Download Guía didáctica: Álgebra
Document related concepts
Transcript
VICERRECTORADO ACADÉMICO Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia (CEIDIS) NÚCLEO UNIVERSITARIO “ALBERTO ADRIANI” Guía didáctica: Álgebra Curso de Extensión PARTE A SESIONES 1-4 Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor Contenidos desarrollados por: Francísco Carrera, José Luis García. MATERIAL EN REVISIÓN Hacienda Judibana. Kilómetro 10, Sector La Pedregosa. El Vigía. Mérida - Venezuela. Portal Web: www.ula.ve/vigia. Correo-e: nuaa@ula.ve. Teléfonos: 0275-808.59.01 / 267.18.62. Telefax: 0274-240.29.47 NÚCLEO UNIVERSITARIO “ALBERTO ADRIANI” FACILITADORES CURSO DE EXTENSIÓN MARTES – MIÉRCOLES – JUEVES Horario: ÁLGEBRA 8:30 A.M. – 11:30 A.M. 2:00 P.M. – 5:00 P.M. CONSULTAS SEMANA 1: 05/11/2007 al 09/11/2007 SESIONES 1 - 4 SEMANA 2: 12/11/2007 al 16/11/2007 SESIONES 5 - 9 MODALIDAD: NO PRESENCIAL DURACIÓN: 5 SEMANAS SEMANA 3: 19/11/2007 al 23/11/2007 SESIONES 10 - 13 SEMANA 4: 26/11/2007 al 30/11/2007 SESIONES 14 - 16 SEMANA 5: 03/12/2007 al 07/12/2007 SESIONES 17 - 19 Hacienda Judibana. Kilómetro 10, Sector La Pedregosa. El Vigía. Mérida - Venezuela. Portal Web: www.ula.ve/vigia. Correo-e: nuaa@ula.ve. Teléfonos: 0275-808.59.01 / 267.18.62. Telefax: 0274-240.29.47 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático. Curso Básico de Nivelación en el área de Álgebra Datos de Identificación Ciclo: Introductorio Duración: 10 semanas Índice Introducción……………………………………………….. i Objetivos…………………………………………………… ii Estrategias………………………………………………….. iv Contenido Programático ………………………………. vi Tema 1 “Preliminares” Unidad Académica: Sesión 1: Preliminares ……………………. …..1 Problemas propuestos……………………… 22 Autoevaluación 1…………………………..... 24 Correo electrónico: Datos de Identificación Profesores del área: Tema 2 “Operaciones notables” Sesión 2: Operaciones notables……….…. 26 Problemas propuestos……………………… 42 Autoevaluación 2……………………………. 43 Sesión 3: Operaciones notables………..… 45 Problemas propuestos……………………… 53 Autoevaluación 3…………………………… 54 Contenidos desarrollados por: Prof. Francisco Carrera Lic. José Luís García Sesión 4: Operaciones notables………..… 57 Problemas propuestos……………………… 66 Autoevaluación 4…………………………… 67 Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Nayive Jaramillo, José Luís García Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 1 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático. Tema 3 “Teorema del resto” Sesión 5: Teorema del resto………….…… 69 Problemas propuestos………………………78 Autoevaluación 5 …………………………...79 Sesión 6: Teorema del resto………….…… 83 Problemas propuestos………………………91 Autoevaluación 6 …………………………...92 Tema 4 “Factorización” Sesión 7: Factorización …………………….95 Problemas propuestos……………….……107 Autoevaluación 7………………………….108 Sesión 8: Factorización ………………….. 110 Problemas propuestos……………….…… 126 Autoevaluación 8…………………………. 127 Sesión 9: Factorización ………………….. 129 Problemas propuestos……………….…… 149 Autoevaluación 9…………………………. 150 Tema 5 “Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios” Sesión 10: Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios …………152 Problemas propuestos……………….…… 182 2 Autoevaluación 10……………………… 183 Tema 6 “Expresiones racionales” Sesión 11: Expresiones racionales …..… 187 Problemas propuestos ……………….….. 203 Autoevaluación 11………………………… 205 Sesión 12: Expresiones racionales …..… 209 Problemas propuestos ……………….….. 215 Autoevaluación 12………………………… 217 Sesión 13: Expresiones racionales …..… 221 Problemas propuestos ……………….….. 228 Autoevaluación 13………………………… 230 Tema 7 “Ecuaciones” Sesión 14: Ecuaciones ……………. …..… 234 Problemas propuestos ……………….….. 250 Autoevaluación 14………………………… 252 Sesión 15: Ecuaciones ……………. …..… 256 Problemas propuestos ……………….….. 263 Autoevaluación 15………………………… 265 Tema 8 “Matrices, ecuaciones” determinantes y Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Nayive Jaramillo, José Luís García Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. sistema de Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático. Sesión 16: Matrices, determinantes y sistema de ecuaciones ……………………...……….. 268 Problemas propuestos ……………….…. 280 Autoevaluación 16……………………….. 282 Sesión 17: Matrices, determinantes y sistema de ecuaciones ……………………...……….. 286 Problemas propuestos ……………….…. 299 Autoevaluación 17……………………….. 301 Sesión 18: Matrices, determinantes y sistema de ecuaciones ……………………...………... 305 Problemas propuestos ……………….….. 310 Autoevaluación 18……………………….. 312 Tema 9 “Números complejos” Sesión 19: Números complejos………... 316 Problemas propuestos ……………….….. 323 Autoevaluación 19……………………….. 324 Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Nayive Jaramillo, José Luís García Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 3 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático. 4 Objetivos Introducción Objetivo general Álgebra es el área de la matemática que Capacitar al estudiante en la aplicación de las herramientas estudia las cantidades en una forma abstracta, a básicas del álgebra. través de símbolos, relacionándolas por medio de operaciones simbólicas que resumen operaciones aritméticas. Las asignaturas de Objetivos específicos las carreras de ingeniería requieren dominar con destreza dichas operaciones. Procurando cubrir esta necesidad, se ha elaborado el curso de nivelación en Álgebra, dirigido a estudiantes de nuevo ingreso de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Los Andes. Esencialmente orientado a la apropiación de los conceptos básicos del Álgebra, el curso ofrece contenidos tales como: Operaciones Notables, Teorema del Resto, Factorización, Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo de Polinomios, Expresiones Racionales, Ecuaciones, Matrices, Determinantes y Sistemas de Ecuaciones. Así Tema 1: Preliminares Aplicar las propiedades de la potenciación, los productos y los cocientes notables en la solución de problemas. Tema 2: Operaciones Notables Resolver problemas relacionados con la división de polinomios. Emplear los teoremas del resto y del factor. Tema 3: Teorema del Resto pues, se complementará la formación en el área, para lograr un nivel adecuado que facilite el proceso de enseñanza-aprendizaje de los estudiantes Resolver problemas utilizando todos los productos de dos o tres factores. Tema 4: Factorización Utilizar los conceptos de divisor, múltiplos, máximo y mínimo común. Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Nayive Jaramillo, José Luís García Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático. Tema 5: Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo de 5 Estrategias Polinomios Manejar expresiones racionales de todo tipo. Tema 6: Expresiones Racionales Resolver ecuaciones de primer grado. Tema 7: Ecuaciones Resolver ecuaciones de segundo grado con una incógnita. Tema 8: Matrices, Determinantes y Sistema de Ecuaciones Discutir y resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando los principios básicos de matrices y determinantes y de hallar la inversa de una matriz. Realizar estudios a distancia es una tarea que requiere esfuerzo, voluntad y dedicación, pero que a su vez depara grandes satisfacciones, tanto de índole personal como profesional. Esta modalidad le permitirá. 1.- Estudiar a su propio ritmo y administrar su propio tiempo, en la comodidad de su domicilio. 2.- Disponer de Módulos Instruccionales Asistidos Por El Computador, M.I.A.C., que facilitan el proceso de enseñanza y aprendizaje. Los Módulos Instruccionales Asistidos Por El Computador, M.I.A.C. están estructurados de la siguiente manera dentro del PLAN DEL CURSO: − cuales abarcan todos los contenidos del curso. − Tema 9: Números Complejos Reconocer y emplear los números complejos. Temas: comprendidas por sesiones de clases teóricas, las Sesiones: conformadas por temas que deben leerse, para ser analizados e interpretados y por actividades que deben realizarse en un tiempo determinado. − Objetivos específicos por cada tema: muestran de manera clara los aprendizajes que lograrán durante la interacción con cada sesión. − Contenidos: a través de éstos se puede interactuar con los diferentes temas que comprende cada sesión. Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Nayive Jaramillo, José Luís García Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático. − Actividades: se plantea de forma sencilla los pasos que 6 Recomendaciones generales para cursar esta asignatura: deben seguirse para el logro de los objetivos de enseñanza y − − − aprendizaje de cada sesión. Como estudiante podrás - Realizar todas las actividades propuestas en cada sesión descargar y/o revisar los contenidos en formato PDF, repasar - Realizar dos sesiones semanales como mínimo durante el los temas más importantes (críticos) a través de clases transcurso de 10 semanas. interactivas, realizar ejercicios prácticos y, al finalizar, podrás - Leer pausadamente cada sesión de clase. realizar una autoevaluación, la que te permitirá determinar el - Realizar cuidadosamente los ejercicios resueltos y propuestos y nivel de aprendizaje obtenido en cada sesión. verificar las soluciones a los mismos, cuyas respuestas se encuentran Recursos: contienen los enlaces a páginas recomendadas al final de cada tema. por el autor, ejercicios propuestos y resueltos, bibliografía y - Es indispensable realizar las autoevaluaciones de cada sesión con vocabulario empleado. la finalidad de verificar individualmente el aprendizaje logrado en Autoevaluaciones: contiene un enlace, al que se accede cada sesión de clases. después de finalizar las actividades de cada tema. Esta la - No ver los resultados de las autoevaluaciones que se encuentran realizarás cuando te sientas preparado para presentar la al final de la unidad, antes de realizar las mismas. evaluación final. - Respuestas a las autoevaluaciones: al final de cada tema se xxxxxxx@ula.ve cualquier duda de los temas expuestos. Es importante consultar a través del correo encuentran las respuestas a las autoevaluaciones. − Respuestas a los ejercicios propuestos: al final de cada tema se encuentran las respuestas a los ejercicios propuestos. Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Nayive Jaramillo, José Luís García Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. electrónico 1 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 1: Preliminares Tema 1 / Sesión 1 Tema 1: Preliminares ¿Qué es el álgebra? Sesión 1 Álgebra es el área de la matemática que estudia las cantidades en Objetivos específicos una forma abstracta, a través de símbolos, relacionándolas por medio de operaciones simbólicas que resumen operaciones * * * Definir con sus propias palabras un concepto de álgebra. Diferenciar y clasificar los números como conjunto y realizar su representación gráfica. Identificar en las operaciones las propiedades: distributiva, asociativa, conmutativa y el elemento, identidad e inverso. aritméticas. ¡El álgebra no es respecto a números! ¡El álgebra se trabaja en forma simbólica! Su diferencia fundamental con la aritmética es la representación de Actividades * * * * las cantidades. En la aritmética, las cantidades se representan por Leer el contenido de la sesión 1 sobre” Preliminares” Realizar los ejercicios con respuesta. Realizar los ejercicios prácticos de toda la unidad. Realizar la autoevaluación. pueden ser números o letras. Los números representan cantidades conocidas y determinadas, mientras que las letras representan cantidades conocidas no Recursos * * * números y en el álgebra, se representan mediante símbolos que determinadas o desconocidas. Las cantidades conocidas se Contenido de la sesión 1: “Preliminares” Páginas Web recomendadas La autoevaluación de la sesión 1 conocen con el nombre de constantes y las desconocidas se conocen como variables. Ejemplo 1.1 a. Números: −3, 2, 0, 1/2, −2/3, . . . b. Letras: a, b, c, x, y, z, A, B, . . . Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 2 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 1: Preliminares Tema 1 / Sesión 1 Ejemplo 1.2 conocido como Números Reales. Este conjunto es el resultado de la Determinar una fórmula algebraica que represente el área de un rectángulo "A" de base determinada "5" y altura conocida "a": integración gradual de otros conjuntos de números que indicaremos a continuación: 1. Números naturales: son los que se utilizan para contar y también Vemos que existe una cantidad numérica que es la base, una se llaman Enteros Positivos. Se denotan con la letra "N". Ej: Si cantidad constante no determinada que es la altura y una cantidad contamos 10 personas en una fila, cada una es una y sólo una variable desconocida que es el área, la cual cambiará para cada persona, y nunca existe media persona ó ¼ de persona. Para valor que le asignemos a la altura. De esta manera podemos escribir hacer este tipo de conteos, se utilizan los números naturales la fórmula algebraica: comenzando siempre desde el número 1 hasta el infinito. Q = 5.a El concepto de número Ν = { 1, 2 , 3 , 4 , KK } 2. Números enteros: son los que agrupan a los naturales, sus opuestos o negativos y el cero. Se denotan con la letra "Z". Ellos Los hombres supieron contar mucho antes de que escribieran los forman un conjunto que contiene a los números naturales, números. La aritmética desarrollaba sólo operaciones de contar. Ν ⊂ Ζ. De esta forma, la necesidad de representar esa forma empírica de Ζ = { K − 2 , − 1, 0 , 1, 2 ,K } contar llevó a la escritura de lo que es un número. 3. Números racionales: resultan de la división de dos números Los números como conjunto enteros, se denotan con la letra "Q". Dicho cociente puede ser exacto o fraccionario, por ejemplo: El conjunto de números más frecuentemente usado en álgebra es Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 3 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 1: Preliminares Tema 1 / Sesión 1 ⎫ ⎧ a Q = ⎨ : a, b ∈ Ζ y b ≠ 0 ⎬ b ⎭ ⎩ 3 6 = 3, = 2, 1 3 números, y se denotan con la letra R. Ellos son la unión de los racionales e irracionales: −15 2 1 15 5 −2 −1 = −3, = , = , = 5 4 2 6 2 6 3 Cuando el resultado es exacto se tiene un número entero, de lo R = Q ∪ I Representación gráfica de los números contrario se tiene un número decimal periódico. De esta forma, dicho conjunto contiene a los números enteros: El conjunto más amplio es el de los números reales y pueden ser representados como puntos sobre una recta "L", de modo que cada Ν ⊂ Ζ ⊂ Q 4. Números irracionales: son números no racionales, es decir, no tienen una expresión decimal periódica, por ejemplo: punto "P" sobre la recta corresponde a un número real. De esta forma, hay una asociación uno a uno entre los números reales y los puntos sobre una recta. Para iniciar la representación, se fija un punto arbitrario "O", llamado origen, y se asocia con el número real 0. Luego se establece un 2, π , e punto "U" a la derecha del origen, el cual se asocia con el número 1 y se denomina valor unitario. A partir de allí, los números enteros Se denotan con la letra “I” y no tienen números comunes con los serán un factor de ese valor unitario, estableciendo la orientación racionales, es decir: positiva hacia la derecha y negativa a la izquierda (ver Fig. 1.1) Q ∩ I = ∅ 5. Números reales: son la integración de todos estos conjuntos de Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 4 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 1: Preliminares Tema 1 / Sesión 1 a+0 = a y a.1 = a Son el número 0 y el número 1, ya que: Representación gráfica de los números 0+0 = 0 y 0.1 = 0 1+0 = 1 y 1.1 = 1 Operaciones y propiedades de los números reales Este conjunto tiene definida dos operaciones básicas: adición, denotada por "+", y multiplicación, denotada por " . ". Decimos que los números reales son cerrados para ambas operaciones, es decir, para todo par de números reales "a, b" existe un número real "a + b", El elemento inverso de la suma, también es llamado opuesto aditivo, y el inverso de la multiplicación es llamado reciproco multiplicativo, ver Tabla 1 y 2 respectivamente. llamado la suma, y otro número real "a . b", llamado el producto. Las principales propiedades de los números reales con relación a estas operaciones se describen en las Tablas 1 y 2. Ejemplo 1.3 ¿Cuáles son los números, que al aplicar la propiedad del elemento identidad tanto para la suma como para el producto, el resultado es el mismo número? Sabiendo que el elemento identidad para la suma es 0 y para el producto es 1, podemos ver que los únicos números que cumplen simultáneamente: Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 5 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 1: Preliminares Tema 1 / Sesión 1 SUMA PROPIEDAD Conmutativa CASO EJEMPLO PRODUCTO SIGNIFICADO Elemento Identidad Elemento Inverso CASO GENERAL EJEMPLO SIGNIFICADO 2.3 = 6 = 3.2 El orden de los sumandos no altera el resultado 3 (2 . 4) = 3 . 8 = 24 (3 . 2) 4 = 6 . 4 = 24 El orden en que se multiplica por 2 o más factores no afecta el resultado de la operación 2.1 = 2 El producto de un número por 1 da el mismo número. ⎛ 1⎞ 3. ⎜ ⎟ = 1 ⎝3⎠ El producto de un número distinto de 0 por su reciproco da 1. El orden de los a + b = b + a 2 + 3 = 5 = 3 + 2 sumandos no altera el resultado Asociativa PROPIEDAD a + (b + c) = (a + b) + c a+0 = a a + ( −a) = 0 3 + (1 + 4) = 3 + 5 = 8 (3 + 1) + 4 = 4 + 4 = 8 2+0 = 2 3 + (−3) = 0 El orden como se agrupan las cantidades no altera la suma Conmutativa Asociativa Al sumar 0 a un número nos da el mismo número Al sumar a un número su elemento opuesto se obtiene el elemento identidad. Elemento Identidad a.b = b.a a . (b . c) = (a . b) . c a.1 = a Si a ≠ 0, Elemento Inverso Tabla 1. Operaciones y propiedades de los números reales ⎛ 1⎞ a. ⎜ ⎟ = 1 ⎝a⎠ Tabla 2. Operaciones y propiedades de los números reales Una propiedad adicional en donde se combinan ambas operaciones es la Propiedad Distributiva de la multiplicación sobre la adición, la cual señala que: Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 6 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 1: Preliminares Tema 1 / Sesión 1 Sean a, b y c números reales, entonces: Expresiones algebraicas a . (c + d) = a . c + a . d Una expresión algebraica es la representación simbólica de una (a + b) . c = a . c + b . c colección de variables y números reales en forma individual o como resultado de alguna operación fundamental (suma, resta, producto, Ejemplo 1.4 división, potencias o radicales). Desarrollar mediante la propiedad distributiva el producto de Ejemplo 1.5 ( 2 + 3 ) ( −1 + 4). Las siguientes son expresiones algebraicas: Aquí tenemos que aplicar una doble propiedad distributiva, de esta forma: a 2x ( 2 + 3 ) ( −1 + 4) = 2 .( −1 + 4) + 3 . ( −1 + 4) = 2 .( −1) + 2 . 4 + 3 .( −1) + 3 . 4 = −2 + 8 −3 + 12 = 15 3−z 5 (a − b) 3y El cual es el mismo resultado si efectuamos las operaciones dentro de los paréntesis primero y luego hacemos el producto de los resultados, así: ( 2 + 3 ) ( −1 + 4) = 5 . 3 = 15 2−x − 3y Si sustituimos las variables por números reales en una expresión algebraica, el resultado será un número real que se llamará el valor Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 7 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 1: Preliminares Tema 1 / Sesión 1 de la expresión algebraica para esos números, es decir, que al utilizar nuevos números reales podremos obtener un valor diferente para la expresión correspondiente. Monomio: es la expresión algebraica que consta de un solo término, aunque puede tener varias variables incluidas, como: 5 Ejemplo 1.6 2ª −3yx2 Determinar el valor de la expresión algebraica. 2a b2 2−x − 3y Binomio: es la expresión algebraica que se forma de la suma de dos cuando x = −1 y y = 1. monomios, como: Claramente el valor de dicha expresión será: 3x − 4 a+b 2 − ( − 1) 3 = = −1 − 3 (1) −3 x 2 − 2y z 3 2c3 + a 3b Similarmente, si sustituimos x por 2 e y por cualquier número distinto de 0, entonces el valor de la expresión algebraica será 0. Clasificación de las expresiones algebraicas Trinomio: es la expresión algebraica que se forma de la suma de tres monomios, como: Las Expresiones Algebraicas se clasifican basándose en el número de términos que esta tienen. De esta forma podemos hablar de: Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 8 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 1: Preliminares Tema 1 / Sesión 1 a+b+c 2x2 − 3x + 7 2 3 x − 2y + yz x−z Polinomio: es la expresión algebraica que resulta de la suma de cualquier número de monomios, de esta forma tanto un Binomio como un Trinomio son Polinomios, como: ax − by2 + 3xy − 5ay 3x 4 + 2x 2 − 3x − 5 Cuando el polinomio tiene una sola variable lo podemos definir de la mayor potencia de sus variables. Este puede ser absoluto si tenemos una sola variable o relativo a una cierta variable, si hay diversas variables en la expresión. Ejemplo 1.7 Determinar el grado de los siguientes polinomios: a. 5 grado 0 (absoluto) b. 2 − 5x grado 1 (absoluto) c. d. ax − by2 + 3xy − 5ay e. siguiente forma. Polinomio: una expresión algebraica únicamente en la variable x, se 3x 4 + 2x 2 − 3x − 5 2 x 3 y + 5x 2 y 2 − xy 4 + 3y 5 grado 4 (absoluto) grado 2 (relativo a y) grado 3 (relativo a x) y 5 (relativo a y) llama un polinomio cuando es la suma de expresiones monómicas de la forma: Los polinomios de grado cero “0” se conocen como polinomios constantes. Si todos los coeficientes de un polinomio son cero, n anx + an−1x n−1 + KK + a1x + a0 En donde n es un número entero no negativo y los términos a k son números reales llamados coeficientes. El coeficiente de la potencia entonces obtenemos el polinomio cero; el cual no tiene un grado determinado. Diremos que dos polinomios son iguales si y sólo si son del mismo grado y tienen los mismos coeficientes para cada una de las potencia. más alta de la variable es el coeficiente principal del polinomio. Ahora podemos decir que un polinomio tiene un grado, el cual es la Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 9 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 1: Preliminares Tema 1 / Sesión 1 Operaciones con las expresiones algebraicas Suma, ya que al efectuar la operación a - b en realidad estamos Al realizar operaciones con expresiones algebraicas estaremos aplicando, con factores abstractos, las mismas operaciones fundamentales usadas en Aritmética (Suma, Resta, Multiplicación, División y Potenciación). realizando la operación a + ( -b). Estas operaciones se apoyan en dos reglas básicas que son la Supresión de Signos de Agrupación y la Reducción de Términos Semejantes. Supresión de signos de agrupación: es una regla que permite eliminar los signos de agrupación, dando como resultando una 1. Suma y Resta expresión algebraica que puede tener términos semejantes. La Suma en general se entiende por aumentar un valor, pero en álgebra, como tratamos con expresiones simbólicas, puede significar un aumento o una disminución. Así, cuando sumamos a y b resulta a + b, pero el valor numérico de esta expresión algebraica dependerá de cual de las dos variables es mayor, de esta forma el resultado puede ser positivo o negativo, en todo caso mayor o menor que a. Recordemos que los signos de agrupación son los paréntesis ( ), corchetes [ ] y las llaves { }. Tenemos dos casos a considerar: a. Signo de agrupación precedido del signo "+". Se elimina el signo de agrupación y los términos mantienen el signo que ellos tenían. b. Signo de agrupación precedido del signo "-". Se elimina el signo de agrupación y los términos cambian el signo que ellos tenían. Ejemplo 1.8 Ejemplo 1.9 Sumar a y b, en donde el valor de a = 4 y b = 3. Conociendo los valores tendremos: a + b = 4 + 3 = 7. Suprimir los signos de agrupación de la expresión: Si ahora a = 3 y b = −4 entonces a + b = 3 + (−4) = 3 − 4 = −1. 4x + (−x − 2) − [6x − 3] − {3 + (1 − x)} Por lo anterior, podemos decir que la Resta es equivalente a la Como existe un signo de agrupación dentro de otro signo de Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 10 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 1: Preliminares Tema 1 / Sesión 1 agrupación, primero suprimimos el signo de agrupación más interno, así: coloca el signo del mayor. c. Varios términos de signo contrario. Se aplica la primera regla tanto 4x + (−x − 2) − [6x − 3] − {3 + 1 −x} a los positivos como a los negativos y al resultado se le aplica la = 4x + (−x − 2) − [6x − 3] − {4 − x} regla anterior. Luego aplicamos la regla que corresponda a cada signo de Ejemplo 1.10 agrupación y tendremos: Agrupar la expresión 4x − 7x + 11x + x − 5x − 2x. 4x − x − 2 − 6x + 3 − 4 + x Agrupamos los positivos: 4x + 11x + x = 16x Después de agrupar términos semejantes, el resultado será: − 2x − 3 Reducción de términos semejantes: es una regla que permite Agrupamos los negativos: −7x − 5x − 2x = −14x Luego agrupando los dos resultados: 16x − 14x = 2x Por lo tanto el resultado de agrupar la expresión es 2x agrupar en un solo término dos o más términos semejantes. Para ello tenemos tres casos a considerar: Regla general para sumar o restar: para Sumar o Restar dos o más expresiones algebraicas se escribe una a continuación de la otra a. Términos del mismo signo. Se suman los coeficientes y se coloca el con sus propios signos y se aplican las reglas anteriores, si es signo que tienen todos. necesario. b. Dos términos de signo contrario. Se restan los coeficientes y se Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 11 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 1: Preliminares Tema 1 / Sesión 1 Ejemplo 1.11 Y tendremos como resultado final: Sumar 3a − 2b + c y 8a − 5b + 2c − 3 y restarle −3a + 2b − 3c y 4b − c 14a − 13b + 7c − 6 +3 Primero colocamos las expresiones algebraicas una a continuación Ejemplo 1.12 de la otra manteniendo la operación que se quiere realizar entre ellas, así: De la suma de (3a − 2b + c) + (8a − 5b + 2c − 3) − (−3a + 2b − 3c) − (4b − c + 3) Luego suprimimos los signos de agrupación: 3a − 2b + c + 8a − 5b + 2c − 3 + 3a − 2b + 3c − 4b + c − 3 Ahora agrupamos los términos semejantes: 3a + 8a + 3a = 14a −2b − 5b − 2b − 4b = −13b c + 2c + 3c + c = 7c −3 − 3 = −6 1 2 2 2 1 3 x − y con x 2 + y 2 − xy , restar la suma de 2 5 3 4 5 4 1 2 xy − y 2 − x 2 con y 2 − xy : 4 5 4 3 Primero sumamos los dos primeros términos: 1 2 2 2 3 1 1 2 3 3 x − y + x 2 + y 2 − xy = x 2 − y − xy 2 5 2 3 15 4 4 Luego sumamos los otros dos términos: 4 1 ⎞ 2 ⎞ ⎛5 ⎛ ⎜ xy − y 2 − x 2 ⎟ + ⎜ y2 − xy ⎟ 5 4 ⎠ 3 ⎠ ⎝ ⎝4 5 4 1 1 1 2 7 xy − y 2 − x 2 + y 2 − xy − x 2 + y 2 + xy 4 5 4 4 5 3 12 Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 12 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 1: Preliminares Tema 1 / Sesión 1 Ahora restamos el primer resultado del segundo: Esta operación, al igual que la operación de división, se apoya en 1 7 ⎛3 2 1 2 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ y − xy ⎟ − ⎜ − x 2 + y 2 + xy ⎟ ⎜ x − 15 4 ⎠ 5 12 ⎠ ⎝2 ⎝ 4 3 2 1 2 3 1 1 7 x − y − xy + x 2 − y 2 − xy 2 15 4 4 5 12 las siguientes leyes: la Ley de los Signos, la Ley de los Exponentes y la = Ley de los Coeficientes. Ley de los signos: es una regla aplicada a la multiplicación de dos = 7 2 4 2 4 x − y − xy 4 15 3 factores, en donde: a. Si los términos tienen signos iguales el producto es positivo (+). b. Si los términos tienen signos diferentes el producto es negativo (-). 2. Multiplicación En caso de más de dos términos la ley se generaliza al número par o Es la operación que asocia a dos números dado un tercero, llamado impar de términos negativos. Así, para un número par de términos producto. Esto representa en cada uno de ellos un aumento, tantas negativos el producto es positivo (+) y para un número impar de veces indique el valor absoluto del tercer número. La operación es términos negativos el producto es negativo (−). aplicada en forma abstracta a las expresiones algebraicas. Ejemplo 1.14 Ejemplo 1.13 Multiplicar la expresión −x por z por −w por k por −b por −c: Dadas las expresiones 2a y 3b, el producto es simplemente la expresión que se forma al agrupar las variables y multiplicar los En este caso al multiplicar (−x) (z) (−w) (k) (−b) (−c) tendremos un coeficientes, así: número par de términos negativos, entonces el resultado será: 2a . 3b = 6ab x.z.w.k.b.c Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 13 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 1: Preliminares Tema 1 / Sesión 1 Ley de los exponentes: es una regla aplicada, también, a la multiplicación de dos factores, que dice: Al multiplicar expresiones de la misma base se escribe la misma base y se suman algebraicamente los exponentes. Es importante aclarar que la expresión "se suman algebraicamente" 3x3 . 4x2 . (−2x−4) = −24x3+2−4 = −24x b. Multiplicar las expresiones: 2xy2 por −xz−3 por 3x2y−1z Aquí, agrupamos las expresiones de la misma base y sumamos algebraicamente sus exponentes: significa que, si uno de los exponentes es positivo y el otro es negativo, se realiza la suma algebraica respectiva. 2xy2 . (−xz−3) . 3x2y−1z = −6x4yz−2 Ley de los coeficientes: es una regla aplicada a los coeficientes Ahora podemos establecer la multiplicación entre expresiones constantes de los factores en una multiplicación, que dice: algebraicas. Por ejemplo, un monomio por un monomio, un monomio por un binomio, un trinomio por un polinomio. Todas ellas Al multiplicar expresiones que contengan coeficientes se globalizan en la regla general para multiplicar un polinomio por constantes, el resultado final será la multiplicación de los un polinomio ya que, tanto el monomio, binomio y trinomio son coeficientes de cada una de las expresiones. ejemplos de polinomios. Ejemplo 1.15 Regla para Multiplicar dos Polinomios: se multiplican todos los a. Multiplicar las expresiones: 3x3 por 4x2 por −2x-4 Vemos que son expresiones con la misma base, por lo tanto primero multiplicamos los coeficientes y luego sumamos algebraicamente los términos de uno de los polinomios por cada uno de los términos del otro polinomio, teniendo en cuenta las leyes mencionadas anteriormente, y aplicando la regla de Reducción de Términos Semejantes, en caso de ser necesario. exponentes, así: Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 14 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 1: Preliminares Tema 1 / Sesión 1 Ejemplo 1.16 Primero realizamos por separado cada una de las multiplicaciones: Multiplicar los polinomios 3x − 4y por 2x + y − 3z. (x − 2)(x + 1) = x (x + 1) − 2 (x + 1) = Podemos escribir esta operación como: x2 + x − 2x − 2 = x2 − x − 2 2(x − 1)(x + y) = 2{x (x + y) − (x + y)} = (3x − 4y) (2x + y − 3z) = 3x (2x + y − 3z) − 4y (2x + y − 3z) Utilizando la propiedad distributiva hemos multiplicado cada uno de 2{x2 + xy − x − y} = 2x2 + 2xy − 2x − 2y Ahora agrupamos los términos semejantes los términos del primer polinomio (3x − 4y) por el segundo polinomio (2x + y − 3z), y aplicando las reglas y leyes del producto entre x2 − x − 2 + 2x2 + 2xy − 2x − 2y = 3x2 − 3x + 2xy − 2y − 2 polinomios: 3x(2x) + 3x(y) − 3x(3z) − 4y(2x) − 4y(y) + 4y(3z) = 6x2 + 3xy − 9xz − 8xy − 4y2 + 12yz Y ahora agrupando los términos semejantes tendremos el resultado final: 3. División Es la operación que asocia a dos números dados, dividendo y divisor, un tercero llamado cociente, el cual es el resultado de la división de dichos números. Así, dados a y b definimos la división del número a entre el número b, como el número a/b. La división es la operación asociada a la multiplicación y de alguna 6x2 − 5xy − 9xz − 4y2 + 12yz manera, podemos decir que es una multiplicación implícita, ya que la expresión que representa la división (a/b) la podemos definir Ejemplo 1.17 como: Realizar las operaciones indicadas (x − 2)(x + 1) + 2(x − 1)(x + y). Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 15 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 1: Preliminares Tema 1 / Sesión 1 a 1 = a = a b −1 b b En forma equivalente a la multiplicación, podemos establecer la (1) división entre polinomios en cualquiera de sus casos (monomio, binomio, trinomio o polinomio). De esta forma, la división a/b es la multiplicación de a por 1/b o si se quiere a por b−1. De acuerdo a esta afirmación, las leyes utilizadas Regla para dividir dos polinomios: primero se ordenan el dividendo y para la multiplicación también son válidas para la división. el divisor con relación a una variable y se comienza con la mayor potencia de dicha variable. Luego se divide el primer término del Ejemplo 1.18 dividendo entre el primer término del divisor y se obtiene el primer término del cociente. 1. Dividir 2x4y2 entre (−4x2y): Este primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto se resta del dividendo, para lo cual Claramente debemos aplicar la Ley de los signos, la Ley de los se le cambia el signo al producto realizado, escribiendo cada Exponentes y la Ley de los Coeficientes, por lo cual: término debajo de su semejante. En caso de no existir dicho término semejante, se le creará un lugar o espacio de acuerdo con el orden 2x 4 y 2 = − 4x 2 y 2 − x 4 y 2 x − 2 y −1 4 = x2y − 2 establecido previamente. La expresión resultante de la resta término a término se conoce con el nombre de resto. Luego se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor y se repite el proceso hasta que el resto tenga un grado 2. Dividir −12x2yz3 entre 3x4z2 : inferior al grado del divisor. Aquí aplicamos nuevamente las leyes y tenemos: − 12 x 2 yz 3 4 2 3x z = − 12 2 3 −4 − 2 x yz x z 3 = − 4 x −2 yz Ejemplo 1.19 = − 4yz x2 Dividir el polinomio x3 − 2x + 3 entre el polinomio x − 1: Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 16 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 1: Preliminares Tema 1 / Sesión 1 En este caso los polinomios ya están ordenados, luego para realizar Dividendo = (Divisor) (Cociente) + Resto la operación utilizaremos el siguiente formato: x3 − 2x + 3 − x3 + x2 x−1 x2 + x − 1 (2) En el ejemplo anterior, se dividió el polinomio (x3 − 2x + 3) entre el binomio (x − 1) y el resultado del resto fue diferente de 0. x2 − 2x + 3 Definición 1 − x2 + x −x+3 x−1 Dado un polinomio cualquiera y un binomio de la forma x - a, donde 2 a es un número real. Diremos que el valor que anula el binomio x = a, es una raíz o un cero del polinomio si el resto de la división del Claramente al realizar el primer proceso de división se obtiene un polinomio entre x - a es cero (0). término (x2) que no tiene semejante en el dividendo, por lo cual se le crea el lugar correspondiente, y el proceso continua. Al finalizar el Definición 2 proceso, el término restante 2 es de grado cero, es decir, menor que el grado del divisor (grado 1), por lo cual el proceso termina. Dado un polinomio cualquiera y un binomio de la forma x - a, donde a es un número real. Diremos que el polinomio es divisible entre el Así se obtiene el cociente x2 + x − 1 y el resto es 2. binomio si x = a es una raíz o un cero del polinomio ó lo que es igual si el resto de la división del polinomio entre x - a es cero (0). Nota: podemos decir también, que un polinomio es divisible entre De esta forma: (x2 + x − 1)(x − 1) + 2 = (x3 − 2x + 1) + 2 = x3 − 2x + 3 cualquier otro polinomio de grado menor si el resto de la división es 0. Luego, podemos establecer el algoritmo general de la división como: Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 17 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 1: Preliminares Tema 1 / Sesión 1 Ejemplo 1.21 x4 − 3x2 − 2x + 1 x2 + x − 1 − x4 − x3 + x2 Dividir el polinomio 2x3 + x2 − 3x − 2 entre el polinomio x + 1: x2 − x − 1 − x3 − 2x2 − 2x + 1 x3 + x2 − x Utilizando el formato del ejemplo anterior tenemos: − x2 − 3x + 1 x2 + x − 1 2x3 + x2 − 3x − 2 −2x3 − 2x2 − 2x x+1 2x2 − x − 2 − x2 − 3x − 2 x2 + x Para comprobar el resultado aplicamos el algoritmo de la formula Dividendo = (Divisor) (Cociente) + Resto − 2x − 2 2x + 2 ( x2 + x − 1 ) ( x2 − x − 1 ) + (− 2x) = x4 − 3x2 + 1 + (− 2x) = x4 − 3x2 + 1 − 2x 0 = x4 − 3x2 − 2x + 1 Ejemplo 1.22 4. Potenciación Dividir el polinomio x4 − 2x − 3x2 + 1 entre el polinomio: x2 + x − 1. Primero ordenamos el dividendo x4 − 3x2 − 2x + 1 y luego realizamos Es la operación mediante la cual el exponente de cada término es el proceso: multiplicado por el exponente de la potenciación. Por ejemplo, (x2)3 es igual a x2.3. Esta operación es equivalente a la multiplicación de cada uno de los términos la cantidad de veces que lo indique el 2 3 2 2 2 exponente de la potenciación. Por ejemplo, (x ) es igual a x x x . Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 18 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 1: Preliminares Tema 1 / Sesión 1 Adicionalmente, para poder realizar completamente la operación, se necesita la Ley de los Signos de la Potencia. ⎛ 3x 2 z 2. Desarrollar ⎜ − ⎜ 4y 3 ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 4 Ley de los signos de la potencia: Esta ley es fundamentalmente para los términos negativos, ya que para los positivos la potencia Como el coeficiente es negativo y la potencia es par entonces el mantiene el mismo signo porque equivale a un producto de términos resultado será positivo. Así: positivos. Para los términos negativos se tiene: ⎛ 3x 2 z ⎜− ⎜ 4y 3 ⎝ a. La potencia par produce un término positivo, y b. La potencia impar produce un término negativo. ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 4 = (3)4 (4)4 (x ) (z ) (y ) 2 4 4 −3 4 = 81 x 8 z 4 y −12 256 ¿Qué se puede decir si la potencia es negativa?. Claramente si Ejemplo 1.23 tomamos en cuenta la definición de la división, en donde se señala 1. Desarrollar (3xy2z3)3 Como el coeficiente es positivo entonces el resultado de la que 1 = b −1 , podemos decir que el proceso no cambia. b Mostraremos esto en el siguiente ejemplo: potenciación será positivo. Luego cada uno de los exponentes de los términos será multiplicado por el exponente de la potenciación a 1 = a = a b −1 . b b Ejemplo 1.24 Desarrollar (2y2)-2 Dado que la potencia es negativa, aplicamos primero lo antes Así, tendremos: mencionado, así: (3xy2z3)3 = (3)3 (x)3 (y2)3 (z3)3 = 27 x3 y6 z9 Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 19 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 1: Preliminares Tema 1 / Sesión 1 (2y ) ( ) ⎤⎥⎦ = ⎡⎢ 2y 2 ⎣ 2 −2 2 −1 1 = (2y ) 2 2 = 1 4y 4 (− 3)−3 x −3 z −9 (2)−3 y−6 = (2)3 y6 (− 3)3 x 3 z9 = − Si ahora aplicamos el proceso a la inversa tendremos que (2y ) 2 −2 = 1 4y = 4 1 −4 y 4 De esta manera, podemos decir que el procedimiento, para potencias negativas, es el mismo, se multiplica el exponente de cada uno de los términos por el exponente de la potencia. Ejemplo 1.25 ⎛ − 3 xz 3 Desarrollar ⎜ ⎜ 2y 2 ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ −3 Aplicando lo mencionado anteriormente tendremos: ⎛ − 3 xz 3 ⎜ ⎜ 2y 2 ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ −3 (− 3)−3 (x )−3 (z 3 ) −3 (2)−3 (y 2 ) −3 = = (− 3)−3 x −3 z −9 (2)−3 y −6 Y si ahora queremos aplicar de forma inversa la definición a 1 = a = a b −1 para cada uno de los términos, tendremos que: b b Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 8 y6 27x 3 z 9 20 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 1: Preliminares Tema 1 / Sesión 1 Tema 1: Preliminares 2. Dígase el grado absoluto de los términos siguientes: Sesión 1: Ejercicios Resueltos Solución primer grado 2 − 6a b tercer grado {suma de los exponentes: 2+1=3} a2b2 cuarto grado {suma de los exponentes: 2+2=4} 5a Ejercicios 1. Dígase qué clase de términos son los siguientes atendiendo al signo, a si tienen o no denominador y a si tienen o no radical: Solución 5a 2 positivo, entero y racional 3 − 4a b negativo, entero y racional 2a positivo, entero y racional {se considera entero porque no 3 hay letras en el denominador} 5b 2 − negativo, entero y racional {se considera entero porque no 6 hay letras en el denominador} a positivo, entero e irracional {se considera entero porque no hay letras en el denominador} 3 − 5b 2 negativo, entero e irracional {entero porque no hay letras en el denominador} a positivo, entero e irracional {se considera entero porque no 6 hay letras en el denominador} 4a 2 b 3 negativo, fraccionario e irracional. − 6a − 5a3b4c octavo grado {suma de los exponentes: 3+4+1=8} 8 x 5 y 6 undécimo grado {suma de los exponentes: 5+6=11} 8m2n3 quinto grado {suma de los exponentes: 2+3=5} − xyz 3 séptimo grado {suma de los exponentes: 1+1+5=7} 3. Dígase el grado de los términos siguientes respecto de cada uno de sus factores literales: Solución − a 3 b 2 tercer grado respecto a a y según grado respecto a b − 5 x 4 y 3 cuarto grado a x y tercer grado respecto a y 6a2bx 3 segundo grado respecto a a , primer grado respecto a b y tercer grado respecto a x − 4abcx 2 primer grado respecto a a , b y c y de segundo grado respecto a x 10m2n3b4c5 segundo grado respecto a m, tercer grado respecto a n, cuarto respecto a b quinto grado respecto a c Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 21 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 1: Preliminares Tema 1 / Sesión 1 4. De los términos siguientes escoger cuatro que sean homogéneos y tres heterogéneos. Solución Cuatro términos homogéneos son -4a3b2, -x5, 6x4y, 4abcx2 : tienen igual grado absoluto Tres heterogéneos -4a3b2, 6ab3 y -2ac {tienen diferentes grado absoluto} 5. Escribir tres términos enteros; dos fraccionarios; dos positivos, enteros y racionales; tres negativos, fraccionarios e irracionales. Solución 5 b x − b 8 , ,− a a x 6. Escribir un término de cada uno de los grados absolutos siguientes: tercer grado, quinto grado, undécimo grado, décimo quinto grado, vigésimo grado. Solución Tercer grado: 19abc Quinto grado: x5 Undécimo grado: 5a2x7yz Decimoquinto grado: abcdex2y2z6 Vigésimo grado: -7c8x12 Solución De cuarto grado con relación a la x: 45366b10x4 De séptimo grado con relación a la y: -3a5v56y7z5 De décimo grado con relación a la b: 55533366677a58b10x34yz10 8. Dígase el grado absoluto de los siguientes polinomios: a. b. c. d. Enteros: 5abcd2efg, -x2, 389yz a f Fraccionarios: , − 2 b x Positivos, enteros y racionales: 8xyz3, 99bc Negativos, fraccionarios e irracionales: − 7. Escribir un término de dos factores literales que sea de cuarto grado con relación a la x; otro de cuatro factores literales que sea de séptimo grado con relación a la y; otro de cinco factores literales que sea de décimo grado con relación a la b. x3+x2+x: tercer grado absoluto 5a-3a2+4a4-6: cuarto grado absoluto a3b-a2b2+ab3-b4 : cuarto grado absoluto x5-6x4y3-4ab2+x2y4-3y6: séptimo grado absoluto 9. Dígase el grado de los siguientes polinomios con relación a cada una de sus letras. a. a3+a2-ab3: tercer grado con respecto tanto a a b b. x4+4x3-6x2y4-4xy5: cuarto grado con relación a la x y quinto con relación a la y c. 6a4 b7-4a2 x+ab9 -5a3 b8 x6 b4 : cuarto grado con relación a la a, noveno grado con relación a la b y sexto grado con relación a la x d. m4-n2-mn6+mx4y3-x8+y15-m11: octavo grado con relación a x, décimo quinto grado con relación a y, undécimo grado con relación a m y sexto grado con relación a n Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 22 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 1: Preliminares Tema 1 / Sesión 1 Tema 1: Preliminares Sesión 1: Ejercicios Propuestos 3. Eliminar los signos de agrupación y luego agrupar términos semejantes: a. 4x − (3x − y) − [x + (3x − 2y) − 3] + (3y −x − 1) 1. Hallar el valor numérico de cada uno de los siguientes monomios en donde a = −2, b = −1, c = 3: a. 3a2bc b. c. d. b. 2x2 − 3x + 2y − [1 − (x2 − 3x) + (y − 2x2 + 5x)] + (y + x +2) c. 4xy2 − 3xy + {2x2y − [xy2 − 2xy + 4x2y] − xy + xy2 −3yx2} 4. Dados los polinomios 2ab 2 c P(x) = 4 x 4 − 5x 3 + x 2 − 6; Q(x) = 4 + x − x 3 ; R(x) = − x 2 − x + 1 Hallar: 3b a2 c 3 a. P(x) + Q(x) − R(x) 5a b. P(x) − Q(x)R(x) 2b 2 c c. Q(x) − xR(x) 2. Agrupar términos semejantes en cada una de las siguientes d. P(x)/Q(x) expresiones: 5. Realizar las operaciones indicadas: a. 8x − 5y + 4z + x + 2z − 11y − 5x b. 4x + 2xy − y + 3xy − 5x − 2y c. 1 2 1 1 3 2 2 5 x − y + xy − y 2 + y + xy + x − x 2 + 2y 2 − xy 2 3 4 4 3 3 6 a. ⎡⎛ 3 1 ⎞ 2 ⎞⎤ ⎛3 x − ⎢⎜ x + y ⎟ − ⎜ y − x ⎟⎥ 5 2 4 5 ⎠⎦ ⎠ ⎝ ⎣⎝ b. ⎡⎛ 1 3 1 2 3 2 1 ⎞⎤ ⎞ ⎛ 3 ⎢⎜ x + x + 1⎟ − ⎜ − x − x + ⎟⎥ 2 2 4 ⎠⎦ ⎠ ⎝ 4 ⎣⎝ 3 Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 23 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 1: Preliminares Tema 1 / Sesión 1 ⎡⎛ 1 2⎞ ⎛ 1 1 ⎞⎤ − ⎢⎜ x 2 − ⎟ + ⎜ x 3 − x + ⎟⎥ 3⎠ ⎝ 2 3 ⎠⎦ ⎣⎝ 4 c. (x + y + z )2 − ⎛⎜ x − 1 y ⎞⎟⎛⎜ x + 1 y ⎞⎟ ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎡⎛ 1 1 ⎞⎤ ⎞ ⎛ − 2 ⎢⎜ x 2 − y 2 ⎟ + (z + 1)⎜ z − xy ⎟⎥ 2 ⎠⎦ ⎠ ⎝ ⎣⎝ 3 6. Dados los siguientes polinomios: P(x) = 2 x 2 − 2 x + 3 Q(x) = 2 x − 1 R(x) = x 3 − x 2 + 3 S(x) = x 2 + 2 Hallar: a. P(x) ÷ Q(x) b. R(x)Q(x) ÷ S(x) c. {P(x)S(x) − R(x)} ÷ Q(x) d. P(x)Q(x)R(x) ÷ S(x) e. {(Q(x) − R(x))2 + P(x)S(x)} ÷ R(x) Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 24 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 1: Preliminares Tema 1 / Sesión 1 Tema 1: Preliminares Pregunta Nº 4 Sesión 1 Multiplicar y Simplificar ( 3 − 2)( 3 + 4) a. 3 −5 b. 2 3 −5 c. 2 3 Pregunta Nº 1 d. 2 3 +5 Dividir el polinomio: 4x3-3x2+3 entre el polinomio: x2-x+1 : Pregunta Nº 5 Autoevaluación 1 a. b. c. d. Cociente = 4x + 1 Resto = 3x - 2 Cociente = 4x + 1 Resto = - 3x +2 Cociente = - 4x - 1 Resto = - 3x + 2 Cociente = 4x - 1 Resto = 3x - 2 Pregunta Nº 2 Dar un ejemplo de un entero que no sea un número natural. a. b. c. d. 4 3 –3 3.44 A cuál de los conjuntos pertenece el siguiente número: 3.14 a. b. c. d. R,Q R,Q,I I,R Z,R,Q Una vez contestadas las preguntas, puede ver respuestas al final de la Unidad. Si sus respuestas han sido correctas, continúe con la sesión siguiente, de lo contrario se le recomienda repasar la sesión antes de continuar. Pregunta Nº 3 Sumar los siguientes monomios y agruparlos x3, -x2, x, -1, x4, x3, x2, -x, 1 a. b. c. d. 4x + 2x3 3x + x2 x4 + 3x2 x4 + 2x3 Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 25 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 1: Preliminares Tema 1 / Sesión 1 Unidad 1: Preliminares Pregunta Nº 4 Sesión 1 Multiplicar y Simplificar ( 3 − 2)( 3 + 4) Respuestas de la autoevaluación 1 a. 3 −5 b. 2 3 c. 2 3 +5 Pregunta Nº 1 d. 2 3 −5 Dividir el polinomio: 4x3-3x2+3 entre el polinomio: x2-x+1 : Pregunta Nº 5 a. b. c. d. Cociente = 4x + 1 Resto = 3x - 2 Cociente = - 4x - 1 Resto = - 3x + 2 Cociente = 4x + 1 Resto = - 3x +2 Cociente = 4x - 1 Resto = 3x - 2 Correcto A cuál de los conjuntos pertenece el siguiente número: 3.14 Correcto Pregunta Nº 2 a. b. c. d. R,Q,I I,R Z,R,Q R,Q Correcto Dar un ejemplo de un entero que no sea un número natural. a. b. c. d. 4 3 –3 3.44 Correcto Pregunta Nº 3 Sumar los siguientes monomios y agruparlos x3, -x2, x, -1, x4, x3, x2, -x, 1 a. b. c. d. 4x + 2x3 x4 + 3x2 3x + x2 x4 + 2x3 Correcto Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 26 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones Notables Tema 2 / Sesión 2 Tema 2: Operaciones Notables Operaciones notables Sesión 2 Se entiende por Operaciones Notables al procedimiento en el cual Objetivos específicos * se aplica una regla fija o predeterminada, donde no se necesita realizar la operación indicada sino simplemente aplicar la regla. Las Aplicar las propiedades de la potenciación y los productos en la solución de problemas. operaciones para las cuales se establecen estas reglas fijas son la multiplicación o producto, la división o cociente y la potenciación. Actividades * * * * Leer el contenido de la sesión 2 sobre “ Productos Notables” Visitar las páginas recomendadas Realizar los ejercicios Realizar la autoevaluación propuesta al final de la sesión Recursos * * * * Productos notables Se llaman Productos Notables a ciertas multiplicaciones que cumplen con una regla fija y cuyo resultado puede ser presentado directamente, es decir, sin realizar la operación. 1. Cuadrado de un monomio Contenido de la sesión 2: “ Productos Notables ” Páginas Web recomendadas Ejercicios con respuestas La autoevaluación de la sesión 2 Regla Se eleva el coeficiente al cuadrado y luego se multiplica el exponente de cada una de las variables por dos (2). Ejemplo 2.1 Desarrollar el cuadrado de 3xy3. Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 27 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones Notables Tema 2 / Sesión 2 Para ello aplicamos la regla y obtenemos: Ejemplo 2.2 (3xy3)2 = 9x2 y6 Desarrollar el cuadrado de 3x + 2y. Para ello aplicamos la regla y tendremos: 2. Cuadrado de un binomio Cuando elevamos al cuadrado un binomio se tienen que considerar (3x + 2y) = (3x)2 + 2(3x)(2y) + (2y)2 = 9x2 + 12xy + 4y2 dos casos, como son el cuadrado de la suma (x + y) y el cuadrado de la diferencia (x − y). En ambos casos, elevar al cuadrado es simplemente multiplicar la expresión por sí misma, por ejemplo: (x + y)2 = (x + y) (x + y) (1) 2.1. Cuadrado de la suma Cuando multiplicamos la suma de las variables (x + y) por sí misma tendremos (x + y)2 = (x + y) (x + y) = x2 + 2xy + y2 Regla El cuadrado de la suma de dos variables es igual al cuadrado de la primera variable más el doble del producto de la primera por la segunda variable más el cuadrado de la segunda variable. Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 28 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones Notables Tema 2 / Sesión 2 Representación gráfica del cuadrado de la suma (x − y)2 = (x − y) (x − y) = x2 − 2xy + y2 (2) El cuadrado de la suma puede representarse geométricamente cuando las variables representan valores positivos. Construimos un cuadrado de lados iguales a la suma (x + y) (ver gráfica 2.1). Regla El cuadrado de la diferencia de dos variables es igual al cuadrado de la primera variable menos el doble del producto de la primera por la segunda variable más el y xy y2 x + cuadrado de la segunda variable. Ejemplo 2.3 x x2 xy Desarrollar el cuadrado de x − 3. Al aplicar la regla tenemos: x y (x − 3)2 = (x)2 − 2(x)(3) + (3)2 = x2 − 6x + 9 x+y Grafica 2.1 Representación gráfica del cuadrado de la suma 2.2. Cuadrado de la diferencia En este caso es la multiplicación de la resta de las variables (x − y) por sí misma: Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 29 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones Notables Tema 2 / Sesión 2 Representación gráfica del cuadrado de la diferencia La suma del área del cuadrado azul y el cuadrado rojo D será: Al igual que en la suma, el cuadrado de la diferencia (x − y) puede cuadrado azul + cuadrado D = x2 + y2 representarse geométricamente cuando las variables representan (3) valores positivos. Construimos un cuadrado de lados iguales a la primera variable x, cuadrado azul, y anexamos un cuadrado de Ahora bien, el cuadrado azul lo dividimos en regiones más lados iguales a la segunda variable y, cuadrado rojo, representado pequeñas, un cuadrado A y los rectángulos B y C. Podemos ver que por D (ver gráfica 2.2). el área del rectángulo negro C es equivalente a la suma del área del rectángulo B y el cuadrado rojo D, y ambas áreas son iguales a xy. C D y x Por lo tanto, el área representada (3) puede dividirse en: cuadrado A + rectángulo C + (rectángulo B + cuadrado D) = A B (x − y)2 + xy + xy = (x − y)2 + 2xy De esta manera al igualar (4) y (3) tendremos: x−y y (x − y)2 + 2xy = x2 + y2 x Por lo tanto, Gráfica 2.2 Representación gráfica del cuadrado de la diferencia (x − y)2 = x2 − 2xy + y2 Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. (4) 30 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones Notables Tema 2 / Sesión 2 3. Producto de la suma por la diferencia un binomio, por ejemplo, x y y + 1. De esta forma podemos aplicar la El producto de la suma por la diferencia es la multiplicación de la regla anterior y la fórmula (5): suma de las variables x + y por la resta de ellas mismas x – y. (x − y − 1)(x + y + 1) = {x − (y + 1)}{x + (y + 1)} = (x)2 − (y + 1)2 (x + y) (x − y) = x2 − y2 = x2 − (y2 + 2y + 1) = x2 − y2 − 2y − 1 (5) Regla El producto de la suma de dos variables por la diferencia de las mismas es igual al cuadrado de la primera variable menos el cuadrado de la segunda variable. Representación gráfica del producto de la suma por la diferencia Como en los casos anteriores, esta representación es posible cuando las variables simbolizan valores positivos. Construimos un cuadrado de lados iguales a la primera variable x, cuadrado azul, el cual incluye un cuadrado rojo de lados iguales a la segunda Ejemplo 2.4 variable y ver gráfica 2.3 (a). 1. Desarrolar (2x + 3)(2x − 3): Aplicamos la regla y tendremos: (2x + 3)(2x − 3) = (2x)2 − (3)2 = 4x2 − 9 Ahora el rectángulo negro A tiene como lado mayor la variable x y como lado menor la diferencia (x − y) y el rectángulo restante B tiene por lados la diferencia (x − y) y a la variable y. De esta forma, si desplazamos el rectángulo B y lo colocamos a continuación del rectángulo A, como muestra la gráfica 2.3 (b), 2. Desarrollar (x − y − 1)(x + y + 1): tendremos un rectángulo de lado mayor (x + y) y de lado menor (x − y). Aquí se nos presentan tres términos, pero los podemos agrupar como Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 31 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones Notables Tema 2 / Sesión 2 Así, el área del cuadrado azul menos el cuadrado rojo será: Cuadro azul − cuadro rojo = x2 − y2 (6) Y esto será equivalente a la suma de los dos rectángulos A y B y x y Rectángulo A x (x − y) + y + B A x ׀ y B Rectángulo B = (x − y) = (x − y)(x + y) (7) x y Por lo tanto, al igualar (7) y (6) se tiene: Gráfica 2.3 (a) Representación gráfica del producto de la suma por la diferencia (x − y)(x + y) = x2 − y2 (8) Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 32 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones Notables Tema 2 / Sesión 2 Regla para la suma y B El cubo de la suma de dos variables es igual al cubo de la primera variable más el triple del cuadrado de x ׀ y la primera por la segunda variable más el triple de la A B primera por el cuadrado la segunda variable más el cubo de la segunda variable. Regla para la resta y x Gráfica 2.3 (b) Representación gráfica del producto de la suma por la diferencia la primera por el cuadrado la segunda variable menos el cubo de la segunda variable. Tenemos dos casos (x + y)3 y (x − y)3, los cuales se resolverán al multiplicar la suma o resta de las variables tres veces seguidas. (x + de la primera variable menos el triple del cuadrado de la primera por la segunda variable más el triple de 4. Cubo de un binomio y)3 El cubo de la resta de dos variables es igual al cubo = (x + y) (x + y) (x + y) = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 (x − y)3 = (x − y) (x − y) (x − y) = x3 − 3x2y + 3xy2 − y3 De esta forma podemos establecer las reglas: (9) (10) Ejemplo 2.5 1. Desarrollar (x + 2)3: Aplicando la regla de la suma tendremos: (x + 2)3 = (x)3 + 3(x)2 (2) + 3(x)(2) 2 + (2) 3 = x3 + 6x2 + 12x + 8 Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 33 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones Notables Tema 2 / Sesión 2 2. Desarrollar (x2 − 2y)3: Ejemplo 2.6 Aplicando la regla de la resta tendremos: (x2 − 2y)3 = (x2)3 − 3(x2)2 (2y) + 3(x2)(2y)2 − (2y)3 = 1. Multiplicar (x + 2) por (x + 5): Al aplicar la regla tenemos: x6 − 6x4y + 12 x2y2 − 8y3 5. Producto de dos binomios de la forma (x + a)(x + b) El desarrollo de este producto se realizará teniendo en cuenta la propiedad distributiva (sección 1), en donde a y b representan valores constantes: (x + 2) (x + 5) = x2 + (2 + 5)x + (2)(5) = x2 + 7x + 10 2. Multiplicar (x2 + 3) por (x2 − 1): Aquí, podemos ver que la regla se puede extender, al caso donde la variable representa cualquier expresión (monomio, binomio, etc.) y las constantes pueden ser positivas o negativas. El proceder es (x + a)(x + b) = x (x + b) + a (x + b) = x2 + bx + ax + ab = x2 equivalente: + (b + a)x + ab (x2 + 3) (x2 − 1) = (x2)2 + (3 + (−1))x2 + (3)(−1) = x4 + 2x2 − 3 Regla 1. El primer término es el cuadrado de la variable. 2. El segundo término es el producto de la suma de las constantes por la variable. 3. El tercer término es el producto de las constantes. Notemos que en este último caso la suma de las constantes es una suma algebraica, en consecuencia, el resultado puede ser tanto positivo como negativo y el producto siempre será negativo. Podemos establecer una generalización de este producto al caso en que tengamos las expresiones (mx + a) por (nx + b), así: Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 34 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones Notables Tema 2 / Sesión 2 (mx + a)(nx + b) = mx (nx + b) + a (nx + b) = (mn) x2 + bmx + anx + ab = (mn) x2 + (bm + an) x + ab Ejemplo 2.7 Multiplicar (5x + 2) por (−2x + 3): Aplicamos la generalización de la regla: (5x + 2)(−2x + 3) = (5)(−2) x2 + ((5)(3) + (2)(−2)) x + (2)(3) = −10 x2 + 11x + 6 Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 35 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones Notables Tema 2 / Sesión 2 Tema 2: Operaciones Notables (3 x 4 − 5xy 3 )2 = (3 x 4 )2 − 2(3 x 4 )(5xy 3 ) + (5xy 3 )2 , Sesión 2: Ejercicios Resueltos ⇒ (3 x 4 − 5xy 3 )2 = 9x 4 x 2 − 30x 4+1y 3 + 25x 2 y 2 x 3 ∴ (3 x 4 − 5xy 3 )2 = 9x 8 − 30x 5 y 3 + 25x 2 y 6 Ejercicios: Cuadrado de un binomio Procedimiento 1. 2. Ejercicios: Cuadrado de la suma de dos cantidades "El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad" "El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad" Nota: recuérdese que en el producto de dos o más potencias con igual base, se escribe la base común y se suman los exponentes. Procedimiento 1. Se identifica tanto el primero como el segundo término del binomio 2. "El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual a, el cuadrado de la primera cantidad, más el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad" 3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2 Escribir por simple inspección, el resultado de: Desarrollar: 1. (a5 + 7b 4 )2 1. (m+3)2 Solución Solución (a 5 + 7b 4 )2 = (a 5 )2 + 2(a 5 )(7b 4 ) + (7b 4 )2 , 5 4 2 10 ⇒ (a + 7b ) = a 2. (3x 4 − 5xy 3 )2 Solución 5 4 + 14a b + 49b (m + 3)2 = m2 + 2(m)(3)+ 3 2 8 ∴ (m + 3)2 = m2 + 6m + 9 2. (5+x) 2 Solución Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 36 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones Notables Tema 2 / Sesión 2 (5 + x) 2 = 5 2 + 2(5)(x)+ x 2 ∴ (x + y)2 = x 2 + 2 xy + y 2 ∴ (5 + x) 2 = 25 + 10x + x 2 7. 3. (6a+b)2 (1+ 3x 2 )2 Solución Solución 2 2 2 2 2 2 2 2 (1+ 3 x 2 )2 = 12 + 2(1)(3 x 2 ) + (3 x 2 )2 , 2 (6a + b) = (6a) + 2(6a)(b)+ b , ⇒ (6a + b) = 62a + 12ab + b ∴ (6a + b) = 36a + 12ab + b 4. ⇒ (1+ 3 x 2 )2 = 1+ 6x 2 + 3 x 2 x 2 x 2 ; ∴ (1+ 3 x 2 )2 = 1+ 6 x 2 + 9x 4 8. 2 (9 + 4m) Solución Solución (2 x + 3y)2 = (2 x)2 + 2(2 x)(3y) + (3y)2 ; (9 + 4m)2 = 9 2 + 2(9)(4m) + (4m)2 ∴ (2 x + 3y)2 = 4 x 2 + 12xy + 9y 2 ∴ (9 + 4m)2 = 92 + 2(9)(4m) + (4m)2 5. 9. (7x + 11)2 (a2 x + by 2 )2 Solución Solución 2 2 2 (7x + 11) = (7x) + 2(7x)(11) + 11 2 2 ∴ (7x + 11) = 49x + 154x + 121 6. (2 x + 3y)2 (x + y)2 (a 2 x + by 2 )2 = (a 2 x) + 2(a 2 x)(by 2 ) + (by 2 )2 , ⇒ (a 2 x + by 2 )2 = a 2 x 2 x 2 + 2a 2bxy 2 + b 2 y 2 x 2 ; ∴ (a 2 x + by 2 )2 = a 4 x 2 + 2a 2bxy 2 + b 2 y 4 10. (3a 3 + 8b 4 )2 Solución Solución (x + y)2 = x 2 + 2(x)(y) + y 2 ; (3a 3 + 8b 4 )2 = (3a 3 )2 + 2(3a 3 )(8b 4 ) + (8b 4 )2 , Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 37 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones Notables Tema 2 / Sesión 2 ⇒ (a 2 x + by 2 )2 = 9a 2 x 3 + 48a 3 b 4 + 64b 2 x 4 ; ∴ (a 2 x + by 2 )2 = 9a6 + 48a 3 b 4 + 64b 8 3. (9 − a)2 Solución Ejercicios: Cuadrado de la diferencia de dos cantidades (9 − a)2 = 9 2 − 2(9)(a) + a2 ; ∴ (9 − a)2 = 81− 18a + a 2 Procedimiento 1. Se identifica tanto el primero como el segundo término del binomio 2. "El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual a, el cuadrado de la primera cantidad, menos el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad" 3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2 4. Escribir por simple inspección, el resultado de: 5. 1. (2a − 3b)2 Solución (2a − 3b)2 = (2a)2 − 2(2a)(3b) + (3b)2 ; ∴ (2a − 3b)2 = 4a 2 − 12ab + 9b 2 (4ax − 1)2 Solución (a − 3)2 (4ax − 1)2 = (4ax)2 − 2(4ax)(1) + 12 ; Solución 2 2 ∴ (4ax − 1)2 = 16a 2 x 2 − 8ax + 1 2 (a − 3) = a − 2(a)(3) + 3 ; ∴ (a − 3)2 = a 2 − 6a + 9 2. 6. (a 3 − b 3 )2 Solución (x − 7)2 (a 3 − b 3 )2 = (a 3 )2 − 2(a 3 )(b 3 ) + (b 3 )2 = a 2 x 3 − 2a 3b 3 + b 2 x 3 ; Solución 2 2 ∴ (a 3 − b 3 )2 = a6 − 2a 3b 3 + b 6 2 (x − 7) = x − 2(x)(7) + 7 ; ∴ (x − 7)2 = x 2 − 14x + 49 7. (3a 4 − 5b 2 )2 Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 38 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones Notables Tema 2 / Sesión 2 Solución 4 2 2 4 2 4 2 2 2 2 (3a − 5b ) = (3a ) − 2(3a )(5b ) + (5b ) = 3 a 4 2 2 8 4 2 ∴ (3a − 5b ) = 9a − 30a b + 25b 2x4 4 2 2 − 30a b + 5 b 2x2 (a − x)(x + a) = (a − x)(a + x) {Cambiando el orden de los sumandos en el segundo paréntesis} ; ⇒ (a − x)(x + a) = (a + x)(a − x) {Cambiando el orden de los factores} 4 ∴ (a − x)(x + a) = a2 − x 2 Ejercicios: Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades Procedimiento 4. Solución 1. "El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo" 2. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2. Escribir por simple inspección, el resultado de: 1. (x 2 + a2 )(x 2 − a2 ) = (x 2 )2 − (a2 )2 = x 2 x 2 − a2 x 2 ; ∴ (x 2 + a 2 )(x 2 − a 2 ) = x 4 − a 4 5. (x + y)(x − y) = x 2 − y 2 (2a − 1)(1+ 2a) = (2a − 1)(2a + 1) {Cambiando el orden de los sumandos en el segundo paréntesis} ⇒ (2a − 1)(1+ 2a) = (2a + 1)(2a − 1) {Cambiando el orden de los factores} (m − n)(m + n) ∴ (2a − 1)(1+ 2a) = (2a)2 − 12 = 4a 2 − 1 Solución 6. (n − 1)(n + 1) = (n + 1)(n − 1)(n + 1) = n2 − 1 (a − x)(x + a) Solución (n − 1)(n + 1) Solución (m − n)(m + n) = (m + n)(m − n) = m2 − n2 3. (2a − 1)(1+ 2a) Solución (x + y)(x − y) Solución 2. (x 2 + a 2 )(x 2 − a 2 ) 7. (1− 3ax)(3ax + 1) Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 39 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones Notables Tema 2 / Sesión 2 Solución: Solución (1− 3ax)(3ax + 1) = (1− 3ax)(1+ 3ax) {Cambiando el orden de los sumandos en el segundo paréntesis} ⇒ (1− 3ax)(3ax + 1) = (1+ 3ax)(1− 3ax) {Cambiando el orden de los factores} 2 2 ∴ (1 − 3ax )(3ax + 1) = 1 − (3ax ) = 1 − 9a 2 x 2 (a + 2)3 = a 3 + 3a 2 (2) + 3a(2 2 ) + 2 3 = a 3 + 3a 2 (2) + 3a(4) + 8 ; ∴ (a + 2)3 = a 3 + 6a 2 + 12a + 8 2. Solución Ejercicios: Cubo del binomio (x − 1)3 = x 3 − 3 x 2 (1) + 3 x(12 ) − 13 ; Procedimiento ∴ (x − 1)3 = x 3 − 3x 2 + 3 x − 1 1. Se desarrolla el paréntesis, observando si se trata del cubo, de la suma o la diferencia de dos cantidades; en el primer caso se procede como indica el paso 2, en el segundo caso se aplica el enunciado del paso 3: 2. "El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad más el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda" 3. "El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad menos el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda" 4. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2. 3 3 2 2 (a ± b) = a ± 3a b + 3ab ± b Escribir por simple inspección, el resultado de: 1. (a + 2)3 (x − 1)3 3. (m + 3)3 Solución (m + 3)3 = m 3 + 3m 2 (3) + 3m(3 2 ) + 3 3 = m 3 + 3m 2 (3) + 3m(9) + 27 ; ∴ (m + 3)3 = m 3 + 9m 2 + 27m + 27 4. (n − 4)3 Solución (n − 4)3 = n 3 − 3n 2 (4) + 3n(4 2 ) − 4 3 = n 3 − 3n 2 (4) + 3n(16) − 64 ; ∴ (n − 4)3 = n 3 − 12n 2 + 48n − 64 3 5. (2 x + 1)3 Solución (2 x + 1)3 = (2 x)3 + 3(2 x)2 (1) + 3(2 x)(12 ) + 13 = 8 x 3 + 3(4 x 2 ) + 3(2 x) + 1 ; Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 40 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones Notables Tema 2 / Sesión 2 ∴ (2 x + 1) 3 = 8 x 3 + 12 x 2 + 6 x + 1 6. 1. (1− 3y)3 Solución Solución (a + 1)(a + 2) = a2 + (1+ 2)a + 1× 2 ; ∴ (a + 1)(a + 2) = a 2 + 3a + 2 (1− 3y)3 = 13 − 3(12 )(3y) + 3(1)(3y)2 − (3y)3 = 1− 3(1)(3y) + 3(1)(9y 2 ) − 27y 3 ; ∴ (1− 3 y)3 = 1− 9y + 27y 2 − 27y 3 7. (a + 1)(a + 2) 2. (2 + y 2 )3 (x + 2)(x + 4) Solución Solución (x + 2)(x + 4) = x 2 + (2 + 4)x + 2 × 4 ; ∴ (x + 2)(x + 4) = x 2 + 6x + 8 (2 + y 2 )3 = 2 3 + 3(2 2 )(y 2 ) + 3(2)(y 2 )2 + (y 2 )3 = 8 + 3(4)(y 2 ) + 3(2)(y 4 ) + y 6 ; ∴ (2 + y 2 )3 = 8 + 12y 2 + 6y 4 + y 6 3. (x + 5)(x − 2) Solución Ejercicios: Producto de dos binomios de la forma(x+a)(x+b) (x + 5)(x − 2) = x 2 + (5 − 2)x + 5 × (−2) Procedimiento ; 2 1. El desarrollo de los paréntesis da un trinomio 2. El primer término será el cuadrado del primer término de los paréntesis (igual en ambos) 3. El segundo término será el producto de la suma de los términos independientes por el primer término común de los paréntesis 4. El tercer término será el producto de los términos independientes ∴ (x + 5)(x − 2) = x + 3x − 10 4. Solución (m − 6)(m − 5) = m 2 + (−6 − 5)m + (−6) × (−5) 2 2 ∴ (m − 6)(m − 5) = m − 11m + 30 (x + a)(x + b) = x + (a + b)x + ab Escribir por simple inspección, el resultado de: (m − 6)(m − 5) 5. (x + 7)(x − 3) Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. ; 41 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones Notables Tema 2 / Sesión 2 Solución (x + 7)(x − 3) = x 2 + (7 − 3)x + 7 × (−3) ; ∴ (x + 7)(x − 3) = x 2 + 4 x − 21 6. (x + 2)(x − 1) Solución (x + 2)(x − 1) = x 2 + (2 − 1)x + 2 × (−1) ; ∴ (x + 2)(x − 1) = x 2 + x − 2 7. (x − 3)(x − 1) Solución: (x − 3)(x − 1) = x 2 + (−3 − 1)x + (−3) × (−1) ; ∴ (x − 3)(x − 1) = x 2 − 4x + 3 Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 42 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones Notables Tema 2 / Sesión 2 Tema 2: Operaciones Notables Sesión 2: Ejercicios Propuestos 1. Desarrollar cada uno de los siguientes productos notables: a. ( 2x + 3)2 b. (x c. ⎛ x 1⎞ ⎜ + ⎟ ⎝2 3⎠ 2 + 2a ) f. (2a 2 2 − 3ax ⎛ x 3⎞ g. ⎜ − − ⎟ ⎝ 2 4⎠ ) 2 (x n. )( ) (3x + y )(y − 3x ) o. (3x + 1)3 p. (2x + x ) 2 − 3 x2 −1 2 2 3 2 h. i. (2x + 5)(2x − 5) j. (2x y − 3y )(3y + 2x y) k. x ⎞⎛ 2 x ⎞ ⎛2 ⎜ + ⎟⎜ − + ⎟ ⎝ x 3a ⎠⎝ x 3a ⎠ 3 3 r. ⎛ 2a −2 x ⎞ ⎜ + ⎟ ⎜ 3 a ⎟⎠ ⎝ s. (− 3 + 2x )3 t. ⎛ a2 2 ⎞⎟ ⎜ − ⎜ 3 a−1 ⎟ ⎠ ⎝ u. 2x ⎞ ⎛ ⎜ 3ax 2 − ⎟ a⎠ ⎝ v. (2a b 2 ⎛ x2 4 ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ 2a x ⎟ ⎠ ⎝ 2 m. ⎛ 1 x⎞ q. ⎜ 2 + ⎟ 2⎠ ⎝x ⎛ 3a xy ⎞ d. ⎜ + ⎟ a⎠ ⎝ x (3 − 4 x )2 (2 + 3x )(3x + 5) 2 2 e. l. 2 −1 3 3 − 3 xb 2 ) 3 2 Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 43 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones Notables Tema 2 / Sesión 2 Tema 2: Operaciones notables Sesión 2 Pregunta Nº 4 Determinar = (10x+12y3) (10x-12y3) Autoevaluación 2 a. 100 x 2 + 120 xy 3 − 120 y 3 x − 144 y 6 b. 100 x 2 − 144 y 6 c. 100 x 2 − 120 xy 3 + 120 y 3 x − 144 y 6 Pregunta Nº 1 d. 100 x 2 + 144 y 6 Determinar = (x + 5) 2 Pregunta Nº 5 a. b. c. d. 2x2 + 25 x2 + 10x + 25 x2 + 5x + 25 x2 +25x +10 Determinar = (y + 9)(y − 4) Pregunta Nº 2 Determinar = (x2 – 5y3)2 a. b. c. d. x4 + 10 x4y3 – 10y6 2x4 – 10 y6 x4 – 10 x2y3 + 25y6 x4 – 10x4y6 +25y9 Pregunta Nº 3 a. 2 y 2 − 5y + 36 b. 2 y 2 − 5y − 36 c. y 2 − 36y + 5 d. y 2 + 5y − 36 Una vez contestadas las preguntas, puede ver respuestas al final de la Unidad. Si sus respuestas han sido correctas, continúe con la sesión siguiente, de lo contrario se le recomienda repasar la sesión antes de continuar. Determinar = (4x6 – 5y) 3 a. 12 x 18 − 15y 3 b. 64 x 18 − 125y 3 c. 64 x 18 − 240 x 12 y + 300 x 6 y 2 − 125 y 3 d. x 18 − 10 x 4 y 6 + 25y 3 Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 44 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones Notables Tema 2 / Sesión 2 Tema 2: Operaciones Notables Pregunta Nº 4 Sesión 2 Determinar = (10x+12y3) (10x-12y3) Respuestas de la Autoevaluación 2 a. 100 x 2 + 120 xy 3 − 120 y 3 x − 144 y 6 b. 100 x 2 + 144 y 6 c. 100 x 2 − 120 xy 3 + 120 y 3 x − 144 y 6 Pregunta Nº 1 d. 100 x 2 − 144 y 6 Determinar = (x + 5) 2 Pregunta Nº 5 a. b. c. d. 2x2 + 25 x2 + 5x + 25 x2 +25x +10 x2 + 10x + 25 Determinar = (y + 9)(y − 4) Correcto Pregunta Nº 2 Determinar = (x2 – 5y3)2 a. b. c. d. Correcto x4 + 10 x4y3 – 10y6 2x4 – 10 y6 x4 – 10x4y6 +25y9 x4 – 10 x2y3 + 25y6 a. 2y 2 − 5y + 36 b. 2 y 2 − 5y − 36 c. y 2 − 36y + 5 d. y 2 + 5y − 36 Correcto Correcto Pregunta Nº 3 Determinar = (4x6 – 5y) 3 a. 12 x 18 − 15y 3 b. 64 x 18 − 125y 3 c. d. 64 x 18 − 240 x 12 y + 300 x 6 y 2 − 125 y 3 x 18 4 6 − 10 x y + 25y Correcto 3 Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 45 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones Notables Tema 2 / Sesión 3 Tema 2: Operaciones Notables Sesión 3 Cocientes notables Se llaman Cocientes Notables a ciertas divisiones que cumplen con Objetivos específicos una regla fija y cuyo resultado puede ser presentado directamente, es decir, sin realizar la operación. * Aplicar las propiedades de los cocientes notables en la solución de problemas binomio formado con dichas variables Actividades * * * * Leer el contenido de la sesión 3 sobre “Cocientes notables” Visitar las páginas recomendadas Realizar los ejercicios Realizar la autoevaluación propuesta al final de la sesión Recursos * * * * 1. Cociente de la diferencia del cuadrado de dos variables entre un Consideremos las variables x e y para construir el binomio. Debemos estudiar dos casos: el binomio de la suma y el de la diferencia. 1.1. El binomio de la suma El denominador en este caso será la expresión (x + y). Entonces sea Contenido de la sesión 3: “Cocientes notables” Páginas Web recomendadas Ejercicios resueltos La autoevaluación de la sesión 3 el cociente x 2 − y2 , al realizar la operación de división según la x+y regla de la (sesión 1), tendremos: x2 − y2 − x2 − xy x+y x−y − xy − y2 xy + y2 0 Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 46 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones Notables Tema 2 / Sesión 3 En el segundo tenemos una extensión de la regla al estar incluidos Así, coeficientes para cada una de las variables: x2 − y2 x+ y = x−y (11) 4 x 2 − 9y 2 2 x + 3y = 2 x − 3y En el tercero tenemos una generalización de la regla al tener una Regla La diferencia de los cuadrados de dos variables dividida por la suma de dichas variables es igual a la diferencia de las variables. potencia cuarta en el numerador. Sin embargo, podemos aplicar la regla porque la potencia del numerador es el doble de la del denominador, luego: x4 −1 Ejemplo 2.8 2 x +1 = x2 −1 Hallar de forma directa el cociente de: 1.2. El binomio de la diferencia 1. x2 − 4 x+2 2. 4 x 2 − 9y 2 2 x + 3y 3. x4 −1 x2 + 1 El denominador en este caso será la expresión x − y. Entonces sea el cociente En el primer ejemplo al aplicar la regla tendremos: x2 − 4 x+2 = x 2 − y2 , al realizar la operación de división según la regla x−y para dividir dos polinomios (ver sesión 1), tendremos: x−2 Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 47 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones Notables Tema 2 / Sesión 3 x2 − y2 En el primer ejemplo es la aplicación directa de la regla: x−y − x2 + xy x+y 4 − x2 2−x xy − y2 − xy + y2 = 2+x 0 En el segundo, se presenta la dificultad que el orden de las variables en el numerador no es la misma que el denominador, entonces, Así, antes de aplicar la regla debemos reordenar el numerador o el denominador, por ejemplo: 2 x −y x−y 2 = x+y (12) x2 − y2 y−x x 2 − y2 − (x − y ) = = x 2 − y2 x−y − = − (x + y ) Regla La diferencia de los cuadrados de dos variables dividida por la diferencia de dichas variables es igual a la suma de las variables. En el tercero, debemos reagrupar los términos del denominador para poder aplicar la regla, así: x 2 − (y + 1) x − y −1 2 Ejemplo 2.9 = x 2 − (y + 1) x − (y + 1) 2 Hallar de forma directa el cociente de: Luego aplicamos la regla: 1. 4 − x2 2−x 2. x 2 − y2 y−x 3. x 2 − (y + 1) x − y −1 2 x 2 − (y + 1) x − y −1 2 = x 2 − (y + 1) x − (y + 1) 2 = x + (y + 1) = Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. x + y +1 48 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones Notables Tema 2 / Sesión 3 Observación x3 La propiedad o regla que se establece para la + y3 − x3 − x2y diferencia de cuadrados no es válida para la suma de x2 − xy + y2 − x2y cuadrados. x + y + y3 + x2y + xy2 De esta forma los cocientes 2 x +y x−y 2 y 2 x +y x+y 2 son irreducibles. + xy2 + y3 − xy2 − y3 0 2. Cociente de la suma o diferencia del cubo de dos variables entre un binomio formado con dichas variables Así, Utilizaremos las mismas variables que en el caso anterior para x 3 + y3 x+y construir los binomios y estudiaremos los dos casos siguientes: 2.1. Suma del cubo de dos variables = x 2 − xy + y 2 (13) Regla La suma de los cubos de dos variables dividida por la En este caso, el binomio del denominador solo puede ser la suma de dichas variables es igual al cuadrado de la expresión (x + y). Luego, al realizar la operación de división, según la primera variable menos el producto de las variables regla de la (sesión 1), para el cociente, 3 x +y x+y 3 tendremos: más el cuadrado de la segunda variable. Ejemplo 2.10 Dividir en forma directa x3 + 27y3 entre x + 3y. Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 49 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones Notables Tema 2 / Sesión 3 Al aplicar la regla tendremos: 3 x + 27y x + 3y 3 − y3 x3 = (x)2 − x(3 y) + (y)2 = x−y − x3 + x2y x 2 − 3 xy + y 2 + x2y x2 + xy + y2 − y3 − x2y + xy2 Observación La suma del cubo de dos variables no puede ser + xy2 − y3 − xy2 + y3 dividida entre la diferencia de las variables. De esta forma el cociente x 3 + y3 es irreducible. x−y 0 Así, x 3 − y3 x−y 2.2. Diferencia del cubo de dos variables = x 2 + xy + y 2 (14) En este caso, el binomio del denominador solo puede ser la expresión x − y. Luego, al realizar la operación de división, según la regla de la (sesión 1), para el cociente x 3 − y3 tendremos: x−y Regla La diferencia de los cubos de dos variables dividida por la diferencia de dichas variables es igual al cuadrado de la primera variable más el producto de las variables más el cuadrado de la segunda variable. Ejemplo 2.11 1. Dividir en forma directa 8x3 − y3 entre 2x − y. Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 50 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones Notables Tema 2 / Sesión 3 Los casos estudiados del cuadrado o el cubo de la suma o Al aplicar la regla tendremos: diferencia de dos variables pueden ser generalizados al caso de potencias iguales. Para ello, tendremos que considerar las potencias 8x 3 − y 3 2x − y = (2 x)2 + (2 x)(y) + (y)2 = 4 x 2 + 2 xy + y 2 2. Hallar, por simple inspección, el cociente de 8x3 − 125y6 entre 2x − 5y2: pares o impares e implementar una generalización de los dos casos anteriores. Luego, al hacer la división correspondiente, podríamos ver que: 1. Resta de potencias pares: x 4 − y4 = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3 x−y Aplicamos la regla: 8 x 3 − 125y 6 2 x − 5y 2 = (2x)2 + (2x)(5y 2 ) + (5y 2 )2 = 2 4x + 10xy 2 + 25y 4 x 4 − y4 = x 3 − x 2 y + xy 2 − y 3 x+y 2. Observación La diferencia del cubo de dos variables no puede ser dividida entre la suma de las variables. x4 + y4 x−y no es una división exacta. (y) x4 + y4 x+y no es una división exacta. 3. De esta forma el cociente x 3 − y3 es irreducible. x+y 3. Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos variables entre un binomio formado con dichas variables Suma de potencias pares: Restas de potencias impares: x5 − y5 = x 4 + x 3 y + x 2 y 2 + xy 3 + y 4 x−y x5 − y5 x+y 4. no es una división exacta. Suma de potencias impares Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 51 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones Notables Tema 2 / Sesión 3 x5 − y5 x+y x n − yn x−y no es una división exacta. x5 + y5 = x 4 − x 3 y + x 2 y 2 − xy 3 + y 4 x+y La diferencia de potencias pares de dos variables es variables. La diferencia de potencias impares de dos variables es sólo divisible por la diferencia de dichas variables. 3. La suma de potencias pares de dos variables no es divisible por la suma ni por la diferencia de dichas variables. 4. La suma de potencias impares de dos variables es solo divisible por la suma de dichas variables. Los (15) las siguientes características: siempre divisible por la suma o la diferencia de dichas 2. x n −1 + x n − 2 y + x n − 3 y 2 + L + x 2 y n − 3 + xy n − 2 + y n −1 Aquí podemos ver que el cociente de la división es un polinomio con Regla 1. = diferentes casos que presenta la regla pueden integral para la división, la cual será comprobada cuando De esta forma: la unidad. 2. Todos los términos, a excepción del primero y el último, son una combinación del producto de las variables. 3. El primer término está formado por la primera variable con potencia un grado menor que la potencia original. 4. El último término está formado por la segunda variable con potencia un grado menor que la potencia original. 5. La potencia de la primera variable, en los demás términos, ira generalizarse, de manera de establecer una expresión veamos el Teorema del Resto. 1. Todos los términos del polinomio son positivos y su coeficiente es decreciendo desde un grado menor a la potencia del primer término hasta alcanzar la unidad. 6. La potencia de la segunda variable, en los demás términos, ira creciendo desde la unidad hasta alcanzar un grado menor a la potencia del último término. 7. La suma de las potencias de las variables, en los términos del producto, será igual a un grado menor a la potencia original. Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 52 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones Notables Tema 2 / Sesión 3 Ejemplo 2.12 Hallar en forma directa el cociente de x7 + y7 entre x + y. De acuerdo a la regla 4, podemos decir que la división es exacta. Así, de acuerdo a la generalización, tendremos que el resultado del cociente es: 1. El primero y último término estarán elevados a la potencia 6. 2. El producto de las variables se inicia con la potencia 5 para la primera variable y la potencia unidad para la segunda. 3. Como vemos en el cuarto caso, los signos de los términos serán alternos, y sus coeficientes unitarios. Por lo cual: x 7 + y7 = x 6 − x 5 y + x 4 y 2 − x 3 y 3 + x 2 y 4 − xy 5 + y 6 x+y Esto nos permite establecer reglas. Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 53 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones Notables Tema 2 / Sesión 3 Tema 2: Operaciones Notables i. Sesión 3: Ejercicios Propuestos j. 1. Determinar el cociente sin realizar la división, es decir, utilizando k. las reglas: l. a. b. c. x 4 − 16a 4 x + 2a 1− x 6 x2 +1 x12 − a8 x 3 + a2 x9 +1 x +1 x2 − 4 x+2 4 x 2 − 9a4 3a2 + 2 x 81x 6 − 36y 4 9x 3 − 6 y 2 d. y 2 − (x + 2 ) y−x−2 e. 8 + x3 x+2 f. x 3 y 3 + 27 xy − 3 2 g. h. a3 − 64 x 6 a − 4x 2 125 − x15a −3 x 5 a −1 − 5 Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 54 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones Notables Tema 2 / Sesión 3 Tema 2: Operaciones Notables Pregunta Nº 4 Sesión 3 Indique el resultado de Autoevaluación 3 Pregunta Nº 2 a. x4 + x2 +1 b. x4 − x2 + 2 c. x4 − x2 +1 d. x 4 − x 2 −1 x6 −1 x2 +1 Pregunta Nº 5 Determine el resultado de 1− a 2 b 4 c 8 1− ab 2 c 4 Calcule el resultado de x3 + y3 x+y a. 1+ ab 2 c 4 a. x 2 + xy + y 2 b. 1− a 2b 2 c 4 b. x 2 − xy + y 2 c. 1− x 2 c. x 2 − xy − y 2 d. 1+ x 2 d. x 2 − xy 2 + y 2 Pregunta Nº 3 Una vez contestadas las preguntas, puede ver respuestas al final de la Unidad. Si sus respuestas han sido correctas, continúe con la sesión siguiente, de lo contrario se le recomienda repasar la sesión antes de continuar. Determine el resultado del a. x 2 − 2x + 4 b. c. x 2 + 4x + 4 x 2 + 2x + 4 x 2 + 2x − 4 d. x3 − 8 x−2 Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 55 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones Notables Tema 2 / Sesión 3 Tema 2: Operaciones Notables Pregunta Nº 3 Sesión 3 Indique el resultado de a. b. Autoevaluación 3 Pregunta Nº 1 x2 +1 x4 − x2 +1 x 4 − x 2 −1 4 Correcto 2 c. x −x +2 d. x4 + x2 +1 Pregunta Nº 4 Determine el resultado de 1− a 2 b 4 c 8 Calcule el resultado de 1− ab 2 c 4 a. 1− a 2b 2 c 4 b. 1+ ab 2 c 4 Correcto a. x 2 + xy + y 2 b. x 2 − xy 2 + y 2 2 x3 + y3 x+y Correcto 2 c. 1− x 2 c. x − xy − y 2 d. x 2 − xy + y 2 d. 1+ x x6 −1 Pregunta Nº 2 Determine el resultado del a. x 2 − 2x + 4 b. c. d. x 2 + 4x + 4 x 2 + 2x − 4 x 2 + 2x + 4 x3 − 8 x−2 Correcto Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 57 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones notables Tema 2 / Sesión 4 Tema 2: Operaciones notables Potencias notables Sesión 4 Se llama Potencia Notable a la operación de elevar una expresión a Objetivos específicos una potencia determinada mediante una regla fija y cuyo resultado puede ser presentado directamente, es decir, sin realizar la * Aplicar las propiedades de los cocientes notables en la solución de problemas operación. Estas operaciones están regidas por la Ley de los Signos de la Potencia (ver sesión 1). Actividades * * * * Leer el contenido de la sesión 4 sobre “Potencias notables” Visitar las paginas recomendadas Realizar ejercicios resueltos Realizar la autoevaluación propuesta al final de la sesión Recursos En la potenciación, hay dos casos que ya fueron estudiados en los Productos Notables. Éstos son, el cuadrado y el cubo (ver sesión 2) de un binomio, respectivamente. 1. Potencia de un monomio Para la potenciación de un monomio estableceremos una regla * * * Contenido de la sesión 4: “Potencias notables” Paginas Web recomendadas La autoevaluación de la sesión 4 equivalente al proceso de potenciación anterior (ver sesión 1). Regla Se eleva el coeficiente a la potencia indicada y luego se multiplica el exponente de cada una de las variables por el exponente que indica la potencia. Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 58 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones notables Tema 2 / Sesión 4 Ejemplo 2.13 Por productos binarios, se entiende los productos por parejas de todos los términos del polinomio. Además, Desarrollar (2x3y) a la quinta (5) potencia. decimos que es la suma, porque el término resultante del producto binario, debe tomar en cuenta el signo que Aplicamos la regla resulte de la multiplicación, de acuerdo con la Ley de los Signos (ver sesión 1) (Como está reflejado en el ejemplo (2x3y)5 = (2)5 (x3)5 (y)5 = 32 x15 y5 anterior). 2. Cuadrado de un polinomio Ejemplo 2.14 En este caso consideraremos los polinomios que tienen tres o más 1. Desarrollar (x + y + z) al cuadrado. términos, por ejemplo (x + y + z). La forma más simple de estudiar este modelo es convertir el polinomio en un binomio, por ejemplo Podemos escribir (x + y + z)2 = [(x + y) + z]2 y luego aplicamos la regla (x + y + z) = (x + y) + z. Luego, aplicamos simplemente la regla para el del cuadrado de la suma de un binomio, (ver sesión 2) y tendremos: cuadrado de un binomio (ver sesión 2). Los resultados (16) y (17) de los ejemplos anteriores, nos permiten establecer la regla siguiente: (x + y + z)2 = [(x + y) + z]2 = (x + y)2 + 2(x + y)z + (z)2 = (x)2 + 2xy + (y)2 + 2xz + 2yz + (z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz (16) Regla El cuadrado de un polinomio, es igual a la suma del 2. Desarrollar (x + y − z − 1) al cuadrado. cuadrado de cada uno de los términos del polinomio, más la suma algebraica del doble de los productos Si usamos el procedimiento anterior, y teniendo en cuenta que los binarios de todos los términos del polinomio. términos precedidos por el signo menos se pueden agrupar, Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 59 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones notables Tema 2 / Sesión 4 podemos escribir: (x − y + z)3 = [(x − y) + z]3 (x + y − z − 1)2 = [(x + y) − z − 1]2 = [(x + y) − (z + 1)]2 Y aplicamos la regla del cuadrado de la diferencia de un binomio Y ahora aplicamos la regla de la suma y resta para el cubo de un binomio (ver sesión 2), así: (x − y + z)3 = [(x − y) + z]3 = (x − y)3 + 3(x − y)2z + 3(x − y)z2 + z3 (x + y − z − 1)2 = [(x + y) − z − 1]2 = [(x + y) − (z + 1)]2 = x3 − 3x2y + 3xy2 − y3 + 3(x2 − 2xy + y2)z + 3xz2 − 3yz2 + z3 (17) = x3 − 3x2y + 3xy2 − y3 + 3x2z − 6xyz + 3y2z + 3xz2 − 3yz2 + z3 = (x + y)2 − 2(x + y)(z + 1) + (z + 1)2 = x3 − y3 + z3 − 3x2y + 3x2z + 3xy2 + 3y2z + 3xz2 − 3yz2 − 6xyz = x2 + 2xy + y2 − 2xz − 2x − 2yz − 2y + z2 + 2z + 1 (18) = x2 + y2 + z2 + 1 + 2xy − 2xz − 2yz − 2x − 2y + 2z 3. Cubo de un polinomio Es un caso similar al anterior, en donde haremos un procedimiento parecido y aplicaremos la regla del cubo de un binomio (ver sesión 2). El resultado (18) del ejemplo anterior nos permite establecer la regla siguiente: Regla El cubo de un polinomio es igual a la suma del cubo de cada uno de sus términos, más la suma del triple del cuadrado de cada término por cada uno de los demás, Ejemplo 2.15 más la suma de seis veces las ternas (producto de tres Desarrollar (x − y + z) al cubo. términos) que puedan formarse con todos los términos del polinomio. Primero separamos en forma conveniente el polinomio, por ejemplo: Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 60 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones notables Tema 2 / Sesión 4 Ejemplo 2.16 (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 (x + y)3 = x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3 Desarrollar (x − y2 + 2z − 3) al cubo. Ahora aplicando directamente la regla tendremos: Similarmente, podemos desarrollar la potencia cuarta y quinta del binomio: (x−y2 + 2z −3)3 =(x)3 + (−y2)3 + (2z)3 + (−3)3 + 3x2(−y2) + 3x2(2z)+3x2(−3) + 3(−y2)2(x) + 3(−y2)2(2z) + 3(−y2)2(−3) + 3(2z)2(x) + 3(2z)2(−y2) + 3(2z)2(−3) (x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 (x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 +10x2y3 + 4xy4 + y5 + 3(−3)2(x) + 3(−3)2(−y2) + 3(−3)2(2z) + 6(x)(−y2)(2z)+6(x)(−y2)(−3) + 6(x)(2z)(−3) + 6(−y2)(2z)(−3) = x3 − y6 + 8z3 − 27 − 3x2y2 + 6x2z − 9x2 + 3y4x + 6y4z) − 9y4 + 12z2x − 12z2y2 − 36z2 + 27x − 27y2 + 54z − 12xy2z + 18xy2 − 36xz + 36y2z Si seguimos desarrollando las potencias, nos daremos cuenta de que existe una relación entre los coeficientes de la potencia siguiente con la potencia anterior. De este modo, se establece un procedimiento que se conoce como 4. Potencia n-ésima de un binomio. La potencia n-ésima que consideraremos será un número natural (entero positivo); además estudiaremos dos casos: binomio de la suma (x + y) y de la resta (x - y). el Triángulo de Pascal, para determinar dichos coeficientes. Este procedimiento, inicialmente llamado triángulo aritmético, fue planteado por Pascal para resolver una discusión con Fermat sobre un juego de azar [1]. Consideremos el binomio (x + y): Utilizando la regla (1) para el cuadrado de un binomio (ver sesión 2) y la regla (7) del cubo de un binomio (ver sesión 2), tendremos: Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 61 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones notables Tema 2 / Sesión 4 4.1. Triángulo de pascal ¿Cómo formar este triángulo o matriz? Lo describiremos como una matriz cuadrada, en donde las filas serán las potencias de una de las variables (x) y las columnas las potencias de la otra variable (y), (ver Figura 2.4), y las diagonales (ver línea azul), representan los coeficientes de los términos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio. En la primera fila y columna se coloca 1. Luego, en cada una de las otras posiciones, se coloca el resultado de la suma de los números que están a la izquierda y arriba de la posición deseada. Por ejemplo, en la matriz descrita en la Figura 2.4, el elemento (10), resaltado con un círculo azul de la posición x2:y3 (fila 3 y columna 4), se forma de la suma del elemento en la posición x2:y2 (6), más el elemento en la posición x1:y3 (4), es decir, 4 + 6 = 10. y 0 x0 1 x1 1 2 3 4 5 y y 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 y y y y 6 1 ¿Cómo se interpreta el triángulo o matriz? Los elementos de la matriz representan los coeficientes de los términos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio. Su descripción estará dada por los elementos de la diagonal (como se 2 1 3 6 10 x3 1 4 10 20 x4 1 5 15 x5 1 6 x 15 muestra en la línea punteada de la Figura 2.4. Por ejemplo, si desarrollamos (x + y)3 la fórmula (9), (ver sesión 2), tendremos: (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 x6 1 Al relacionar los coeficientes con los elementos de la diagonal Figura 2.4 Triángulo de pascal vemos que: Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 62 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones notables Tema 2 / Sesión 4 Posición x3:y0 x2:y x:y2 x0:y3 Valor 1 3 3 1 (x + y)6 = x6 + 6x5y + 15x4y2 + 20x3y3 + 15x2y4 + 6xy5 + y6 De igual forma, podríamos decir que el elemento (10), remarcado 4.2. Potencia n-ésima del binomio de la suma con el círculo azul, corresponde a la posición x2:y3 del desarrollo de Esta potencia es una generalización de los casos estudiados (x + y)5. anteriormente. Esta regla fue presentada mediante una ley por Newton. Es conocida como Ley del Binomio de Newton. La ley se Ejemplo 2.17 cumple para cualquier exponente natural y se representa por medio de la siguiente fórmula: Desarrollar (x + y)6 utilizando el Triángulo de Pascal. La diagonal será la que comienza con la posición x6:y0, es decir, la (a + b)n última diagonal del Triángulo de Pascal representado en la Figura 2.4. ⎛n⎞ ⎛ n⎞ ⎛n⎞ ⎛ n ⎞ ⎟⎟ abn−1 + bn = an + ⎜⎜ ⎟⎟ an−1b + ⎜⎜ ⎟⎟ an− 2b2 + L + ⎜⎜ ⎟⎟ an−mbm + L + ⎜⎜ 1 2 m ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ n − 1⎠ (19) En donde: De esta forma, podemos ver que los coeficientes para cada posición están dados en la tabla 4.1. ⎛n⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝m⎠ = n! m ! (n − m)! es la combinatoria de n en m, y n! se conoce como el factorial de n. Posición x6:y0 x5:y x4:y2 x3:y3 x2:y4 x:y5 x0:y6 Valor 1 6 15 20 15 6 1 Al desarrollar los términos de combinatoria, nos queda la siguiente fórmula: Tabla 4.1 Coeficientes de cada posición Así, al desarrollar el binomio tendremos: Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 63 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones notables Tema 2 / Sesión 4 (a + b)n = an + nan−1b + + n(n − 1) n−2 2 n(n − 1)(n − 2 ) n−3 3 a b + a b + LLL 1.2 1.2.3 n(n − 1) 2 n− 2 a b + nab n−1 + b n 1.2 (20) (x − y) = [x + (−y)] Y aplicamos la Ley del Binomio de Newton descrita en la sección anterior. Ejemplo 2.18 Desarrollar (x + y)6 utilizando el Binomio de Newton y cotejar los resultados con el ejemplo anterior. (a − b)n an − nan−1b + = + (− 1) n− 2 n(n − 1) n−2 2 n(n − 1)(n − 2 ) n−3 3 a b − a b + LLL 1.2 1.2.3 n(n − 1) 2 n−2 n−1 n a b + (− 1) nab n−1 + (− 1) b n 1.2 (21) Al aplicar la fórmula (20) tendremos: En este caso, los términos a potencia impar de la segunda variable (x + y )6 = x 6 + 6x 5 y + (x + y )6 6.5 4 2 6.5.4 3 3 6.5 2 4 x y + x y + x y + 6 xy 5 + y 6 1.2 1.2.3 1.2 = x 6 + 6x 5 y + 15 x 4 y 2 + 20 x 3 y 3 + 15 x 2 y 4 + 6 xy 5 + y 6 (−y) hacen que ese término sea negativo. Por lo tanto podemos afirmar que los signos del desarrollo serán alternos, comenzando con el signo positivo +. En general si la potencia n es par, el desarrollo tendrá un número impar de términos, luego el último término será positivo; y en el caso n impar habrá un número par de términos, De esta forma los coeficientes coinciden con los hallados en el entonces el último término será negativo. ejemplo anterior. Ejemplo 2.19 4.3. Potencia n-ésima del binomio de la diferencia Cuando es la diferencia x - y, en realidad podemos considerar el mismo caso anterior. Para ello escribimos: Desarrollar (x − 2y)5 utilizando el Binomio de Newton. (x − 2y)5 = x5 − 5x4(2y) + 10x3(2y)2 − 10x2(2y)3 + 5x(2y)4 − (2y)5 = x5 − 10x4y + 40x3y2 − 80x2y3 + 80xy4 − 32y5 Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 64 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones notables Tema 2 / Sesión 4 Así, por lo descrito anteriormente, se certifica que el último término es negativo, ya que la potencia era impar. Ejemplo 2.20 Desarrollar (x2 − y + 1)4 utilizando el Binomio de Newton. Primero agrupamos los términos: (x2 − y + 1)4 = [x2 − (y − 1)]4 Ahora aplicamos la regla (21): (x2 − y + 1)4 = [x2 − (y − 1)]4 = (x2)4 − 4(x2)3(y − 1) + 6(x2)2(y − 1)2 − 4x2(y − 1)3 + (y − 1)4 Vemos que el último término es positivo, ya que la potencia es par. Luego, desarrollando cada uno de los términos, tendremos que: (x2 − y + 1)4 = (x2)4 − 4(x2)3(y − 1) + 6(x2)2(y − 1)2 − 4x2(y − 1)3 + (y − 1)4 = x8 − 4x6y + 4x6 + 6x4(y2 − 2y + 1) − 4x2(y3 − 3y2 + 3y − 1) + y4 − 4y3 + 6y2 − 4y + 1 = x8 − 4x6y + 4x6 + 6x4y2 − 12yx4 + 6x4 − 4x2y3 + 12x2y2 − 12x2y + 4x2 + y4 − 4y3 + 6y2 − 4y + 1 Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 65 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones notables Tema 2 / Sesión 4 Tema 2: Operaciones Notables 3. (3 xy)3 Sesión 4: Ejercicios Resueltos Solución Ejercicios: Potencia de un monomio Procedimiento 1. Si el monomio es positivo la potencia simpre es positiva. Si el monomio es negativo, la potencia será positiva si el exponente es par, y negativa si el exponente es impar 2. Se eleva el coeficiente al exponente de la potencia 3. El exponente de cada letra se multiplica por el exponente de la potencia (3 xy)3 = 3 3 x 3 y 3 = 27x 3 y 3 4. (−6a2b)2 Solución (−6a 2 b)2 = 6 2 a 2 x 2 b 2 = 36a 4 b 2 {puesto que el exponente es par el signo de la potencia es positivo}. 5. (−2 x 2 y 3 )3 Desarrollar: Solución 1. (4a2 )2 (−2 x 2 y 3 )3 = −2 3 x 3 x 2 y 3 x 3 = −8 x 6 y 9 {puesto que el exponente es impar el signo de la potencia es negativo}. Solución 2 2 2 (4a ) = 4 a 2x2 = 16a 6. (4a 2 b 3 c 4 )3 4 Solución 3 2. (−5a) (4a 2 b 3 c 4 )3 = 4 3 a 3 x 2 b 3 x 3 c 3 x 4 = 64a 6b 9 c12 Solución 3 3 1x 3 (−5a) = 5 a = −125a 3 7. (−6x 4 y 5 )2 Solución (−6x 4 y 5 )2 = 6 2 x 2 x 4 y 2 x 5 = 36x 8 y10 Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 66 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones notables Tema 2 / Sesión 4 Tema 2: Operaciones notables Sesión 4: Ejercicios propuestos 1. Desarrollar utilizando las reglas de esta sesión las siguientes operaciones: a. (x − z + y − 1)2 b. (x 2 − y + 3 z − 2)3 c. (x + 2)5 ⎛1 x⎞ d. ⎜ − ⎟ ⎝3 2⎠ 6 e. (2a f. ⎛2 ⎞ ⎜ − yx ⎟ x ⎝ ⎠ −1 + x2 ) 7 2 Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 67 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones notables Tema 2 / Sesión 4 d. 15 15 15 15 (2 x)12 + (2 x)13 (−3y) + (2 x)14 (−3y) + ... + (−3y)15 0 15 0 15 Unidad 2: Operaciones Notables Pregunta Nº 3 Sesión 4 Desarrollar (2a+3b) al cubo a. 27a 3 + 54a 2 b + 36ab 2 + 8b 3 b. 8a 3 + 36a 2 b + 54ab 2 + 27b 3 c. 27a 3 + 54a 3 b + 36ab 3 + 8b 3 Pregunta Nº 1 d. 8a 3 − 36a 3 b + 54ab 3 + 27b 3 Desarrollar (x+y)4 utilizando el triángulo de Pascal Pregunta Nº 4 Autoevaluación 4 a. x 3 + 4 x 4 y + 6 x 2 y 3 + 4 xy 2 + y 4 b. x 4 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 xy 3 + y 4 c. x 3 − 4 x 4 y − 6 x 2 y 3 − 4 xy 2 − y 4 a. 16a 2 d. x 4 − 4 x 3 y − 6 x 2 y 2 − 4 xy 3 − y 4 b. 16a 4 c. 12a 4 Pregunta Nº 2 d. 12a 2 Desarrollar (2x-3y) 15 utilizando el Binomio de Newton a. b. c. Desarrollar (4a2 )2 15 15 15 15 (2 x)15 + (2 x)14 (−3y) + (2 x)13 (−3y) + ... + (−3y)15 0 15 0 15 15 15 15 15 (2 x)15 + (2 x)14 (−3y) + (2 x)13 (−3y) + ... + (−3y)15 0 1 2 15 15 15 15 15 (2 x)12 + (2 x)13 (−3y) − (2 x)14 (−3y) + ... + (−3y)15 0 15 0 15 Pregunta Nº 5 Desarrollar (x 2 − 2 x + 1) al cuadrado a. x 4 − 4 x 3 − 6x 2 + 4 x + 1 b. x 4 + 4 x 3 − 6x 2 − 4 x + 1 c. x 4 − 4 x 3 + 6x 2 + 4 x + 1 d. x 4 − 4 x 3 + 6x 2 − 4 x + 1 Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. 68 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones notables Tema 2 / Sesión 4 Una vez contestadas las preguntas, puede ver respuestas al final de la Unidad. Si sus respuestas han sido correctas, continúe con la sesión siguiente, de lo contrario se le recomienda repasar la sesión antes de continuar. Unidad 2: Operaciones notables Correcto Desarrollar (2a+3b) al cubo Respuestas de la Autoevaluación 4 Pregunta Nº 1 Desarrollar (x+y)4 utilizando el triángulo de Pascal a. x 3 + 4 x 4 y + 6 x 2 y 3 + 4 xy 2 + y 4 b. x 3 − 4 x 4 y − 6 x 2 y 3 − 4 xy 2 − y 4 d. d. 15 15 15 15 (2 x)15 + (2 x)14 (−3y) + (2 x)13 (−3y) + ... + (−3y)15 0 1 2 15 15 15 15 15 12 13 14 (2 x) + (2 x) (−3y) + (2 x) (−3y) + ... + (−3y)15 0 15 0 15 Pregunta Nº 3 Sesión 4 c. c. 4 3 2 2 4 3 2 2 3 x + 4 x y + 6 x y + 4 xy + y 3 x − 4 x y − 6 x y − 4 xy − y 4 a. 27a 3 + 54a 2b + 36ab 2 + 8b 3 b. 27a 3 + 54a 3 b + 36ab 3 + 8b 3 c. 8a 3 − 36a 3 b + 54ab 3 + 27b 3 d. 8a 3 + 36a 2 b + 54ab 2 + 27b 3 Correcto Pregunta Nº 4 Desarrollar ( 4a 2 ) 2 Correcto 4 a. 16a 2 b. 16a 4 c. 12a Correcto 4 d. 12a 2 Pregunta Nº 2 Pregunta Nº 5 Desarrollar (2x-3y) 15 utilizando el Binomio de Newton a. b. 15 15 15 15 (2 x)15 + (2 x)14 (−3y) + (2 x)13 (−3y) + ... + (−3y)15 0 15 0 15 15 15 15 15 (2 x)12 + (2 x)13 (−3y) − (2 x)14 (−3y) + ... + (−3y)15 0 15 0 15 Desarrollar ( x 2 − 2 x + 1) al cuadrado a. x 4 − 4 x 3 − 6x 2 + 4 x + 1 b. x 4 − 4 x 3 + 6x 2 − 4 x + 1 c. 4 3 2 x + 4 x − 6x − 4 x + 1 d. x 4 − 4 x 3 + 6x 2 + 4 x + 1 Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Francisco Carreras Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia. Correcto