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"Fundamentos matemáticos
de la música"
L.M. Cristian Bañuelos
cristian.manuel@gmail.com
www.holomorfo.com
Sonido
Es una onda mecánica de presión que viaja por algún
medio sólido, líquido o gas.
Onda ciruclar
La función seno es sólo una rebanada de las ondas ciruclares.
Movimiento ondulatorio
Amplitud
Frecuencia Hertz
Velocidad
343.2m/s (aire 20c)
Periodo
Oido humano
El rango de audición de
un ser humano está entre
20 y 20,000 hz.
Pero varía con la edad.
(Caracol y tinnitus)
Tono puro
Sonido musical
Lo que distingue a un sonido musical
es la complejidad de los tonos que se
presentan.
Cuando se toca algún instrumento
en realidad suenan muchos tonos puros
simultaneamente.
La cantidad y forma en que se producen
es lo que determina que podamos
distinguir un tipo de sonido de otro.
Armónicos
Dada una frecuencia fundamental por
ejemplo (200hz).
Sus armónicos son todas las ondas
cuyas frecuencias son múltiplos
enteros de la original.
(200, 400, 600, …) hz.
Principio de superposición
La suma de tonos puros nos genera ondas nuevas
Principio de superposición
Espectro de un sonido
Espectro (timbre):
Consiste en la distribución y amplitud de las
tonos fundamentales en los que se
descompone una onda.
Transformada de Fourier:
Toma una onda y nos indica cuales son los
tonos fundamentales de los que se compone
Timbre de un instrumento
Cada instrumento, de acuerdo a
su construcción, tiene distintos
tipos de armónicos con
distintas amplitudes.
Instrumentos
Los instrumentos de aliento
producen armónicos distintos
dependiendo si son cerrados o
abiertos.
Armónicos impares si es abierto
Armónicos pares si es cerrado
Instrumentos
Instrumentos de cuerda
Síntesis aditiva, análisis de espectros
Ruido blanco
Se conoce como ruido blanco, a la onda
que surge de la combinación de todos las
frecuencias en un intervalo definido
Ruido blanco
Consonancia
Es una medición subjetiva
de el nivel de estabilidad
que presentan un par de
notas simultáneas.
Pulsaciones
La
consonancia
puede
realcionarse con el fenómeno de
pulsaciones, que surge cuando
dos tonos tienen frecuencias
muy cercanas entre si.
Pulsaciones
Curva de pulsaciones
“Tonal Consonance and Critical Bandwith” (1965, R. Plomp, M. Levelt)
Relación empírica entre la disonancia y la relación de las frecuencias
de los armónicos
En 1993
W. Sethares, dedujo el modelo matemático que las
representa, ayudado por las ideas de Helmholtz
Dos tonos puros - curva
Curva de disonancia de dos
frecuencias puras.
Horizontal: Diferencia de
frecuencias
Vertical: Pulsaciones
percibidas
Órgano – curva
Curva de disonancia
de dos sonido de un
órgano con 8
armónicos
Valles de consonancia
Crestas de disonancia
Hermann von Helmholtz
Físico aleman que trabajó con las relaciones de las
frecuencias en su libro:
“Sobre las sensaciones del tono como base
fisiológica para la teoría de la música” (1863)
Pitágoras y el monocordio
Se atribuye a Pitágoras el descubrimiento de la relación
entre la división en partes iguales de una cuerda, con
la consonancia de las notas
Construcción de la afinación
pitagórica
El proceso para llenar la octava
consiste en los siguientes pasos:
a) tomar una frecuencia inicial,
por ejemplo la nota 'do' =261.63,
b) encontrar su secuencia de
quintas hasta hasta tener 12
elementos,
c) encontrar las frecuencias
equivalentes de cada una en el
intervalo fundamental de 'do',
d) ordenar el resultado en orden
ascendente.
Normalizacion
Escala temperada
Debe ser
normalizada a 0-1
Simetrías - Teoría de grupos
Grupo
Operación binaria en un conjunto que cumple:
●
Cerradura:
●
Asociatividad:
2+(5+3)=(2+5)+3
●
Elemento neutro
0+2=2
●
Inversos
2-2=0
●
Conmutatuvidad
(no siempre)
2+3=5
2+3=3+2
Ejemplo: Z/nZ
Los residuos de la división por “n” de números
enteros forman un grupo llamado:
Enteros módulo n
Z/5Z = {0, 1, 2, 3, 4}
3 + 4= 7 (mod 5)= 2
2+4=1
2+3=0
1+4=0
Ejemplo: Sn
Las permutaciones de un
conjunto finíto forman un
grupo que se conoce como:
Grupo simétrico:
Grupo diédrico D2n
Las simetrías de un polígono regular forman un
grupo, al que llamamos Grupo diédrico.
Sus operaciones son
r - rotación
s - traslación
Propiedades de D2n
Isomorfismos
Decimos que dos grupos son isomórfos si
tienen la “misma estructura”
Es decir, si existe una función biyectiva
entre ambos grupos, que cumple
D6 es isomorfo a S6
Numeración de las notas
Escala Cromática: Las notas que se utilizan en la música, consisten
en un conjunto finito de frecuencias ascendentes de alrededor de 88
notas, que se pueden visualizar en un teclado de piano.
Simetrías
La periodicidad en el teclado
representa una propiedad de las
notas, con la cual podemos
clasificarlas en doce grupos.
De forma similar a las tonalidades
de los colores, existen versiones
de la misma nota
Enteros módulo doce
Nuestra primera abstracción será
considerar las 12 notas musicales
como el grupo Z/12Z
Nota: un elemento.
Acorde: colección de notas.
Operaciones de notas
Podemos definir un par de
operaciones sobre el conjunto Z12
que son de utilidad musical:
Trasposición: Recorrer las notas una distancia fija
Inversión (reflexión): Reflejar las notas sobre un eje de simetría.
Ejemplos
Grupo T/I
El grupo T/I es isomorfo a D24
El grupo T/I funciona de forma similar a las simetrías
de un polígono de 12 lados, podemos ver que:
Acordes notables
Triada Mayor: (0,4,7)
Triada Menor: (0,3,7)
Triada disminuida: (0,3,6)
Triada Aumentada: (0,4,8)
Séptimo disminuido: (0,3,6,9)
Simetrías interesantes
Existen algunas simetrías muy interesantes que nos
transforman acordes con relaciones interesantes entre sí.
Simetrías PLR
parallel, leading tone excchange, relative
Simetrías
Espacios geométricos
La música se puede estudiar como
espacios geométricos. Para ello se
necesita establecer una relación
entre las notas y una estructura.
Plano de intervalos
Consideraremos a los
acordes como puntos en
un plano.
Un camino es una sucesión
de intervalos en el espacio.
Espacios de consonancia
Superficie de consonancia
Rebanadas de tonalidad
Sección del
hipercubo
de acordes de
cuatro notas
Rebanadas
Gracias
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Referencias
A geometry of chords
D. Tymoczko
Foundations of diatonic theory
T. Johnson
Musical actions of dihedral groups
Cranz, Fiore, Satyendra
(American mathematical monthly)
Imágenes
http://www.physics.uiowa.edu/~umallik/adventure/music.htm
http://www.intmath.com/fourier-series/6-line-spectrum.php
http://ict.udlap.mx/people/oleg/docencia/IMAGENES/chapter2/i
mage_232_IS548.html