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Elementos de Estadı́stica
22 de Marzo de 2008
Tarea 1
Profesor: Jorge Lemus E.
Problema 1
Clasifique las siguientes variables aleatorias en discretas o continuas. Especifique el conjunto de valores
posibles que puede tomar la variable aleatoria (que está únicamente determinado para cada caso).
(a) X : Resultado de sumar dos números elegidos al azar {0, 2, 3, 7, 11, 19}.
(b) X : Resultado de multiplicar 2 números elegidos al azar en [a, b].
(c) X : Resultado de dividir 2 números elegidos al azar en [a, b], a > 0.
(d) X : Suma de puntos al lanzar simultáneamente n dados de 6 caras.
(e) X : Ángulo más pequeño de un triángulo elegido al azar.
Problema 2
Considere una muestra {x1 , . . . , xn } de una variable aleatoria X. La media muestral es x y la varianza
muestral es Sx2 .
(a) Pruebe que la varianza muestral se puede escribir como:
!
à n
1X 2
2
xi − x2 .
Sx =
n
i=1
(b) Si se define zi =
xi − x
, demuestre que z = 0 y que Sz = 1.
Sx2
(c) Si se define ti = axi + b, demuestre que t = ax + b y que St2 = a2 Sx2 .
Problema 3
Considere una muestra {x1 , . . . , xn } de una variable aleatoria X. Sin embargo, se le informa que hubo
un error de medición y que a cada valor en la muestra se le debe añadir una constante A. Usted ya habı́a
calculado los siguientes elementos para la muestra: Media, Moda, Mediana, Rango, Varianza. Explique
cómo cambiarán estos elementos una vez que se rehacen los cálculos para la muestra modificada en A.
Problema 4
Considere 2 muestras de una variable aleatoria X, M1 = {x1 , . . . , xn }, M2 = {y1 , . . . , ym }. Se forma
una nueva muestra con todas las observaciones, M = {x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym }. Encuentre una expresión
para la media y la varianza muestral para la muestra M , en función de la media y varianza muestral de
la muestra M1 (x y Sx2 ); la media y varianza muestral de M2 (y y Sy2 ).
Problema 5
Considere una muestra {x1 , . . . , xn } de una variable aleatoria X. Determine el valor que debe tener y
para que la muestra {x1 , . . . , xn , y} tenga la menor varianza posible.
Problema 6
Considere la siguiente tabla de valores para una variable aleatoria discreta X:
X
fi
0
24
1
21
2
27
3
25
4
17
5
10
6
7
7
12
(a) Encuentre la media, moda y mediana.
(b) Encuentre la varianza muestral.
Indicación: En este caso como no se conoce la muestra completa, se deben calcular los momentos
como datos agrupados. El momento central de orden r se calcula como:
n
mr =
1X
fi (xi − x)r .
n
i=1
(c) ¿Es la disrtibución simétrica?, en caso contrario, ¿Qué tipo de asimetrı́a presenta?.
(d) ¿Es la disrtibución leptocúrica, Platicúrtica o mesocúrtica?.
(e) Dibuje un gráfico de frecuencias absolutas.
Problema 7
Obtenga el archivo Datos.xls, disponible en el sitio web del curso. Este archivo contiene la Encuesta
sobre Discapacidades, Deficiencias y Estado de Salud para el año 1999. Puede utilizar cualquier programa
estadı́stico para realizar los cálculos1 .
(a) Defina cuál es la variable aleatoria que se está estudiando.
(b) Explique la naturaleza de la variable, es decir, aleatoria discreta o continua.
(c) Encuentre la media muestral, mediana y moda.
(d) Calcule el la varianza muestral y la desviación estándar.
(e) Calcule los cuartiles, Q1 , Q2 y Q3 .
(f ) Calcule los percentiles, P10 y P90 .
(g) Calcule el coeficiente de sesgo, el de asimetrı́a de Pearson y el de Yule-Bowley. ¿Es simétrica la
distribución?
(h) Calcule el coeficiente de aplastamiento de Fisher. ¿Es platicúrtica la distribución?
(i) Encuentre el histograma.
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Se recomienda EXCEL, pero puede escoger el que más le acomode
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