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TALLER DE SEMEJANZA DE TRIANGULOS
EJEMPLO 1:
Hallemos los valores pedidos, justificando todos los pasos:
Solución:
1.
Aˆ  Dˆ  28º 
  1   2
Bˆ  Eˆ  59º 
 A  A

x 1 3
 
8 2 y
Estableciendo proporcionalidad entre sus lados homólogos.
x 1
8

 x
 x4
8 2
2
1 3

 y  23  y  6
2 y

2.
15 9
porque 3=3 y

3 3
porque 1=1 (están en una misma razón de 3 a 1)
3

ˆ  Jˆ  40º  3  4 (L-A-L)  15  x  9   15  4  x 
G

5
5 
4 31


1
x  12
3.
  30  180º (Suplementarios);   180º 30;
1
1
1
3 4
6


9 12
 18

3
3
  150
 5  6 (L-L-L)
3
Obsérvese que se colocaron arriba los lados de triángulo 5 organizados en orden
creciente; por lo tanto abajo se colocaron los lados del triángulo 6 también en
orden creciente; y al simplificar quedan en una misma razón de 1 a 3. También se
pudieron haber organizado en orden creciente de valores, por lo tanto:
  20º
y
    150
en 6  
 
  180º
 


( suma de angulos int eriores en un triangulo )

  20  150  180 ( Sustitución)
   180  20  150; por lo tan to
  10
EJEMPLO 2:
En la figura, AB // CD. Establecer la
proporcionalidad entre los lados homólogos en
los dos triángulos de la figura, y hallar el valor de
x.
Solución:
A = D
 B =  C (alterno internos entre paralelas)

AEB  ECD (A-A)
AB AE BE



;
Se
estableció
una
CD ED EC
proporcionalidad entre sus lados


homólogos
X
12
3  12
=
X=
X=9
4
3
4
EJEMPLO 3:
Si CA  AD y AB  CD; demostremos que ABD 
ACD y establezcamos la proporcionalidad entre los
lados homólogos.
Solución:
2 = α
=
90º
(definición
perpendicularidad)
 D =  D (ángulo común)
Entonces ABD  ACD (A-A)
AB BD AD



AC AD CD
EJEMPLO 4:
En la figura BA  CA,
AB BC

demostremos que
ED CD
DE

BC,
de
Solución:
 C =  C (Ángulo común)
 CED =  CAB = 90º (Definición de perpendicularidad)
CD ED CE
CED  CAB (A-A) 


CB
AB


 AC
AB BC

ED CD
EJEMPLO 5: Para hallar la altura de un asta de bandera, un muchacho
cuyos ojos se encuentran a 1.65 metros del suelo coloca una vara de 3 metros de
largo clavada en el piso a 15 metros de distancia del asta.
Entonces
retrocediendo 2.55 metros encuentra que donde va l apunta del asta está alineada
con la punta de la vara. ¿Cuál es la altura del asta?
Solución:
1   2  90 (Perpendicularidad)
ˆ  ˆ
(Ángulo común)
BG FG
15  2.55 h  1.65




2.55
1.35
BK DK
17.55  1.35
 1.65  h  10.94m  h
2.55
EJEMPLO 6: Un muchacho observa que la sombra de un árbol tiene 15.68
metros de largo cuando el de su sombra es de 1.95 metros. Si la altura del
muchacho es de 1.73 metros ¿cuál es la altura del árbol? (Nota: Supóngase que
los rayos del sol son paralelos).
Solución:
ˆ  Eˆ  90º (tanto
B
el árbol como el
muchacho
se
superponen
derechos
 forman  recto )
ˆ D
ˆ
(ángulo
A
entre dos paralelas)
 1  2 (A-A)
 1   2 (A-A)
h
15.6

1.73 1.95


15.6  1.73

1.95
h  13.84 m
h
Solución:
EJEMPLO 7:
Hallemos el valor de x
ˆ C
ˆ  90º (por perpendicularidad)
A
ˆ1  ˆ 2 (opuestos por el vértice)
 1  2 (A-A)

EJEMPLO 8:
Hallemos el valor de x
x
5
15  5
25
 x
x
15 9
9
3
Solución:
ˆ  B̂ (dado)
ˆ  A
ˆ (  común )  1  2
A

12
x
 12  16  x 2 

x
16
(A-A)
x  12 16
por lo tan to : x  8 3
Obsérvese que si dos ángulos son respectivamente iguales en dos triángulos, los
terceros ángulos son iguales y ˆ  ˆ
Cuando decimos
y
y
12 x  lados del 1

x 16  lados del  2
12  va de Aˆ a ˆ 
 y Aˆ  Aˆ ;
x  va de Aˆ a ˆ 
x  va de Aˆ a ˆ 
 y Aˆ  Aˆ ;
16  va de Aˆ a Bˆ 
ˆ  ˆ
ˆ  Bˆ
EJERCICIO PROPUESTO 1:
El tanque en forma de cono invertido de
la figura tiene agua hasta una altura de
10 m. Halle el radio del cono de agua.
Observa:
EJERCICIO PROPUESTO 2:
Halla el valor de x en las dos figuras siguientes, justificando todos los pasos.
EJERCICIO PROPUESTO 3:
Halla el valor de x justificando todos los
pasos.
EJECICIOS PROPÚESTOS 4:
En las siguientes figuras
se
presentan 7 pares de triángulos.
En cada caso indicar si los
triángulos son semejantes. Si lo
son, nombrar el criterio en que
esto se base.
(a)
(c)
(b)
(e)
(d)
(g)
(f)
-------------------------------------------------------------------“Colaborar para que los demás vivan felices
es abrir la puerta
para acoger la propia felicidad”
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