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Números Racionales
Fundamento de la Matemática
Números Racionales
Daniel Jiménez Briones
Instituto de Matemáticas
http://matematica.uv.cl/djimenez
2017
http://matematica.uv.cl/djimenez
Conjunto
Números Racionales
Los Números Racionales
Número Racional es todo número que puede representarse como el
cociente de dos números enteros
Q=
a a, b ∈ Z, b 6= 0
b La fracción ba significa que la cantidad a se dividió en b partes
iguales.
En la fracción, el numerador es representado por a,
En la fracción, el denominador es representado por b y éste no
puede ser cero.
Dos fracciones se dicen equivalente, si representan el mismo
número o cantidad.
EJEMPLOS
3
−3
= ;
−5
5
−3
3
3
=− =
;
5
5
−5
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Conjunto
1
2
3
= = .
2
4
6
Números Racionales
Los Números Racionales
Si el numerador es menor que el denominador, la fracción se dice
propia;
Si el denominador es menor que el numerador, la fracción se dice
impropia.
Un abreviatura de los números racionales, son los llamados
números mixtos
c
c
Ad + c
= A + =: A
d
d
d
EJEMPLOS Transformar
43
4
a número mixto
43 : 4 = 10 ;
3
43
=
4
43 = 4 × 10 + 3
10 + 43 = 10 43
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Conjunto
Números Racionales
Cuidados Necesarios con el uso de variables
Los números se representan con variables a, b, c,
Las notaciones habituales
a + b;
ab;
ac
indican “suma”, “producto” y “Potencia o Raíz”
Pero la precaución debe estar en el reemplazo, ya que al sustituirlo
o reemplazarlo tenemos que tener presente los paréntesis, es decir,
(a) + (b);
(a)(b);
(a)(c)
EJEMPLOS Sea a = −1, b = 2, c = −3. Determine el valor de
x=
x=
a
c +c
ab − c
1
+ (−3)
− 38
2
3 −3
=
=
=− .
(−1)2 − (−3)
1+3
4
3
−1
−3
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Números Racionales
Los Números Racionales
Se dice que una fracción ba es irreducible si los números enteros
son primos relativos.
Simplificar significa determinar otra fracción equivalente la cual es
irreducible.
Los números racionales pueden representarse en forma decimal.
EJEMPLOS
3
3
43
= 10, 75;
= 0, 6;
= 0, 12.
4
5
25
La expresión decimal, no es única y puede contener una cantidad
finita de cifras o infinitas cifras pero hay una “parte” que se repite
en forma periódicamente
EJEMPLOS
1
= 0, 3;
3
43
= 2, 86;
15
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4
= 0, 190476.
21
Conjunto
Números Racionales
Los Números Racionales
Un número decimal no periódico puede expresarse como
fracción, del siguiente modo. Consideremos el número decimal
finito
n = a1 a2 · · · ar , b1 b2 · · · bs
donde ai , bj representan dígitos, luego
n=
a1 · · · ar b1 · · · bs
10s
EJEMPLOS
0, 3 =
3
03
= ;
1
10
10
2, 8 =
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28
14
= ;
10
5
Conjunto
12, 9 =
129
10
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Los Números Racionales
Un número decimal periódico puede expresarse como fracción,
del siguiente modo, Consideremos el número decimal periódico,
n = a1 a2 · · · ar , b1 b2 · · · bs c1 c2 · · · ct
donde ai , bj , ck representan dígitos con t ≥ 1, luego
n=
a1 · · · ar b1 · · · bs c1 · · · ct − a1 · · · ar b1 · · · bs
10s (10t − 1)
EJEMPLOS
0, 3 =
03−0
100 (101 −1)
0, 9 =
9
10−1
= 93 ;
2, 86 =
286−28
10(10−1)
=
=1
21, 19176 =
2097985
2119176 − 21191
=
;
103 (102 − 1)
99000
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Conjunto
258
90 ;
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Los Números Racionales
Debemos tener presente que la expresión fraccionaria no es única y
del mismo modo, su expresión decimal de un números racional
9
3
= = 0, 9 = 1
3
9
Aproximación o redondear un número decimal
Redondear un número en ciertas cifras decimales, consiste en
encontrar un número con las cifras pedidas que es la mejor o el
más próximo al número dado.
Redondear a dos decimales 1, 3456
a) |1, 3456 − 1, 34| = 0, 0056
b) |1, 3456 − 1, 35| = 0, 0044
La respuesta de redondear a dos decimales 1, 3456 es 1, 35.
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Números Racionales
Los Números Racionales
Los números racionales están ordenado, es decir, se pueden ordenar
en la recta numérica
−1
− 21
− 14
0
1
4
1
2
4
2
Dado dos números racionales, uno de ellos es mayor o igual que el
otro y entre ambos existe otro número racional.
Si a, b, c, d son enteros positivos
a
c
≤ si y sólo si ad ≤ cb
b
d
Además, si
a
b
≤
c
d
entonces
a
1
≤
b
2
c
a
+
b d
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≤
Conjunto
c
d
Números Racionales
Los Números Racionales
4
EJEMPLOS Dado los números racionales 31 ; 11
;
podemos ordenar e intercalar números racionales
3
13 ,
luego los
4
1
23
4
1
≤
y ≤
≤ .
3
11 3
66
11
3
1
3
11
1
≤ y
≤
≤ .
13
3 13
39
3
Algebra de Números Racionales:
a
b
+
c
d
=
ad+bc
bd
a
b
−
c
d
=
ad−bc
bd
a
b
×
c
d
=
ac
bd
a
b
÷
c
d
=
ad
bc
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Representación Gráfica del Producto y Cociente
La suma y resta corresponde a yuxtaponer un segmento después
del otro, ahora observemos que pasa con el producto y el cociente.
a
x
1
b
Aplicando Thales se tiene se obtiene que ...
x
a
=
1
b
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Representación Gráfica del Producto y Cociente
x
a
1
b
Aplicando Thales se tiene se obtiene que ...
x = ab
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