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SOLUCIÓN ACTIVIDADES T3, MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
CUESTIONES
C1. Las dos formas de expresar el m.a.s. son:
x = A sen ( ωt + θo );
Sí para t=0 es x=0;
x = A cos ( ωt + θo)
las ecuaciones correspondientes: x = A sen ωt ;
C2. De las ecuación para la velocidad v = ±ω A
máxima cuando la elongación es nula, x = 0, y vale:
2
x = A cos ( ωt + π / 2 )
− x 2 . En valor absoluto la velocidad es
vmax = ± ω · A
Para la aceleración,
a = - ω x. Su valor es máximo cuando x = ± A, y alcanza el valor absoluto,
2
amax = ω 2 A
C3.
La ecuación del m.a.s. es
π

x = 2 cos  3π t − 
2

a) La amplitud es A = 2 cm/s, corresponde con el máximo valor del coseno que es 1.
La frecuencia angular: ω = 3π rad/s
La frecuencia: f =
ω 3 π −1
=
s = 1,5 Hz
2π 2π
La fase inicial: θo = - π / 2 rad
La fase es la función del tiempo: θ(t) = 3 π t - π / 2, con t en segundos y θ(t) en radianes.
b) Obtenemos la velocidad v(t) y la aceleración a(t), mediante las derivadas
v(t)= &x(t) = -6π sen ( 3π t - π /2);
C4
&
a ( t ) =v(t)=-18
π 2 cos( 3π t - π /2)
La velocidad máxima es cuando sen 4 t , toma su máximo valor que es la unidad. Es decir la
velocidad máxima vale: v = 4 m/s.
La fase inicial es nula, θo = 0
La frecuencia angular es ω = 4 rad/s
El periodo T =
C5
2π
ω
=
2π
= 1,57 s
4 rad / s
La fuerza elástica verifica la ley de Hooke F = k x . En este caso la fuerza deformadora es
el peso del cuerpo suspendido P = m · g que ha producido un alargamiento x1 , de modo
que la constante elástica del muelle es:
k=
F P mg
= =
x1 x1 x1
Si se suspende una masa m/2, la longitud del muelle será:
C6.
El periodo de oscilación verifica:
T = 2π
mo
k
Al colgar la masa 2mo el nuevo periodo es: T´ = 2π
C7
m
g
x
l = lo + 2 = lo + 1
m
2
g
x
2 mo
mo
= 2π
k
k
2 =T 2
2
1
1
1
Su energía potencial elástica vale: U E = kx 2 = k  A sen (ω t +θ o )  = kA2 sen 2 (ω t + θ o )
2
2
2
Las dos expresiones, tanto la que depende de x, como la que depende del tiempo t,
demuestran que la energía potencial elástica no es constante.
C8
La energía potencial elástica depende del cuadrado de la elongación x, de modo que será
máxima tanto en x = +A, como en x = -A . Su valor es:
1
2
U E = k ( ± A)
2
Sin embargo su valor mínimo es en x=0 y es nula.
C9
La energía mecánica es la suma de las energías cinética y potencial elásticas:
(
)
1
1
1
1
1
Em = k x 2 + mv 2 = kx 2 + m ω 2 A2 − x 2 = m A2
2
2
2
2
2
Como es independiente de x y de t resulta constante.
C10.
Cuando la energía cinética es la cuarta parte de la energía potencial elástica.
Ec =
C11
Ep
4
;
1 2
kx
1
kx 2
k ( A2 − x 2 ) = 2
=
;
2
4
8
2A
x=
5
1 2 1 21  1 2 5
kA = kx  + 1  = kx
2
2
4
4  2
Al comprimirlo, cuando t = 0, se encuentra en x = -Ao; la fase inicial es θ o = −
Como ω =
k
, resulta:
m
π
2
 k
π
x = A o sen 
t−
 m 2 


C12
Antes de oscilar la tensión de la cuerda es igual al peso de la masa suspendida por estar
en equilibrio estático, P = m·g.
C13
Del principio de conservación de la energía mecánica, como la fuerza gravitatoria es
conservativa la energía mecánica del péndulo es constante. Tomando un nivel de
referencia h = 0, para la energía potencial gravitatoria en la posición vertical de equilibrio se
verifica:
(EP + EC)arriba = (EP + EC)abajo
1
Sustituyendo las condiciones: mgho = m v 2 ; ⇒
2
v = 2 g ho
Sobre la masa oscilante actúan la tensión del hilo y el peso. La fuerza neta hacia dentro
proporciona la fuera centrípeta que modifica la dirección de su vector velocidad y en la
posición vertical la tensión T y el peso P, son de la misma dirección pero de sentido
contrario.
FC = m
C14
v2
= T − P = T − mg ;
L
T =m
v2
2gho
 2h

+ mg = m
+ mg = mg  o + 1 
L
L
 L

lo
go
El periodo de un péndulo simple de longitud lo vale: To = 2π
El periodo de un péndulo simple de longitud l1 = 4 lo vale: T1 = 2π 4
El periodo de un péndulo simple de longitud lo/4 vale: T2 = 2π
lo
= 2· 2π
go
lo
= 2· To
go
lo / 4 1
l
T
= 2π o = o
go
2
go 2
Ejercicios
x/cm
E1
a) La amplitud A = 3 cm = 0,03 m ;
3
El periodo
T = 10 s
La pulsación angular ω = 2π T = 2π 10 = 0,2π rad / s
La fase inicial es θ o = −
π
t/s
0
5
rad
2
La elongación x = 0,03 cos ( 0,2π t − π 2 )
b) x=0,03 sen 0,2πt
E2
La ecuación general del m.a.s. es x = A sen (ω t + θ o )
Para que sen (ω · 0 + θ o ) = − 1 ; θo = - π/2
π

La ecuación buscada es x = 0,05 sen  0,1 π t − 
2

E3
a = −ω2 x ;
E4
F´ = k (l-lo);
debemos determinar ω ;
ω=
k=
−20
( 20π )
2
−40 N
N
= 2000
−0,02 m
m
La longitud que alcanza el muelle l = lo +
10kg · 9,8 m / s 2
F
= 0,25m +
= 0,74 m
k
2000 N / m
Nos dan la frecuencia f = 4 oscilaciones/s . El periodo es T =
Como T = 2π
x=−
= 5,1.10 −3 m
Al comprimirlo la fuerza ejercida la consideraremos negativa, de modo que
− 40 N = k ( 0,23m − 0,25 m ) ;
E5
2π 2π
rad
;
=
= 20π
T 0,1
s
m
; resulta:
k
k=
4π 2 m
T2
=
4π 2 0,050
0,25 2
= 31,6
N
m
1 1
= = 0,25 s
f 4
10
 2π 
a = −ω 2 x = − 
 x = − 631,7 x
 0,25 
2
1 2 1
N
2
k x = 200 ( 0,001 m ) = 10 −4 J
2
2
m
E6
La energía potencial elástica es U E =
E7
La energía mecánica es constante por ser el sistema muelle-masa oscilante, conservativo.
UE =
E8
1 2 1
N
2
kA = 3,2.10 2 ( 0,25 m ) = 10 J
2
2
m
a) La energía cinética EC =
La energía potencial U E =
(
)
(
)
1
1
N
k A2 − x 2 = 400
0,11 − 0,051 m2 = 1,5 J
2
2
m
1 2 1
N
k x = 400 0,05 2 m 2 = 0,5 J
2
2
m
b) La energía mecánica Em = EC + U E = 1,5 J + 0,5 J = 2 J
E9
La constante recuperadora vale:
El periodo: T = 2π
E10
P1
k=
10 kg · 9,8 m / s 2
F´
N
=
= 19600
−3
l − lo
m
5.10 m
10 kg
m
= 2π
= 0,14 s
k
19600 N / m
La aceleración de la gravedad
g=
4π 2 L
T
2
=
4π 2 1 m2
2
2 s
2
= 9,87
m
s2
Problemas
La frecuencia angular:
ω = 2π
3000 rad
rad
= 100 π
60 s
s
x = 0,05 sen 100 π t
P2
v=
dx
= 5 π cos 100π t
dt
a=
dv
= − 500 π 2 sen 100π t
dt
La velocidad
v = A ω cos (ω t + θ o ) = 12 π cos (ω t + θ o )
Como la velocidad se anula en las posiciones extremas, el tiempo transcurrido de una a
otra es la mitad de un periodo, de modo que: T = 2 · (5 – 1) s = 8 s.
12 π 12 π m / s
La amplitud es A =
=
= 48 m
2π / 8 s
ω
Para hallar la fase inicial debemos considerar que cuando t = 1 s,
 2π

0 = 12 π cos 
1 + θ0 
 8

es v = 0;
π 2π π

θ o = 2 − 8 = 4

θ = − π − 2π = − 3π
 o
2 8
4
2π
π
+ θo = ± ;
8
2
 2π

Sustituyendo en la ecuación de la elongación x = 48 sen 
t + θ o  ; ahora bien de las dos
 8

soluciones solo una verifica que cuando t = 1 s, es x = 48 m. Ensayando con las dos:
−π
3π 
 2π
sen 
1−
= −1
 = sen
4 
2
 8
π
π
 2π
sen 
1 +  = sen = 1 ;
4
2
 8
La solución buena para la fase inicial es θo= π /4. En consecuencia:
π
 2π
x = 48 sen 
t+ 
4
 8
P3
v=
dx
π
 2π
= 12 π cos 
t+ 
dt
4
 8
a=
dv
2π
π
π
 2π
 2π
= − 12 π ·
sen 
t +  = − 3 π 2 sen 
t+ 
dt
8
4
4
 8
 8
La constante recuperadora k =
0,15 0 kg · 9,8 m / s 2
F´
N
=
= 29,4
l − lo
0,05 m
m
El periodo de la jaula vacía es: T1 = 2π
El periodo de la jaula con pájaro: T2 = 2π
P4
k=
a)
4π 2 m
T
2
=
4π 2 2 kg
2
0,60 s
v = ω A − x2
2
2
= 219,3
1,2 kg
= 1,27 s
29,4 N / m
( 1,2 + 0,150 ) kg
= 1,35 s
29,4 N / m
N
m
el valor máximo lo toma cuando x = 0 ; vm´ ax =
2π
0,30 m = π m / s
0,60 s
1
m2
EC ,max = 2 kg π 2 2 = 9,89 J
2
s
b)
1
1
N
U E ,max = kA2 = 219,3 0,30 2 m 2 = 9,87 J
2
2
m
d) v( 0,15 ) =
2π
0,30 2 m2 − 0,152 m2 = 2,72 m / s
0,60 s
1
2
EC ( 0,15 ) = 2 kg · ( 2,72 m / s ) = 7,40 J
2
1
N
2
U E ( 0,15 ) = 219,3 ( 0,15 m ) = 2,47 J ;
2
m
Em = EC + EP = 7,40 J + 2,47 J = 9,87 J
P5
a) El sistema masa-muelle con la masa vertical oscilando, es un sistema que conserva la
energía mecánica, pero ahora la energía potencial es de dos clases, la gravitatoria y la
elástica. Además tiene energía cinética.
Tomando un origen de referencia x = 0, en la posición que ocupa la masa justo al
suspenderla del muelle, antes de que éste empiece a alargarse y sin predecir el signo de la
posición que alcanza al alargarse, resulta que la energía mecánica vale lo mismo en
cualquier posición por que se conserva, o lo que es lo mismo, su variación es nula.
∆Em= Em, final – Em, inicial = 0
(EP, f – EP, i)Gravitatoria + (UE, f
(m g x − 0)
- UE, i)Elástica + (EC, f – EC, i)Cinética = 0
1
 1

+  k x2 − 0  +  m v 2 − 0  = 0
2
 2

Para determinar la posición más alejada de la masa, en ella su velocidad es nula, por lo
que sustituyendo en la anterior resulta:
4 kg· 9,8
N
1
N
x + 400 x 2 = 0 ;
kg
2
m
( 39,2 m + 200 x )
 x1 = 0

x =0 
− 39,2
 x2 = 200 m = − 0,196 m

El signo negativo indica que ha descendido 0,196 m.
b) Ahora oscila alrededor de una posición intermedia entre x1 y x2
x + x2 0 + ( − 0,196 )
xE = 1
=
= − 0,098 m
2
2
c) La amplitud
P6
A = x2 − xE = − 0,196 − ( − 0,098 ) m = 0,098 m
Consideraremos que la energía mecánica del sistema masa-muelle se conserva constante.
Tomamos una sistema de referencia x = 0, en la posición que ocupa la parte superior del
muelle sin deformar, Al caer la masa desde el reposo vo = 0, desde una altura h, comprime
el muelle una longitud x, y aplicando que la variación de energía mecánica será nula
resulta:
∆Em= Em, final – Em, inicial = 0
(EP, f – EP, i)Gravitatoria + (UE, f
( m g x − mgh ) +  21 k x
o
2
- UE, i)Elástica + (EC, f – EC, i)Cinética = 0
1
 1

− 0  +  m v 2 − mvo2  = ( m g x − mgho
2
 2

) +  21 k x
2
 1

− 0  +  m v2 − 0  = 0
 2

Como además en la posición de máxima compresión es v = 0 ; queda:
1 2
kx + mgx − mgho = 0;
2
1
600 x 2 + 20 · 9,8 x − 20 ·9,8 ·2 = 0 ;
2
x1 = +0,86 m ;
x2 = -1,52 m
Analizando las dos soluciones, la x1 no corresponde porque está situada por encima del
muelle donde tomamos x=0. La solución correcta es la negativa x2 = -1,52 m.
b)
T = 2π
20 kg
m
= 2π
= 1,15 s
k
600 N / m
P7
a)
El periodo vale:
T = 2π
1,8 m
L
= 2π
= 2,7 s
g
9,8 m / s 2
T 2,7 s
=
= 0,67 s
4
4
c) El periodo del péndulo simple es independiente de la masa oscilante de modo que no
b)
El tiempo es la cuarta parte de un periodo t =
sufre ninguna modificación por esta causa.
d)
La altura que sube la partícula es
l = lo ( 1 − cos 10º ) = 1,8 m ( 1 − cos 10º ) = 0,027 m
Del principio de conservación de la energía.
1 2
mv = mgh ;
2
v = 2gh = 2·9,8·0,027 = 0,73
m
s