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VICERRECTORADO ACADÉMICO
Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia (CEIDIS)
NÚCLEO UNIVERSITARIO “ALBERTO ADRIANI”
Guía didáctica: Álgebra
Curso de Extensión
PARTE A
SESIONES
1-4
Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor
Contenidos desarrollados por: Francísco Carrera, José Luis García.
MATERIAL EN REVISIÓN
Hacienda Judibana. Kilómetro 10, Sector La Pedregosa. El Vigía. Mérida - Venezuela. Portal Web: www.ula.ve/vigia. Correo-e: nuaa@ula.ve. Teléfonos: 0275-808.59.01 / 267.18.62. Telefax: 0274-240.29.47
NÚCLEO UNIVERSITARIO “ALBERTO ADRIANI”
FACILITADORES
CURSO DE EXTENSIÓN
MARTES – MIÉRCOLES – JUEVES
Horario:
ÁLGEBRA
8:30 A.M. – 11:30 A.M.
2:00 P.M. – 5:00 P.M.
CONSULTAS
SEMANA 1: 05/11/2007 al 09/11/2007
SESIONES 1 - 4
SEMANA 2: 12/11/2007 al 16/11/2007
SESIONES 5 - 9
MODALIDAD: NO PRESENCIAL
DURACIÓN: 5 SEMANAS
SEMANA 3: 19/11/2007 al 23/11/2007
SESIONES 10 - 13
SEMANA 4: 26/11/2007 al 30/11/2007
SESIONES 14 - 16
SEMANA 5: 03/12/2007 al 07/12/2007
SESIONES 17 - 19
Hacienda Judibana. Kilómetro 10, Sector La Pedregosa. El Vigía. Mérida - Venezuela. Portal Web: www.ula.ve/vigia. Correo-e: nuaa@ula.ve. Teléfonos: 0275-808.59.01 / 267.18.62. Telefax: 0274-240.29.47
Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería
Asignatura: Álgebra
Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido
Programático.
Curso Básico de Nivelación en el área de
Álgebra
Datos de Identificación
Ciclo:
Introductorio
Duración: 10 semanas
Índice
Introducción……………………………………………….. i
Objetivos…………………………………………………… ii
Estrategias………………………………………………….. iv
Contenido Programático ………………………………. vi
Tema 1 “Preliminares”
Unidad Académica:
Sesión 1: Preliminares ……………………. …..1
Problemas propuestos……………………… 22
Autoevaluación 1…………………………..... 24
Correo electrónico:
Datos de Identificación
Profesores del área:
Tema 2 “Operaciones notables”
Sesión 2: Operaciones notables……….…. 26
Problemas propuestos……………………… 42
Autoevaluación 2……………………………. 43
Sesión 3: Operaciones notables………..… 45
Problemas propuestos……………………… 53
Autoevaluación 3…………………………… 54
Contenidos desarrollados por:
Prof. Francisco Carrera
Lic. José Luís García
Sesión 4: Operaciones notables………..… 57
Problemas propuestos……………………… 66
Autoevaluación 4…………………………… 67
Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor.
Contenidos desarrollados por: Nayive Jaramillo, José Luís García
Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia.
1
Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería
Asignatura: Álgebra
Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido
Programático.
Tema 3 “Teorema del resto”
Sesión 5: Teorema del resto………….…… 69
Problemas propuestos………………………78
Autoevaluación 5 …………………………...79
Sesión 6: Teorema del resto………….…… 83
Problemas propuestos………………………91
Autoevaluación 6 …………………………...92
Tema 4 “Factorización”
Sesión 7: Factorización …………………….95
Problemas propuestos……………….……107
Autoevaluación 7………………………….108
Sesión 8: Factorización ………………….. 110
Problemas propuestos……………….…… 126
Autoevaluación 8…………………………. 127
Sesión 9: Factorización ………………….. 129
Problemas propuestos……………….…… 149
Autoevaluación 9…………………………. 150
Tema 5 “Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
de polinomios”
Sesión 10: Máximo común divisor y mínimo
común múltiplo de polinomios …………152
Problemas propuestos……………….…… 182
2
Autoevaluación 10……………………… 183
Tema 6 “Expresiones racionales”
Sesión 11: Expresiones racionales …..… 187
Problemas propuestos ……………….….. 203
Autoevaluación 11………………………… 205
Sesión 12: Expresiones racionales …..… 209
Problemas propuestos ……………….….. 215
Autoevaluación 12………………………… 217
Sesión 13: Expresiones racionales …..… 221
Problemas propuestos ……………….….. 228
Autoevaluación 13………………………… 230
Tema 7 “Ecuaciones”
Sesión 14: Ecuaciones ……………. …..… 234
Problemas propuestos ……………….….. 250
Autoevaluación 14………………………… 252
Sesión 15: Ecuaciones ……………. …..… 256
Problemas propuestos ……………….….. 263
Autoevaluación 15………………………… 265
Tema 8 “Matrices,
ecuaciones”
determinantes
y
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sistema
de
Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería
Asignatura: Álgebra
Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido
Programático.
Sesión 16: Matrices, determinantes y sistema de
ecuaciones ……………………...……….. 268
Problemas propuestos ……………….…. 280
Autoevaluación 16……………………….. 282
Sesión 17: Matrices, determinantes y sistema de
ecuaciones ……………………...……….. 286
Problemas propuestos ……………….…. 299
Autoevaluación 17……………………….. 301
Sesión 18: Matrices, determinantes y sistema de
ecuaciones ……………………...………... 305
Problemas propuestos ……………….….. 310
Autoevaluación 18……………………….. 312
Tema 9 “Números complejos”
Sesión 19: Números complejos………... 316
Problemas propuestos ……………….….. 323
Autoevaluación 19……………………….. 324
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3
Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería
Asignatura: Álgebra
Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido
Programático.
4
Objetivos
Introducción
Objetivo general
Álgebra es el área de la matemática que
Capacitar al estudiante en la aplicación de las herramientas
estudia las cantidades en una forma abstracta, a
básicas del álgebra.
través de símbolos, relacionándolas por medio de operaciones
simbólicas que resumen operaciones aritméticas. Las asignaturas de
Objetivos específicos
las carreras de ingeniería requieren dominar con destreza dichas
operaciones. Procurando cubrir esta necesidad, se ha elaborado el
curso de nivelación en Álgebra, dirigido a estudiantes de nuevo
ingreso de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Los Andes.
Esencialmente orientado a la apropiación de los conceptos básicos
del Álgebra, el curso ofrece contenidos tales como: Operaciones
Notables, Teorema del Resto, Factorización, Máximo Común Divisor y
Mínimo Común Múltiplo de Polinomios, Expresiones Racionales,
Ecuaciones, Matrices, Determinantes y Sistemas de Ecuaciones. Así
Tema 1: Preliminares
Aplicar las propiedades de la potenciación, los productos y los
cocientes notables en la solución de problemas.
Tema 2: Operaciones Notables
Resolver problemas relacionados con la división de polinomios.
Emplear los teoremas del resto y del factor.
Tema 3: Teorema del Resto
pues, se complementará la formación en el área, para lograr un
nivel adecuado que facilite el proceso de enseñanza-aprendizaje
de los estudiantes
Resolver problemas utilizando todos los productos de dos o tres
factores.
Tema 4: Factorización
Utilizar los conceptos de divisor, múltiplos, máximo y mínimo común.
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Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería
Asignatura: Álgebra
Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido
Programático.
Tema 5: Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo de
5
Estrategias
Polinomios
Manejar expresiones racionales de todo tipo.
Tema 6: Expresiones Racionales
Resolver ecuaciones de primer grado.
Tema 7: Ecuaciones
Resolver ecuaciones de segundo grado con una incógnita.
Tema 8: Matrices, Determinantes y Sistema de Ecuaciones
Discutir y resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando los
principios básicos de matrices y determinantes y de hallar la inversa
de una matriz.
Realizar estudios a distancia es una tarea que requiere esfuerzo,
voluntad y dedicación, pero que a su vez depara grandes
satisfacciones, tanto de índole personal como profesional. Esta
modalidad le permitirá.
1.- Estudiar a su propio ritmo y administrar su propio tiempo, en la
comodidad de su domicilio.
2.- Disponer de Módulos Instruccionales Asistidos Por El
Computador, M.I.A.C., que facilitan el proceso de enseñanza y
aprendizaje.
Los Módulos Instruccionales Asistidos Por El Computador, M.I.A.C.
están estructurados de la siguiente manera dentro del PLAN DEL
CURSO:
−
cuales abarcan todos los contenidos del curso.
−
Tema 9: Números Complejos
Reconocer y emplear los números complejos.
Temas: comprendidas por sesiones de clases teóricas, las
Sesiones: conformadas por temas que deben leerse, para
ser analizados e interpretados y por actividades que deben
realizarse en un tiempo determinado.
−
Objetivos específicos por cada tema: muestran de manera
clara los aprendizajes que lograrán durante la interacción
con cada sesión.
−
Contenidos: a través de éstos se puede interactuar con los
diferentes temas que comprende cada sesión.
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Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería
Asignatura: Álgebra
Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido
Programático.
−
Actividades: se plantea de forma sencilla los pasos que
6
Recomendaciones generales para cursar esta asignatura:
deben seguirse para el logro de los objetivos de enseñanza y
−
−
−
aprendizaje de cada sesión. Como estudiante podrás
- Realizar todas las actividades propuestas en cada sesión
descargar y/o revisar los contenidos en formato PDF, repasar
- Realizar dos sesiones semanales como mínimo durante el
los temas más importantes (críticos) a través de clases
transcurso de 10 semanas.
interactivas, realizar ejercicios prácticos y, al finalizar, podrás
- Leer pausadamente cada sesión de clase.
realizar una autoevaluación, la que te permitirá determinar el
- Realizar cuidadosamente los ejercicios resueltos y propuestos y
nivel de aprendizaje obtenido en cada sesión.
verificar las soluciones a los mismos, cuyas respuestas se encuentran
Recursos: contienen los enlaces a páginas recomendadas
al final de cada tema.
por el autor, ejercicios propuestos y resueltos, bibliografía y
- Es indispensable realizar las autoevaluaciones de cada sesión con
vocabulario empleado.
la finalidad de verificar individualmente el aprendizaje logrado en
Autoevaluaciones: contiene un enlace, al que se accede
cada sesión de clases.
después de finalizar las actividades de cada tema. Esta la
- No ver los resultados de las autoevaluaciones que se encuentran
realizarás cuando te sientas preparado para presentar la
al final de la unidad, antes de realizar las mismas.
evaluación final.
-
Respuestas a las autoevaluaciones: al final de cada tema se
xxxxxxx@ula.ve cualquier duda de los temas expuestos.
Es
importante
consultar
a
través
del
correo
encuentran las respuestas a las autoevaluaciones.
−
Respuestas a los ejercicios propuestos: al final de cada tema
se encuentran las respuestas a los ejercicios propuestos.
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electrónico
1
Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería
Asignatura: Álgebra
Tema 1: Preliminares
Tema 1 / Sesión 1
Tema 1: Preliminares
¿Qué es el álgebra?
Sesión 1
Álgebra es el área de la matemática que estudia las cantidades en
Objetivos específicos
una forma abstracta, a través de símbolos, relacionándolas por
medio de operaciones simbólicas que resumen operaciones
*
*
*
Definir con sus propias palabras un concepto de
álgebra.
Diferenciar y clasificar los números como conjunto y
realizar su representación gráfica.
Identificar en las operaciones las propiedades:
distributiva, asociativa, conmutativa y el elemento,
identidad e inverso.
aritméticas.
¡El álgebra no es respecto a números!
¡El álgebra se trabaja en forma simbólica!
Su diferencia fundamental con la aritmética es la representación de
Actividades
*
*
*
*
las cantidades. En la aritmética, las cantidades se representan por
Leer el contenido de la sesión 1 sobre” Preliminares”
Realizar los ejercicios con respuesta.
Realizar los ejercicios prácticos de toda la unidad.
Realizar la autoevaluación.
pueden ser números o letras.
Los números representan cantidades conocidas y determinadas,
mientras que las letras representan cantidades conocidas no
Recursos
*
*
*
números y en el álgebra, se representan mediante símbolos que
determinadas o desconocidas. Las cantidades conocidas se
Contenido de la sesión 1: “Preliminares”
Páginas Web recomendadas
La autoevaluación de la sesión 1
conocen con el nombre de constantes y las desconocidas se
conocen como variables.
Ejemplo 1.1
a. Números: −3, 2, 0, 1/2, −2/3, . . .
b.
Letras: a, b, c, x, y, z, A, B, . . .
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2
Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería
Asignatura: Álgebra
Tema 1: Preliminares
Tema 1 / Sesión 1
Ejemplo 1.2
conocido como Números Reales. Este conjunto es el resultado de la
Determinar una fórmula algebraica que represente el área de un
rectángulo "A" de base determinada "5" y altura conocida "a":
integración gradual de otros conjuntos de números que indicaremos
a continuación:
1. Números naturales: son los que se utilizan para contar y también
Vemos que existe una cantidad numérica que es la base, una
se llaman Enteros Positivos. Se denotan con la letra "N". Ej: Si
cantidad constante no determinada que es la altura y una cantidad
contamos 10 personas en una fila, cada una es una y sólo una
variable desconocida que es el área, la cual cambiará para cada
persona, y nunca existe media persona ó ¼ de persona. Para
valor que le asignemos a la altura. De esta manera podemos escribir
hacer este tipo de conteos, se utilizan los números naturales
la fórmula algebraica:
comenzando siempre desde el número 1 hasta el infinito.
Q = 5.a
El concepto de número
Ν =
{ 1, 2 , 3 , 4 , KK }
2. Números enteros: son los que agrupan a los naturales, sus
opuestos o negativos y el cero. Se denotan con la letra "Z". Ellos
Los hombres supieron contar mucho antes de que escribieran los
forman un conjunto que contiene a los números naturales,
números. La aritmética desarrollaba sólo operaciones de contar.
Ν ⊂ Ζ.
De esta forma, la necesidad de representar esa forma empírica de
Ζ =
{ K − 2 , − 1, 0 , 1, 2 ,K }
contar llevó a la escritura de lo que es un número.
3. Números racionales: resultan de la división de dos números
Los números como conjunto
enteros, se denotan con la letra "Q". Dicho cociente puede ser
exacto o fraccionario, por ejemplo:
El conjunto de números más frecuentemente usado en álgebra es
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Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería
Asignatura: Álgebra
Tema 1: Preliminares
Tema 1 / Sesión 1
⎫
⎧ a
Q = ⎨ : a, b ∈ Ζ y b ≠ 0 ⎬
b
⎭
⎩
3
6
= 3,
= 2,
1
3
números, y se denotan con la letra R. Ellos son la unión de los
racionales e irracionales:
−15
2
1 15
5 −2
−1
= −3,
=
,
=
,
=
5
4
2 6
2 6
3
Cuando el resultado es exacto se tiene un número entero, de lo
R = Q ∪ I
Representación gráfica de los números
contrario se tiene un número decimal periódico. De esta forma,
dicho conjunto contiene a los números enteros:
El conjunto más amplio es el de los números reales y pueden ser
representados como puntos sobre una recta "L", de modo que cada
Ν ⊂ Ζ ⊂ Q
4. Números irracionales: son números no racionales, es decir, no
tienen una expresión decimal periódica, por ejemplo:
punto "P" sobre la recta corresponde a un número real. De esta
forma, hay una asociación uno a uno entre los números reales y los
puntos sobre una recta.
Para iniciar la representación, se fija un punto arbitrario "O", llamado
origen, y se asocia con el número real 0. Luego se establece un
2, π , e
punto "U" a la derecha del origen, el cual se asocia con el número 1
y se denomina valor unitario. A partir de allí, los números enteros
Se denotan con la letra “I” y no tienen números comunes con los
serán un factor de ese valor unitario, estableciendo la orientación
racionales, es decir:
positiva hacia la derecha y negativa a la izquierda (ver Fig. 1.1)
Q ∩ I = ∅
5. Números reales: son la integración de todos estos conjuntos de
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Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería
Asignatura: Álgebra
Tema 1: Preliminares
Tema 1 / Sesión 1
a+0 = a
y
a.1 = a
Son el número 0 y el número 1, ya que:
Representación gráfica de los números
0+0 = 0
y
0.1 = 0
1+0 = 1
y
1.1 = 1
Operaciones y propiedades de los números reales
Este conjunto tiene definida dos operaciones básicas: adición,
denotada por "+", y multiplicación, denotada por " . ". Decimos que
los números reales son cerrados para ambas operaciones, es decir,
para todo par de números reales "a, b" existe un número real "a + b",
El elemento inverso de la suma, también es llamado opuesto aditivo,
y el inverso de la multiplicación es llamado reciproco multiplicativo,
ver Tabla 1 y 2 respectivamente.
llamado la suma, y otro número real "a . b", llamado el producto. Las
principales propiedades de los números reales con relación a estas
operaciones se describen en las Tablas 1 y 2.
Ejemplo 1.3
¿Cuáles son los números, que al aplicar la propiedad del elemento
identidad tanto para la suma como para el producto, el resultado es
el mismo número?
Sabiendo que el elemento identidad para la suma es 0 y para el
producto es 1, podemos ver que los únicos números que cumplen
simultáneamente:
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Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería
Asignatura: Álgebra
Tema 1: Preliminares
Tema 1 / Sesión 1
SUMA
PROPIEDAD
Conmutativa
CASO
EJEMPLO
PRODUCTO
SIGNIFICADO
Elemento
Identidad
Elemento
Inverso
CASO GENERAL
EJEMPLO
SIGNIFICADO
2.3 = 6 = 3.2
El orden de los
sumandos no
altera el
resultado
3 (2 . 4) = 3 . 8 = 24
(3 . 2) 4 = 6 . 4 = 24
El orden en que
se multiplica por
2 o más factores
no afecta el
resultado de la
operación
2.1 = 2
El producto de
un número por 1
da
el
mismo
número.
⎛ 1⎞
3. ⎜ ⎟ = 1
⎝3⎠
El producto de
un
número
distinto de 0 por
su reciproco da
1.
El orden de los
a + b = b + a 2 + 3 = 5 = 3 + 2 sumandos no
altera el resultado
Asociativa
PROPIEDAD
a + (b + c) =
(a + b) + c
a+0 = a
a + ( −a) = 0
3 + (1 + 4) = 3 + 5 =
8
(3 + 1) + 4 = 4 + 4 =
8
2+0 = 2
3 + (−3) = 0
El orden como se
agrupan las
cantidades no
altera la suma
Conmutativa
Asociativa
Al sumar 0 a un
número nos da el
mismo número
Al sumar a un
número su
elemento
opuesto se
obtiene el
elemento
identidad.
Elemento
Identidad
a.b = b.a
a . (b . c) =
(a . b) . c
a.1 = a
Si a ≠ 0,
Elemento
Inverso
Tabla 1. Operaciones y propiedades de los números reales
⎛ 1⎞
a. ⎜ ⎟ = 1
⎝a⎠
Tabla 2. Operaciones y propiedades de los números reales
Una
propiedad
adicional
en
donde
se
combinan
ambas
operaciones es la Propiedad Distributiva de la multiplicación sobre la
adición, la cual señala que:
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Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería
Asignatura: Álgebra
Tema 1: Preliminares
Tema 1 / Sesión 1
Sean a, b y c números reales, entonces:
Expresiones algebraicas
a . (c + d) = a . c + a . d
Una expresión algebraica es la representación simbólica de una
(a + b) . c = a . c + b . c
colección de variables y números reales en forma individual o como
resultado de alguna operación fundamental (suma, resta, producto,
Ejemplo 1.4
división, potencias o radicales).
Desarrollar mediante la propiedad distributiva el producto de
Ejemplo 1.5
( 2 + 3 ) ( −1 + 4).
Las siguientes son expresiones algebraicas:
Aquí tenemos que aplicar una doble propiedad distributiva, de esta
forma:
a
2x
( 2 + 3 ) ( −1 + 4) =
2 .( −1 + 4) + 3 . ( −1 + 4)
= 2 .( −1) + 2 . 4 + 3 .( −1) + 3 . 4
= −2 + 8 −3 + 12 = 15
3−z
5 (a − b)
3y
El cual es el mismo resultado si efectuamos las operaciones dentro
de los paréntesis primero y luego hacemos el producto de los
resultados, así:
( 2 + 3 ) ( −1 + 4) =
5 . 3 = 15
2−x
− 3y
Si sustituimos las variables por números reales en una expresión
algebraica, el resultado será un número real que se llamará el valor
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Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería
Asignatura: Álgebra
Tema 1: Preliminares
Tema 1 / Sesión 1
de la expresión algebraica para esos números, es decir, que al
utilizar nuevos números reales podremos obtener un valor diferente
para la expresión correspondiente.
Monomio: es la expresión algebraica que consta de un solo término,
aunque puede tener varias variables incluidas, como:
5
Ejemplo 1.6
2ª
−3yx2
Determinar el valor de la expresión algebraica.
2a
b2
2−x
− 3y
Binomio: es la expresión algebraica que se forma de la suma de dos
cuando x = −1 y y = 1.
monomios, como:
Claramente el valor de dicha expresión será:
3x − 4
a+b
2 − ( − 1)
3
=
= −1
− 3 (1)
−3
x 2 − 2y
z
3
2c3
+
a
3b
Similarmente, si sustituimos x por 2 e y por cualquier número distinto
de 0, entonces el valor de la expresión algebraica será 0.
Clasificación de las expresiones algebraicas
Trinomio: es la expresión algebraica que se forma de la suma de tres
monomios, como:
Las Expresiones Algebraicas se clasifican basándose en el número de
términos que esta tienen. De esta forma podemos hablar de:
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Asignatura: Álgebra
Tema 1: Preliminares
Tema 1 / Sesión 1
a+b+c
2x2
− 3x + 7
2
3 x − 2y + yz
x−z
Polinomio: es la expresión algebraica que resulta de la suma de
cualquier número de monomios, de esta forma tanto un Binomio
como un Trinomio son Polinomios, como:
ax − by2 + 3xy − 5ay
3x 4 + 2x 2 − 3x − 5
Cuando el polinomio tiene una sola variable lo podemos definir de la
mayor potencia de sus variables. Este puede ser absoluto si tenemos
una sola variable o relativo a una cierta variable, si hay diversas
variables en la expresión.
Ejemplo 1.7
Determinar el grado de los siguientes polinomios:
a. 5
grado 0 (absoluto)
b. 2 − 5x
grado 1 (absoluto)
c.
d. ax − by2 + 3xy − 5ay
e.
siguiente forma.
Polinomio: una expresión algebraica únicamente en la variable x, se
3x 4 + 2x 2 − 3x − 5
2 x 3 y + 5x 2 y 2 − xy 4 + 3y 5
grado 4 (absoluto)
grado 2 (relativo a y)
grado 3 (relativo a x) y 5
(relativo a y)
llama un polinomio cuando es la suma de expresiones monómicas
de la forma:
Los polinomios de grado cero “0” se conocen como polinomios
constantes. Si todos los coeficientes de un polinomio son cero,
n
anx + an−1x
n−1
+ KK + a1x + a0
En donde n es un número entero no negativo y los términos a k son
números reales llamados coeficientes. El coeficiente de la potencia
entonces obtenemos el polinomio cero; el cual no tiene un grado
determinado. Diremos que dos polinomios son iguales si y sólo si son
del mismo grado y tienen los mismos coeficientes para cada una de
las potencia.
más alta de la variable es el coeficiente principal del polinomio.
Ahora podemos decir que un polinomio tiene un grado, el cual es la
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Operaciones con las expresiones algebraicas
Suma, ya que al efectuar la operación a - b en realidad estamos
Al realizar operaciones con expresiones algebraicas estaremos
aplicando,
con
factores
abstractos,
las
mismas
operaciones
fundamentales usadas en Aritmética (Suma, Resta, Multiplicación,
División y Potenciación).
realizando la operación a + ( -b). Estas operaciones se apoyan en
dos reglas básicas que son la Supresión de Signos de Agrupación y la
Reducción de Términos Semejantes.
Supresión de signos de agrupación: es una regla que permite
eliminar los signos de agrupación, dando como resultando una
1. Suma y Resta
expresión algebraica que puede tener términos semejantes.
La Suma en general se entiende por aumentar un valor, pero en
álgebra, como tratamos con expresiones simbólicas, puede significar
un aumento o una disminución. Así, cuando sumamos a y b resulta
a + b, pero el valor numérico de esta expresión algebraica
dependerá de cual de las dos variables es mayor, de esta forma el
resultado puede ser positivo o negativo, en todo caso mayor o
menor que a.
Recordemos que los signos de agrupación son los paréntesis ( ),
corchetes [ ] y las llaves { }. Tenemos dos casos a considerar:
a. Signo de agrupación precedido del signo "+". Se elimina el signo
de agrupación y los términos mantienen el signo que ellos tenían.
b. Signo de agrupación precedido del signo "-". Se elimina el signo
de agrupación y los términos cambian el signo que ellos tenían.
Ejemplo 1.8
Ejemplo 1.9
Sumar a y b, en donde el valor de a = 4 y b = 3.
Conociendo los valores tendremos: a + b = 4 + 3 = 7.
Suprimir los signos de agrupación de la expresión:
Si ahora a = 3 y b = −4 entonces a + b = 3 + (−4) = 3 − 4 = −1.
4x + (−x − 2) − [6x − 3] − {3 + (1 − x)}
Por lo anterior, podemos decir que la Resta es equivalente a la
Como existe un signo de agrupación dentro de otro signo de
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agrupación, primero suprimimos el signo de agrupación más interno,
así:
coloca el signo del mayor.
c. Varios términos de signo contrario. Se aplica la primera regla tanto
4x + (−x − 2) − [6x − 3] − {3 + 1 −x}
a los positivos como a los negativos y al resultado se le aplica la
= 4x + (−x − 2) − [6x − 3] − {4 − x}
regla anterior.
Luego aplicamos la regla que corresponda a cada signo de
Ejemplo 1.10
agrupación y tendremos:
Agrupar la expresión 4x − 7x + 11x + x − 5x − 2x.
4x − x − 2 − 6x + 3 − 4 + x
Agrupamos los positivos: 4x + 11x + x = 16x
Después de agrupar términos semejantes, el resultado será:
− 2x − 3
Reducción de términos semejantes: es una regla que permite
Agrupamos los negativos: −7x − 5x − 2x = −14x
Luego agrupando los dos resultados: 16x − 14x = 2x
Por lo tanto el resultado de agrupar la expresión es 2x
agrupar en un solo término dos o más términos semejantes. Para ello
tenemos tres casos a considerar:
Regla general para sumar o restar: para Sumar o Restar dos o más
expresiones algebraicas se escribe una a continuación de la otra
a. Términos del mismo signo. Se suman los coeficientes y se coloca el
con sus propios signos y se aplican las reglas anteriores, si es
signo que tienen todos.
necesario.
b. Dos términos de signo contrario. Se restan los coeficientes y se
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Ejemplo 1.11
Y tendremos como resultado final:
Sumar 3a − 2b + c y 8a − 5b + 2c − 3 y restarle −3a + 2b − 3c y 4b − c
14a − 13b + 7c − 6
+3
Primero colocamos las expresiones algebraicas una a continuación
Ejemplo 1.12
de la otra manteniendo la operación que se quiere realizar entre
ellas, así:
De la suma de
(3a − 2b + c) + (8a − 5b + 2c − 3) − (−3a + 2b − 3c) − (4b − c + 3)
Luego suprimimos los signos de agrupación:
3a − 2b + c + 8a − 5b + 2c − 3 + 3a − 2b + 3c − 4b + c − 3
Ahora agrupamos los términos semejantes:
3a + 8a + 3a = 14a
−2b − 5b − 2b − 4b = −13b
c + 2c + 3c + c = 7c
−3 − 3 = −6
1 2 2 2
1
3
x − y con x 2 + y 2 − xy , restar la suma de
2
5
3
4
5
4
1
2
xy − y 2 − x 2 con y 2 − xy :
4
5
4
3
Primero sumamos los dos primeros términos:
1 2 2 2
3
1
1 2 3
3
x − y + x 2 + y 2 − xy = x 2 −
y − xy
2
5
2
3
15
4
4
Luego sumamos los otros dos términos:
4
1 ⎞
2 ⎞
⎛5
⎛
⎜ xy − y 2 − x 2 ⎟ + ⎜ y2 − xy ⎟
5
4 ⎠
3 ⎠
⎝
⎝4
5
4
1
1
1
2
7
xy − y 2 − x 2 + y 2 − xy − x 2 + y 2 +
xy
4
5
4
4
5
3
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Ahora restamos el primer resultado del segundo:
Esta operación, al igual que la operación de división, se apoya en
1
7
⎛3 2 1 2 3 ⎞
⎛ 1
⎞
y − xy ⎟ − ⎜ − x 2 + y 2 +
xy ⎟
⎜ x −
15
4 ⎠
5
12 ⎠
⎝2
⎝ 4
3 2
1 2 3
1
1
7
x −
y − xy + x 2 − y 2 −
xy
2
15
4
4
5
12
las siguientes leyes: la Ley de los Signos, la Ley de los Exponentes y la
=
Ley de los Coeficientes.
Ley de los signos: es una regla aplicada a la multiplicación de dos
=
7 2
4 2 4
x −
y − xy
4
15
3
factores, en donde:
a. Si los términos tienen signos iguales el producto es positivo (+).
b. Si los términos tienen signos diferentes el producto es negativo (-).
2. Multiplicación
En caso de más de dos términos la ley se generaliza al número par o
Es la operación que asocia a dos números dado un tercero, llamado
impar de términos negativos. Así, para un número par de términos
producto. Esto representa en cada uno de ellos un aumento, tantas
negativos el producto es positivo (+) y para un número impar de
veces indique el valor absoluto del tercer número. La operación es
términos negativos el producto es negativo (−).
aplicada en forma abstracta a las expresiones algebraicas.
Ejemplo 1.14
Ejemplo 1.13
Multiplicar la expresión −x por z por −w por k por −b por −c:
Dadas las expresiones 2a y 3b, el producto es simplemente la
expresión que se forma al agrupar las variables y multiplicar los
En este caso al multiplicar (−x) (z) (−w) (k) (−b) (−c) tendremos un
coeficientes, así:
número par de términos negativos, entonces el resultado será:
2a . 3b = 6ab
x.z.w.k.b.c
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Ley de los exponentes: es una regla aplicada, también, a la
multiplicación de dos factores, que dice:
Al multiplicar expresiones de la misma base se escribe
la misma base y se suman algebraicamente los
exponentes.
Es importante aclarar que la expresión "se suman algebraicamente"
3x3 . 4x2 . (−2x−4) = −24x3+2−4 = −24x
b. Multiplicar las expresiones: 2xy2 por −xz−3 por 3x2y−1z
Aquí, agrupamos las expresiones de la misma base y sumamos
algebraicamente sus exponentes:
significa que, si uno de los exponentes es positivo y el otro es
negativo, se realiza la suma algebraica respectiva.
2xy2 . (−xz−3) . 3x2y−1z = −6x4yz−2
Ley de los coeficientes: es una regla aplicada a los coeficientes
Ahora podemos establecer la multiplicación entre expresiones
constantes de los factores en una multiplicación, que dice:
algebraicas. Por ejemplo, un monomio por un monomio, un
monomio por un binomio, un trinomio por un polinomio. Todas ellas
Al multiplicar expresiones que contengan coeficientes
se globalizan en la regla general para multiplicar un polinomio por
constantes, el resultado final será la multiplicación de los
un polinomio ya que, tanto el monomio, binomio y trinomio son
coeficientes de cada una de las expresiones.
ejemplos de polinomios.
Ejemplo 1.15
Regla para Multiplicar dos Polinomios: se multiplican todos los
a. Multiplicar las expresiones: 3x3 por 4x2 por −2x-4
Vemos que son expresiones con la misma base, por lo tanto primero
multiplicamos los coeficientes y luego sumamos algebraicamente los
términos de uno de los polinomios por cada uno de los términos del
otro polinomio, teniendo en cuenta las leyes mencionadas
anteriormente, y aplicando la regla de Reducción de Términos
Semejantes, en caso de ser necesario.
exponentes, así:
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Ejemplo 1.16
Primero realizamos por separado cada una de las multiplicaciones:
Multiplicar los polinomios 3x − 4y por 2x + y − 3z.
(x − 2)(x + 1) = x (x + 1) − 2 (x + 1) =
Podemos escribir esta operación como:
x2 + x − 2x − 2 = x2 − x − 2
2(x − 1)(x + y) = 2{x (x + y) − (x + y)} =
(3x − 4y) (2x + y − 3z) = 3x (2x + y − 3z) − 4y (2x + y − 3z)
Utilizando la propiedad distributiva hemos multiplicado cada uno de
2{x2 + xy − x − y} = 2x2 + 2xy − 2x − 2y
Ahora agrupamos los términos semejantes
los términos del primer polinomio (3x − 4y) por el segundo polinomio
(2x + y − 3z), y aplicando las reglas y leyes del producto entre
x2 − x − 2 + 2x2 + 2xy − 2x − 2y = 3x2 − 3x + 2xy − 2y − 2
polinomios:
3x(2x) + 3x(y) − 3x(3z) − 4y(2x) − 4y(y) + 4y(3z) =
6x2 + 3xy − 9xz − 8xy − 4y2 + 12yz
Y ahora agrupando los términos semejantes tendremos el resultado
final:
3. División
Es la operación que asocia a dos números dados, dividendo y
divisor, un tercero llamado cociente, el cual es el resultado de la
división de dichos números. Así, dados a y b definimos la división del
número a entre el número b, como el número a/b.
La división es la operación asociada a la multiplicación y de alguna
6x2
− 5xy − 9xz −
4y2
+ 12yz
manera, podemos decir que es una multiplicación implícita, ya que
la expresión que representa la división (a/b) la podemos definir
Ejemplo 1.17
como:
Realizar las operaciones indicadas (x − 2)(x + 1) + 2(x − 1)(x + y).
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a
1
= a
= a b −1
b
b
En forma equivalente a la multiplicación, podemos establecer la
(1)
división entre polinomios en cualquiera de sus casos (monomio,
binomio, trinomio o polinomio).
De esta forma, la división a/b es la multiplicación de a por 1/b o si se
quiere a por b−1. De acuerdo a esta afirmación, las leyes utilizadas
Regla para dividir dos polinomios: primero se ordenan el dividendo y
para la multiplicación también son válidas para la división.
el divisor con relación a una variable y se comienza con la mayor
potencia de dicha variable. Luego se divide el primer término del
Ejemplo 1.18
dividendo entre el primer término del divisor y se obtiene el primer
término del cociente.
1. Dividir 2x4y2 entre (−4x2y):
Este primer término del cociente se multiplica por cada uno de los
términos del divisor y el producto se resta del dividendo, para lo cual
Claramente debemos aplicar la Ley de los signos, la Ley de los
se le cambia el signo al producto realizado, escribiendo cada
Exponentes y la Ley de los Coeficientes, por lo cual:
término debajo de su semejante. En caso de no existir dicho término
semejante, se le creará un lugar o espacio de acuerdo con el orden
2x 4 y 2
=
− 4x 2 y
2
− x 4 y 2 x − 2 y −1
4
=
x2y
−
2
establecido previamente. La expresión resultante de la resta término
a término se conoce con el nombre de resto.
Luego se divide el primer término del resto entre el primer término del
divisor y se repite el proceso hasta que el resto tenga un grado
2. Dividir −12x2yz3 entre 3x4z2 :
inferior al grado del divisor.
Aquí aplicamos nuevamente las leyes y tenemos:
− 12 x 2 yz 3
4 2
3x z
=
−
12 2 3 −4 − 2
x yz x z
3
=
− 4 x −2 yz
Ejemplo 1.19
=
−
4yz
x2
Dividir el polinomio x3 − 2x + 3 entre el polinomio x − 1:
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En este caso los polinomios ya están ordenados, luego para realizar
Dividendo = (Divisor) (Cociente) + Resto
la operación utilizaremos el siguiente formato:
x3
− 2x + 3
− x3 + x2
x−1
x2 + x − 1
(2)
En el ejemplo anterior, se dividió el polinomio (x3 − 2x + 3) entre el
binomio (x − 1) y el resultado del resto fue diferente de 0.
x2 − 2x + 3
Definición 1
− x2 + x
−x+3
x−1
Dado un polinomio cualquiera y un binomio de la forma x - a, donde
2
a es un número real. Diremos que el valor que anula el binomio x = a,
es una raíz o un cero del polinomio si el resto de la división del
Claramente al realizar el primer proceso de división se obtiene un
polinomio entre x - a es cero (0).
término (x2) que no tiene semejante en el dividendo, por lo cual se le
crea el lugar correspondiente, y el proceso continua. Al finalizar el
Definición 2
proceso, el término restante 2 es de grado cero, es decir, menor que
el grado del divisor (grado 1), por lo cual el proceso termina.
Dado un polinomio cualquiera y un binomio de la forma x - a, donde
a es un número real. Diremos que el polinomio es divisible entre el
Así se obtiene el cociente x2 + x − 1 y el resto es 2.
binomio si x = a es una raíz o un cero del polinomio ó lo que es igual
si el resto de la división del polinomio entre x - a es cero (0).
Nota: podemos decir también, que un polinomio es divisible entre
De esta forma:
(x2 + x − 1)(x − 1) + 2 = (x3 − 2x + 1) + 2 = x3 − 2x + 3
cualquier otro polinomio de grado menor si el resto de la división es
0.
Luego, podemos establecer el algoritmo general de la división
como:
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Ejemplo 1.21
x4
− 3x2 − 2x + 1
x2 + x − 1
− x4 − x3 + x2
Dividir el polinomio 2x3 + x2 − 3x − 2 entre el polinomio x + 1:
x2 − x − 1
− x3 − 2x2 − 2x + 1
x3 + x2 − x
Utilizando el formato del ejemplo anterior tenemos:
− x2 − 3x + 1
x2 + x − 1
2x3 + x2 − 3x − 2
−2x3 − 2x2
− 2x
x+1
2x2 − x − 2
− x2 − 3x − 2
x2 + x
Para comprobar el resultado aplicamos el algoritmo de la formula
Dividendo = (Divisor) (Cociente) + Resto
− 2x − 2
2x + 2
( x2 + x − 1 ) ( x2 − x − 1 ) + (− 2x) = x4 − 3x2 + 1 + (− 2x)
= x4 − 3x2 + 1 − 2x
0
= x4 − 3x2 − 2x + 1
Ejemplo 1.22
4. Potenciación
Dividir el polinomio x4 − 2x − 3x2 + 1 entre el polinomio: x2 + x − 1.
Primero ordenamos el dividendo x4 − 3x2 − 2x + 1 y luego realizamos
Es la operación mediante la cual el exponente de cada término es
el proceso:
multiplicado por el exponente de la potenciación. Por ejemplo, (x2)3
es igual a x2.3. Esta operación es equivalente a la multiplicación de
cada uno de los términos la cantidad de veces que lo indique el
2 3
2 2 2
exponente de la potenciación. Por ejemplo, (x ) es igual a x x x .
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Adicionalmente, para poder realizar completamente la operación,
se necesita la Ley de los Signos de la Potencia.
⎛ 3x 2 z
2. Desarrollar ⎜ −
⎜ 4y 3
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
4
Ley de los signos de la potencia: Esta ley es fundamentalmente para
los términos negativos, ya que para los positivos la potencia
Como el coeficiente es negativo y la potencia es par entonces el
mantiene el mismo signo porque equivale a un producto de términos
resultado será positivo. Así:
positivos. Para los términos negativos se tiene:
⎛ 3x 2 z
⎜−
⎜ 4y 3
⎝
a. La potencia par produce un término positivo, y
b. La potencia impar produce un término negativo.
⎞
⎟
⎟
⎠
4
=
(3)4
(4)4
(x ) (z ) (y )
2 4
4
−3 4
=
81
x 8 z 4 y −12
256
¿Qué se puede decir si la potencia es negativa?. Claramente si
Ejemplo 1.23
tomamos en cuenta la definición de la división, en donde se señala
1. Desarrollar (3xy2z3)3
Como el coeficiente es positivo entonces el resultado de la
que
1
= b −1 , podemos decir que el proceso no cambia.
b
Mostraremos esto en el siguiente ejemplo:
potenciación será positivo. Luego cada uno de los exponentes de
los términos será multiplicado por el exponente de la potenciación
a
1
= a
= a b −1 .
b
b
Ejemplo 1.24
Desarrollar (2y2)-2
Dado que la potencia es negativa, aplicamos primero lo antes
Así, tendremos:
mencionado, así:
(3xy2z3)3 = (3)3 (x)3 (y2)3 (z3)3 = 27 x3 y6 z9
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(2y )
( ) ⎤⎥⎦
= ⎡⎢ 2y 2
⎣
2 −2
2
−1
1
=
(2y )
2 2
=
1
4y 4
(− 3)−3 x −3 z −9
(2)−3 y−6
=
(2)3 y6
(− 3)3 x 3 z9
=
−
Si ahora aplicamos el proceso a la inversa tendremos que
(2y )
2 −2
=
1
4y
=
4
1 −4
y
4
De esta manera, podemos decir que el procedimiento, para
potencias negativas, es el mismo, se multiplica el exponente de
cada uno de los términos por el exponente de la potencia.
Ejemplo 1.25
⎛ − 3 xz 3
Desarrollar ⎜
⎜ 2y 2
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
−3
Aplicando lo mencionado anteriormente tendremos:
⎛ − 3 xz 3
⎜
⎜ 2y 2
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
−3
(− 3)−3 (x )−3 (z 3 )
−3
(2)−3 (y 2 )
−3
=
=
(− 3)−3 x −3 z −9
(2)−3 y −6
Y si ahora queremos aplicar de forma inversa la definición
a
1
= a
= a b −1 para cada uno de los términos, tendremos que:
b
b
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8 y6
27x 3 z 9
20
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Tema 1: Preliminares
2. Dígase el grado absoluto de los términos siguientes:
Sesión 1: Ejercicios Resueltos
Solución
primer grado
2
− 6a b tercer grado {suma de los exponentes: 2+1=3}
a2b2 cuarto grado {suma de los exponentes: 2+2=4}
5a
Ejercicios
1. Dígase qué clase de términos son los siguientes atendiendo al
signo, a si tienen o no denominador y a si tienen o no radical:
Solución
5a 2
positivo, entero y racional
3
− 4a b negativo, entero y racional
2a
positivo, entero y racional {se considera entero porque no
3
hay letras en el denominador}
5b 2
−
negativo, entero y racional {se considera entero porque no
6
hay letras en el denominador}
a
positivo, entero e irracional {se considera entero porque no
hay letras en el denominador}
3
− 5b 2 negativo, entero e irracional {entero porque no hay letras
en el denominador}
a
positivo, entero e irracional {se considera entero porque no
6
hay letras en el denominador}
4a 2 b 3
negativo, fraccionario e irracional.
−
6a
− 5a3b4c octavo grado {suma de los exponentes: 3+4+1=8}
8 x 5 y 6 undécimo grado {suma de los exponentes: 5+6=11}
8m2n3 quinto grado {suma de los exponentes: 2+3=5}
− xyz 3 séptimo grado {suma de los exponentes: 1+1+5=7}
3. Dígase el grado de los términos siguientes respecto de cada uno
de sus factores literales:
Solución
− a 3 b 2 tercer grado respecto a a y según grado respecto a b
− 5 x 4 y 3 cuarto grado a x y tercer grado respecto a y
6a2bx 3 segundo grado respecto a a , primer grado respecto a b y
tercer grado respecto a x
− 4abcx 2 primer grado respecto a a , b y c y de segundo grado
respecto a x
10m2n3b4c5 segundo grado respecto a m, tercer grado respecto a
n, cuarto respecto a b quinto grado respecto a c
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21
Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería
Asignatura: Álgebra
Tema 1: Preliminares
Tema 1 / Sesión 1
4. De los términos siguientes escoger cuatro que sean homogéneos
y tres heterogéneos.
Solución
Cuatro términos homogéneos son -4a3b2, -x5, 6x4y, 4abcx2 : tienen
igual grado absoluto
Tres heterogéneos -4a3b2, 6ab3 y -2ac {tienen diferentes grado
absoluto}
5. Escribir tres términos enteros; dos fraccionarios; dos positivos,
enteros y racionales; tres negativos, fraccionarios e irracionales.
Solución
5
b x − b
8
,
,−
a
a
x
6. Escribir un término de cada uno de los grados absolutos
siguientes: tercer grado, quinto grado, undécimo grado, décimo
quinto grado, vigésimo grado.
Solución
Tercer grado: 19abc
Quinto grado: x5
Undécimo grado: 5a2x7yz
Decimoquinto grado: abcdex2y2z6
Vigésimo grado: -7c8x12
Solución
De cuarto grado con relación a la x: 45366b10x4
De séptimo grado con relación a la y: -3a5v56y7z5
De décimo grado con relación a la b: 55533366677a58b10x34yz10
8. Dígase el grado absoluto de los siguientes polinomios:
a.
b.
c.
d.
Enteros: 5abcd2efg, -x2, 389yz
a
f
Fraccionarios: , − 2
b
x
Positivos, enteros y racionales: 8xyz3, 99bc
Negativos, fraccionarios e irracionales: −
7. Escribir un término de dos factores literales que sea de cuarto
grado con relación a la x; otro de cuatro factores literales que
sea de séptimo grado con relación a la y; otro de cinco factores
literales que sea de décimo grado con relación a la b.
x3+x2+x: tercer grado absoluto
5a-3a2+4a4-6: cuarto grado absoluto
a3b-a2b2+ab3-b4 : cuarto grado absoluto
x5-6x4y3-4ab2+x2y4-3y6: séptimo grado absoluto
9. Dígase el grado de los siguientes polinomios con relación a cada
una de sus letras.
a. a3+a2-ab3: tercer grado con respecto tanto a a b
b. x4+4x3-6x2y4-4xy5: cuarto grado con relación a la x y quinto con
relación a la y
c. 6a4 b7-4a2 x+ab9 -5a3 b8 x6 b4 : cuarto grado con relación a la a,
noveno grado con relación a la b y sexto grado con relación a
la x
d. m4-n2-mn6+mx4y3-x8+y15-m11: octavo grado con relación a x,
décimo quinto grado con relación a y, undécimo grado con
relación a m y sexto grado con relación a n
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Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería
Asignatura: Álgebra
Tema 1: Preliminares
Tema 1 / Sesión 1
Tema 1: Preliminares
Sesión 1: Ejercicios Propuestos
3. Eliminar los signos de agrupación y luego agrupar términos
semejantes:
a. 4x − (3x − y) − [x + (3x − 2y) − 3] + (3y −x − 1)
1. Hallar el valor numérico de cada uno de los siguientes monomios
en donde a = −2, b = −1, c = 3:
a. 3a2bc
b.
c.
d.
b. 2x2 − 3x + 2y − [1 − (x2 − 3x) + (y − 2x2 + 5x)] + (y + x +2)
c. 4xy2 − 3xy + {2x2y − [xy2 − 2xy + 4x2y] − xy + xy2 −3yx2}
4. Dados los polinomios
2ab 2
c
P(x) = 4 x 4 − 5x 3 + x 2 − 6; Q(x) = 4 + x − x 3 ; R(x) = − x 2 − x + 1
Hallar:
3b
a2 c 3
a. P(x) + Q(x) − R(x)
5a
b. P(x) − Q(x)R(x)
2b 2 c
c. Q(x) − xR(x)
2. Agrupar términos semejantes en cada una de las siguientes
d. P(x)/Q(x)
expresiones:
5. Realizar las operaciones indicadas:
a. 8x − 5y + 4z + x + 2z − 11y − 5x
b. 4x + 2xy − y + 3xy − 5x − 2y
c.
1 2 1
1
3
2
2
5
x − y + xy − y 2 + y + xy + x − x 2 + 2y 2 − xy
2
3
4
4
3
3
6
a.
⎡⎛
3
1 ⎞
2 ⎞⎤
⎛3
x − ⎢⎜ x + y ⎟ − ⎜ y − x ⎟⎥
5
2
4
5 ⎠⎦
⎠
⎝
⎣⎝
b.
⎡⎛ 1 3 1 2
3 2 1 ⎞⎤
⎞ ⎛ 3
⎢⎜ x + x + 1⎟ − ⎜ − x − x + ⎟⎥
2
2
4 ⎠⎦
⎠ ⎝ 4
⎣⎝ 3
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Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería
Asignatura: Álgebra
Tema 1: Preliminares
Tema 1 / Sesión 1
⎡⎛ 1
2⎞ ⎛
1
1 ⎞⎤
− ⎢⎜ x 2 − ⎟ + ⎜ x 3 − x + ⎟⎥
3⎠ ⎝
2
3 ⎠⎦
⎣⎝ 4
c.
(x + y + z )2 − ⎛⎜ x − 1 y ⎞⎟⎛⎜ x + 1 y ⎞⎟
⎝
2 ⎠⎝
2 ⎠
⎡⎛ 1
1 ⎞⎤
⎞
⎛
− 2 ⎢⎜ x 2 − y 2 ⎟ + (z + 1)⎜ z − xy ⎟⎥
2 ⎠⎦
⎠
⎝
⎣⎝ 3
6. Dados los siguientes polinomios:
P(x) = 2 x 2 − 2 x + 3
Q(x) = 2 x − 1
R(x) = x 3 − x 2 + 3
S(x) = x 2 + 2
Hallar:
a. P(x) ÷ Q(x)
b. R(x)Q(x) ÷ S(x)
c. {P(x)S(x) − R(x)} ÷ Q(x)
d. P(x)Q(x)R(x) ÷ S(x)
e. {(Q(x) − R(x))2 + P(x)S(x)} ÷ R(x)
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Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería
Asignatura: Álgebra
Tema 1: Preliminares
Tema 1 / Sesión 1
Tema 1: Preliminares
Pregunta Nº 4
Sesión 1
Multiplicar y Simplificar ( 3 − 2)( 3 + 4)
a.
3 −5
b.
2 3 −5
c.
2 3
Pregunta Nº 1
d.
2 3 +5
Dividir el polinomio: 4x3-3x2+3 entre el polinomio: x2-x+1 :
Pregunta Nº 5
Autoevaluación 1
a.
b.
c.
d.
Cociente = 4x + 1 Resto = 3x - 2
Cociente = 4x + 1 Resto = - 3x +2
Cociente = - 4x - 1 Resto = - 3x + 2
Cociente = 4x - 1 Resto = 3x - 2
Pregunta Nº 2
Dar un ejemplo de un entero que no sea un número natural.
a.
b.
c.
d.
4
3
–3
3.44
A cuál de los conjuntos pertenece el siguiente número: 3.14
a.
b.
c.
d.
R,Q
R,Q,I
I,R
Z,R,Q
Una vez contestadas las preguntas, puede ver respuestas al final de
la Unidad. Si sus respuestas han sido correctas, continúe con la sesión
siguiente, de lo contrario se le recomienda repasar la sesión antes de
continuar.
Pregunta Nº 3
Sumar los siguientes monomios y agruparlos x3, -x2, x, -1, x4, x3, x2, -x, 1
a.
b.
c.
d.
4x + 2x3
3x + x2
x4 + 3x2
x4 + 2x3
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Asignatura: Álgebra
Tema 1: Preliminares
Tema 1 / Sesión 1
Unidad 1: Preliminares
Pregunta Nº 4
Sesión 1
Multiplicar y Simplificar ( 3 − 2)( 3 + 4)
Respuestas de la autoevaluación 1
a.
3 −5
b.
2 3
c.
2 3 +5
Pregunta Nº 1
d.
2 3 −5
Dividir el polinomio: 4x3-3x2+3 entre el polinomio: x2-x+1 :
Pregunta Nº 5
a.
b.
c.
d.
Cociente = 4x + 1 Resto = 3x - 2
Cociente = - 4x - 1 Resto = - 3x + 2
Cociente = 4x + 1 Resto = - 3x +2
Cociente = 4x - 1 Resto = 3x - 2
Correcto
A cuál de los conjuntos pertenece el siguiente número: 3.14
Correcto
Pregunta Nº 2
a.
b.
c.
d.
R,Q,I
I,R
Z,R,Q
R,Q
Correcto
Dar un ejemplo de un entero que no sea un número natural.
a.
b.
c.
d.
4
3
–3
3.44
Correcto
Pregunta Nº 3
Sumar los siguientes monomios y agruparlos x3, -x2, x, -1, x4, x3, x2, -x, 1
a.
b.
c.
d.
4x + 2x3
x4 + 3x2
3x + x2
x4 + 2x3
Correcto
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Asignatura: Álgebra
Tema 2: Operaciones Notables
Tema 2 / Sesión 2
Tema 2: Operaciones Notables
Operaciones notables
Sesión 2
Se entiende por Operaciones Notables al procedimiento en el cual
Objetivos específicos
*
se aplica una regla fija o predeterminada, donde no se necesita
realizar la operación indicada sino simplemente aplicar la regla. Las
Aplicar las propiedades de la potenciación y los
productos en la solución de problemas.
operaciones para las cuales se establecen estas reglas fijas son la
multiplicación o producto, la división o cociente y la potenciación.
Actividades
*
*
*
*
Leer el contenido de la sesión 2 sobre “ Productos
Notables”
Visitar las páginas recomendadas
Realizar los ejercicios
Realizar la autoevaluación propuesta al final de la
sesión
Recursos
*
*
*
*
Productos notables
Se llaman Productos Notables a ciertas multiplicaciones que
cumplen con una regla fija y cuyo resultado puede ser presentado
directamente, es decir, sin realizar la operación.
1. Cuadrado de un monomio
Contenido de la sesión 2: “ Productos Notables ”
Páginas Web recomendadas
Ejercicios con respuestas
La autoevaluación de la sesión 2
Regla
Se eleva el coeficiente al cuadrado y luego se
multiplica el exponente de cada una de las variables
por dos (2).
Ejemplo 2.1
Desarrollar el cuadrado de 3xy3.
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Asignatura: Álgebra
Tema 2: Operaciones Notables
Tema 2 / Sesión 2
Para ello aplicamos la regla y obtenemos:
Ejemplo 2.2
(3xy3)2 = 9x2 y6
Desarrollar el cuadrado de 3x + 2y.
Para ello aplicamos la regla y tendremos:
2. Cuadrado de un binomio
Cuando elevamos al cuadrado un binomio se tienen que considerar
(3x + 2y) = (3x)2 + 2(3x)(2y) + (2y)2 = 9x2 + 12xy + 4y2
dos casos, como son el cuadrado de la suma (x + y) y el cuadrado
de la diferencia (x − y). En ambos casos, elevar al cuadrado es
simplemente multiplicar la expresión por sí misma, por ejemplo:
(x + y)2 = (x + y) (x + y)
(1)
2.1. Cuadrado de la suma
Cuando multiplicamos la suma de las variables (x + y) por sí misma
tendremos
(x + y)2 = (x + y) (x + y) = x2 + 2xy + y2
Regla
El cuadrado de la suma de dos variables es igual al
cuadrado de la primera variable más el doble del
producto de la primera por la segunda variable más el
cuadrado de la segunda variable.
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Asignatura: Álgebra
Tema 2: Operaciones Notables
Tema 2 / Sesión 2
Representación gráfica del cuadrado de la suma
(x − y)2
= (x − y) (x − y) = x2 − 2xy + y2
(2)
El cuadrado de la suma puede representarse geométricamente
cuando las variables representan valores positivos. Construimos un
cuadrado de lados iguales a la suma (x + y) (ver gráfica 2.1).
Regla
El cuadrado de la diferencia de dos variables es igual al
cuadrado de la primera variable menos el doble del
producto de la primera por la segunda variable más el
y
xy
y2
x
+
cuadrado de la segunda variable.
Ejemplo 2.3
x
x2
xy
Desarrollar el cuadrado de x − 3.
Al aplicar la regla tenemos:
x
y
(x − 3)2 = (x)2 − 2(x)(3) + (3)2 = x2 − 6x + 9
x+y
Grafica 2.1 Representación gráfica del cuadrado de la suma
2.2. Cuadrado de la diferencia
En este caso es la multiplicación de la resta de las variables (x − y)
por sí misma:
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Asignatura: Álgebra
Tema 2: Operaciones Notables
Tema 2 / Sesión 2
Representación gráfica del cuadrado de la diferencia
La suma del área del cuadrado azul y el cuadrado rojo D será:
Al igual que en la suma, el cuadrado de la diferencia (x − y) puede
cuadrado azul + cuadrado D = x2 + y2
representarse geométricamente cuando las variables representan
(3)
valores positivos. Construimos un cuadrado de lados iguales a la
primera variable x, cuadrado azul, y anexamos un cuadrado de
Ahora bien, el cuadrado azul lo dividimos en regiones más
lados iguales a la segunda variable y, cuadrado rojo, representado
pequeñas, un cuadrado A y los rectángulos B y C. Podemos ver que
por D (ver gráfica 2.2).
el área del rectángulo negro C es equivalente a la suma del área
del rectángulo B y el cuadrado rojo D, y ambas áreas son iguales a
xy.
C
D
y
x
Por lo tanto, el área representada (3) puede dividirse en:
cuadrado A + rectángulo C + (rectángulo B + cuadrado D) =
A
B
(x − y)2
+
xy + xy = (x − y)2
+
2xy
De esta manera al igualar (4) y (3) tendremos:
x−y
y
(x − y)2 + 2xy = x2 + y2
x
Por lo tanto,
Gráfica 2.2 Representación gráfica del cuadrado de la diferencia
(x − y)2
=
x2 − 2xy + y2
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(4)
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Asignatura: Álgebra
Tema 2: Operaciones Notables
Tema 2 / Sesión 2
3. Producto de la suma por la diferencia
un binomio, por ejemplo, x y y + 1. De esta forma podemos aplicar la
El producto de la suma por la diferencia es la multiplicación de la
regla anterior y la fórmula (5):
suma de las variables x + y por la resta de ellas mismas x – y.
(x − y − 1)(x + y + 1) = {x − (y + 1)}{x + (y + 1)} = (x)2 − (y + 1)2
(x + y) (x − y) = x2 − y2
= x2 − (y2 + 2y + 1) = x2 − y2 − 2y − 1
(5)
Regla
El producto de la suma de dos variables por la
diferencia de las mismas es igual al cuadrado de la
primera variable menos el cuadrado de la segunda
variable.
Representación gráfica del producto de la suma por la diferencia
Como en los casos anteriores, esta representación es posible
cuando las variables simbolizan valores positivos. Construimos un
cuadrado de lados iguales a la primera variable x, cuadrado azul, el
cual incluye un cuadrado rojo de lados iguales a la segunda
Ejemplo 2.4
variable y ver gráfica 2.3 (a).
1. Desarrolar (2x + 3)(2x − 3):
Aplicamos la regla y tendremos:
(2x + 3)(2x − 3) = (2x)2 − (3)2 = 4x2 − 9
Ahora el rectángulo negro A tiene como lado mayor la variable x y
como lado menor la diferencia (x − y) y el rectángulo restante B
tiene por lados la diferencia (x − y) y a la variable y.
De esta forma, si desplazamos el rectángulo B y lo colocamos a
continuación del rectángulo A, como muestra la gráfica 2.3 (b),
2. Desarrollar (x − y − 1)(x + y + 1):
tendremos un rectángulo de lado mayor (x + y) y de lado menor
(x − y).
Aquí se nos presentan tres términos, pero los podemos agrupar como
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Asignatura: Álgebra
Tema 2: Operaciones Notables
Tema 2 / Sesión 2
Así, el área del cuadrado azul menos el cuadrado rojo será:
Cuadro azul − cuadro rojo = x2 − y2
(6)
Y esto será equivalente a la suma de los dos rectángulos A y B
y
x
y
Rectángulo A
x (x − y)
+
y
+
B
A
x
‫׀‬
y
B
Rectángulo B =
(x − y)
= (x − y)(x + y)
(7)
x
y
Por lo tanto, al igualar (7) y (6) se tiene:
Gráfica 2.3 (a) Representación gráfica del producto de la suma por
la diferencia
(x − y)(x + y) =
x2
−
y2
(8)
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Tema 2: Operaciones Notables
Tema 2 / Sesión 2
Regla para la suma
y
B
El cubo de la suma de dos variables es igual al cubo
de la primera variable más el triple del cuadrado de
x
‫׀‬
y
la primera por la segunda variable más el triple de la
A
B
primera por el cuadrado la segunda variable más el
cubo de la segunda variable.
Regla para la resta
y
x
Gráfica 2.3 (b) Representación gráfica del producto de la suma por
la diferencia
la primera por el cuadrado la segunda variable
menos el cubo de la segunda variable.
Tenemos dos casos (x + y)3 y (x − y)3, los cuales se resolverán al
multiplicar la suma o resta de las variables tres veces seguidas.
(x +
de la primera variable menos el triple del cuadrado
de la primera por la segunda variable más el triple de
4. Cubo de un binomio
y)3
El cubo de la resta de dos variables es igual al cubo
= (x + y) (x + y) (x + y) =
x3
+
3x2y
+
3xy2
+
y3
(x − y)3 = (x − y) (x − y) (x − y) = x3 − 3x2y + 3xy2 − y3
De esta forma podemos establecer las reglas:
(9)
(10)
Ejemplo 2.5
1. Desarrollar (x + 2)3:
Aplicando la regla de la suma tendremos:
(x + 2)3 = (x)3 + 3(x)2 (2) + 3(x)(2) 2 + (2) 3 = x3 + 6x2 + 12x + 8
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Asignatura: Álgebra
Tema 2: Operaciones Notables
Tema 2 / Sesión 2
2. Desarrollar (x2 − 2y)3:
Ejemplo 2.6
Aplicando la regla de la resta tendremos:
(x2 − 2y)3 = (x2)3 − 3(x2)2 (2y) + 3(x2)(2y)2 − (2y)3 =
1. Multiplicar (x + 2) por (x + 5):
Al aplicar la regla tenemos:
x6 − 6x4y + 12 x2y2 − 8y3
5. Producto de dos binomios de la forma (x + a)(x + b)
El desarrollo de este producto se realizará teniendo en cuenta la
propiedad distributiva (sección 1), en donde a y b representan
valores constantes:
(x + 2) (x + 5) = x2 + (2 + 5)x + (2)(5) = x2 + 7x + 10
2. Multiplicar (x2 + 3) por (x2 − 1):
Aquí, podemos ver que la regla se puede extender, al caso donde
la variable representa cualquier expresión (monomio, binomio, etc.)
y las constantes pueden ser positivas o negativas. El proceder es
(x + a)(x + b) = x (x + b) + a (x + b) =
x2
+ bx + ax + ab =
x2
equivalente:
+ (b + a)x + ab
(x2 + 3) (x2 − 1) = (x2)2 + (3 + (−1))x2 + (3)(−1) = x4 + 2x2 − 3
Regla
1. El primer término es el cuadrado de la variable.
2. El segundo término es el producto de la suma de las
constantes por la variable.
3. El tercer término es el producto de las constantes.
Notemos que en este último caso la suma de las constantes es una
suma algebraica, en consecuencia, el resultado puede ser tanto
positivo como negativo y el producto siempre será negativo.
Podemos establecer una generalización de este producto al caso
en que tengamos las expresiones (mx + a) por (nx + b), así:
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Asignatura: Álgebra
Tema 2: Operaciones Notables
Tema 2 / Sesión 2
(mx + a)(nx + b) = mx (nx + b) + a (nx + b) =
(mn) x2 + bmx + anx + ab =
(mn) x2 + (bm + an) x + ab
Ejemplo 2.7
Multiplicar (5x + 2) por (−2x + 3):
Aplicamos la generalización de la regla:
(5x + 2)(−2x + 3) = (5)(−2) x2 + ((5)(3) + (2)(−2)) x + (2)(3) =
−10 x2 + 11x + 6
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Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería
Asignatura: Álgebra
Tema 2: Operaciones Notables
Tema 2 / Sesión 2
Tema 2: Operaciones Notables
(3 x 4 − 5xy 3 )2 = (3 x 4 )2 − 2(3 x 4 )(5xy 3 ) + (5xy 3 )2 ,
Sesión 2: Ejercicios Resueltos
⇒ (3 x 4 − 5xy 3 )2 = 9x 4 x 2 − 30x 4+1y 3 + 25x 2 y 2 x 3
∴ (3 x 4 − 5xy 3 )2 = 9x 8 − 30x 5 y 3 + 25x 2 y 6
Ejercicios: Cuadrado de un binomio
Procedimiento
1.
2.
Ejercicios: Cuadrado de la suma de dos cantidades
"El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado
de la primera cantidad, más el doble producto de la primera
cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda
cantidad"
"El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al
cuadrado de la primera cantidad, menos el doble producto de
la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la
segunda cantidad"
Nota: recuérdese que en el producto de dos o más potencias con
igual base, se escribe la base común y se suman los exponentes.
Procedimiento
1. Se identifica tanto el primero como el segundo término del
binomio
2. "El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual a, el
cuadrado de la primera cantidad, más el doble producto de la
primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la
segunda cantidad"
3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al
cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2
Escribir por simple inspección, el resultado de:
Desarrollar:
1.
(a5 + 7b 4 )2
1. (m+3)2
Solución
Solución
(a 5 + 7b 4 )2 = (a 5 )2 + 2(a 5 )(7b 4 ) + (7b 4 )2 ,
5
4 2
10
⇒ (a + 7b ) = a
2.
(3x 4 − 5xy 3 )2
Solución
5
4
+ 14a b + 49b
(m + 3)2 = m2 + 2(m)(3)+ 3 2
8
∴ (m + 3)2 = m2 + 6m + 9
2. (5+x) 2
Solución
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Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería
Asignatura: Álgebra
Tema 2: Operaciones Notables
Tema 2 / Sesión 2
(5 + x) 2 = 5 2 + 2(5)(x)+ x 2
∴ (x + y)2 = x 2 + 2 xy + y 2
∴ (5 + x) 2 = 25 + 10x + x 2
7.
3. (6a+b)2
(1+ 3x 2 )2
Solución
Solución
2
2
2
2
2
2
2
2
(1+ 3 x 2 )2 = 12 + 2(1)(3 x 2 ) + (3 x 2 )2 ,
2
(6a + b) = (6a) + 2(6a)(b)+ b ,
⇒ (6a + b) = 62a + 12ab + b
∴ (6a + b) = 36a + 12ab + b
4.
⇒ (1+ 3 x 2 )2 = 1+ 6x 2 + 3 x 2 x 2 x 2 ;
∴ (1+ 3 x 2 )2 = 1+ 6 x 2 + 9x 4
8.
2
(9 + 4m)
Solución
Solución
(2 x + 3y)2 = (2 x)2 + 2(2 x)(3y) + (3y)2 ;
(9 + 4m)2 = 9 2 + 2(9)(4m) + (4m)2
∴ (2 x + 3y)2 = 4 x 2 + 12xy + 9y 2
∴ (9 + 4m)2 = 92 + 2(9)(4m) + (4m)2
5.
9.
(7x + 11)2
(a2 x + by 2 )2
Solución
Solución
2
2
2
(7x + 11) = (7x) + 2(7x)(11) + 11
2
2
∴ (7x + 11) = 49x + 154x + 121
6.
(2 x + 3y)2
(x + y)2
(a 2 x + by 2 )2 = (a 2 x) + 2(a 2 x)(by 2 ) + (by 2 )2 ,
⇒ (a 2 x + by 2 )2 = a 2 x 2 x 2 + 2a 2bxy 2 + b 2 y 2 x 2 ;
∴ (a 2 x + by 2 )2 = a 4 x 2 + 2a 2bxy 2 + b 2 y 4
10. (3a 3 + 8b 4 )2
Solución
Solución
(x + y)2 = x 2 + 2(x)(y) + y 2 ;
(3a 3 + 8b 4 )2 = (3a 3 )2 + 2(3a 3 )(8b 4 ) + (8b 4 )2 ,
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Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería
Asignatura: Álgebra
Tema 2: Operaciones Notables
Tema 2 / Sesión 2
⇒ (a 2 x + by 2 )2 = 9a 2 x 3 + 48a 3 b 4 + 64b 2 x 4 ;
∴ (a 2 x + by 2 )2 = 9a6 + 48a 3 b 4 + 64b 8
3.
(9 − a)2
Solución
Ejercicios: Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
(9 − a)2 = 9 2 − 2(9)(a) + a2 ;
∴ (9 − a)2 = 81− 18a + a 2
Procedimiento
1. Se identifica tanto el primero como el segundo término del
binomio
2. "El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual a, el
cuadrado de la primera cantidad, menos el doble producto de
la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la
segunda cantidad"
3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al
cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2
4.
Escribir por simple inspección, el resultado de:
5.
1.
(2a − 3b)2
Solución
(2a − 3b)2 = (2a)2 − 2(2a)(3b) + (3b)2 ;
∴ (2a − 3b)2 = 4a 2 − 12ab + 9b 2
(4ax − 1)2
Solución
(a − 3)2
(4ax − 1)2 = (4ax)2 − 2(4ax)(1) + 12 ;
Solución
2
2
∴ (4ax − 1)2 = 16a 2 x 2 − 8ax + 1
2
(a − 3) = a − 2(a)(3) + 3 ;
∴ (a − 3)2 = a 2 − 6a + 9
2.
6.
(a 3 − b 3 )2
Solución
(x − 7)2
(a 3 − b 3 )2 = (a 3 )2 − 2(a 3 )(b 3 ) + (b 3 )2 = a 2 x 3 − 2a 3b 3 + b 2 x 3 ;
Solución
2
2
∴ (a 3 − b 3 )2 = a6 − 2a 3b 3 + b 6
2
(x − 7) = x − 2(x)(7) + 7 ;
∴ (x − 7)2 = x 2 − 14x + 49
7.
(3a 4 − 5b 2 )2
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Asignatura: Álgebra
Tema 2: Operaciones Notables
Tema 2 / Sesión 2
Solución
4
2 2
4 2
4
2
2 2
2
(3a − 5b ) = (3a ) − 2(3a )(5b ) + (5b ) = 3 a
4
2 2
8
4
2
∴ (3a − 5b ) = 9a − 30a b + 25b
2x4
4
2
2
− 30a b + 5 b
2x2
(a − x)(x + a) = (a − x)(a + x) {Cambiando el orden de los
sumandos en el segundo paréntesis}
;
⇒ (a − x)(x + a) = (a + x)(a − x) {Cambiando el orden de los
factores}
4
∴ (a − x)(x + a) = a2 − x 2
Ejercicios: Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades
Procedimiento
4.
Solución
1. "El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es
igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del
sustraendo"
2. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al
cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2.
Escribir por simple inspección, el resultado de:
1.
(x 2 + a2 )(x 2 − a2 ) = (x 2 )2 − (a2 )2 = x 2 x 2 − a2 x 2 ;
∴ (x 2 + a 2 )(x 2 − a 2 ) = x 4 − a 4
5.
(x + y)(x − y) = x 2 − y 2
(2a − 1)(1+ 2a) = (2a − 1)(2a + 1) {Cambiando el orden de los
sumandos en el segundo paréntesis}
⇒ (2a − 1)(1+ 2a) = (2a + 1)(2a − 1) {Cambiando el orden de los
factores}
(m − n)(m + n)
∴ (2a − 1)(1+ 2a) = (2a)2 − 12 = 4a 2 − 1
Solución
6.
(n − 1)(n + 1) = (n + 1)(n − 1)(n + 1) = n2 − 1
(a − x)(x + a)
Solución
(n − 1)(n + 1)
Solución
(m − n)(m + n) = (m + n)(m − n) = m2 − n2
3.
(2a − 1)(1+ 2a)
Solución
(x + y)(x − y)
Solución
2.
(x 2 + a 2 )(x 2 − a 2 )
7.
(1− 3ax)(3ax + 1)
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Asignatura: Álgebra
Tema 2: Operaciones Notables
Tema 2 / Sesión 2
Solución:
Solución
(1− 3ax)(3ax + 1) = (1− 3ax)(1+ 3ax) {Cambiando el orden de los
sumandos en el segundo paréntesis}
⇒ (1− 3ax)(3ax + 1) = (1+ 3ax)(1− 3ax) {Cambiando el orden de los
factores}
2
2
∴ (1 − 3ax )(3ax + 1) = 1 − (3ax ) = 1 − 9a 2 x 2
(a + 2)3 = a 3 + 3a 2 (2) + 3a(2 2 ) + 2 3 = a 3 + 3a 2 (2) + 3a(4) + 8 ;
∴ (a + 2)3 = a 3 + 6a 2 + 12a + 8
2.
Solución
Ejercicios: Cubo del binomio
(x − 1)3 = x 3 − 3 x 2 (1) + 3 x(12 ) − 13 ;
Procedimiento
∴ (x − 1)3 = x 3 − 3x 2 + 3 x − 1
1. Se desarrolla el paréntesis, observando si se trata del cubo, de la
suma o la diferencia de dos cantidades; en el primer caso se
procede como indica el paso 2, en el segundo caso se aplica el
enunciado del paso 3:
2. "El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la
primera cantidad más el triplo del cuadrado de la primera por la
segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la
segunda, más el cubo de la segunda"
3. "El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de
la primera cantidad menos el triplo del cuadrado de la primera
por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la
segunda, menos el cubo de la segunda"
4. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al
cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2.
3
3
2
2
(a ± b) = a ± 3a b + 3ab ± b
Escribir por simple inspección, el resultado de:
1.
(a + 2)3
(x − 1)3
3.
(m + 3)3
Solución
(m + 3)3 = m 3 + 3m 2 (3) + 3m(3 2 ) + 3 3 = m 3 + 3m 2 (3) + 3m(9) + 27 ;
∴ (m + 3)3 = m 3 + 9m 2 + 27m + 27
4.
(n − 4)3
Solución
(n − 4)3 = n 3 − 3n 2 (4) + 3n(4 2 ) − 4 3 = n 3 − 3n 2 (4) + 3n(16) − 64 ;
∴ (n − 4)3 = n 3 − 12n 2 + 48n − 64
3
5.
(2 x + 1)3
Solución
(2 x + 1)3 = (2 x)3 + 3(2 x)2 (1) + 3(2 x)(12 ) + 13 = 8 x 3 + 3(4 x 2 ) + 3(2 x) + 1 ;
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Asignatura: Álgebra
Tema 2: Operaciones Notables
Tema 2 / Sesión 2
∴ (2 x + 1) 3 = 8 x 3 + 12 x 2 + 6 x + 1
6.
1.
(1− 3y)3
Solución
Solución
(a + 1)(a + 2) = a2 + (1+ 2)a + 1× 2 ;
∴ (a + 1)(a + 2) = a 2 + 3a + 2
(1− 3y)3 = 13 − 3(12 )(3y) + 3(1)(3y)2 − (3y)3 = 1− 3(1)(3y) + 3(1)(9y 2 ) − 27y 3 ;
∴ (1− 3 y)3 = 1− 9y + 27y 2 − 27y 3
7.
(a + 1)(a + 2)
2.
(2 + y 2 )3
(x + 2)(x + 4)
Solución
Solución
(x + 2)(x + 4) = x 2 + (2 + 4)x + 2 × 4 ;
∴ (x + 2)(x + 4) = x 2 + 6x + 8
(2 + y 2 )3 = 2 3 + 3(2 2 )(y 2 ) + 3(2)(y 2 )2 + (y 2 )3 = 8 + 3(4)(y 2 ) + 3(2)(y 4 ) + y 6 ;
∴ (2 + y 2 )3 = 8 + 12y 2 + 6y 4 + y 6
3.
(x + 5)(x − 2)
Solución
Ejercicios: Producto de dos binomios de la forma(x+a)(x+b)
(x + 5)(x − 2) = x 2 + (5 − 2)x + 5 × (−2)
Procedimiento
;
2
1. El desarrollo de los paréntesis da un trinomio
2. El primer término será el cuadrado del primer término de los
paréntesis (igual en ambos)
3. El segundo término será el producto de la suma de los términos
independientes por el primer término común de los paréntesis
4. El tercer término será el producto de los términos independientes
∴ (x + 5)(x − 2) = x + 3x − 10
4.
Solución
(m − 6)(m − 5) = m 2 + (−6 − 5)m + (−6) × (−5)
2
2
∴ (m − 6)(m − 5) = m − 11m + 30
(x + a)(x + b) = x + (a + b)x + ab
Escribir por simple inspección, el resultado de:
(m − 6)(m − 5)
5.
(x + 7)(x − 3)
Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor.
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Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia.
;
41
Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería
Asignatura: Álgebra
Tema 2: Operaciones Notables
Tema 2 / Sesión 2
Solución
(x + 7)(x − 3) = x 2 + (7 − 3)x + 7 × (−3) ;
∴ (x + 7)(x − 3) = x 2 + 4 x − 21
6.
(x + 2)(x − 1)
Solución
(x + 2)(x − 1) = x 2 + (2 − 1)x + 2 × (−1) ;
∴ (x + 2)(x − 1) = x 2 + x − 2
7.
(x − 3)(x − 1)
Solución:
(x − 3)(x − 1) = x 2 + (−3 − 1)x + (−3) × (−1) ;
∴ (x − 3)(x − 1) = x 2 − 4x + 3
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42
Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería
Asignatura: Álgebra
Tema 2: Operaciones Notables
Tema 2 / Sesión 2
Tema 2: Operaciones Notables
Sesión 2: Ejercicios Propuestos
1. Desarrollar cada uno de los siguientes productos notables:
a.
( 2x + 3)2
b.
(x
c.
⎛ x 1⎞
⎜ + ⎟
⎝2 3⎠
2
+ 2a
)
f.
(2a
2
2
− 3ax
⎛ x 3⎞
g. ⎜ − − ⎟
⎝ 2 4⎠
)
2
(x
n.
)( )
(3x + y )(y − 3x )
o.
(3x + 1)3
p.
(2x + x )
2
− 3 x2 −1
2
2 3
2
h.
i.
(2x + 5)(2x − 5)
j.
(2x y − 3y )(3y + 2x y)
k.
x ⎞⎛ 2
x ⎞
⎛2
⎜ +
⎟⎜ − +
⎟
⎝ x 3a ⎠⎝ x 3a ⎠
3
3
r.
⎛ 2a −2 x ⎞
⎜
+ ⎟
⎜ 3
a ⎟⎠
⎝
s.
(− 3 + 2x )3
t.
⎛ a2
2 ⎞⎟
⎜
−
⎜ 3 a−1 ⎟
⎠
⎝
u.
2x ⎞
⎛
⎜ 3ax 2 −
⎟
a⎠
⎝
v.
(2a b
2
⎛ x2 4 ⎞
⎜
− ⎟
⎜ 2a x ⎟
⎠
⎝
2
m.
⎛ 1 x⎞
q. ⎜ 2 + ⎟
2⎠
⎝x
⎛ 3a xy ⎞
d. ⎜
+
⎟
a⎠
⎝ x
(3 − 4 x )2
(2 + 3x )(3x + 5)
2
2
e.
l.
2
−1
3
3
− 3 xb 2
)
3
2
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Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería
Asignatura: Álgebra
Tema 2: Operaciones Notables
Tema 2 / Sesión 2
Tema 2: Operaciones notables
Sesión 2
Pregunta Nº 4
Determinar = (10x+12y3) (10x-12y3)
Autoevaluación 2
a. 100 x 2 + 120 xy 3 − 120 y 3 x − 144 y 6
b. 100 x 2 − 144 y 6
c. 100 x 2 − 120 xy 3 + 120 y 3 x − 144 y 6
Pregunta Nº 1
d. 100 x 2 + 144 y 6
Determinar = (x + 5) 2
Pregunta Nº 5
a.
b.
c.
d.
2x2 + 25
x2 + 10x + 25
x2 + 5x + 25
x2 +25x +10
Determinar = (y + 9)(y − 4)
Pregunta Nº 2
Determinar = (x2 – 5y3)2
a.
b.
c.
d.
x4 + 10 x4y3 – 10y6
2x4 – 10 y6
x4 – 10 x2y3 + 25y6
x4 – 10x4y6 +25y9
Pregunta Nº 3
a.
2 y 2 − 5y + 36
b.
2 y 2 − 5y − 36
c.
y 2 − 36y + 5
d.
y 2 + 5y − 36
Una vez contestadas las preguntas, puede ver respuestas al final de
la Unidad. Si sus respuestas han sido correctas, continúe con la sesión
siguiente, de lo contrario se le recomienda repasar la sesión antes de
continuar.
Determinar = (4x6 – 5y) 3
a. 12 x 18 − 15y 3
b. 64 x 18 − 125y 3
c.
64 x 18 − 240 x 12 y + 300 x 6 y 2 − 125 y 3
d.
x 18 − 10 x 4 y 6 + 25y 3
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Asignatura: Álgebra
Tema 2: Operaciones Notables
Tema 2 / Sesión 2
Tema 2: Operaciones Notables
Pregunta Nº 4
Sesión 2
Determinar = (10x+12y3) (10x-12y3)
Respuestas de la Autoevaluación 2
a. 100 x 2 + 120 xy 3 − 120 y 3 x − 144 y 6
b. 100 x 2 + 144 y 6
c. 100 x 2 − 120 xy 3 + 120 y 3 x − 144 y 6
Pregunta Nº 1
d. 100 x 2 − 144 y 6
Determinar = (x + 5) 2
Pregunta Nº 5
a.
b.
c.
d.
2x2 + 25
x2 + 5x + 25
x2 +25x +10
x2 + 10x + 25
Determinar = (y + 9)(y − 4)
Correcto
Pregunta Nº 2
Determinar = (x2 – 5y3)2
a.
b.
c.
d.
Correcto
x4 + 10 x4y3 – 10y6
2x4 – 10 y6
x4 – 10x4y6 +25y9
x4 – 10 x2y3 + 25y6
a.
2y 2 − 5y + 36
b.
2 y 2 − 5y − 36
c.
y 2 − 36y + 5
d.
y 2 + 5y − 36
Correcto
Correcto
Pregunta Nº 3
Determinar = (4x6 – 5y) 3
a. 12 x 18 − 15y 3
b. 64 x 18 − 125y 3
c.
d.
64 x 18 − 240 x 12 y + 300 x 6 y 2 − 125 y 3
x
18
4
6
− 10 x y + 25y
Correcto
3
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45
Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería
Asignatura: Álgebra
Tema 2: Operaciones Notables
Tema 2 / Sesión 3
Tema 2: Operaciones Notables
Sesión 3
Cocientes notables
Se llaman Cocientes Notables a ciertas divisiones que cumplen con
Objetivos específicos
una regla fija y cuyo resultado puede ser presentado directamente,
es decir, sin realizar la operación.
*
Aplicar las propiedades de los cocientes notables
en la solución de problemas
binomio formado con dichas variables
Actividades
*
*
*
*
Leer el contenido de la sesión 3 sobre “Cocientes
notables”
Visitar las páginas recomendadas
Realizar los ejercicios
Realizar la autoevaluación propuesta al final de la
sesión
Recursos
*
*
*
*
1. Cociente de la diferencia del cuadrado de dos variables entre un
Consideremos las variables x e y para construir el binomio. Debemos
estudiar dos casos: el binomio de la suma y el de la diferencia.
1.1. El binomio de la suma
El denominador en este caso será la expresión (x + y). Entonces sea
Contenido de la sesión 3: “Cocientes notables”
Páginas Web recomendadas
Ejercicios resueltos
La autoevaluación de la sesión 3
el cociente
x 2 − y2
, al realizar la operación de división según la
x+y
regla de la (sesión 1), tendremos:
x2
− y2
− x2 − xy
x+y
x−y
− xy − y2
xy + y2
0
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46
Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería
Asignatura: Álgebra
Tema 2: Operaciones Notables
Tema 2 / Sesión 3
En el segundo tenemos una extensión de la regla al estar incluidos
Así,
coeficientes para cada una de las variables:
x2 − y2
x+ y
=
x−y
(11)
4 x 2 − 9y 2
2 x + 3y
=
2 x − 3y
En el tercero tenemos una generalización de la regla al tener una
Regla
La diferencia de los cuadrados de dos variables
dividida por la suma de dichas variables es igual a la
diferencia de las variables.
potencia cuarta en el numerador. Sin embargo, podemos aplicar la
regla porque la potencia del numerador es el doble de la del
denominador, luego:
x4 −1
Ejemplo 2.8
2
x +1
=
x2 −1
Hallar de forma directa el cociente de:
1.2. El binomio de la diferencia
1.
x2 − 4
x+2
2.
4 x 2 − 9y 2
2 x + 3y
3.
x4 −1
x2 + 1
El denominador en este caso será la expresión x − y. Entonces sea el
cociente
En el primer ejemplo al aplicar la regla tendremos:
x2 − 4
x+2
=
x 2 − y2
, al realizar la operación de división según la regla
x−y
para dividir dos polinomios (ver sesión 1), tendremos:
x−2
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Asignatura: Álgebra
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Tema 2 / Sesión 3
x2
− y2
En el primer ejemplo es la aplicación directa de la regla:
x−y
− x2 + xy
x+y
4 − x2
2−x
xy − y2
− xy + y2
=
2+x
0
En el segundo, se presenta la dificultad que el orden de las variables
en el numerador no es la misma que el denominador, entonces,
Así,
antes de aplicar la regla debemos reordenar el numerador o el
denominador, por ejemplo:
2
x −y
x−y
2
=
x+y
(12)
x2 − y2
y−x
x 2 − y2
− (x − y )
=
=
x 2 − y2
x−y
−
=
− (x + y )
Regla
La diferencia de los cuadrados de dos variables
dividida por la diferencia de dichas variables es igual a
la suma de las variables.
En el tercero, debemos reagrupar los términos del denominador
para poder aplicar la regla, así:
x 2 − (y + 1)
x − y −1
2
Ejemplo 2.9
=
x 2 − (y + 1)
x − (y + 1)
2
Hallar de forma directa el cociente de:
Luego aplicamos la regla:
1.
4 − x2
2−x
2.
x 2 − y2
y−x
3.
x 2 − (y + 1)
x − y −1
2
x 2 − (y + 1)
x − y −1
2
=
x 2 − (y + 1)
x − (y + 1)
2
=
x + (y + 1) =
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x + y +1
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Observación
x3
La propiedad o regla que se establece para la
+ y3
− x3 − x2y
diferencia de cuadrados no es válida para la suma de
x2 − xy + y2
− x2y
cuadrados.
x + y
+ y3
+ x2y + xy2
De esta forma los cocientes
2
x +y
x−y
2
y
2
x +y
x+y
2
son irreducibles.
+ xy2
+ y3
− xy2
− y3
0
2. Cociente de la suma o diferencia del cubo de dos variables entre
un binomio formado con dichas variables
Así,
Utilizaremos las mismas variables que en el caso anterior para
x 3 + y3
x+y
construir los binomios y estudiaremos los dos casos siguientes:
2.1. Suma del cubo de dos variables
=
x 2 − xy + y 2
(13)
Regla
La suma de los cubos de dos variables dividida por la
En este caso, el binomio del denominador solo puede ser la
suma de dichas variables es igual al cuadrado de la
expresión (x + y). Luego, al realizar la operación de división, según la
primera variable menos el producto de las variables
regla de la (sesión 1), para el cociente,
3
x +y
x+y
3
tendremos:
más el cuadrado de la segunda variable.
Ejemplo 2.10
Dividir en forma directa x3 + 27y3 entre x + 3y.
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Al aplicar la regla tendremos:
3
x + 27y
x + 3y
3
− y3
x3
= (x)2 − x(3 y) + (y)2
=
x−y
− x3 + x2y
x 2 − 3 xy + y 2
+ x2y
x2 + xy + y2
− y3
− x2y + xy2
Observación
La suma del cubo de dos variables no puede ser
+ xy2
− y3
− xy2
+ y3
dividida entre la diferencia de las variables.
De esta forma el cociente
x 3 + y3
es irreducible.
x−y
0
Así,
x 3 − y3
x−y
2.2. Diferencia del cubo de dos variables
=
x 2 + xy + y 2
(14)
En este caso, el binomio del denominador solo puede ser la
expresión x − y. Luego, al realizar la operación de división, según la
regla de la (sesión 1), para el cociente
x 3 − y3
tendremos:
x−y
Regla
La diferencia de los cubos de dos variables dividida por
la diferencia de dichas variables es igual al cuadrado
de la primera variable más el producto de las variables
más el cuadrado de la segunda variable.
Ejemplo 2.11
1. Dividir en forma directa 8x3 − y3 entre 2x − y.
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Los casos estudiados del cuadrado o el cubo de la suma o
Al aplicar la regla tendremos:
diferencia de dos variables pueden ser generalizados al caso de
potencias iguales. Para ello, tendremos que considerar las potencias
8x 3 − y 3
2x − y
= (2 x)2 + (2 x)(y) + (y)2
=
4 x 2 + 2 xy + y 2
2. Hallar, por simple inspección, el cociente de 8x3 − 125y6 entre
2x − 5y2:
pares o impares e implementar una generalización de los dos casos
anteriores.
Luego, al hacer la división correspondiente, podríamos ver que:
1. Resta de potencias pares:
x 4 − y4
= x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3
x−y
Aplicamos la regla:
8 x 3 − 125y 6
2 x − 5y 2
=
(2x)2 + (2x)(5y 2 ) + (5y 2 )2
=
2
4x + 10xy 2 + 25y 4
x 4 − y4
= x 3 − x 2 y + xy 2 − y 3
x+y
2.
Observación
La diferencia del cubo de dos variables no puede ser
dividida entre la suma de las variables.
x4 + y4
x−y
no es una división exacta. (y)
x4 + y4
x+y
no es una división exacta.
3.
De esta forma el cociente
x 3 − y3
es irreducible.
x+y
3. Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos
variables entre un binomio formado con dichas variables
Suma de potencias pares:
Restas de potencias impares:
x5 − y5
= x 4 + x 3 y + x 2 y 2 + xy 3 + y 4
x−y
x5 − y5
x+y
4.
no es una división exacta.
Suma de potencias impares
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Tema 2 / Sesión 3
x5 − y5
x+y
x n − yn
x−y
no es una división exacta.
x5 + y5
= x 4 − x 3 y + x 2 y 2 − xy 3 + y 4
x+y
La diferencia de potencias pares de dos variables es
variables.
La diferencia de potencias impares de dos variables es
sólo divisible por la diferencia de dichas variables.
3.
La suma de potencias pares de dos variables no es
divisible por la suma ni por la diferencia de dichas variables.
4.
La suma de potencias impares de dos variables es solo
divisible por la suma de dichas variables.
Los
(15)
las siguientes características:
siempre divisible por la suma o la diferencia de dichas
2.
x n −1 + x n − 2 y + x n − 3 y 2 + L + x 2 y n − 3 + xy n − 2 + y n −1
Aquí podemos ver que el cociente de la división es un polinomio con
Regla
1.
=
diferentes
casos
que
presenta
la
regla
pueden
integral para la división, la cual será comprobada cuando
De esta forma:
la unidad.
2. Todos los términos, a excepción del primero y el último, son una
combinación del producto de las variables.
3. El primer término está formado por la primera variable con
potencia un grado menor que la potencia original.
4. El último término está formado por la segunda variable con
potencia un grado menor que la potencia original.
5. La potencia de la primera variable, en los demás términos, ira
generalizarse, de manera de establecer una expresión
veamos el Teorema del Resto.
1. Todos los términos del polinomio son positivos y su coeficiente es
decreciendo desde un grado menor a la potencia del primer
término hasta alcanzar la unidad.
6. La potencia de la segunda variable, en los demás términos, ira
creciendo desde la unidad hasta alcanzar un grado menor a la
potencia del último término.
7. La suma de las potencias de las variables, en los términos del
producto, será igual a un grado menor a la potencia original.
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Tema 2 / Sesión 3
Ejemplo 2.12
Hallar en forma directa el cociente de x7 + y7 entre x + y.
De acuerdo a la regla 4, podemos decir que la división es exacta.
Así, de acuerdo a la generalización, tendremos que el resultado del
cociente es:
1. El primero y último término estarán elevados a la potencia 6.
2. El producto de las variables se inicia con la potencia 5 para la
primera variable y la potencia unidad para la segunda.
3. Como vemos en el cuarto caso, los signos de los términos serán
alternos, y sus coeficientes unitarios.
Por lo cual:
x 7 + y7
= x 6 − x 5 y + x 4 y 2 − x 3 y 3 + x 2 y 4 − xy 5 + y 6
x+y
Esto nos permite establecer reglas.
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Tema 2: Operaciones Notables
Tema 2 / Sesión 3
Tema 2: Operaciones Notables
i.
Sesión 3: Ejercicios Propuestos
j.
1.
Determinar el cociente sin realizar la división, es decir, utilizando
k.
las reglas:
l.
a.
b.
c.
x 4 − 16a 4
x + 2a
1− x 6
x2 +1
x12 − a8
x 3 + a2
x9 +1
x +1
x2 − 4
x+2
4 x 2 − 9a4
3a2 + 2 x
81x 6 − 36y 4
9x 3 − 6 y 2
d.
y 2 − (x + 2 )
y−x−2
e.
8 + x3
x+2
f.
x 3 y 3 + 27
xy − 3
2
g.
h.
a3 − 64 x 6
a − 4x 2
125 − x15a −3
x 5 a −1 − 5
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Asignatura: Álgebra
Tema 2: Operaciones Notables
Tema 2 / Sesión 3
Tema 2: Operaciones Notables
Pregunta Nº 4
Sesión 3
Indique el resultado de
Autoevaluación 3
Pregunta Nº 2
a.
x4 + x2 +1
b.
x4 − x2 + 2
c.
x4 − x2 +1
d.
x 4 − x 2 −1
x6 −1
x2 +1
Pregunta Nº 5
Determine el resultado de
1− a 2 b 4 c 8
1− ab 2 c 4
Calcule el resultado de
x3 + y3
x+y
a. 1+ ab 2 c 4
a.
x 2 + xy + y 2
b. 1− a 2b 2 c 4
b.
x 2 − xy + y 2
c. 1− x 2
c.
x 2 − xy − y 2
d. 1+ x 2
d.
x 2 − xy 2 + y 2
Pregunta Nº 3
Una vez contestadas las preguntas, puede ver respuestas al final de
la Unidad. Si sus respuestas han sido correctas, continúe con la sesión
siguiente, de lo contrario se le recomienda repasar la sesión antes de
continuar.
Determine el resultado del
a.
x 2 − 2x + 4
b.
c.
x 2 + 4x + 4
x 2 + 2x + 4
x 2 + 2x − 4
d.
x3 − 8
x−2
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Asignatura: Álgebra
Tema 2: Operaciones Notables
Tema 2 / Sesión 3
Tema 2: Operaciones Notables
Pregunta Nº 3
Sesión 3
Indique el resultado de
a.
b.
Autoevaluación 3
Pregunta Nº 1
x2 +1
x4 − x2 +1
x 4 − x 2 −1
4
Correcto
2
c.
x −x +2
d.
x4 + x2 +1
Pregunta Nº 4
Determine el resultado de
1− a 2 b 4 c 8
Calcule el resultado de
1− ab 2 c 4
a. 1− a 2b 2 c 4
b. 1+ ab 2 c 4
Correcto
a.
x 2 + xy + y 2
b.
x 2 − xy 2 + y 2
2
x3 + y3
x+y
Correcto
2
c. 1− x 2
c.
x − xy − y
2
d.
x 2 − xy + y 2
d. 1+ x
x6 −1
Pregunta Nº 2
Determine el resultado del
a.
x 2 − 2x + 4
b.
c.
d.
x 2 + 4x + 4
x 2 + 2x − 4
x 2 + 2x + 4
x3 − 8
x−2
Correcto
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Asignatura: Álgebra
Tema 2: Operaciones notables
Tema 2 / Sesión 4
Tema 2: Operaciones notables
Potencias notables
Sesión 4
Se llama Potencia Notable a la operación de elevar una expresión a
Objetivos específicos
una potencia determinada mediante una regla fija y cuyo resultado
puede ser presentado directamente, es decir, sin realizar la
*
Aplicar las propiedades de los cocientes notables
en la solución de problemas
operación. Estas operaciones están regidas por la Ley de los Signos
de la Potencia (ver sesión 1).
Actividades
*
*
*
*
Leer el contenido de la sesión 4 sobre “Potencias
notables”
Visitar las paginas recomendadas
Realizar ejercicios resueltos
Realizar la autoevaluación propuesta al final de la
sesión
Recursos
En la potenciación, hay dos casos que ya fueron estudiados en los
Productos Notables. Éstos son, el cuadrado y el cubo (ver sesión 2)
de un binomio, respectivamente.
1. Potencia de un monomio
Para la potenciación de un monomio estableceremos una regla
*
*
*
Contenido de la sesión 4: “Potencias notables”
Paginas Web recomendadas
La autoevaluación de la sesión 4
equivalente al proceso de potenciación anterior (ver sesión 1).
Regla
Se eleva el coeficiente a la potencia indicada y luego
se multiplica el exponente de cada una de las
variables por el exponente que indica la potencia.
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Asignatura: Álgebra
Tema 2: Operaciones notables
Tema 2 / Sesión 4
Ejemplo 2.13
Por productos binarios, se entiende los productos por
parejas de todos los términos del polinomio. Además,
Desarrollar (2x3y) a la quinta (5) potencia.
decimos que es la suma, porque el término resultante del
producto binario, debe tomar en cuenta el signo que
Aplicamos la regla
resulte de la multiplicación, de acuerdo con la Ley de los
Signos (ver sesión 1) (Como está reflejado en el ejemplo
(2x3y)5
=
(2)5
(x3)5
(y)5
= 32
x15
y5
anterior).
2. Cuadrado de un polinomio
Ejemplo 2.14
En este caso consideraremos los polinomios que tienen tres o más
1. Desarrollar (x + y + z) al cuadrado.
términos, por ejemplo (x + y + z). La forma más simple de estudiar este
modelo es convertir el polinomio en un binomio, por ejemplo
Podemos escribir (x + y + z)2 = [(x + y) + z]2 y luego aplicamos la regla
(x + y + z) = (x + y) + z. Luego, aplicamos simplemente la regla para el
del cuadrado de la suma de un binomio, (ver sesión 2) y tendremos:
cuadrado de un binomio (ver sesión 2).
Los resultados (16) y (17) de los ejemplos anteriores, nos permiten
establecer la regla siguiente:
(x + y + z)2 = [(x + y) + z]2 = (x + y)2 + 2(x + y)z + (z)2
= (x)2 + 2xy + (y)2 + 2xz + 2yz + (z)2
= x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz
(16)
Regla
El cuadrado de un polinomio, es igual a la suma del
2. Desarrollar (x + y − z − 1) al cuadrado.
cuadrado de cada uno de los términos del polinomio,
más la suma algebraica del doble de los productos
Si usamos el procedimiento anterior, y teniendo en cuenta que los
binarios de todos los términos del polinomio.
términos precedidos por el signo menos se pueden agrupar,
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Asignatura: Álgebra
Tema 2: Operaciones notables
Tema 2 / Sesión 4
podemos escribir:
(x − y + z)3 = [(x − y) + z]3
(x + y − z − 1)2 = [(x + y) − z − 1]2 = [(x + y) − (z + 1)]2
Y aplicamos la regla del cuadrado de la diferencia de un binomio
Y ahora aplicamos la regla de la suma y resta para el cubo de un
binomio
(ver sesión 2), así:
(x − y + z)3 = [(x − y) + z]3 = (x − y)3 + 3(x − y)2z + 3(x − y)z2 + z3
(x + y − z − 1)2 = [(x + y) − z − 1]2 = [(x + y) − (z + 1)]2
= x3 − 3x2y + 3xy2 − y3 + 3(x2 − 2xy + y2)z + 3xz2 − 3yz2 + z3
(17)
= x3 − 3x2y + 3xy2 − y3 + 3x2z − 6xyz + 3y2z + 3xz2 − 3yz2 + z3
= (x + y)2 − 2(x + y)(z + 1) + (z + 1)2
= x3 − y3 + z3 − 3x2y + 3x2z + 3xy2 + 3y2z + 3xz2 − 3yz2 − 6xyz
= x2 + 2xy + y2 − 2xz − 2x − 2yz − 2y + z2 + 2z + 1
(18)
= x2 + y2 + z2 + 1 + 2xy − 2xz − 2yz − 2x − 2y + 2z
3. Cubo de un polinomio
Es un caso similar al anterior, en donde haremos un procedimiento
parecido y aplicaremos la regla del cubo de un binomio (ver sesión
2).
El resultado (18) del ejemplo anterior nos permite establecer la regla
siguiente:
Regla
El cubo de un polinomio es igual a la suma del cubo de
cada uno de sus términos, más la suma del triple del
cuadrado de cada término por cada uno de los demás,
Ejemplo 2.15
más la suma de seis veces las ternas (producto de tres
Desarrollar (x − y + z) al cubo.
términos) que puedan formarse con todos los términos
del polinomio.
Primero separamos en forma conveniente el polinomio, por ejemplo:
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Tema 2: Operaciones notables
Tema 2 / Sesión 4
Ejemplo 2.16
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(x + y)3 = x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3
Desarrollar (x − y2 + 2z − 3) al cubo.
Ahora aplicando directamente la regla tendremos:
Similarmente, podemos desarrollar la potencia cuarta y quinta del
binomio:
(x−y2 + 2z −3)3 =(x)3 + (−y2)3 + (2z)3 + (−3)3 + 3x2(−y2) + 3x2(2z)+3x2(−3)
+ 3(−y2)2(x) + 3(−y2)2(2z) + 3(−y2)2(−3)
+
3(2z)2(x)
+
3(2z)2(−y2)
+
3(2z)2(−3)
(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
(x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 +10x2y3 + 4xy4 + y5
+ 3(−3)2(x) + 3(−3)2(−y2) + 3(−3)2(2z)
+ 6(x)(−y2)(2z)+6(x)(−y2)(−3) + 6(x)(2z)(−3) + 6(−y2)(2z)(−3)
= x3 − y6 + 8z3 − 27 − 3x2y2 + 6x2z − 9x2 + 3y4x + 6y4z) − 9y4
+ 12z2x − 12z2y2 − 36z2 + 27x − 27y2 + 54z
− 12xy2z + 18xy2 − 36xz + 36y2z
Si seguimos desarrollando las potencias, nos daremos cuenta de que
existe una relación entre los coeficientes de la potencia siguiente
con la potencia anterior.
De este modo, se establece un procedimiento que se conoce como
4. Potencia n-ésima de un binomio.
La potencia n-ésima que consideraremos será un número natural
(entero positivo); además estudiaremos dos casos: binomio de la
suma (x + y) y de la resta (x - y).
el Triángulo de Pascal, para determinar dichos coeficientes.
Este procedimiento, inicialmente llamado triángulo aritmético, fue
planteado por Pascal para resolver una discusión con Fermat sobre
un juego de azar [1].
Consideremos el binomio (x + y): Utilizando la regla (1) para el
cuadrado de un binomio (ver sesión 2) y la regla (7) del cubo de un
binomio (ver sesión 2), tendremos:
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Tema 2 / Sesión 4
4.1. Triángulo de pascal
¿Cómo formar este triángulo o matriz?
Lo describiremos como una matriz cuadrada, en donde las filas
serán las potencias de una de las variables (x) y las columnas las
potencias de la otra variable (y), (ver Figura 2.4), y las diagonales
(ver línea azul), representan los coeficientes de los términos del
desarrollo de cualquier potencia de un binomio.
En la primera fila y columna se coloca 1. Luego, en cada una de las
otras posiciones, se coloca el resultado de la suma de los números
que están a la izquierda y arriba de la posición deseada. Por
ejemplo, en la matriz descrita en la Figura 2.4, el elemento (10),
resaltado con un círculo azul de la posición x2:y3 (fila 3 y columna 4),
se forma de la suma del elemento en la posición x2:y2 (6), más el
elemento en la posición x1:y3 (4), es decir, 4 + 6 = 10.
y
0
x0
1
x1
1
2
3
4
5
y
y
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
y
y
y
y
6
1
¿Cómo se interpreta el triángulo o matriz?
Los elementos de la matriz representan los coeficientes de los
términos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio. Su
descripción estará dada por los elementos de la diagonal (como se
2
1
3
6
10
x3
1
4
10
20
x4
1
5
15
x5
1
6
x
15
muestra en la línea punteada de la Figura 2.4.
Por ejemplo, si desarrollamos (x + y)3 la fórmula (9), (ver sesión 2),
tendremos:
(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
x6
1
Al relacionar los coeficientes con los elementos de la diagonal
Figura 2.4 Triángulo de pascal
vemos que:
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Asignatura: Álgebra
Tema 2: Operaciones notables
Tema 2 / Sesión 4
Posición
x3:y0
x2:y
x:y2
x0:y3
Valor
1
3
3
1
(x + y)6 = x6 + 6x5y + 15x4y2 + 20x3y3 + 15x2y4 + 6xy5 + y6
De igual forma, podríamos decir que el elemento (10), remarcado
4.2. Potencia n-ésima del binomio de la suma
con el círculo azul, corresponde a la posición x2:y3 del desarrollo de
Esta potencia es una generalización de los casos estudiados
(x + y)5.
anteriormente. Esta regla fue presentada mediante una ley por
Newton. Es conocida como Ley del Binomio de Newton. La ley se
Ejemplo 2.17
cumple para cualquier exponente natural y se representa por medio
de la siguiente fórmula:
Desarrollar (x + y)6 utilizando el Triángulo de Pascal.
La diagonal será la que comienza con la posición x6:y0, es decir, la
(a + b)n
última diagonal del Triángulo de Pascal representado en la Figura
2.4.
⎛n⎞
⎛ n⎞
⎛n⎞
⎛ n ⎞
⎟⎟ abn−1 + bn
= an + ⎜⎜ ⎟⎟ an−1b + ⎜⎜ ⎟⎟ an− 2b2 + L + ⎜⎜ ⎟⎟ an−mbm + L + ⎜⎜
1
2
m
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ n − 1⎠
(19)
En donde:
De esta forma, podemos ver que los coeficientes para cada
posición están dados en la tabla 4.1.
⎛n⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝m⎠
=
n!
m ! (n − m)!
es la combinatoria de n en m, y n! se conoce
como el factorial de n.
Posición
x6:y0
x5:y
x4:y2
x3:y3
x2:y4
x:y5
x0:y6
Valor
1
6
15
20
15
6
1
Al desarrollar los términos de combinatoria, nos queda la siguiente
fórmula:
Tabla 4.1 Coeficientes de cada posición
Así, al desarrollar el binomio tendremos:
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Tema 2 / Sesión 4
(a + b)n
=
an + nan−1b +
+
n(n − 1) n−2 2 n(n − 1)(n − 2 ) n−3 3
a b +
a b + LLL
1.2
1.2.3
n(n − 1) 2 n− 2
a b
+ nab n−1 + b n
1.2
(20)
(x − y) = [x + (−y)]
Y aplicamos la Ley del Binomio de Newton descrita en la sección
anterior.
Ejemplo 2.18
Desarrollar (x + y)6 utilizando el Binomio de Newton y cotejar los
resultados con el ejemplo anterior.
(a − b)n
an − nan−1b +
=
+ (− 1)
n− 2
n(n − 1) n−2 2 n(n − 1)(n − 2 ) n−3 3
a b −
a b + LLL
1.2
1.2.3
n(n − 1) 2 n−2
n−1
n
a b
+ (− 1) nab n−1 + (− 1) b n
1.2
(21)
Al aplicar la fórmula (20) tendremos:
En este caso, los términos a potencia impar de la segunda variable
(x + y )6
= x 6 + 6x 5 y +
(x + y )6
6.5 4 2 6.5.4 3 3 6.5 2 4
x y +
x y +
x y + 6 xy 5 + y 6
1.2
1.2.3
1.2
= x 6 + 6x 5 y + 15 x 4 y 2 + 20 x 3 y 3 + 15 x 2 y 4 + 6 xy 5 + y 6
(−y) hacen que ese término sea negativo. Por lo tanto podemos
afirmar que los signos del desarrollo serán alternos, comenzando con
el signo positivo +. En general si la potencia n es par, el desarrollo
tendrá un número impar de términos, luego el último término será
positivo; y en el caso n impar habrá un número par de términos,
De esta forma los coeficientes coinciden con los hallados en el
entonces el último término será negativo.
ejemplo anterior.
Ejemplo 2.19
4.3. Potencia n-ésima del binomio de la diferencia
Cuando es la diferencia x - y, en realidad podemos considerar el
mismo caso anterior. Para ello escribimos:
Desarrollar (x − 2y)5 utilizando el Binomio de Newton.
(x − 2y)5 = x5 − 5x4(2y) + 10x3(2y)2 − 10x2(2y)3 + 5x(2y)4 − (2y)5
= x5 − 10x4y + 40x3y2 − 80x2y3 + 80xy4 − 32y5
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Tema 2 / Sesión 4
Así, por lo descrito anteriormente, se certifica que el último término
es negativo, ya que la potencia era impar.
Ejemplo 2.20
Desarrollar (x2 − y + 1)4 utilizando el Binomio de Newton.
Primero agrupamos los términos: (x2 − y + 1)4 = [x2 − (y − 1)]4
Ahora aplicamos la regla (21):
(x2 − y + 1)4 = [x2 − (y − 1)]4
= (x2)4 − 4(x2)3(y − 1) + 6(x2)2(y − 1)2 − 4x2(y − 1)3 + (y − 1)4
Vemos que el último término es positivo, ya que la potencia es par.
Luego, desarrollando cada uno de los términos, tendremos que:
(x2 − y + 1)4 = (x2)4 − 4(x2)3(y − 1) + 6(x2)2(y − 1)2 − 4x2(y − 1)3 + (y − 1)4
= x8 − 4x6y + 4x6 + 6x4(y2 − 2y + 1) − 4x2(y3 − 3y2 + 3y − 1)
+ y4 − 4y3 + 6y2 − 4y + 1
= x8 − 4x6y + 4x6 + 6x4y2 − 12yx4 + 6x4 − 4x2y3 + 12x2y2 − 12x2y
+ 4x2 + y4 − 4y3 + 6y2 − 4y + 1
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Asignatura: Álgebra
Tema 2: Operaciones notables
Tema 2 / Sesión 4
Tema 2: Operaciones Notables
3. (3 xy)3
Sesión 4: Ejercicios Resueltos
Solución
Ejercicios: Potencia de un monomio
Procedimiento
1. Si el monomio es positivo la potencia simpre es positiva. Si el
monomio es negativo, la potencia será positiva si el exponente
es par, y negativa si el exponente es impar
2. Se eleva el coeficiente al exponente de la potencia
3. El exponente de cada letra se multiplica por el exponente de la
potencia
(3 xy)3 = 3 3 x 3 y 3 = 27x 3 y 3
4. (−6a2b)2
Solución
(−6a 2 b)2 = 6 2 a 2 x 2 b 2 = 36a 4 b 2 {puesto que el exponente es
par el signo de la potencia es positivo}.
5. (−2 x 2 y 3 )3
Desarrollar:
Solución
1. (4a2 )2
(−2 x 2 y 3 )3 = −2 3 x 3 x 2 y 3 x 3 = −8 x 6 y 9 {puesto que el exponente
es impar el signo de la potencia es negativo}.
Solución
2 2
2
(4a ) = 4 a
2x2
= 16a
6. (4a 2 b 3 c 4 )3
4
Solución
3
2. (−5a)
(4a 2 b 3 c 4 )3 = 4 3 a 3 x 2 b 3 x 3 c 3 x 4 = 64a 6b 9 c12
Solución
3
3
1x 3
(−5a) = 5 a
= −125a
3
7. (−6x 4 y 5 )2
Solución
(−6x 4 y 5 )2 = 6 2 x 2 x 4 y 2 x 5 = 36x 8 y10
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Asignatura: Álgebra
Tema 2: Operaciones notables
Tema 2 / Sesión 4
Tema 2: Operaciones notables
Sesión 4: Ejercicios propuestos
1.
Desarrollar utilizando las reglas de esta sesión las siguientes
operaciones:
a. (x − z + y − 1)2
b. (x 2 − y + 3 z − 2)3
c.
(x + 2)5
⎛1 x⎞
d. ⎜ − ⎟
⎝3 2⎠
6
e.
(2a
f.
⎛2
⎞
⎜ − yx ⎟
x
⎝
⎠
−1
+ x2
)
7
2
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Asignatura: Álgebra
Tema 2: Operaciones notables
Tema 2 / Sesión 4
d.
15
15
15
15
(2 x)12 + (2 x)13 (−3y) + (2 x)14 (−3y) + ... + (−3y)15
0
15
0
15
Unidad 2: Operaciones Notables
Pregunta Nº 3
Sesión 4
Desarrollar (2a+3b) al cubo
a.
27a 3 + 54a 2 b + 36ab 2 + 8b 3
b.
8a 3 + 36a 2 b + 54ab 2 + 27b 3
c.
27a 3 + 54a 3 b + 36ab 3 + 8b 3
Pregunta Nº 1
d.
8a 3 − 36a 3 b + 54ab 3 + 27b 3
Desarrollar (x+y)4 utilizando el triángulo de Pascal
Pregunta Nº 4
Autoevaluación 4
a.
x 3 + 4 x 4 y + 6 x 2 y 3 + 4 xy 2 + y 4
b.
x 4 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 xy 3 + y 4
c.
x 3 − 4 x 4 y − 6 x 2 y 3 − 4 xy 2 − y 4
a. 16a 2
d.
x 4 − 4 x 3 y − 6 x 2 y 2 − 4 xy 3 − y 4
b. 16a 4
c. 12a 4
Pregunta Nº 2
d. 12a 2
Desarrollar (2x-3y) 15 utilizando el Binomio de Newton
a.
b.
c.
Desarrollar (4a2 )2
15
15
15
15
(2 x)15 + (2 x)14 (−3y) + (2 x)13 (−3y) + ... + (−3y)15
0
15
0
15
15
15
15
15
(2 x)15 + (2 x)14 (−3y) + (2 x)13 (−3y) + ... + (−3y)15
0
1
2
15
15
15
15
15
(2 x)12 + (2 x)13 (−3y) − (2 x)14 (−3y) + ... + (−3y)15
0
15
0
15
Pregunta Nº 5
Desarrollar (x 2 − 2 x + 1) al cuadrado
a.
x 4 − 4 x 3 − 6x 2 + 4 x + 1
b.
x 4 + 4 x 3 − 6x 2 − 4 x + 1
c.
x 4 − 4 x 3 + 6x 2 + 4 x + 1
d.
x 4 − 4 x 3 + 6x 2 − 4 x + 1
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Tema 2: Operaciones notables
Tema 2 / Sesión 4
Una vez contestadas las preguntas, puede ver respuestas al final de
la Unidad. Si sus respuestas han sido correctas, continúe con la sesión
siguiente, de lo contrario se le recomienda repasar la sesión antes de
continuar.
Unidad 2: Operaciones notables
Correcto
Desarrollar (2a+3b) al cubo
Respuestas de la Autoevaluación 4
Pregunta Nº 1
Desarrollar (x+y)4 utilizando el triángulo de Pascal
a.
x 3 + 4 x 4 y + 6 x 2 y 3 + 4 xy 2 + y 4
b.
x 3 − 4 x 4 y − 6 x 2 y 3 − 4 xy 2 − y 4
d.
d.
15
15
15
15
(2 x)15 + (2 x)14 (−3y) + (2 x)13 (−3y) + ... + (−3y)15
0
1
2
15
15
15
15
15
12
13
14
(2 x) + (2 x) (−3y) + (2 x) (−3y) + ... + (−3y)15
0
15
0
15
Pregunta Nº 3
Sesión 4
c.
c.
4
3
2
2
4
3
2
2
3
x + 4 x y + 6 x y + 4 xy + y
3
x − 4 x y − 6 x y − 4 xy − y
4
a.
27a 3 + 54a 2b + 36ab 2 + 8b 3
b.
27a 3 + 54a 3 b + 36ab 3 + 8b 3
c.
8a 3 − 36a 3 b + 54ab 3 + 27b 3
d.
8a 3 + 36a 2 b + 54ab 2 + 27b 3
Correcto
Pregunta Nº 4
Desarrollar ( 4a 2 ) 2
Correcto
4
a. 16a 2
b. 16a 4
c. 12a
Correcto
4
d. 12a 2
Pregunta Nº 2
Pregunta Nº 5
Desarrollar (2x-3y) 15 utilizando el Binomio de Newton
a.
b.
15
15
15
15
(2 x)15 + (2 x)14 (−3y) + (2 x)13 (−3y) + ... + (−3y)15
0
15
0
15
15
15
15
15
(2 x)12 + (2 x)13 (−3y) − (2 x)14 (−3y) + ... + (−3y)15
0
15
0
15
Desarrollar ( x 2 − 2 x + 1) al cuadrado
a.
x 4 − 4 x 3 − 6x 2 + 4 x + 1
b.
x 4 − 4 x 3 + 6x 2 − 4 x + 1
c.
4
3
2
x + 4 x − 6x − 4 x + 1
d. x 4 − 4 x 3 + 6x 2 + 4 x + 1
Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor.
Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras
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