey Jorge III de
Inglaterra, descubrió Urano en 1781 y, pocos años después, C.
F. Gauss (1777 – 1855) demostró que se podía construir con
regla y compás el polígono regular de 17 lados.
3 de mayo de 1760
Leibniz, Bach y Euler
A pesar de que Leibniz no escribió mucho sobre música, además de ser el autor de varias de las frases más citadas en
Música y Matemáticas, participó en la polémica del número
siete. Su producción en este tema se reduce a algunas cartas
dirigidas a C. Goldbach (1690 – 1764). En una de éstas, fechada el 17 de abril de 1712, a pesar de que concede la posibilidad de que el número siete sea capaz de generar sonidos agradables, no deja de verlo como algo anecdótico:
En música, no contamos más allá del cinco, similares en esto a
esta gente que, hablando también de aritmética, no pasaban del
número tres y dieron lugar al dicho alemán sobre los simples:‘es
tan simple que no sabe contar más de tres’. Todos nuestros intervalos en uso vienen en efecto de razones formadas por los pares
de los números primos 1, 2, 3, 5. Si tuviéramos la suerte de un
poco más de finura, podríamos llegar hasta el número primo 7.
Pero el ingenio de Euler no podía permanecer ajeno a la música que se estaba haciendo en su época, y seis años después de
haber escrito la carta anterior, en su Conjecture sur la raison
de quelques dissonances généralement reçues dans la musique
(Euler, 1766a), no sólo se desdice de la última frase de esta
carta y propone el número 7 como uno de los artífices de la
música, sino que aprovecha la ocasión para rectificar a
Leibniz.
Se sostiene generalmente que no nos servimos en la música más
que de las proporciones compuestas por estos tres números primos 2, 3 y 5 y el gran Leibniz ha advertido ya, que en la música
no se ha aprendido aún a contar más allá del 5; lo cual es incontestablemente cierto en los instrumentos afinados según la
armonía. Pero, si mi conjetura se cumple, se puede decir que en
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la composición se cuenta ya hasta el 7 y que el oído está ya acostumbrado; es un nuevo género de música, que se ha comenzado
a usar y que era desconocida por los antiguos. En este género el
acorde 4, 5, 6, 7 es la armonía más completa, puesto que contiene los números 2, 3, 5 y 7; pero también resulta más complicado
que el acorde perfecto en el género habitual que no contiene más
que los números 2, 3 y 5. Si ésta es una perfección en la composición, quizá se hará lo posible por llevar los instrumentos al
mismo grado.
Posteriormente, Euler, cuando aborda el carácter de la Música
Moderna (Euler, 1766b) presenta un sistema de afinación en el
que aparece el número siete, aunque quizá por parecerle excesivamente atrevido, a los tonos en los que aparecen potencias
de 7 les denomina “extraños”, frente a los tonos “principales”
en los que sólo aparecen potencias de 2, 3 y 5.
Armónico
Frecuencia
Nota
Intervalo
1º=1 × f
132 Hz
do2
tono fundamental
2º=2 × f
264 Hz
do3
octava
3º=3 × f
396 Hz
sol3
quinta
4º=4 × f
528 Hz
do4
octava
5º=5 × f
660 Hz
mi4
tercera mayor
6º=6 × f
792 Hz
sol4
quinta
7º=7 × f
924 Hz
sib4
séptima menor (desafinada)
8º=8 × f
1056 Hz
do5
octava
9º=9 × f
1188 Hz
re5
segunda mayor
1320 Hz
mi5
tercera mayor
10º=10 × f
Normalmente, al expresar estos armónicos en un pentagrama,
al séptimo armónico se le adjunta una flecha, o un cambio de
graf ía, que indica la desafinación.
A pesar de que varios autores del
siglo XVIII utilizan la séptima en sus
composiciones ... los científicos y
teóricos de la música se mantienen
fieles en su renuncia al número siete
como generador de consonancias
Sin duda, puede hacerse un sistema de afinación en la que el
7º armónico esté afinado, por ejemplo el siguiente:
Pero, ¿puede estar desafinada la Naturaleza?
En el siglo XIX,
Do
Do#
Re
J. B. Fourier
(1768 – 1830)
3·5 32
abre una nueva
Una
posibilidad
1
brecha en la
2·7 23
cuestión
del
número siete.
Uno de sus
resultados más
célebres y, sin duda, el más utilizado en música, es que cualquier función periódica continua se puede descomponer en
funciones periódicas simples.
Esto significa que si un instrumento produce una nota, la
onda sonora se puede descomponer en ondas simples con frecuencias 1f, 2f, 3f, ..., denominadas armónico primero, segundo, etc. La amplitud de cada uno de los armónicos es lo que
configura el timbre del instrumento y hace que distingamos el
do de un piano del do de una trompeta. Así, si tomamos como
nota fundamental, o primer armónico, el do2 con una frecuencia f=132 Hz, los diez primeros armónicos que se producen son los siguientes:
142
Mib
Mi
Fa
Fa#
Sol
Sol#
La
Sib
Si
7
2·3
5
22
22
3
5·2
7
3
2
32 ·5
22 ·7
5
3
7
22
3·5
23
Pero, esto no zanja la cuestión. En primer lugar, en este sistema se modifica ligeramente la afinación habitual de todas las
notas y, en segundo lugar, ¿por qué quedarnos en el séptimo
armónico y no seguir con el 11º, 13º, etc. que también están
desafinados?
Realmente, que estas cuestiones permanezcan sin resolver no
supone ningún problema práctico, pero afirmar que algunos
armónicos de una nota emitida por un cantante están desafinados, es admitir que la naturaleza está desafinada. Está claro
que en los criterios para elegir las notas musicales, los argumentos basados en la f ísica del sonido se entremezclan con
los netamente socio-culturales, y éstos no tienen por qué
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coincidir. Esta desafinación no impide seguir disfrutando de la
belleza de la Música, pero, ¿no rompe esto con una tradición
de más de veinticinco siglos por la que armonía de la
Naturaleza (el Universo) y la armonía musical eran una misma
cosa?
o W. R. Lutoslawski, por ejemplo, no sólo hagan intervenir el
número siete en la afinación de muchos de sus acordes, sino
que realmente den un paso adelante hacia una relación explícita, que no ha cesado, entre las Matemáticas y la composición musical.
MUSYMATICAS
Quizás, no admitir esta ruptura ha hecho que algunos compositores del siglo XX, como Z. Kodály, B. Bartók, I. Xenakis
NOTAS
1 El nombre de las notas se debe a Gido D’Arezzo, un monje benedictino del siglo XI, que tomó las primeras sílabas del Himno a San Juan Bautista
como nombre de las notas. A parir de ahí, los nombres se han mantenido, excepto en el caso del do, cuyo nombre original, ut, sólo se conserva en
Francia. Sin embargo, estos nombres no son unánimes, ni siquiera en la música occidental. En la notación inglesa, las notas se llaman C, D, E, F, G,
A, B y en la alemana las notas se denominan C, D, E, F, G, A, H..
2 En los antiguos modos griegos no ocurría esto, ya que el canto solía empezar en la. El problema empezó a manifestarse en la Edad Media cuando
Guido D'Arezzo redistribuyó la escala y puso el do en primer lugar.
3 En el temperamento igual, que es el sistema de afinación que se utiliza mayoritariamente en la actualidad, do#=reb, re#=mib, fa#=solb, sol#=lab,
la#=sib.
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Madrid.
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http://umb-www-01.u-strasbg.fr/lexis/html/cinscription/Leibniz.html.
http://es.wikipedia.org/wiki/Microtonalismo.
IVORRA, C. (2006): Geometría
http://www.uv.es/~ivorra/Libros/Geometria.pdf .
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