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Física I
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9.- Gravitación.
(1) Determine la masa de la Tierra a partir del período T y del radio R de la órbita de la Luna
alrededor de la Tierra. T = 27,3 días y R = 3,82 · 105 km.
(2) Los cuerpos pesan aproximadamente la sexta parte en la Luna de lo que pesan en la Tierra.
¿Cuál es la relación de radios entre la Tierra y la Luna si se supone que ambos cuerpos tienen la
misma densidad?
(3) Suponga que un satélite de comunicaciones geosíncrono está en orbita en la longitud de
Olavarría. Usted está en Olavarría y quiere captar sus señales. ¿En qué dirección deberá usted
apuntar el eje de su antena parabólica? La latitud de Olavarría es 36º 53’ S.
(4) Un satélite meteorológico está en una órbita geosincrónica, estacionario sobre Nairobi, ciudad
muy cercana al ecuador. Si el radio de su órbita se aumenta en 1,00 km, a) ¿a qué razón y en
qué dirección se moverá su punto de referencia sobre la Tierra? b) ¿En cuánto tiempo
desaparecerá por debajo del horizonte de Nairobi?
(5) Un satélite polar, en órbita terrestre baja, a 281,18 km de la superficie de la Tierra, pasa
sobre los dos polos. Visto desde la Tierra, ¿qué separación de longitud tienen sus pases
consecutivos sobre el ecuador?
(6) Un satélite es colocado en una órbita circular síncrona alrededor de la Tierra. La fuente de
potencia del satélite le asegura una duración de 10 años. Si la máxima desviación permisible,
tanto hacia el este como hacia el oeste, de la longitud del satélite es de 10º en toda su vida, ¿cuál
es el margen de error en el radio de la órbita?
(7) Los astrónomos buscan la existencia de planetas fuera del sistema solar observando las
perturbaciones de las estrellas debido a las interacciones gravitatorias con estos cuerpos, ya que su
visión directa es imposible por carecer de luz propia. Un sistema formado por una estrella y un
planeta gira alrededor de su centro de masa, de tal manera que, si se observa en el mismo plano,
la estrella oscila describiendo un movimiento armónico alrededor del centro de masa. Suponga una
estrella de masa M = 1,99 · 1030 kg y que el movimiento oscilatorio es descripto por:
x t 7 ,43 ˜ 10 5 cos 1 ,679 ˜ 10 8 t km
Halle a) la distancia respecto a la estrella a la que se puede encontrar el supuesto planeta y b) la
masa del planeta.
(8) La distancia media entre el Sol y la Tierra es D = 15 · 107 km y entre la Tierra y la Luna es
d = 300000 km. Halle:
a) La fuerza gravitatoria (módulo, dirección y sentido) que siente la Luna debido al Sol y la Tierra
en el instante en que se produce un eclipse de Sol.
b) La fuerza que sentirá la Luna pero cuando está en cuarto creciente.
c)
La variación de energía potencial entre las dos posiciones anteriores.
(9) ¿Con qué velocidad debe proyectarse verticalmente hacia arriba un cuerpo desde la superficie
terrestre para que alcance una altura de 600 km? ¿Qué error relativo se cometerá al suponer g
constante e igual al valor que tiene en la superficie terrestre. Resuelva el problema haciendo
consideraciones energéticas y despreciando el rozamiento con la atmósfera.
(10) Una estrella doble consiste en dos estrellas de masas M y 2M, estando separados sus
centros una distancia D. Trace una gráfica de cómo variará la energía potencial gravitatoria de una
partícula al recorrer ésta una línea recta que une los centros de ambas estrellas.
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(11) Pueden emplearse medidores sensibles que midan la
aceleración en caída libre g local para detectar la presencia de
depósitos de rocas cercanos a la superficie de densidad
significativamente mayor o menor que la de su entorno; también
pueden localizarse cavidades como cavernas y tiros de minas
abandonadas. a) Demuestre que la componente vertical de g a
una distancia x de un punto situado directamente sobre el centro
de una caverna esférica es menor de lo que cabría suponer,
suponiendo una distribución uniforme de roca de densidad U, en
la cantidad:
'g
4
d
S R 3G U
2
3
d x2
3
2
donde R es el radio de la caverna y d es la profundidad de su centro. b) Estos valores de 'g,
llamados anomalías, son usualmente muy pequeños y se expresan en miligal, siendo
1 gal = 1cm/s2. Los ingenieros petroleros, al hacer un levantamiento gravimétrico, hallan que 'g
varía desde 10,0 mgal hasta un máximo de 14,0 mgal dentro de una distancia de 150 m.
Suponiendo que la anomalía más grande haya sido registrada directamente sobre el centro de una
caverna esférica que se sabe está en la región, halle su radio y la profundidad del techo de la
caverna en ese punto. Las rocas cercanas tienen una densidad de 2,80 g/cm3. c) Suponga que
la caverna, en lugar de estar vacía, está completamente inundada de agua. ¿Qué indican ahora las
lecturas de la gravedad hallada en b) acerca de su radio y su profundidad?
(12) Considérese a la Tierra como una esfera dividida en tres
zonas esféricas de distinta densidad: la corteza, el manto y el
núcleo. La sección transversal se muestra en la figura, no a
escala. La Tierra tiene una masa total de 5,98 · 1024 kg y un
radio de 6370 km. Despreciando la rotación, a) calcule g en
la superficie, b) suponga que se perfora un orificio hasta la
superficie que separa la corteza del manto (el Moho); ¿cuál
sería el valor de g en el fondo del orificio? c) Suponga que la
Tierra es una esfera uniforme con la misma masa total y el
mismo tamaño. ¿Cuál sería el valor de g a una profundidad de
25 km? d) Halle g en la superficie de contacto entre el núcleo
y el manto. e) Demuestre que g tiene un mínimo local dentro
del manto; halle la distancia desde el centro de la Tierra hasta
donde ocurre esto y el valor de g asociado. f) Represente gráficamente la variación de g con la
distancia al centro de la Tierra.
(13) En nuestro sistema solar, los objetos pequeños como los asteroides, cometas y satélites
pequeños pueden ser de forma muy irregular cuando sus “diámetros” son menores de 600 km. Un
objeto puede mantener una forma distinta a la esférica únicamente si las rocas que lo constituyen
tienen la resistencia suficiente para resistir a la fuerza de gravedad. a) Halle una expresión para el
esfuerzo de compresión (fuerza por unidad de superficie) cerca del centro de un cuerpo esférico de
densidad uniforme U y radio R. b) Calcule el límite de resistencia a la compresión de las rocas que
forman a los asteroides suponiendo una densidad de 4000 kg/m3.
(14) La distancia de la Tierra a la Luna se mide con una precisión del orden de los milímetros
usando el haz de un rayo láser. Este haz es emitido desde un observatorio terrestre y se refleja en
un espejo colocado en la Luna por los astronautas del Apolo XI. La información obtenida con este
método dice que la Luna se aleja de la Tierra a razón de 5 cm por año. Este alejamiento está
íntimamente ligado con el alargamiento del día terrestre debido a la fricción de las mareas. El
sistema Tierra – Luna conserva sin embargo su momento angular. El momento angular del sistema
es la suma del momento angular intrínseco de cada cuerpo más el momento angular orbital debido
a la rotación de la Luna alrededor de la Tierra. Suponiendo que la Tierra y la Luna sean esferas
uniformes, que los momentos angulares vectores paralelos y que la órbita lunar una circunferencia,
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halle: a) la velocidad con que varía el período de rotación terrestre en s/año, b) la duración del
día terrestre hace 500 millones de años y c) la duración del día terrestre dentro de 500 millones de
años.
Datos astronómicos:
5,975 · 1024 kg
Masa de la Tierra
Masa de la Luna
7,349 · 1022 kg
Radio medio de la Tierra
6,371 · 106 m
Radio medio de la Luna
1,7375 · 106 m
Radio medio de la órbita lunar
3,845 · 108 m
Período de rotación terrestre
86164 s
Período de rotación lunar
2354086,644 s
Período de traslación lunar alrededor de la Tierra
2354086,644 s
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