Download matemática - Facultad de Ciencias Bioquímicas y Farmacéuticas

MATEMÁTICA
Módulo Educativo
Etapa Presencial
2014
Docente Coordinadora:
Bioq. y Farm. Marta Marzi
Facultad de Ciencias Bioquímicas y Farmacéuticas
UNIVERSIDAD NACIONAL DE ROSARIO
Suipacha 531 – 0341-4804592/93/97
www.fbioyf.unr.edu.ar
Sumario
* Introducción
*Unidad 1:
Lógica Simbólica. Proposiciones. Conectivos lógicos. Cuantificadores. Valor de Verdad.
Ejercicios.
*Unidad 2:
Los conjuntos numéricos. Operaciones. Correspondencia uno a uno.
Operaciones y propiedades. Logaritmos. Propiedades de los logaritmos. Ejercicios
*Unidad 3:
Ecuaciones. Ecuaciones lineales, cuadráticas, exponenciales y logarítmicas, con una
incógnita. Inecuaciones lineal. Valor absoluto. Distancia entre puntos de la recta.
Ejercicios. Problemas de aplicación.
*Unidad 4:
Sistemas de ecuaciones lineales. Conjunto solución.
Ecuaciones equivalentes. Resolución de sistemas de ecuaciones. Ejercicios. Problemas.
*Unidad 5:
Polinomios. Grado de un polinomio. Igualdad, suma, multiplicación, y división de
polinomios. Regla de Ruffini. Valor numérico de un polinomio. Ceros o raíces de un
polinomio. Teorema del resto. Factorización de polinomios. Ejercicios.
*Unidad 6:
Sistema Cartesiano Ortogonal. Ángulos orientados. Sistemas de medición de ángulos.
Relaciones y funciones trigonométrica. Resolución de triángulos rectángulos. Uso de
la calculadora. Identidades trigonométricas. Ejercicios y problemas.
*Unidad 7:
Funciones: Definición. Clasificación. Inyectividad, suryectividad, biyectividad.
Función lineal. Análisis. Función cuadrática. Análisis.
Unidad 1:
Lógica proposicional
Lucía Caraballo; Marta Marzi
Introducción
La lógica proposicional o lógica simbólica es la más antigua y simple de las formas de lógica.
Utiliza un lenguaje artificial especialmente diseñado para representar y manipular declaraciones
realizadas en lenguaje coloquial, evitado así la ambigüedad de éste. La lógica proposicional
permite el razonamiento a través de un mecanismo que primero evalúa sentencias simples y luego
sentencias compuestas, formadas mediante el uso de conectivos lógicos.
Proposiciones lógicas
Las proposiciones son el lenguaje formal de la lógica simbólica por el cual están regidas todas las
leyes de la matemática que utiliza la simbología como su principal fuente de estudio.
Una proposición es una oración declarativa a la que tiene sentido asignarle un valor de verdad.
Será verdadera (V) o será falsa (F) pero no podrá tener ambos valores de verdad a la vez.
Las proposiciones se denotan con letras minúsculas, tales como p, q, r, etc.
Por ejemplo:
Son proposiciones las siguientes expresiones (pueden ser V o F):
p: Está lloviendo
q: 7 − 4 ≠ 3
r: J.R.R. Tolkien escribió El Señor de los Anillos
Sin embargo, no son proposiciones las siguientes expresiones:
¿Qué es la química? (no es proposición por ser una oración interrogativa)
¡Qué bonita tarde! (no es proposición por ser una oración exclamativa).
Vaya ahora mismo (no es proposición por ser una oración imperativa)
4-x = 5 (es una oración declarativa pero no puede decirse si es verdadera o falsa porque hay
una letra cuyo significado no puede interpretarse)
Puede decirse entonces que, para que una expresión lingüística sea proposición debe:
1. ser oración
2. ser oración declarativa (aseverativa)
3. ser verdadera o ser falsa
-1-
Conectivos lógicos
Los conectivos lógicos se utilizan para construir nuevas proposiciones a partir de proposiciones ya
conocidas. El valor de verdad de la nueva proposición dependerá del valor de verdad de las
proposiciones que la forman y de los conectivos involucrados.
Se pueden obtener nuevas proposiciones mediante los siguientes conectivos lógicos:
Nombre del
conectivo
Negación
Representación
p
(no p)
Disyunción
Ejemplos de expresiones
en las que aparece
Valor de verdad
p: Está lloviendo
Si p es verdadera entonces
p es falsa y, si p es falsa
entonces p es verdadera.
p: No está lloviendo.
p: Juan aprueba matemática
( p ó q)
q: Juan aprueba lengua
: Juan aprueba
matemática o lengua
Conjunción
(p y q)
p: María hoy entra a las 8 hs
a la escuela
q: María hoy tiene
matemática
es falsa si y sólo si
tanto p como q son falsas; de
otro modo, la disyunción es
verdadera.
es verdadera si y sólo si
tanto p como q son
verdaderas; de otro modo la
conjunción es falsa.
: María hoy entra a las
8hs a la escuela y tiene
matemática.
Condicional
p⇒q
(Implicación)
(Si p entonces q: voy al cine
q)
p ⇒ q : si llueve entonces
voy al cine
p: 4 es múltiplo de 2.
Bicondicional
(Equivalencia)
p: llueve
(p si y sólo si
q)
p ⇒ q es falsa si y sólo si p
es verdadera y q es falsa; en
cualquier otro caso, la
condicional es verdadera
es verdadero si y sólo
si
(
p
⇒
q ) es verdadero y
q: 2 es divisor de 4.
( q ⇒ p ) es verdadero; o sea
: 4 es múltiplo de 2 si
cuando p y q son ambas
y sólo si 2 es divisor de 4.
verdaderas o son ambas
falsas.
-2-
Cuando combinamos dos o más proposiciones simples mediante los conectivos lógicos, decimos
que la nueva proposición obtenida es compuesta.
Observaciones:
•
En la disyunción usamos la palabra “o” en el sentido inclusivo. En consecuencia, p q
es verdadera si una o la otra o ambas proposiciones p, q son verdaderas. La “o”
excluyente significa que una u otra es verdadera pero no ambas. Por ejemplo si
tenemos la proposición: “Juan tiene 21 años o tiene 23 años”, es obvio que no pueden
ser ambas expresiones verdaderas a la vez. En este caso, el “o” sería excluyente. Sin
embargo, de aquí en más sólo usaremos el “o” en su sentido inclusivo.
•
Existen otras formas de enunciar la condicional p ⇒ q :
p implica q
p es condición suficiente para q
q es condición necesaria para p
Si p, q
•
Cada condicional “directa” p ⇒ q tiene asociada tres condicionales que llamamos
recíproca, contraria y contrarrecíproca:
Recíproca:
Contraria:
Contrarrecíproca:
Por ejemplo:
p ⇒ q : Si es un cuadrado entonces es un cuadrilátero (directa).
q ⇒ p : Si es un cuadrilátero entonces es un cuadrado (recíproca).
: Si no es un cuadrado entonces no es un cuadrilátero (contraria).
: Si no es un cuadrilátero entonces no es un cuadrado (contrarrecíproca).
¿Cuál es el valor de verdad de cada una de estas proposiciones? Observa aquellas que
tienen el mismo valor de verdad, ¿pasará esto siempre?
Se puede demostrar que la directa y la contrarrecíproca son equivalentes, es decir,
tienen siempre el mismo valor de verdad.
•
Existen otras formas de enunciar la bicondicional
p es condición necesaria y suficiente para q.
q es condición necesaria y suficiente para p.
si p entonces q, y recíprocamente.
-3-
:
Ejercicios
1. Decide cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones. En caso de serlo, indica si
son simples o compuestas. De ser compuestas, identifica sus componentes y escríbela en
forma simbólica.
a. En 1990, George Bush era el presidente de los Estados Unidos.
b. x + 3 = 5
c. Si todas las mañanas fueran tan soleadas y despejadas como ésta
d. Quince es un número par.
e. Si 7 es un número impar entonces el doble de 7 es un número par
f. ¿Qué hora es?
g. 2 + 4 = 6 y 6 es múltiplo de 3.
h. 27 es un número par ó 27 es múltiplo de 3.
i. Los ingresantes a la facultad están felices de estudiar lógica.
2. Dadas las proposiciones:
p: 12 es divisible por 3
q: 12 es un número primo
a. Indica el valor de verdad de p y q.
b. Traduce las siguientes proposiciones compuestas al lenguaje coloquial y determina su
valor de verdad:
b1.
b2.
b3.
b4.
b5.
3.
Vuelve a escribir cada una de las siguientes proposiciones como una implicación de la
forma si-entonces. Determina el valor de verdad de cada una.
a. Que un número termine en 0 es condición necesaria para que sea divisible por 5.
b. x = 3 es condición suficiente para que x 2 = 9
c. Si un número es menor que dos, es negativo.
d. Si x 2 = 4 , x = 2
e. Que un polígono sea un rectángulo es necesario para que sea un paralelogramo.
f. Que un número sea divisible por 9 es condición suficiente para que sea divisible por 3.
-4-
4. Escribe la recíproca, la contraria y la contrarrecíproca de las siguientes proposiciones
condicionales. En cada caso indica el valor de verdad:
a. Si un número es menor que cero entonces es menor que 4.
b. Si x = 1 entonces 3x-1 = 2
c. Si un número es múltiplo de 4 entonces es par.
Indica cuál de las anteriores puede transformarse en una bicondicional verdadera. Justifica.
5. Asígnale un valor de verdad a las siguientes proposiciones bicondicionales (para hacerlo,
determina primero el valor de verdad de p ⇒ q y de q ⇒ p ).
a. Un número es par si y sólo si es divisible por 2
b.
x = 0 si y sólo si x 2 = 0
c.
Si x = 5 entonces x 2 = 25 y recíprocamente.
d. Que dos números enteros sean positivos es condición necesaria y suficiente para que su
producto sea positivo.
e.
x = 2 si y sólo si 2x+4 = 8
f.
Si un número es múltiplo de 6 entonces es múltiplo de 3 y recíprocamente.
g. Que un triángulo sea equilátero es condición necesaria y suficiente para que sea
equiángulo.
Cuantificadores
Anteriormente, se dijo que la expresión “4 - x = 5” no es una proposición ya que no puede decirse
si es verdadera o falsa porque se desconoce el significado de la letra “x”. A expresiones de este
tipo las denominamos “abiertas” ya que con sólo definir “x” puede transformarse en una
proposición.
Por ejemplo:
p: para todo x ∈ ℜ, 4 − x = 5
Ahora sí podemos asignarle un valor de verdad, hemos obtenido una proposición falta puesto que
para x = 7, por ejemplo, la igualdad no se cumple.
Observemos que también podríamos obtener la proposición:
q: existe x ∈ ℜ tal que 4 − x = 5
En este caso q es verdadera ya que si x = -1 se cumple la igualdad.
Estas palabras “para todo” y “existe” que se anteponen a expresiones “abiertas” para convertirlas
en proposiciones se denominan cuantificadores.
●
Cuantificador universal:
Se representa: ∀
Se lee: “para todo”, “para cada” o “para cualquier”.
-5-
Si a la expresión abierta la simbolizamos p( x ) , siendo x la variable a definir y U el
conjunto de elementos posibles para x, la proposición se escribirá: ∀x ∈ U , p ( x )
● Cuantificador existencial:
Se representa: ∃
Se lee “existe”, “para algún” o “para al menos un”.
Y la proposición se simbolizará: ∃ x ∈ U / p ( x )
Observación:
Al conjunto U se lo llama conjunto universal. Si el valor de verdad depende del conjunto
universal que se considere, es imprescindible escribirlo claramente justo después de la variable
cuantificada.
Por ejemplo la proposición ∃ x ∈ ℜ / x + 5 = 1 , es verdadera pues x = - 4 es un número real que
verifica la igualdad. En cambio la proposición ∃ x ∈ N / x + 5 = 1 , es falsa porque ningún número
natural satisface la igualdad ( − 4 ∉ N ).
Valor de verdad de las proposiciones cuantificadas
Proposición
∀x ∈ U , p ( x )
¿Cuándo es verdadera?
Si para cada x ∈ U , p ( x ) es falsa.
¿Cuándo es falsa?
Si existe al menos un x ∈ U para el cual
p( x ) es falsa.
Basta un contraejemplo para demostrarlo.
∃ x ∈ U / p(x )
Si para al menos un x ∈ U , p ( x ) es
verdadera.
Si para cada x ∈ U , p ( x ) es falsa.
Basta un ejemplo para demostrarlo.
Ejemplos:
1. Dada la proposición p: ∀n ∈ N , n 2 es par
¿Es verdadera o falsa?
Probando con varios valores, parecería que es verdadera:
-6-
n
2 es par
4 es par
4 es par
16 es par
6 es par
36 es par
8 es par
64 es par
10 es par
100 es par
Pero no basta con esos pocos valores para demostrar que es verdadera, debemos probarlo
para cada número par.
A un número natural par lo representamos: n = 2.k , con k ∈ N .
Luego: n 2 = (2.k ) = 4.k 2 = 2.(2k 2 ) y puesto que 2.k 2 es también un número natural al
que podemos simbolizar K, hemos demostrado que n 2 = 2.K , con K ∈ N , o sea que n 2 es
par.
2
2. Sea p: ∀x ∈ Z , 7.x es impar
¿Cuál es su valor de verdad?
Probando por ejemplo con x = 2 resulta que 7.x = 7.2 = 14 que es par. Entonces p resulta
falsa.
Hemos demostrado que existe al menos un número entero (x = 2) para el cual la
proposición es falsa. El ejemplo que muestra la falsedad de una proposición recibe el
nombre de contraejemplo.
3. La proposición p: ∃ x ∈ ℜ / − x > 0
¿Es verdadera o falsa?
Vemos que si x = −8 , su opuesto: − x = −(− 8) = 8 > 0 . Hemos encontrado al menos un
número real para el cual la proposición es verdadera. Con este ejemplo ( x = −8 ) basta para
mostrar que una proposición con cuantificador existencial es verdadera.
4. Sea p: ∃ x ∈ Z / 2 x = 2 x + 1
¿Cuál es su valor de verdad?
Dado que 2 x = 2 x + 1 es equivalente a 0.x = 1 y puesto que cualquier número entero,
multiplicado por 0 da por resultado 0 y no 1, puede afirmarse que la proposición es falsa.
-7-
Ejercicios:
1. Asigna un valor de verdad a las siguientes proposiciones y justifica tu elección.
a. ∀x ∈ ℜ, − x = x
b. ∃ x ∈ Z / 5 x = 2 x + 6
c. Todo número par multiplicado por un número impar, da como resultado un número
par.
d. ∃ x ∈ N / x < 0
e. Todos los cuadrados son rectángulos.
f. Todos los rectángulos son cuadrados.
2. Dadas las siguientes expresiones abiertas:
p(x): x>0
q(x): x es par
r(x): x es divisible por 5
a. Escribe las siguientes proposiciones en forma simbólica:
i.
Al menos un entero es par.
ii.
Existe al menos un entero positivo que es par.
iii.
Si x es un entero par, entonces no es divisible por 5.
iv.
Ningún entero par es divisible por 5.
v.
Existe al menos un entero par divisible por 5.
b. Determina si las proposiciones son verdaderas o falsas, justificando en cada caso.
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