Download CAP 8.1 Operaciones entre Subespacios

Escuela Superior Politécnica del Litoral
Algebra Lineal
Prof. Ing. Maria Nela Pastuizaca
Capitulo #5
OPERACIONES ENTRE SUBESPACIOS
VECTORIALES
Sean W1 ,W2 , subespacios vectoriales de un espacio vectorial V, se definen las siguientes
operaciones entre subespacios:
Intersección
Unión
Suma
W1  W2  x V / x W1  x W2 
W1  W2  x V / x W1  x W2 
W1  W2  z V / z  x  y, x W1  y W2 
TEOREMA
Sea V un espacio vectorial y W1 ,W2 , 2 subespacios vectoriales de V. Entonces W1  W2
y W 1W2 también son subespacios vectoriales de V.
DEMOSTRACION
H  W1  W2  x  V / x  W1  x  W2 
1)x, y  H ;  x  y   H
x  H  x  W1  x  W2
y  H  y  W1  y  W2
x, y  W1  ( x  y )  W1
 x yH
x, y  W2  ( x  y )  W 2
2)x  H ,   R; (  x)  H
x  H  x  W1  x  W2
x  W1    x  W1
  xH
x  W2    x  W2
W1 W2 es un subespacio vectorial de V
H  W1  W2  z  V / z  x  y, x  W1  y  W2 
1)z1 , z 2  H ;  z1  z 2   H
z1  H  z1  x1  y1 , x1  W1  y1  W2
z 2  H  z 2  x 2  y 2 , x 2  W1  y 2  W2
z1  z 2  ( x1  x 2 )  ( y1  y 2 )
x1  W1  x 2  W1  x1  x 2  W1
 z1  z 2  H
y1  W2  y 2  W2  y1  y 2  W2
2)z1  H ,   R;   z  H
z  H  z  ( x  y ), x  W1  y  W2
  z    ( x  y)
x  W1  y  W2    ( x  y )    x    y
 zH
H  W1  W2 es un subespacio vectorial de V
No siempre se cumple que la unión entre subespacios de V es un subespacio vectorial de
V.
EJEMPLO:
Determine si la unión entre los siguientes subespacios vectoriales de V es otro subespacio
de V
W1  ( x, y )  R 2 / y  x
W2

 ( x, y )  R

2
1,1  W1  W2

/ y  x
 (1,1)  (1,1)  (0,2)  W1  W2
(1,1)  W1  W2
W1  W2 no es un subespacio vectorial de V.
TEOREMA
Sean W1 ,W2 dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial V. W1  W2 es un
subespacio vectorial de V si y solo si W1  W2 ó W2  W1
DEMOSTRACIÓN
Suponemos que W1  W2 . Demostrar que W2  W1 siempre que W1  W2 sean
subespacio vectorial de V
Si W2  W1 , entonces existe por lo menos un elemento x / x W1  x W2 . Pero
W1  W1  W2   x W1  x W1  W2
y W2  W2  W1  W2   W1  W2  es subespacio vectorial  y  W1  W2 
 x  y  W1  W2   x  y W1  x  y W2
Suponemos ambas proposiciones anteriores
x  y  W2  x  y    y  W2  x  W2  0
x  y  W1  x  y    x  W1  y  W1 W2  W1
TEOREMA
Sea V un espacio vectorial, sea W1 ,W2 subespacios vectoriales de V donde W1  (S1 ) y
W2  (S 2 ) , entonces W1  W2  (S1  S 2 )
DEMOSTRACION
Sea S1  u1 , u 2 , u3 ,..., u n  un conjunto generador de W1
Sea S 2  v1 , v2 , v3 ,..., vm  un conjunto generador de W2
Sea w un vector cualquiera de W1  W2
w  u  v  u W1  v W2
w  ( 1u1   2 u 2   3u 3  ...   n u n )  ( 1v1   2 v 2   3 v3  ...   m v m )
w   1u1   2 u 2   3u 3  ...   n u n  1v1   2 v 2   3 v3  ...   m v m
w  W1  W2
 W1  W2  (u1 ,u 2 , u 3 ,..., u m , v1 , v 2 , v3 ,..., v n )  ( S1  S1 )
TEOREMA
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita y W1 ,W2 subespacios vectoriales de V.
Entonces:
dim( W1  W2 )  dim( W1 )  dim( W2 )  dim( W1  W2 )
SUMA DIRECTA
Definición: Sea W1 ,W2 subespacios vectoriales del espacio vectorial V. La suma
W1  W2 es llamada suma directa de W1 ,W2 denotada por W1  W2 si cada vector en el
espacio W1  W2 tiene una única representación como la suma de un vector en W1 y un
vector en W2
TEOREMA
Sean W1 ,W2 subespacios vectoriales del espacio vectorial V, entonces
 
W1  W2  W1  W2 si y solo si W1  W2  0
 
DEMOSTRACIÓN
 
a) Si W1 W 2 W1  W2 , entonces W1  W2  0
 
x  W1  W2  x  W1  x  W2



0  W1  W2  0  W1  0  W2

Tal que
x  x  0  x  W1  W2
Pero W1  W2 es una suma directa por lo que x tiene una única representación como la
suma de un vector en W1 y un vector en W2 por lo tanto:

x0

Si x W1  W2  x debe ser 0
 
 W1  W2  0
 
 
b) Si W1  W2  0 , entonces W1  W2  W1  W2
 
z  x1  y1  x1  W1  y1  W2
Sea x  W1  W2 tal que
z  x1 ' y1 '  x1 ' W1  y1 ' W2
x1  y1  x1 ' y1 '
x  x1 '  y1 ' y1
Si
x1  W1  x1 ' W1  x1  x1 ' W1
y1  W2  y1 ' W2  y1  y1 ' W2
y x  x1 '  y1 ' y1  x1  x1 'W2  y1  y1 'W1
x1  x1 ' W2   y1  y1 ' W1  x1  x1 ' W1 W2   y1  y1 ' W1 W2


 
W1  W2  0  x1  x1 '  0 y1  y1 '  0
Pero
 
 x1  x1 ' y1  y1 '
Por lo tanto x puede representarse de manera única como la suma entre un vector
único de W1 y otro vector único W2 , entonces W1  W2  W1  W2
EJEMPLO:




Sean H y W subespacios de V tales que H  gen x 3 , x 2  1 y W  gen x 3  x 2 ,3
a) Encuentre una base para el subespacio H  W y determine su dimensión
b) Pertenece el vector 1  x  x 2  2 x 3 a H  W ?
c) Se puede afirmar que H  W  H  W ? Justifique su respuesta
Primero hallamos H  W
1
1 0

0 1 1
0 0
0

0 1 0

0  x 3   a   1 0
1
 2    
0  x   b   0 1  1


0  x   c   0 0
0
    






3  1   d   0  1 0

0 | a

0 | b
c=0
0 | c

3 | d 

H  W  ax 3  bx 2  cx  d / c  0
El vector 1  x  x 2  2 x 3  H  W ya que el elemento que acompaña a x no es 0
Ahora hallemos H  W




H  1 x 3   2 x 2   2 Conjunto de variables
W  1 x 3  1 x 2  3 2 Conjunto de constantes
Se igualan las constantes y las variables
1 x 3   2 x 2   2  1 x 3  1 x 2  3 2
Ordenamos de forma matricial
0 0   1    1   1 0
 
  
0 0   2    1   0 1


0 0   3   0   0 0
 
  
0 0   4   3 2   0  1
1 0

0 1
0 0

0 1

 1  1
1   1 0 0 0 |
 
0 0 |  1   0 1 0 0 |
0 0 |


0  0 0 0 0 |
0
 

0 0 | 3 2   0 0 0 0 | 3 2   1 
0 0 |
 2   1
3 2   1
Se reemplaza las variables en las constantes

H  W  x

 

H  W  1 x 3  1 x 2  1  H  W  1 x 3  x 2  1
3

 x2 1
Dim ( H  W )  1
H  W no es suma directa ya que Dim ( H W )  1
EJERCICIOS
1.- Sea V= M 22 . Considere los subconjuntos:
 a b 

 1 1   0  1
 / a  2b  c  0; a, b, c, , d  R
, 

H  
W  gen
 c d 

 2 0   1 0 
a) Halle la intersección ente los dos subespacios
b) Una base y la dimensión del subespacio hallado
2.- Sea V  P3

W  gen 1  x  x 2  x 3



H  a  bx  cx 2  dx 3 / a  2d  c  0

S  gen x,2  2 x  x
3

Determine:
a) Una base para H  S
b) Si H  W es un subespacio de P3
c) La dimensión de H  W
d) El subespacio W  S
1 

 1 
3.- Sea V  M 22 y sean

H  A  M 22 / A   AT

 0  1  1 0    1 1 
, 
, 

W  
 1 0   0 2   0 0 
a) Demuestre que H es un subespacio de V
b) Determine una base para H  W
c) Determine si la matriz identidad pertenece a H  W
4.- Sea B  v1 , v2 , v3 , v4  una base del espacio vectorial V. Sean H y W dos subespacios
de V, tal que:
H  genv1  v2  v3 ,2v2  v3 
W  genv4  v1 , v1  v3  v 4 
a) Encuentre una base y determine la dimensión del subespacio H  W
b) Determine si v  v3  2v4  2v1  2v2  ( H  W ).
5.- Sea V  P3 , considere los siguientes subconjuntos de V
W  p( x) / p(1)  2 p(0)  p(1)
H  L(2  x, x 3  x,4 x 3  8)


U  p( x)  2  ax  bx 2 / a, b  R
a) Puede escribirse a V como la suma de dos de los subconjuntos anteriores?
b) Determine, de ser posible, la dimensión de H  W y de U W
6.- Considere V el espacio M 22 con las operaciones usuales de suma de matrices y
multiplicación por escalar. Sea W1 el conjunto de la forma:
 x  x

 / x, y, z  R
y z 
y W2 el conjunto de matrices de la forma
 a b

 / a, b, c  R
 a c
Hallar una base y la dimensión de W1 ,W2 , (W1  W2 ) y(W1  W2 )
7.- Califique cada una de las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas.
Demuéstrelas en caso de ser verdaderas y de un contraejemplo en caso de ser falsas.
a) Sea S1 y S 2 dos conjuntos de vectores de un espacio vectorial V, tales que
L(S1  S 2 )  LS1  , entonces S 2  S1
b) Sean W, H subespacios de V, entonces W  H  W  H
c) Si W  H es un subespacio de V entonces W es también un subespacio de V
d) Sean A y B dos conjuntos linealmente independientes de vectores de V. Si
A  B   entonces A  B es también un conjunto linealmente independiente
e) Sean v1 , v2 , v3 , v4 vectores linealmente independientes del espacio vectorial V.
Sean H  genv1  v2 , v2  v3 , v1  v4  y W  genv1 , v1  v2 , v3  v4  entonces
dim( H W )  3
f) Sea el espacio vectorial V  P2 . Sean
H  ax 2  bx  c / a  b  c  0  2a  b  3c  0 y

W  ax


 bx  c / 4a  5b  11c  0 dos subespacios de V. Entonces H  W es
un subespacio de V.
g) Sean S 22  A  M 22 / A  AT y A22  A  M 22 / A   AT dos subespacios
del espacio vectorial M 22 . Entonces: M 22  S 22  A22
2



